人教新课标A版选修2-1 2.2椭圆 椭圆中的面积问题
文档属性
| 名称 | 人教新课标A版选修2-1 2.2椭圆 椭圆中的面积问题 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 735.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-09-30 13:09:04 | ||
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文档简介
椭圆中面积问题
1.已知点A为圆上任意一点，点，线段AC的中垂线交AB于点M.
（1）求动点M.的轨迹方程；
（2）若动直线l与圆相切，且与动点M的轨迹交于点E、F，求面积的最大值（O为坐标原点）.
2.已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，离心率，且椭圆的短轴长为2.（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知直线，过右焦点F2，且它们的斜率乘积为，设，分别与椭圆交于点A，B和C，D.①求的值；②设AB的中点M，CD的中点为N，求面积的最大值.
3.平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：（）右焦点的直线交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）C，D为M上的两点，若四边形ABCD的对角线，求四边形ABCD面积的最大值.
4.已知椭圆及点,若直线OD与椭圆C交于点A,B,且(O为坐标原点),椭圆C的离心率为．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若斜率为的直线l交椭圆C于不同的两点M,N,求面积的最大值．
5.已知椭圆，A，B分别为椭圆的右顶点和上顶点，O为坐标原点，P为椭圆第一象限上一动点.
（1）直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N，求证：为定值；
（2）Q为P关于O的对称点，求四边形APBQ面积S的最大值.
6.已知点是椭圆上一点，F1，F2分别是椭圆的左右焦点，且
（I）求曲线E的方程；
（Ⅱ）若直线不与坐标轴重合）与曲线E交于M，N两点，O为坐标原点，设直线OM、ON的斜率分别为，对任意的斜率k，若存在实数，使得，求实数的取值范围.
7.已知椭圆的右顶点为A，点P在y轴上，线段AP与椭圆C的交点B在第一象限，过点B的直线l与椭圆C相切，且直线l交x轴于M.设过点A且平行于直线l的直线交y轴于点Q.
（1）当B为线段AP的中点时，求直线AB的方程；
（2）记的面积为S1，的面积为S2，求S1+S2的最小值.
8.已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，A为椭圆上一动点（异于左右顶点），面积的最大值为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线与椭圆C相交于点A，B两点，问y轴上是否存在点M，使得是以M为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．
试卷答案
1（1）；（2）.
【详解】（1）由题知，
的轨迹是以、为焦点的椭圆，其方程为.
（2）①当的斜率存在时.设 的方程为
由得:
可得 与圆相切，
从而，
令，得
.
当且仅当即时取等号..
②当的斜率不存在时.易得的方程为或.此时
.由①②可得:的最大值为.
2.（1）；（2）①；②.
【详解】（1） 由题设知：
解得故椭圆的标准方程为.
（2）①设的直线方程为，
联立消元并整理得，
所以，，
于是，
同理，
于是.
②由①知，，，，
所以，，
所以的中点为，
于是，
当且仅当，即时取等号，所以面积的最大值为.
3.(Ι)（Ⅱ）
【详解】(Ι)设 则，，（1）－（2）得：
，因为，设，因为P为AB的中点，且OP的斜率为，所以，即，所以可以解得，即，即，又因为，所以，所以M的方程为.
（Ⅱ）因为，直线AB方程为，所以设直线CD方程为，
将代入得：，即、，所以可得；将代入得：，设 则=，又因为，即，所以当时，|CD|取得最大值4，所以四边形ACBD面积的最大值为 .
4.(1)；(2)1.
(1)由椭圆的离心率为,得,所以.
设点在第一象限,由椭圆的对称性可知,所以,
因为点坐标为,所以点坐标为,
代入椭圆的方程得,与联立,可得,
所以椭圆的标准方程为.
(2)设直线的方程为,由得.
由题意得,,
整理得，所以或.
设,则,
所以=.
又由题意得,到直线的距离.
的面积
当且仅当,即时取等号,且此时满足,所以面积的最大值为1.
5.（1）
6.（1）（2）
【详解】(1)设，，，
由，，曲线E的方程为：
(2)设，，
∴
∴，即，
当时，；
当时，，由对任意恒成立，
则综上
7.（1）直线AB的方程为（2）
【详解】解：（1）由椭圆，可得：
由题意：设点，当为的中点时，可得：
代入椭圆方程，可得：所以：
所以.故直线的方程为.
（2）由题意，直线的斜率存在且不为0，故设直线的方程为：
令，得：，所以：联立：，消，整理得：.
因为直线与椭圆相切，所以.
即.
设，则，，
所以.又直线直线，所以设直线的方程为：.
令，得，所以：.因为，
所以直线的方程为：.
令，得，所以：.
所以.
又因为.
所以（当且仅当，即时等号成立）
所以.
8（1）；（2）见解析
【详解】（1）面积的最大值为，则：又，，解得：，椭圆C的方程为：
（2）假设轴上存在点，是以为直角顶点的等腰直角三角形
设，，线段AB的中点为
由，消去可得：
，解得：
∴，
，
依题意有，
由可得：，可得：
由可得：
，
代入上式化简可得：
则：，解得：
当时，点满足题意；当时，点满足题意
故轴上存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形
答案第6页，总6页
第5页，总6页
1.已知点A为圆上任意一点，点，线段AC的中垂线交AB于点M.
（1）求动点M.的轨迹方程；
（2）若动直线l与圆相切，且与动点M的轨迹交于点E、F，求面积的最大值（O为坐标原点）.
2.已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，离心率，且椭圆的短轴长为2.（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知直线，过右焦点F2，且它们的斜率乘积为，设，分别与椭圆交于点A，B和C，D.①求的值；②设AB的中点M，CD的中点为N，求面积的最大值.
3.平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：（）右焦点的直线交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）C，D为M上的两点，若四边形ABCD的对角线，求四边形ABCD面积的最大值.
4.已知椭圆及点,若直线OD与椭圆C交于点A,B,且(O为坐标原点),椭圆C的离心率为．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若斜率为的直线l交椭圆C于不同的两点M,N,求面积的最大值．
5.已知椭圆，A，B分别为椭圆的右顶点和上顶点，O为坐标原点，P为椭圆第一象限上一动点.
（1）直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N，求证：为定值；
（2）Q为P关于O的对称点，求四边形APBQ面积S的最大值.
6.已知点是椭圆上一点，F1，F2分别是椭圆的左右焦点，且
（I）求曲线E的方程；
（Ⅱ）若直线不与坐标轴重合）与曲线E交于M，N两点，O为坐标原点，设直线OM、ON的斜率分别为，对任意的斜率k，若存在实数，使得，求实数的取值范围.
7.已知椭圆的右顶点为A，点P在y轴上，线段AP与椭圆C的交点B在第一象限，过点B的直线l与椭圆C相切，且直线l交x轴于M.设过点A且平行于直线l的直线交y轴于点Q.
（1）当B为线段AP的中点时，求直线AB的方程；
（2）记的面积为S1，的面积为S2，求S1+S2的最小值.
8.已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，A为椭圆上一动点（异于左右顶点），面积的最大值为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线与椭圆C相交于点A，B两点，问y轴上是否存在点M，使得是以M为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．
试卷答案
1（1）；（2）.
【详解】（1）由题知，
的轨迹是以、为焦点的椭圆，其方程为.
（2）①当的斜率存在时.设 的方程为
由得:
可得 与圆相切，
从而，
令，得
.
当且仅当即时取等号..
②当的斜率不存在时.易得的方程为或.此时
.由①②可得:的最大值为.
2.（1）；（2）①；②.
【详解】（1） 由题设知：
解得故椭圆的标准方程为.
（2）①设的直线方程为，
联立消元并整理得，
所以，，
于是，
同理，
于是.
②由①知，，，，
所以，，
所以的中点为，
于是，
当且仅当，即时取等号，所以面积的最大值为.
3.(Ι)（Ⅱ）
【详解】(Ι)设 则，，（1）－（2）得：
，因为，设，因为P为AB的中点，且OP的斜率为，所以，即，所以可以解得，即，即，又因为，所以，所以M的方程为.
（Ⅱ）因为，直线AB方程为，所以设直线CD方程为，
将代入得：，即、，所以可得；将代入得：，设 则=，又因为，即，所以当时，|CD|取得最大值4，所以四边形ACBD面积的最大值为 .
4.(1)；(2)1.
(1)由椭圆的离心率为,得,所以.
设点在第一象限,由椭圆的对称性可知,所以,
因为点坐标为,所以点坐标为,
代入椭圆的方程得,与联立,可得,
所以椭圆的标准方程为.
(2)设直线的方程为,由得.
由题意得,,
整理得，所以或.
设,则,
所以=.
又由题意得,到直线的距离.
的面积
当且仅当,即时取等号,且此时满足,所以面积的最大值为1.
5.（1）
6.（1）（2）
【详解】(1)设，，，
由，，曲线E的方程为：
(2)设，，
∴
∴，即，
当时，；
当时，，由对任意恒成立，
则综上
7.（1）直线AB的方程为（2）
【详解】解：（1）由椭圆，可得：
由题意：设点，当为的中点时，可得：
代入椭圆方程，可得：所以：
所以.故直线的方程为.
（2）由题意，直线的斜率存在且不为0，故设直线的方程为：
令，得：，所以：联立：，消，整理得：.
因为直线与椭圆相切，所以.
即.
设，则，，
所以.又直线直线，所以设直线的方程为：.
令，得，所以：.因为，
所以直线的方程为：.
令，得，所以：.
所以.
又因为.
所以（当且仅当，即时等号成立）
所以.
8（1）；（2）见解析
【详解】（1）面积的最大值为，则：又，，解得：，椭圆C的方程为：
（2）假设轴上存在点，是以为直角顶点的等腰直角三角形
设，，线段AB的中点为
由，消去可得：
，解得：
∴，
，
依题意有，
由可得：，可得：
由可得：
，
代入上式化简可得：
则：，解得：
当时，点满足题意；当时，点满足题意
故轴上存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形
答案第6页，总6页
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