2018-2019学年八年级数学上册13.4课题学习最短路径问题同步作业设计含答案
文档属性
| 名称 | 2018-2019学年八年级数学上册13.4课题学习最短路径问题同步作业设计含答案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 129.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-09-29 13:57:12 | ||
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文档简介
13.4 课题学习 最短路径问题
一、选择题
1. 如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若
AE＝2，当EF＋CF取得最小值时，则∠ECF的度数为（ ）．
（第1题图）
A. 15° B. 22.5° C. 30° D. 45°
2. 如图，∠AOB＝30°，内有一点P且OP＝，若M、N为边OA、OB上两动点，那么△PMN的周长最小为（ ）．
（第2题图）
A. B. 6 C. D.
3. 已知∠AOB的大小为α，P是∠AOB内部的一个定点，且OP＝2，点E、F分别是OA、OB上的动点，若
△PEF的周长的最小值等于2，则α＝（ ）．
（第3题图）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
4. 直线L是一条河，P，Q是两个村庄．欲在L上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（ ）．
A. B.
C. D.
5. 如图，在锐角△ABC中，AB＝4，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是（ ）．
（第5题图）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
6. 加油站A和商店B在马路MN的同一侧（如图），A到MN的距离大于B到MN的距离，AB＝7米，一个行人P在马路MN上行走，问：当P到A的距离与P到B的距离之差最大时，这个差等于（ ）米．
（第6题图）
A. 8 B. 9 C. 6 D. 7
7. 如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝4，点D，E分别是AB，AC的中点，在CD上找一点P，使PA＋PE最小，则这个最小值是（ ）．
（第7题图）
A. B. 4 C. D. 5
二、填空题
8. 已知如图所示，∠MON＝40°，P为∠MON内一点，A为OM上一点，B为ON上一点，则当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数为_____．
（第8题图）
9.如图，在锐角三角形ABC中，AB=4，△ABC的面积为10，BD平分∠ABC，若M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值为 .
（第9题图）
10.如图所示：∠AOB的内部有一点P，到顶点O的距离为5cm，M、N分别是射线OA、OB上的动点．若∠AOB=30°，则△PMN的周长的最小值为 .
（第10题图）
三、解答题
11. 已知：如图，在∠POQ内部有两点M、N，∠MOP＝∠NOQ．
（1）画图并简要说明画法：在射线OP上取一点A，使点A到点M和点N的距离和最小；在射线OQ上取一点B，使点B到点M和点N的距离和最小；
（2）直接写出AM＋AN与BM＋BN的大小关系．
（第11题图）
12. 某大型农场拟在公路L旁修建一个农产品储藏、加工厂，将该农场两个规模相同的水果生产基地A、B的水果集中进行储藏和技术加工，以提高经济效益．请你在图中标明加工厂所在的位置C，使A、B两地到加工厂C的运输路程之和最短．（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）
（第12题图）
13. 如图，△ABC的边AB、AC上分别有定点M、N，请在BC边上找一点P，使得△PMN的周长最短． （写出作法，保留作图痕迹）
（第13题图）
14. 在某一地方，有条小河和草地，一天某牧民的计划是从A处的牧场牵着一只马到草地牧马，再到小河饮马，你能为他设计一条最短的路线吗？（在N上任意一点即可牧马，M上任意一点即可饮马．）（保留作图痕迹，需要证明）
（第14题图）
参考答案
1.C 2.D 3.A 4.D 5.B 6.D 7.C
100° 分析：如图,作出P点关于OM,ON的对称点P1,P2交OM,ON于A,B两点,此时△PAB的周长最小,根据题意可知: ∠P1PP2=180°－∠MON=180°－40°=140,所以∠P1PA+∠P2PB=∠P1+∠P2=180°－∠P1PP2=40°,所以∠APB=140°－40°=100°.
（第8题答图）
5 分析：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于N.∵BD平分∠ABC，ME⊥AB于点E，MN⊥BC于N，∴MN=ME，∴CE=CM+ME=CM+MN的最小值．∵三角形ABC的面积为10，AB=4，∴×4?CE=10，∴CE=＝5．即CM+MN的最小值为5．
（第9题答图）
10. 5 cm 分析：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OP、OC、OD、PM、PN．∵点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，∴PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA.∵点P关于OB的对称点为D，∴PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，∴OC=OD=OP=5cm，∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°，∴△COD是等边三角形，∴CD=OC=OD=5cm．∴△PMN的周长的最小值为PM+MN+PN=CM+MN+DN≥CD=5cm．
（第10题答图）
11.解：（1）如图所示．
画法：①作点M关于射线OP的对称点M'；
②连接M'N交OP于点A；
③作点N关于射线OQ的对称点N'；
④连接N'M交OQ于点B．
（2）AM＋AN与BM＋BN的大小关系是：AM＋AN＝BM＋BN．
（第11题答图）
12.解：作点A关于直线l的对称点E,连接BE.根据对称的性质可知,BE的长即为AC+BC的最短距离,BE与直线l的交点C即是所求的点.如图,
（第12题答图）
13.解：作点N关于BC的对称点N′，连接MN′交BC于点P，由两点之间线段最短可知P点即为所求点．
14.证明:作点A关于草地所在直线的对称点E,作点B关于小河所在直线的对称点F,连接EF,交河流所在直线于点D,交草地所在直线于点C,连接AC,CD,DB,根据轴对称性质,AC+CD+DB的最小值即为EF的长.在ON上任意取一点T,在OM上任意取一点R,连接FR,BR,RT,ET,AT,
∵A,E关于ON对称,∴AC＝EC.
同理BD＝FD,FR＝BR,AT＝ET,
∴AC＋CD＋DB＝EC＋CD＋FD＝EF,AT＋TR＋BR＝ET＋TR＋FR.
∵ET＋TR＋FR＞EF,∴AC＋CD＋DB＜AT＋TR＋BR,即沿AC－CD－DB路线走是最短的路线,
（第14题图）
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一、选择题
1. 如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若
AE＝2，当EF＋CF取得最小值时，则∠ECF的度数为（ ）．
（第1题图）
A. 15° B. 22.5° C. 30° D. 45°
2. 如图，∠AOB＝30°，内有一点P且OP＝，若M、N为边OA、OB上两动点，那么△PMN的周长最小为（ ）．
（第2题图）
A. B. 6 C. D.
3. 已知∠AOB的大小为α，P是∠AOB内部的一个定点，且OP＝2，点E、F分别是OA、OB上的动点，若
△PEF的周长的最小值等于2，则α＝（ ）．
（第3题图）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
4. 直线L是一条河，P，Q是两个村庄．欲在L上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（ ）．
A. B.
C. D.
5. 如图，在锐角△ABC中，AB＝4，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是（ ）．
（第5题图）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
6. 加油站A和商店B在马路MN的同一侧（如图），A到MN的距离大于B到MN的距离，AB＝7米，一个行人P在马路MN上行走，问：当P到A的距离与P到B的距离之差最大时，这个差等于（ ）米．
（第6题图）
A. 8 B. 9 C. 6 D. 7
7. 如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝4，点D，E分别是AB，AC的中点，在CD上找一点P，使PA＋PE最小，则这个最小值是（ ）．
（第7题图）
A. B. 4 C. D. 5
二、填空题
8. 已知如图所示，∠MON＝40°，P为∠MON内一点，A为OM上一点，B为ON上一点，则当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数为_____．
（第8题图）
9.如图，在锐角三角形ABC中，AB=4，△ABC的面积为10，BD平分∠ABC，若M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值为 .
（第9题图）
10.如图所示：∠AOB的内部有一点P，到顶点O的距离为5cm，M、N分别是射线OA、OB上的动点．若∠AOB=30°，则△PMN的周长的最小值为 .
（第10题图）
三、解答题
11. 已知：如图，在∠POQ内部有两点M、N，∠MOP＝∠NOQ．
（1）画图并简要说明画法：在射线OP上取一点A，使点A到点M和点N的距离和最小；在射线OQ上取一点B，使点B到点M和点N的距离和最小；
（2）直接写出AM＋AN与BM＋BN的大小关系．
（第11题图）
12. 某大型农场拟在公路L旁修建一个农产品储藏、加工厂，将该农场两个规模相同的水果生产基地A、B的水果集中进行储藏和技术加工，以提高经济效益．请你在图中标明加工厂所在的位置C，使A、B两地到加工厂C的运输路程之和最短．（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）
（第12题图）
13. 如图，△ABC的边AB、AC上分别有定点M、N，请在BC边上找一点P，使得△PMN的周长最短． （写出作法，保留作图痕迹）
（第13题图）
14. 在某一地方，有条小河和草地，一天某牧民的计划是从A处的牧场牵着一只马到草地牧马，再到小河饮马，你能为他设计一条最短的路线吗？（在N上任意一点即可牧马，M上任意一点即可饮马．）（保留作图痕迹，需要证明）
（第14题图）
参考答案
1.C 2.D 3.A 4.D 5.B 6.D 7.C
100° 分析：如图,作出P点关于OM,ON的对称点P1,P2交OM,ON于A,B两点,此时△PAB的周长最小,根据题意可知: ∠P1PP2=180°－∠MON=180°－40°=140,所以∠P1PA+∠P2PB=∠P1+∠P2=180°－∠P1PP2=40°,所以∠APB=140°－40°=100°.
（第8题答图）
5 分析：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于N.∵BD平分∠ABC，ME⊥AB于点E，MN⊥BC于N，∴MN=ME，∴CE=CM+ME=CM+MN的最小值．∵三角形ABC的面积为10，AB=4，∴×4?CE=10，∴CE=＝5．即CM+MN的最小值为5．
（第9题答图）
10. 5 cm 分析：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OP、OC、OD、PM、PN．∵点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，∴PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA.∵点P关于OB的对称点为D，∴PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，∴OC=OD=OP=5cm，∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°，∴△COD是等边三角形，∴CD=OC=OD=5cm．∴△PMN的周长的最小值为PM+MN+PN=CM+MN+DN≥CD=5cm．
（第10题答图）
11.解：（1）如图所示．
画法：①作点M关于射线OP的对称点M'；
②连接M'N交OP于点A；
③作点N关于射线OQ的对称点N'；
④连接N'M交OQ于点B．
（2）AM＋AN与BM＋BN的大小关系是：AM＋AN＝BM＋BN．
（第11题答图）
12.解：作点A关于直线l的对称点E,连接BE.根据对称的性质可知,BE的长即为AC+BC的最短距离,BE与直线l的交点C即是所求的点.如图,
（第12题答图）
13.解：作点N关于BC的对称点N′，连接MN′交BC于点P，由两点之间线段最短可知P点即为所求点．
14.证明:作点A关于草地所在直线的对称点E,作点B关于小河所在直线的对称点F,连接EF,交河流所在直线于点D,交草地所在直线于点C,连接AC,CD,DB,根据轴对称性质,AC+CD+DB的最小值即为EF的长.在ON上任意取一点T,在OM上任意取一点R,连接FR,BR,RT,ET,AT,
∵A,E关于ON对称,∴AC＝EC.
同理BD＝FD,FR＝BR,AT＝ET,
∴AC＋CD＋DB＝EC＋CD＋FD＝EF,AT＋TR＋BR＝ET＋TR＋FR.
∵ET＋TR＋FR＞EF,∴AC＋CD＋DB＜AT＋TR＋BR,即沿AC－CD－DB路线走是最短的路线,
（第14题图）
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