数学高中人教A版必修3学案：1.1.1算法的概念Word版含解析

第一章　算法初步
1.1　算法与程序框图
1.1.1　算法的概念
学习目标
1.了解算法的概念及特征,学会用自然语言描述算法,增强利用算法来解决问题的意识.
2.体会算法的思想,发展从具体问题中提炼算法的能力,以及有条理的思考问题的能力.
3.通过应用数学软件解决问题,感受算法的价值,提高学习数学的兴趣.
合作学习
一、设计问题,创设情境
问题情境:一个农夫带着一匹狼、一头山羊和一篮蔬菜要过河,但只有一条小船.乘船时,农夫只能带一样东西.当农夫在场的时候,这三样东西相安无事.一旦农夫不在,狼会吃羊,羊会吃菜.请设计一个方案,使农夫能安全地将这三样东西带过河.
二、信息交流,揭示规律
问题1:你能写出求解二元一次方程组
??-2??=-1,　①
2??+??=1,　②
的步骤吗?
解二元一次方程组的主要思想是消元的思想,有代入消元和加减消元两种消元的方法,请用加减消元法写出它的求解过程.
探究:对于一般的二元一次方程组来说,上述步骤应该怎样进一步完善?
交流:本题的算法是由加减消元法求解的,这个算法也适合一般的二元一次方程组的解法.
问题2:按照上述的方法,能否写出求解一般的二元一次方程组
??
1
x+
??
1
y=
??
1
,　①
??
2
x+
??
2
y=
??
2
,　②
其中,a1b2-a2b1≠0的步骤?
提炼:
1.算法的概念
在数学中,算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤.现在,算法通常可以编成计算机程序,让计算机执行并解决问题.
2.算法的特点
(1)有限性:一个算法的步骤是有限的,必须在有限步操作之后停止,不能是无限的.
(2)确定性:算法中的每一步应该是确定的,并且能有效地执行且得到确定的结果,而不应当是模棱两可的.
(3)顺序性与正确性:算法从初始步骤开始,分为若干明确的步骤,每一个步骤只能有一个确定的后继步骤,前一步是后一步的前提,只有执行完前一步才能进行下一步,并且每一步都准确无误,才能完成问题.
(4)不唯一性:求解某一个问题的解法不一定是唯一的,对于一个问题可以有不同的算法.
(5)普适性:很多具体的问题,都可以设计合理的算法去解决,如心算、计算器计算都要经过有限、事先设计好的步骤加以解决.
三、运用规律,解决问题
【例1】 (1)设计一个算法,判断7是不是质数.
(2)设计一个算法,判断35是不是质数.
(3)任意给定一个大于2的正整数n,能否设计一个算法对n是不是质数作出判断?
【例2】 写出用“二分法”求方程x2-2=0(x>0)的近似解的算法.
四、变式训练,深化提高
1.任意给定一个大于1的正整数n,设计一个算法求出n的所有因数.
2.写出解方程x2-2x-3=0的两个不同的算法.
3.一位商人有9枚金币,其中1枚略轻的是假金币.你能设计用天平(不用砝码)将假金币找出来的算法吗?
五、反思小结,观点提炼
1.什么是算法?你能举出更多算法的例子吗?
2.与一般解决问题的过程相比,你认为算法最重要的特征是什么?
布置作业
作业1　课本P5练习第1题.
作业2　请设计一个算法解决下面的问题:
一个笼子里有一些鸡和兔,现在知道里面一共有35个头,94只脚,问鸡和兔各有多少只?
参考答案
一、设计问题,创设情境
第一步,农夫带羊过河,独自返回;
第二步,农夫带蔬菜过河,农夫带羊回来;
第三步,农夫带狼过河,独自返回;
第四步,农夫带羊过河.
二、信息交流,揭示规律
问题1:第一步,②-①×2,得5y=3;③
第二步,解③得y=0.6;
第三步,①+②×2,得5x=1;④
第四步,解④得x=0.2.
第五步,方程组的解为
??=0.2,
??=0.6.
问题2:第一步,①×b2-②×b1,得(a1b2-a2b1)x=b2c1-b1c2.③
第二步,解③,得x=
??
2
??
1
-
??
1
??
2
??
1
??
2
-
??
2
??
1
.
第三步,②×a1-①×a2,得(a1b2-a2b1)y=a1c2-a2c1.④
第四步,解④,得y=
??
1
??
2
-
??
2
??
1
??
1
??
2
-
??
2
??
1
.
第五步,得到方程组的解为
??=
??
2
??
1
-
??
1
??
2
??
1
??
2
-
??
2
??
1
,
??=
??
1
??
2
-
??
2
??
1
??
1
??
2
-
??
2
??
1
.
三、运用规律,解决问题
【例1】 (1)第一步,用2除7,得到余数1.因为余数不为0,所以2不能整除7.
第二步,用3除7,得到余数1.因为余数不为0,所以3不能整除7.
第三步,用4除7,得到余数3.因为余数不为0,所以4不能整除7.
第四步,用5除7,得到余数2.因为余数不为0,所以5不能整除7.
第五步,用6除7,得到余数1.因为余数不为0,所以6不能整除7.
因此,7是质数.
(2)第一步,用2除35,得到余数1.因为余数不为0,所以2不能整除35.
第二步,用3除35,得到余数2.因为余数不为0,所以3不能整除35.
第三步,用4除35,得到余数3.因为余数不为0,所以4不能整除35.
第四步,用5除35,得到余数0.因为余数为0,所以5能整除35.
因此,35不是质数.
(3)第一步,给定大于2的整数n.
第二步,令i=2.
第三步,用i除n,得到余数r.
第四步,判断“r=0”是否成立.若是,则n不是质数,结束算法;否则,将i的值增加1,仍用i表示.
第五步,判断“i>(n-1)”是否成立.若是,则n是质数,结束算法;否则,返回第三步.
【例2】 解:第一步,令f(x)=x2-2.给定精确度d.
第二步,确定区间[a,b],满足f(a)·f(b)<0.
第三步,取区间中点m=
??+??
2
.
第四步,若f(a)·f(m)<0,则含零点的区间为[a,m];否则,含零点的区间为[m,b].将新得到的含零点的区间仍记为[a,b].
第五步,判断[a,b]的长度是否小于d或f(m)是否等于0.若是,则m是方程的近似解;否则,返回第三步.
四、变式训练,深化提高
1.解:第一步,给定一个大于1的正整数n.
第二步,令i=1.
第三步,用i去除n,得到余数为t,若t=0,则i是n的一个因数,输出i;否则,不输出i.
第四步,给i增加1仍然用i表示.
第五步,判断i2.解:算法一:第一步,移项,得x2-2x=3　①
第二步,①式两边同时加1并配方,得(x-1)2=4　②
第三步,②式两边开方得x-1=±2　③
第四步,解③得x=3或x=-1.
算法二:第一步,计算方程的判别式并判断其符号,Δ=(-2)2-4×(-3)×1=16>0.
第二步,将a=1,b=-2,c=-3代入求根公式x=
-??±
??
2
-4ac
2??
.
得x=3或x=-1.
3.解:第一步,将9枚金币平均分成三组,将其中两组放在天平的两边.如果天平平衡,则假的金币必定在另外一组;如果天平不平衡,则假的金币必定在较轻的一组.
第二步,在有假金币的一组金币中,取出两枚金币,分别放在天平的两边.如果天平平衡,则假的金币必定是剩余的;如果天平不平衡,则假的金币必定在较轻的一边.