函数与方程
最新考纲 结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.
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知 识 梳 理
1.函数的零点
(1)函数零点的概念
对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.
(2)函数零点与方程根的关系
方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点.
(3)零点存在性定理
如果函数y＝f(x)满足：①在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)<0；则函数y＝f(x)在(a，b)上存在零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根.
2.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系
Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\F53.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\F54.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\F55.TIF" \* MERGEFORMAT
与x轴的交点 (x1，0)，(x2，0) (x1，0) 无交点
零点个数 2 1 0
[微点提醒]
1.若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根.
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2.由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0，如图所示，所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件.
基 础 自 测
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1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)函数f(x)＝lg x的零点是(1，0).( )
(2)图象连续的函数y＝f(x)(x∈D)在区间(a，b)?D内有零点，则f(a)·f(b)<0.( )
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点.( )
解析 (1)f(x)＝lg x的零点是1，故(1)错.
(2)f(a)·f(b)＜0是连续函数y＝f(x)在(a，b)内有零点的充分不必要条件，故(2)错.
答案 (1)× (2)× (3))√
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2.(必修1P92A2改编)已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：
x 1 2 3 4 5
f(x) －4 －2 1 4 7
在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为( )
A.(1，2) B.(2，3) C.(3，4) D.(4，5)
解析 由所给的函数值的表格可以看出，x＝2与x＝3这两个数字对应的函数值的符号不同，即f(2)·f(3)<0，所以函数在(2，3)内有零点.
答案 B
3.(必修1P112T1改编)若函数f(x)唯一的零点同时在区间(0，16)，(0，8)，(0，4)，(0，2)内，那么下列命题正确的是( )
A.函数f(x)在区间(0，1)内有零点
B.函数f(x)在区间(0，1)或(1，2)内有零点
C.函数f(x)在区间[2，16)上无零点
D.函数f(x)在区间(1，16)内无零点
解析 由题意可确定f(x)唯一的零点在区间(0，2)内，故在区间[2，16)内无零点.
答案 C
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4.(2018·济南月考)若函数f(x)＝x2＋2x＋a没有零点，则实数a的取值范围是( )
A.(－∞，1) B.(1，＋∞)
C.(－∞，1] D.[1，＋∞)
解析 因为函数f(x)＝x2＋2x＋a没有零点，所以方程x2＋2x＋a＝0无实根，即Δ＝4－4a<0，由此可得a>1.
答案 B
5.(2018·全国Ⅲ卷)函数f(x)＝cos在[0，π]的零点个数是________.
解析 由题意知，cos＝0，所以3x＋＝＋kπ，k∈Z，所以x＝＋，k∈Z，当k＝0时，x＝；当k＝1时，x＝；当k＝2时，x＝，均满足题意，所以函数f(x)在[0，π]的零点个数为3.
答案 3
6.(2019·西安调研)方程2x＋3x＝k的解在[1，2)内，则k的取值范围是________.
解析 令函数f(x)＝2x＋3x－k，则f(x)在R上是增函数.当方程2x＋3x＝k的解在(1，2)内时，f(1)·f(2)<0，即(5－k)(10－k)<0，解得5
又当f(1)＝0时，k＝5.则方程2x＋3x＝k的解在[1，2)内，k的取值范围是[5，10).
答案 [5，10)
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考点一 函数零点所在区间的判定
【例1】 (1)设f(x)＝ln x＋x－2，则函数f(x)零点所在的区间为( )
A.(0，1) B.(1，2)
C.(2，3) D.(3，4)
(2)设函数y＝x3与y＝的图象的交点为(x0，y0)，若x0∈(n，n＋1)，n∈N，则x0所在的区间是________.
解析 (1)因为y＝ln x与y＝x－2在(0，＋∞)上都是增函数，
所以f(x)＝ln x＋x－2在(0，＋∞)上是增函数，
又f(1)＝ln 1＋1－2＝－1<0，f(2)＝ln 2>0，
根据零点存在性定理，可知函数f(x)＝ln x＋x－2有唯一零点，且零点在区间(1，2)内.
(2)设f(x)＝x3－，则x0是函数f(x)的零点，在同一坐标系下画出函数y＝x3与y＝的图象如图所示.
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因为f(1)＝1－＝－1<0，
f(2)＝8－＝7>0，
所以f(1)f(2)<0，所以x0∈(1，2).
答案 (1)B (2)(1，2)
规律方法 确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法：
(1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点.
(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.
【训练1】 (1)若aA.(a，b)和(b，c)内 B.(－∞，a)和(a，b)内
C.(b，c)和(c，＋∞)内 D.(－∞，a)和(c，＋∞)
(2)函数f(x)＝ln x－的零点所在的区间为( )
A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，4)
解析 (1)∵a0，
f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0，
由函数零点存在性定理可知：在区间(a，b)，(b，c)内分别存在零点，又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点；因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c)内.
(2)易知f(x)＝ln x－在定义域(0，＋∞)上是增函数，又f(1)＝－2<0，f(2)＝ln 2－>0.
根据零点存在性定理，可知函数f(x)＝ln x－有唯一零点，且在区间(1，2)内.
答案 (1)A (2)B
考点二 确定函数零点的个数
【例2】 (1)(一题多解)函数f(x)＝的零点个数为( )
A.3 B.2 C.1 D.0
(2)(2019·安庆二模)定义在R上的函数f(x)，满足f(x)＝且f(x＋1)＝f(x－1)，若g(x)＝3－log2x，则函数F(x)＝f(x)－g(x)在(0，＋∞)内的零点有( )
A.3个 B.2个 C.1个 D.0个
解析 (1)法一 由f(x)＝0得或
解得x＝－2或x＝e.
因此函数f(x)共有2个零点.
法二 函数f(x)的图象如图1所示，
由图象知函数f(x)共有2个零点.
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图1
(2)由f(x＋1)＝f(x－1)，即f(x＋2)＝f(x)，知y＝f(x)的周期T＝2.
在同一坐标系中作出y＝f(x)与y＝g(x)的图象(如图2).
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图2
由于两函数图象有2个交点.
所以函数F(x)＝f(x)－g(x)在(0，＋∞)内有2个零点.
答案 (1)B (2)B
规律方法 函数零点个数的判断方法：
(1)直接求零点，令f(x)＝0，有几个解就有几个零点；
(2)零点存在性定理，要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数；
(3)利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数.
【训练2】 (1)函数f(x)＝3x|ln x|－1的零点个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
(2)(2019·桂林调研)设函数f(x)＝2|x|＋x2－3，则函数y＝f(x)的零点个数是( )
A.4 B.3 C.2 D.1
解析 (1)函数f(x)＝3x|ln x|－1的零点数的个数即函数g(x)＝|ln x|与函数h(x)＝图象的交点个数.
作出函数g(x)＝|ln x|和函数h(x)＝的图象，由图象可知，两函数图象有两个交点，故函数f(x)＝3x|ln x|－1有2个零点.
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(2)易知f(x)是偶函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋x2－3，
∴x≥0时，f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f(1)＝0，
∴x＝1是函数y＝f(x)在(0，＋∞)上唯一零点.
从而x＝－1是y＝f(x)在(－∞，0)内的零点.
故y＝f(x)有两个零点.
答案 (1)B (2)C
考点三 函数零点的应用
【例3】 (1)已知函数f(x)＝(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，则a的取值范围是( )
A.(－∞，－1) B.(－∞，1)
C.(－1，0) D.[－1，0)
(2)(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是( )
A.[－1，0) B.[0，＋∞)
C.[－1，＋∞) D.[1，＋∞)
解析 (1)当x>0时，f(x)＝3x－1有一个零点x＝.
因此当x≤0时，f(x)＝ex＋a＝0只有一个实根，∴a＝－ex(x≤0)，则－1≤a<0.
(2)函数g(x)＝f(x)＋x＋a存在2个零点，即关于x的方程f(x)＝－x－a有2个不同的实根，即函数f(x)的图象与直线y＝－x－a有2个交点.作出直线y＝－x－a与函数f(x)的图象，如图所示，由图可知，－a≤1，解得a≥－1，故选C.
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答案 (1)D (2)C
规律方法 1.已知函数的零点求参数，主要方法有：(1)直接求方程的根，构建方程(不等式)求参数；(2)数形结合；(3)分离参数，转化为求函数的最值.
2.已知函数零点的个数求参数范围，常利用数形结合法将其转化为两个函数的图象的交点个数问题，需准确画出两个函数的图象，利用图象写出满足条件的参数范围.
【训练3】 (2018·浙江卷)已知λ∈R，函数f(x)＝
(1)当λ＝2时，不等式f(x)<0的解集是________.
(2)若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是________.
解析 (1)若λ＝2，当x≥2时，令x－4<0，得2≤x<4；当x<2时，令x2－4x＋3<0，解得1(2)令f(x)＝0，当x≥λ时，x＝4，
当x<λ时，x2－4x＋3＝0，
解得x＝1或x＝3.
因为函数f(x)恰有2个零点，
结合如图函数的图象知，1<λ≤3或λ>4.
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答案 (1)(1，4) (2)(1，3]∪(4，＋∞)
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[思维升华]
1.转化思想在函数零点问题中的应用
方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题.
2.判断函数零点个数的常用方法
(1)通过解方程来判断.
(2)根据零点存在性定理，结合函数性质来判断.
(3)将函数y＝f(x)－g(x)的零点个数转化为函数y＝f(x)与y＝g(x)图象公共点的个数来判断.
[易错防范]
1.函数的零点不是点，是方程f(x)＝0的实根.
2.函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件.
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基础巩固题组
(建议用时：35分钟)
一、选择题
1.已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为( )
A.，0 B.－2，0 C. D.0
解析 当x≤1时，令f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；
当x>1时，令f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝，
又因为x>1，所以此时方程无解.
综上函数f(x)的零点只有0.
答案 D
2.(2019·岳阳二模)已知函数f(x)＝则函数y＝f(x)＋3x的零点个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
解析 函数y＝f(x)＋3x的零点个数就是y＝f(x)与y＝－3x两个函数图象的交点个数，如图所示，由函数的图象可知，零点个数为2.
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答案 C
3.函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是( )
A.(1，3) B.(1，2)
C.(0，3) D.(0，2)
解析 因为函数f(x)＝2x－－a在区间(1，2)上单调递增，又函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则有f(1)·f(2)<0，
所以(－a)(4－1－a)<0，即a(a－3)<0，所以0答案 C
4.函数f(x)＝ln x＋x－－2的零点所在的区间是( )
A. B.(1，2) C.(2，e) D.(e，3)
解析 易知f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(2)＝ln 2－<0，f(e)＝＋e－－2>0.∴f(2)f(e)<0，故f(x)的零点在区间(2，e)内.
答案 C
5.(2019·湖北七校联考)已知f(x)是奇函数且是R上的单调函数，若函数y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，则实数λ的值是( )
A. B. C.－ D.－
解析 令y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0，则f(2x2＋1)＝－f(λ－x)＝f(x－λ)，因为f(x)是R上的单调函数，
所以2x2＋1＝x－λ，只有一个实根，即2x2－x＋1＋λ＝0只有一个实根，则Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－.
答案 C
6.已知函数f(x)＝2x＋x＋1，g(x)＝log2x＋x＋1，h(x)＝log2x－1的零点依次为a，b，c，则( )
A.aC.b解析 令函数f(x)＝2x＋x＋1＝0，可知x<0，即a<0；
令g(x)＝log2x＋x＋1＝0，则0令h(x)＝log2x－1＝0，可知x＝2，即c＝2.显然a答案 A
7.已知函数f(x)＝则使方程x＋f(x)＝m有解的实数m的取值范围是( )
A.(1，2) B.(－∞，－2]
C.(－∞，1)∪(2，＋∞) D.(－∞，1]∪[2，＋∞)
解析 当x≤0时，x＋f(x)＝m，即x＋1＝m，解得m≤1；当x>0时，x＋f(x)＝m，即x＋＝m，解得m≥2，即实数m的取值范围是(－∞，1]∪[2，＋∞).
答案 D
8.(2019·北京燕博园联考)已知函数f(x)＝若函数y＝f(x)－k有三个不同的零点，则实数k的取值范围是( )
A.(－2，2) B.(－2，1) C.(0，2) D.(1，3)
解析 当x<0时，f(x)＝x3－3x，则f′(x)＝3x2－3，
令f′(x)＝0，∴x＝±1(舍去正根)，
故f(x)在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，0)上单调递减.
又f(x)＝ln(x＋1)在(0，＋∞)上单调递增.
则函数f(x)图象如图所示.
f(x)极大值＝f(－1)＝2，且f(0)＝0，
故当k∈(0，2)时，y＝f(x)－k有三个不同零点.
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答案 C
二、填空题
9.函数f(x)＝x－的零点个数为________.
解析 令f(x)＝0，得x＝.在同一坐标系中画出函数y＝x与y＝的图象.
如图所示，由图可知两函数图象有1个交点，故f(x)的零点只有一个.
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答案 1
10.在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，则a的值为________.
解析 函数y＝|x－a|－1的图象如图所示，因为直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，故2a＝－1，解得a＝－.
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答案 －
11.已知f(x)＝则函数y＝2[f(x)]2－3f(x)＋1的零点个数是________.
解析 由2[f(x)]2－3f(x)＋1＝0得f(x)＝或f(x)＝1，
作出函数y＝f(x)的图象.
由图象知y＝与y＝f(x)的图象有2个交点，y＝1与y＝f(x)的图象有3个交点.
因此函数y＝2[f(x)]2－3f(x)＋1的零点有5个.
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答案 5
12.(2018·天津卷)已知a>0，函数f(x)＝
若关于x的方程f(x)＝ax恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是________.
解析 当x≤0时，由x2＋2ax＋a＝ax，得a＝－x2－ax；当x>0时，由－x2＋2ax－2a＝ax，得2a＝－x2＋ax.
令g(x)＝
作出y＝a(x≤0)，y＝2a(x>0)，函数g(x)的图象如图所示，g(x)的最大值为－＋＝，由图象可知，若f(x)＝ax恰有2个互异的实数解，则a<<2a，解得4 INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\J1.TIF" \* MERGEFORMAT
答案 (4，8)
能力提升题组
(建议用时：15分钟)
13.(2019·永州模拟)已知函数f(x)＝a＋log2(x2＋a)(a>0)的最小值为8，则实数a的取值范围是( )
A.(5，6) B.(7，8) C.(8，9) D.(9，10)
解析 由于f(x)在[0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0)上是减函数，
∴f(x)min＝f(0)＝a＋log2a＝8.
令g(a)＝a＋log2a－8，a>0.
则g(5)＝log25－3<0，g(6)＝log26－2>0，
又g(a)在(0，＋∞)上是增函数，
∴实数a所在的区间为(5，6).
答案 A
14.(2018·郑州一模)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[－1，1]时，f(x)＝x2.令g(x)＝f(x)－kx－k，若在区间[－1，3]内，函数g(x)＝0有4个不相等实根，则实数k的取值范围是( )
A.(0，＋∞) B.
C. D.
解析 令g(x)＝0，得f(x)＝k(x＋1)，
由f(x)的周期性，作出y＝f(x)在[－1，3]上的图象如图所示.
设直线y＝k1(x＋1)经过点(3，1)，则k1＝.
∵直线y＝k(x＋1)经过定点(－1，0)，且由题意知直线y＝k(x＋1)与y＝f(x)的图象有4个交点，∴0 INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\4S263.TIF" \* MERGEFORMAT
答案 C
15.已知函数f(x)＝ex－e－x＋4，若方程f(x)＝kx＋4(k>0)有三个不同的实根x1，x2，x3，则x1＋x2＋x3＝________.
解析 易知y＝ex－e－x为奇函数，且其图象向上平移4个单位，得y＝f(x)的图象.
所以y＝f(x)的图象关于点(0，4)对称，
又y＝kx＋4过点(0，4)且关于(0，4)对称.
∴方程f(x)＝kx＋4的三个根中有一个为0，且另两根之和为0.
因此x1＋x2＋x3＝0.
答案 0
16.(2019·邯郸模拟)若曲线y＝log2(2x－m)(x>2)上至少存在一点与直线y＝x＋1上的一点关于原点对称，则m的取值范围为________.
解析 因为直线y＝x＋1关于原点对称的直线为y＝x－1，依题意方程log2(2x－m)＝x－1在(2，＋∞)上有解，即m＝2x－1在x∈(2，＋∞)上有解，∴m>2.
又2x－m>0恒成立，则m≤(2x)min＝4，
所以实数m的取值范围为(2，4].
答案 (2，4]
函数模型及其应用
最新考纲 1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义；2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.
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知 识 梳 理
1.指数、对数、幂函数模型性质比较
函数 性质 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同
2.几种常见的函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a、b为常数，a≠0)
二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
与指数函数相关模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
与对数函数相关模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
与幂函数相关模型 f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0)
[微点提醒]
1.“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长速度缓慢.
2.充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键.
3.易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性.
基 础 自 测
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1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利.( )
(2)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大.( )
(3)不存在x0，使ax0(4)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xa(a>0)的增长速度.( )
解析 (1)9折出售的售价为100(1＋10%)×＝99元.
∴每件赔1元，(1)错.
(2)中，当x＝2时，2x＝x2＝4.不正确.
(3)中，如a＝x0＝，n＝，不等式成立，因此(3)错.
答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
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2.(必修1P107A1改编)在某个物理实验中，测得变量x和变量y的几组数据，如下表：
x 0.50 0.99 2.01 3.98
y －0.99 0.01 0.98 2.00
则对x，y最适合的拟合函数是( )
A.y＝2x B.y＝x2－1
C.y＝2x－2 D.y＝log2x
解析 根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B，C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意.
答案 D
3.(必修1P59A6改编)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2017年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)( )
A.2020年 B.2021年
C.2022年 D.2023年
解析 设经过n年资金开始超过200万元，
即130(1＋12%)n>200.
两边取对数，得n·lg1.12>lg 2－lg 1.3，
∴n>≈＝，∴n≥4，
∴从2021年开始，该公司投入的研发资金开始超过200万元.
答案 B
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4.(2018·昆明诊断)生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝x2＋2x＋20(万元).一万件售价是20万元，为获取最大利润，该企业一个月应生产该商品数量为( )
A.36万件 B.18万件
C.22万件 D.9万件
解析 利润L(x)＝20x－C(x)＝－(x－18)2＋142，当x＝18万件时，L(x)有最大值.
答案 B
5.(2018·黄冈检测)已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是( )
A.f(x)>g(x)>h(x) B.g(x)>f(x)>h(x)
C.g(x)>h(x)>f(x) D.f(x)>h(x)>g(x)
解析 在同一坐标系内，根据函数图象变化趋势，当x∈(4，＋∞)时，增长速度由大到小依次g(x)>f(x)>h(x).
答案 B
6.(2019·北京海淀区月考)某公司为了发展业务制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额x为8万元时，奖励1万元.销售额x为64万元时，奖励4万元.若公司拟定的奖励模型为y＝alog4x＋b.某业务员要得到8万元奖励，则他的销售额应为________万元.
解析 依题意解得
∴y＝2log4x－2，
令2log4x－2＝8，得x＝45＝1 024.
答案 1 024
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\考点聚焦突破.tif" \* MERGEFORMAT
考点一 利用函数的图象刻画实际问题
【例1】 (2017·全国Ⅲ卷)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图.
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\17GS23.TIF" \* MERGEFORMAT
根据该折线图，下列结论错误的是( )
A.月接待游客量逐月增加
B.年接待游客量逐年增加
C.各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月
D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳
解析 由题图可知，2014年8月到9月的月接待游客量在减少，则A选项错误.
答案 A
规律方法 1.当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选出符合实际情况的答案.
2.图形、表格能直观刻画两变量间的依存关系，考查了数学直观想象核心素养.
【训练1】 高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图象是( )
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\4S469.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\4S470.TIF" \* MERGEFORMAT
解析 v＝f(h)是增函数，且曲线的斜率应该是先变大后变小，故选B.
答案 B
考点二 已知函数模型求解实际问题
【例2】 为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层，体育馆要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10，k为常数)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.
(1)求k的值及f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小？并求最小值.
解 (1)当x＝0时，C＝8，∴k＝40，
∴C(x)＝(0≤x≤10)，
∴f(x)＝6x＋＝6x＋(0≤x≤10).
(2)由(1)得f(x)＝2(3x＋5)＋－10.
令3x＋5＝t，t∈[5，35]，
则y＝2t＋－10≥2－10＝70(当且仅当2t＝，即t＝20时等号成立)，
此时x＝5，因此f(x)的最小值为70.
∴隔热层修建5 cm厚时，总费用f(x)达到最小，最小值为70万元.
规律方法 1.求解已知函数模型解决实际问题的关注点.
(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数.
(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.
2.利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验.
【训练2】 已知某服装厂生产某种品牌的衣服，销售量q(x)(单位：百件)关于每件衣服的利润x(单位：元)的函数解析式为q(x)＝求该服装厂所获得的最大效益是多少元？
解 设该服装厂所获效益为f(x)元，
则f(x)＝100xq(x)＝
当0当20则f′(x)＝9 000－450·，
令f′(x)＝0，∴x＝80.
当200，f(x)单调递增，当80≤x≤180时，f′(x)≤0，f(x)单调递减，
所以当x＝80时，f(x)有极大值，也是最大值240 000.
由于120 000<240 000.
故该服装厂所获得的最大效益是240 000元.
考点三 构造函数模型求解实际问题 INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\箭头.TIF" \* MERGEFORMAT 多维探究
角度1 二次函数、分段函数模型
【例3－1】 “活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v(单位：千克/年)是养殖密度x(单位：尾/立方米)的函数.当x不超过4尾/立方米时，v的值为2千克/年；当4(1)当0(2)当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？并求出最大值.
解 (1)由题意得当0显然v＝ax＋b在(4，20]内是减函数，
由已知得解得
所以v＝－x＋.
故函数v＝
(2)设年生长量为f(x)千克/立方米，依题意，
由(1)得f(x)＝
当0故f(x)max＝f(4)＝4×2＝8；
当4所以当0故当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米.
角度2 构建指数(对数)型函数模型
【例3－2】 一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的.
(1)求每年砍伐面积的百分比；
(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
解 (1)设每年砍伐面积的百分比为x(0则a(1－x)10＝a，即(1－x)10＝，
解得x＝1－.
故每年砍伐面积的百分比为1－.
(2)设经过m年剩余面积为原来的，
则a(1－x)m＝a，把x＝1－代入，
即＝，
即＝，解得m＝5.
故到今年为止，该森林已砍伐了5年.
规律方法 1.指数函数、对数函数模型解题，关键是对模型的判断，先设定模型，将有关数据代入验证，确定参数，求解时要准确进行指、对数运算，灵活进行指数与对数的互化.
2.实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车计价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解.但应关注以下两点：
①分段要简洁合理，不重不漏；②分段函数的最值是各段的最大(或最小)值中的最大(或最小)值.
【训练3】 (1)某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10 m3的，按每立方米m元收费；用水超过10 m3的，超过部分加倍收费.某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水为( )
A.13 m3 B.14 m3 C.18 m3 D.26 m3
(2)(2017·北京卷)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是( )
(参考数据：lg 3≈0.48)
A.1033 B.1053 C.1073 D.1093
解析 (1)设该职工用水x m3时，缴纳的水费为y元，
由题意得y＝
则10m＋(x－10)·2m＝16m，解得x＝13.
(2)M≈3361，N≈1080，≈，
则lg≈lg＝lg 3361－lg1080＝361lg 3－80≈93.
∴≈1093.
答案 (1)A (2)D
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\反思与感悟A.TIF" \* MERGEFORMAT
[思维升华]
解函数应用问题的步骤
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
(3)解模：求解数学模型，得出数学结论；
(4)还原：将数学问题还原为实际问题.
以上过程用框图表示如下：
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\4S264.TIF" \* MERGEFORMAT
[易错防范]
1.解应用题思路的关键是审题，不仅要明白、理解问题讲的是什么，还要特别注意一些关键的字眼(如“几年后”与“第几年后”，学生常常由于读题不谨慎而漏读和错读，导致题目不会做或函数解析式写错，故建议复习时务必养成良好的审题习惯.
2.在解应用题建模后一定要注意定义域，建模的关键是注意寻找量与量之间的相互依赖关系.
3.解决完数学模型后，注意转化为实际问题写出总结答案.
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\分层限时训练.tif" \* MERGEFORMAT
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1.一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(小时)的函数关系用图象表示为图中的( )
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\4S267.TIF" \* MERGEFORMAT
解析 由题意得关系式为h＝20－5t(0≤t≤4).图象应为B项.
答案 B
2.设某公司原有员工100人从事产品A的生产，平均每人每年创造产值t万元(t为正常数).公司决定从原有员工中分流x(0A.15 B.16 C.17 D.18
解析 由题意，分流前每年创造的产值为100t(万元)，分流x人后，每年创造的产值为(100－x)(1＋1.2x%)t，则由
解得0因为x∈N*，所以x的最大值为16.
答案 B
3.某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润(单位：万元)为y1＝4.1x－0.1x2，在B地的销售利润(单位：万元)为y2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是( )
A.10.5万元 B.11万元
C.43万元 D.43.025万元
解析 设公司在A地销售该品牌的汽车x辆，则在B地销售该品牌的汽车(16－x)辆，所以可得利润y＝4.1x－0.1x2＋2(16－x)＝－0.1x2＋2.1x＋32＝－0.1＋0.1×＋32.因为x∈[0，16]且x∈N，所以当x＝10或11时，总利润取得最大值43万元.
答案 C
4.我们处在一个有声世界里，不同场合，人们对声音的音量会有不同要求.音量大小的单位是分贝(dB)，对于一个强度为I的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：η＝10lg(其中I0是人耳能听到声音的最低声波强度)，则70 dB的声音的声波强度I1是60 dB的声音的声波强度I2的( )
A.倍 B.10倍
C.10倍 D.ln倍
解析 由η＝10lg 得I＝I010，所以I1＝I0107，I2＝I0106，所以＝10，
所以70 dB的声音的声波强度I1是60 dB的声音的声波强度I2的10倍.
答案 C
5.当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了.若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是( )
A.8 B.9 C.10 D.11
解析 设该死亡生物体内原有的碳14的含量为1，则经过n个“半衰期”后的含量为，由<，得n≥10.
所以，若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它至少需要经过10个“半衰期”.
答案 C
二、填空题
6.(2017·江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________.
解析 一年的总运费与总存储费用之和为y＝6×＋4x＝＋4x≥2＝240，当且仅当＝4x，即x＝30时，y有最小值240.
答案 30
7.“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的.已知某品牌商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R＝a(a为常数)，广告效应为D＝a－A.那么精明的商人为了取得最大广告效应，投入的广告费应为________(用常数a表示).
解析 令t＝(t≥0)，则A＝t2，所以D＝at－t2＝－＋a2.所以当t＝a，即A＝a2时，D取得最大值.
答案 a2
8.一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，
t min后剩余的细沙量为y＝ae－bt(cm3)，经过8 min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min，容器中的沙子只有开始时的八分之一.
解析 当t＝8时，y＝ae－8b＝a，所以e－8b＝.
容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y＝ae－bt＝a，e－bt＝＝(e－8b)3＝e－24b，则t＝24.
所以再经过16 min容器中的沙子只有开始时的八分之一.
答案 16
三、解答题
9.某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3(1)求a的值；
(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.
解 (1)因为x＝5时，y＝11，所以＋10＝11，a＝2.
(2)由(1)可知，该商品每日的销售量为y＝＋10(x－6)2，
所以商场每日销售该商品所获得的利润为
f(x)＝(x－3)＝2＋10(x－3)(x－6)2，3从而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)·(x－6)，
于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (3，4) 4 (4，6)
f′(x) ＋ 0 －
f(x) 单调递增 极大值42 单调递减
由上表可得，x＝4时，函数f(x)取得极大值，也是最大值，
所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.
故当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.
10.候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q之间的关系为v＝a＋blog3(其中a，b是实数).据统计，该种鸟类在静止时其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s.
(1)求出a，b的值；
(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？
解 (1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s，此时耗氧量为30个单位，故有a＋blog3＝0，
即a＋b＝0；当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s，故有a＋blog3＝1，整理得a＋2b＝1.
解方程组得
(2)由(1)知，v＝－1＋log3.所以要使飞行速度不低于2 m/s，则有v≥2，即－1＋log3≥2，即log3≥3，解得Q≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s，则其耗氧量至少要270个单位.
能力提升题组
(建议用时：20分钟)
11.将甲桶中的a L水缓慢注入空桶乙中，t min后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y＝aent.假设过5 min后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m min甲桶中的水只有 L，则m的值为( )
A.5 B.8 C.9 D.10
解析 ∵5 min后甲桶和乙桶的水量相等，
∴函数y＝f(t)＝aent满足f(5)＝ae5n＝a，
可得n＝ln，∴f(t)＝a·，
因此，当k min后甲桶中的水只有 L时，
f(k)＝a·＝a，即＝，
∴k＝10，由题可知m＝k－5＝5.
答案 A
12.某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n次涨停(每次上涨10%)，又经历了n次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( )
A.略有盈利 B.略有亏损
C.没有盈利也没有亏损 D.无法判断盈亏情况
解析 设该股民购这支股票的价格为a元，则经历n次涨停后的价格为a(1＋10%)n＝a×1.1n元，经历n次跌停后的价格为a×1.1n×(1－10%)n＝a×1.1n×0.9n＝a×(1.1×0.9)n＝0.99n·a＜a，故该股民这支股票略有亏损.
答案 B
13.某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时.
解析 由已知条件，得192＝eb，
又48＝e22k＋b＝eb·(e11k)2，
∴e11k＝＝＝.
设该食品在33 ℃的保鲜时间是t小时，
则t＝e33k＋b＝192 e33k＝192(e11k)3＝192×＝24.
答案 24
14.某企业去年年底给全部的800名员工共发放2 000万元年终奖，该企业计划从今年起，10年内每年发放的年终奖都比上一年增加60万元，员工每年净增a人(a∈N*).
(1)若a＝10，在计划时间内，该企业的人均年终奖是否会超过3万元？
(2)为使人均年终奖年年有增长，该企业每年员工的净增量不能超过多少人？
解 设从今年起的第x年(今年为第1年)该企业人均发放年终奖为y万元.
则y＝(a∈N*，1≤x≤10，x∈N*).
(1)当a＝10时，假设该企业的人均年终奖会超过3万元，则>3，解得x>>10.
所以，10年内该企业的人均年终奖不会超过3万元.
(2)任取x1，x2∈N*，且1≤x1则f(x2)－f(x1)＝－＝>0，
所以60×800－2 000a>0，解得a<24.
所以，为使人均年终奖年年有增长，该企业每年员工的净增量不能超过23人.
函数的图象
最新考纲 1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数；2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题.
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知 识 梳 理
1.利用描点法作函数的图象
步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线.
2.利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换
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(2)对称变换
y＝f(x)的图象y＝－f(x)的图象；
y＝f(x)的图象y＝f(－x)的图象；
y＝f(x)的图象y＝－f(－x)的图象；
y＝ax(a>0，且a≠1)的图象y＝logax(a>0，且a≠1)的图象.
(3)伸缩变换
y＝f(x)y＝f(ax).
y＝f(x)y＝Af(x).
(4)翻折变换
y＝f(x)的图象y＝|f(x)|的图象；
y＝f(x)的图象y＝f(|x|)的图象.
[微点提醒]
记住几个重要结论
(1)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称.
(2)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)中心对称.
(3)若函数y＝f(x)对定义域内任意自变量x满足：f(a＋x)＝f(a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.
基 础 自 测
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\疑误辨析.TIF" \* MERGEFORMAT
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)函数y＝f(1－x)的图象，可由y＝f(－x)的图象向左平移1个单位得到.( )
(2)函数y＝f(x)的图象关于y轴对称即函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称.( )
(3)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝f(|x|)的图象与y＝|f(x)|的图象相同.( )
(4)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称.( )
解析 (1)y＝f(－x)的图象向左平移1个单位得到y＝f(－1－x)，故(1)错.
(2)两种说法有本质不同，前者为函数的图象自身关于y轴对称，后者是两个函数的图象关于y轴对称，故(2)错.
(3)令f(x)＝－x，当x∈(0，＋∞)时，y＝|f(x)|＝x，y＝f(|x|)＝－x，两函数图象不同，故(3)错.
答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
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2.(必修1P24A7改编)下列图象是函数y＝的图象的是( )
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\4S277.TIF" \* MERGEFORMAT
解析 其图象是由y＝x2图象中x<0的部分和y＝x－1图象中x≥0的部分组成.
答案 C
3.(必修1P23T2改编)小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图象是( )
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\4S278.TIF" \* MERGEFORMAT
解析 小明匀速运动时，所得图象为一条线段，且距离学校越来越近，排除A；因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，排除D；后来为了赶时间加快速度行驶，排除B.只有C满足题意.
答案 C
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4.(2019·西安月考)函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝ex关于y轴对称，则f(x)的解析式为( )
A.f(x)＝ex＋1 B.f(x)＝ex－1
C.f(x)＝e－x＋1 D.f(x)＝e－x－1
解析 依题意，与曲线y＝ex关于y轴对称的曲线是y＝e－x，
于是f(x)相当于y＝e－x向左平移1个单位的结果，∴f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1.
答案 D
5.(一题多解)(2018·全国Ⅲ卷)下列函数中，其图象与函数y＝ln x的图象关于直线x＝1对称的是( )
A.y＝ln(1－x) B.y＝ln(2－x)
C.y＝ln(1＋x) D.y＝ln(2＋x)
解析 法一 设所求函数图象上任一点的坐标为(x，y)，则其关于直线x＝1的对称点的坐标为(2－x，y)，由对称性知点(2－x，y)在函数f(x)＝ln x的图象上，所以y＝ln(2－x).
法二 由题意知，对称轴上的点(1，0)在函数y＝ln x的图象上也在所求函数的图象上，代入选项中的函数表达式逐一检验，排除A，C，D，选B.
答案 B
6.(2019·南昌检测)已知函数f(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝log f(x)的定义域是________.
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\5S59.TIF" \* MERGEFORMAT
解析 当f(x)>0时，函数g(x)＝log f(x)有意义，由函数f(x)的图象知满足f(x)>0时，x∈(2，8].
答案 (2，8]
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考点一 作函数的图象
【例1】 作出下列函数的图象：
(1)y＝；(2)y＝|log2(x＋1)|；
(3)y＝x2－2|x|－1.
解 (1)先作出y＝的图象，保留y＝图象中x≥0的部分，再作出y＝的图象中x>0部分关于y轴的对称部分，即得y＝的图象，如图①实线部分.
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\F27.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\F27A.TIF" \* MERGEFORMAT
(2)将函数y＝log2x的图象向左平移一个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|log2(x＋1)|的图象，如图②.
(3)∵y＝且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，得图象如图③.
规律方法 作函数图象的一般方法
(1)直接法.当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出.
(2)图象变换法.若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.
【训练1】 分别作出下列函数的图象：
(1)y＝|lg x|；(2)y＝sin |x|.
解 (1)先作出函数y＝lg x的图象，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得函数y＝|lg x|的图象，如图①实线部分.
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\F28A.TIF" \* MERGEFORMAT
(2)当x≥0时，y＝sin|x|与y＝sin x的图象完全相同，又y＝sin|x|为偶函数，图象关于y轴对称，其图象如图②.
考点二 函数图象的辨识
【例2】 (1)(一题多解)(2017·全国Ⅲ卷)函数y＝1＋x＋的部分图象大致为( )
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\17GW20.TIF" \* MERGEFORMAT
(2)(2016·全国Ⅰ卷)函数y＝2x2－e|x|在[－2，2]的图象大致为( )
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\F28B.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\F28C.TIF" \* MERGEFORMAT
解析 (1)法一 易知g(x)＝x＋为奇函数，故y＝1＋x＋的图象关于点(0，1)对称，排除C；当x∈(0，1)时，y>0，排除A；当x＝π时，y＝1＋π，排除B，选项D满足.
法二 当x＝1时，f(1)＝1＋1＋sin 1＝2＋sin 1>2，排除A，C；又当x→＋∞时，y→＋∞，排除B，而D满足.
(2)f(x)＝2x2－e|x|，x∈[－2，2]是偶函数，
又f(2)＝8－e2∈(0，1)，排除选项A，B；
当x≥0时，f(x)＝2x2－ex，f′(x)＝4x－ex，
所以f′(0)＝－1<0，f′(2)＝8－e2>0，
所以函数f(x)在(0，2)上有解，
故函数f(x)在[0，2]上不单调，排除C，故选D.
答案 (1)D (2)D
规律方法 1.抓住函数的性质，定性分析：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从周期性，判断图象的循环往复；(4)从函数的奇偶性，判断图象的对称性.
2.抓住函数的特征，定量计算：
从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题.
【训练2】 (2018·浙江卷)函数y＝2|x|·sin 2x的图象可能是( )
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\18GS20.tif" \* MERGEFORMAT
解析 设f(x)＝2|x|sin 2x，其定义域为R且关于坐标原点对称，又f(－x)＝2|－x|·sin(－2x)＝－f(x)，所以y＝f(x)是奇函数，故排除选项A，B；令f(x)＝0，所以sin 2x＝0，所以2x＝kπ(k∈Z)，即x＝(k∈Z)，故排除选项C.故选D.
答案 D
考点三 函数图象的应用 INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\箭头.TIF" \* MERGEFORMAT 多维探究
角度1 研究函数的性质
【例3－1】 已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是( )
A.f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞)
B.f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1)
C.f(x)是奇函数，递减区间是(－1，1)
D.f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0)
解析 将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值得
f(x)＝
画出函数f(x)的图象，如图，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1，1)上是减少的.
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\4S418.TIF" \* MERGEFORMAT
答案 C
角度2 求不等式的解集
【例3－2】 已知函数y＝f(x)的图象是如图所示的折线ACB，且函数g(x)＝log2(x＋1)”，则不等式f(x)≥g(x)的解集是( )
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\4S283.TIF" \* MERGEFORMAT
A.{x|－1C.{x|－1解析 令g(x)＝y＝log2(x＋1)，
作出函数g(x)图象如图，
由得
∴结合图象知不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集为{x|－1 INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\S6.TIF" \* MERGEFORMAT
答案 C
角度3 求参数的取值范围
【例3－3】 (2019·合肥一中质检)已知函数f(x)＝其中m>0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________.
解析 在同一坐标系中，作y＝f(x)与y＝b的图象.
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\F59.TIF" \* MERGEFORMAT
当x>m时，x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－m2，
∴要使方程f(x)＝b有三个不同的根，则有4m－m2即m2－3m>0.又m>0，解得m>3.
答案 (3，＋∞)
规律方法 1.利用函数的图象研究函数的性质对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系.
2.利用函数的图象可解决某些方程和不等式的求解问题，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标；不等式f(x)【训练3】 (1)(2019·昆明检测)已知f(x)＝2x－1，g(x)＝1－x2，规定：当|f(x)|≥g(x)时，h(x)＝|f(x)|；当|f(x)|＜g(x)时，h(x)＝－g(x)，则h(x)( )
A.有最小值－1，最大值1
B.有最大值1，无最小值
C.有最小值－1，无最大值
D.有最大值－1，无最小值
(2)已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是________.
解析 (1)画出y＝|f(x)|＝|2x－1|与y＝g(x)＝1－x2的图象，它们交于A，B两点.由“规定”，在A，B两侧，|f(x)|≥g(x)，故h(x)＝|f(x)|；在A，B之间，|f(x)| INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\G2.TIF" \* MERGEFORMAT
综上可知，y＝h(x)的图象是图中的实线部分，因此h(x)有最小值－1，无最大值.
(2)先作出函数f(x)＝|x－2|＋1的图象，如图所示，当直线g(x)＝kx与直线AB平行时斜率为1，当直线g(x)＝kx过A点时斜率为，故f(x)＝g(x)有两个不相等的实根时，k的取值范围为.
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\4S419.TIF" \* MERGEFORMAT
答案 (1)C (2)
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\反思与感悟A.TIF" \* MERGEFORMAT
[思维升华]
1.识图
对于给定函数的图象，要从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图象与函数解析式中参数的关系.
2.用图
借助函数图象，可以研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等性质.利用函数的图象，还可以判断方程f(x)＝g(x)的解的个数，求不等式的解集等.
[易错防范]
1.图象变换是针对自变量x而言的，如从f(－2x)的图象到f(－2x＋1)的图象是向右平移个单位，先作如下变形f(－2x＋1)＝f，可避免出错.
2.明确一个函数的图象关于y轴对称与两个函数的图象关于y轴对称的不同，前者是自身对称，且为偶函数，后者是两个不同函数的对称关系.
3.当图形不能准确地说明问题时，可借助“数”的精确，注重数形结合思想的运用.
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\核心素养提升A.tif" \* MERGEFORMAT
直观想象——函数图象的活用
直观想象是发现和提出问题，分析和解决问题的重要手段，在数学研究的探索中，通过直观手段的运用以及借助直观展开想象，从而发现问题、解决问题的例子比比皆是，并贯穿于数学研究过程的始终，而数形结合思想是典型的直观想象范例.
类型1 根据函数图象特征，确定函数解析式
函数解析式与函数图象是函数的两种重要表示法，图象形象直观，解析式易于研究函数性质，可根据需要，相互转化.
【例1】 已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可以是( )
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\4S292.TIF" \* MERGEFORMAT
A.f(x)＝ B.f(x)＝
C.f(x)＝－1 D.f(x)＝x－
解析 由函数图象可知，函数f(x)为奇函数，应排除B，C.若函数为f(x)＝x－，则x→＋∞时，f(x)→＋∞，排除D.只有选项A中f(x)＝满足.有兴趣的同学可以研究函数的性质作出判断(略).
答案 A
类型2 利用函数的图象研究函数的性质
对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系.
【例2】 (2019·安徽江淮十校联考)已知max{a，b}表示a，b两数中的最大值.若f(x)＝max{e|x|，e|x－2|}，则f(x)的最小值为________.
解析 在同一直角坐标系中，画出函数y＝e|x|，y＝e|x－2|的图象(图略)，可知f(x)＝max{e|x|，e|x－2|}＝
当x≥1时，f(x)＝ex≥e，且当x＝1时，取得最小值e；
当x<1时，f(x)＝e2－x>e.
故f(x)的最小值为f(1)＝e.
答案 e
【例3】 (2016·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)＝f(2－x)，若函数y＝|x2－2x－3|与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则xi＝( )
A.0 B.m C.2m D.4m
解析 由f(x)＝f(2－x)知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称.又y＝|x2－2x－3|＝|(x－1)2－4|的图象也关于直线x＝1对称，所以这两函数的交点也关于直线x＝1对称(图略).
不妨设x1同理有x2＋xm－1＝2，x3＋xm－2＝2，…，
又xi＝xm＋xm－1＋…＋x1，所以2xi＝(x1＋xm)＋(x2＋xm－1)＋…＋(xm＋x1)＝2m，所以xi＝m.
答案 B
评析 1.由函数图象对称性，函数y＝f(x)与y＝|x2－2x－3|图象分别关于直线x＝1对称，则两图象的交点关于x＝1对称.
2.解此类求图象交点横、纵坐标之和的问题，常利用图象的对称性求解，即找出两图象的公共对称轴或对称中心，从而得出各交点的公共对称轴或对称中心，由此得出定值求解.
类型3 利用函数的图象求解方程或不等式
若研究的方程(不等式)不能用代数法求解，但其与基本初等函数有关，常将方程(不等式)问题转化为两函数图象的交点或图象的上下位置关系，然后由图象的几何直观数形结合求解.
【例4】 (1)函数f(x)＝2sin xsin－x2的零点个数为________.
(2)已知函数f(x)＝设a∈R，若关于x的不等式f(x)≥在R上恒成立，则a的取值范围是( )
A.[－2，2] B.[－2，2]
C.[－2，2] D.[－2，2]
解析 (1)f(x)＝2sin xcos x－x2＝sin 2x－x2，函数f(x)的零点个数可转化为函数y1＝sin 2x与y2＝x2图象的交点个数，在同一坐标系中画出y1＝sin 2x与y2＝x2的图象如图所示：
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\G9.TIF" \* MERGEFORMAT
由图可知两函数图象有2个交点，则f(x)的零点个数为2.
(2)作出f(x)的图象如图所示，当y＝的图象经过点(0，2)时，可知a＝±2.当y＝＋a的图象与y＝x＋的图象相切时，由＋a＝x＋，得x2－2ax＋4＝0，由Δ＝0，并结合图象可得a＝2.
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\4S423.TIF" \* MERGEFORMAT
要使f(x)≥恒成立，只需f(0)≥|a|，当a≤0时，需满足－a≤2，即－2≤a≤0；当a>0，需满足a≤2，所以－2≤a≤2.
答案 (1)2 (2)A
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基础巩固题组
(建议用时：35分钟)
一、选择题
1.(2019·长郡中学联考)函数f(x)＝的图象大致为( )
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\4S284.TIF" \* MERGEFORMAT
解析 ∵f(－x)＝≠f(x)知f(x)的图象不关于y轴对称，排除选项B，C，
又f(2)＝＝－<0，排除A，选D.
答案 D
2.若函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，则( )
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\4S285.TIF" \* MERGEFORMAT
A.a>1，b>1
B.a>1，0C.01
D.0解析 由图象从左向右下降，知0又y＝f(x)与y轴的交点(0，1－b)，
∴0<1－b<1，则0答案 D
3.在同一平面直角坐标系中，函数y＝g(x)的图象与y＝ex的图象关于直线y＝x对称.而函数y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象关于y轴对称，若f(m)＝－1，则m的值是( )
A.－e B.－ C.e D.
解析 由题意知g(x)＝ln x，则f(x)＝ln(－x)，若f(m)＝－1，即ln(－m)＝－1，解得m＝－.
答案 B
4.(2019·黄山一模)已知图①中的图象对应的函数为y＝f(x)，则图②中的图象对应的函数为( )
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\4S286.TIF" \* MERGEFORMAT
A.y＝f(|x|) B.y＝f(－|x|)
C.y＝|f(x)| D.y＝－f(|x|)
解析 观察函数图象，图②是由图①保留y轴左侧部分图象，并将左侧图象翻折到右侧所得，因此图②中对应的函数解析式为y＝f(－|x|).
答案 B
5.已知函数f(2x＋1)是奇函数，则函数y＝f(2x)的图象成中心对称的点为( )
A.(1，0) B.(－1，0)
C. D.
解析 f(2x＋1)是奇函数，所以其图象关于原点成中心对称，而f(2x)的图象是由f(2x＋1)的图象向右平移个单位得到的，故关于点成中心对称.
答案 C
6.(2018·广州模拟)已知函数f(x)＝则函数y＝f(e－x)的大致图象是( )
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\4S288.TIF" \* MERGEFORMAT
解析 令g(x)＝f(e－x)，则g(x)＝
即g(x)＝
因此g(x)在(0，＋∞)，(－∞，0)上都是减函数，排除A，C；
又ee－0>ln(e－0)＝1，排除D，因而B项成立.
答案 B
7.(2018·衡阳二模)已知函数f(x)＝(a，b，c，d∈R)的图象如图所示，则( )
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A.a>0，b>0，c<0，d>0 B.a<0，b>0，c<0，d>0
C.a<0，b>0，c>0，d>0 D.a>0，b<0，c>0，d>0
解析 由题图可知，x≠1且x≠5，
则ax2＋bx＋c＝0的两根为1，5，
由根与系数的关系，得－＝6，＝5，
∴a，b异号，a，c同号，
又f(0)＝<0，∴c，d异号，只有B项适合.
答案 B
8.对于函数f(x)＝lg(|x－2|＋1)，给出如下三个命题：
①f(x＋2)是偶函数；②f(x)在区间(－∞，2)上是减函数，在区间(2，＋∞)上是增函数；③f(x)没有最小值.其中正确的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.0
解析 作出f(x)的图象，可知f(x)在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数；由图象可知函数存在最小值0.所以①②正确.
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答案 B
二、填空题
9.(2019·石家庄模拟)若函数y＝f(x)的图象过点(1，1)，则函数y＝f(4－x)的图象一定经过点________.
解析 由于函数y＝f(4－x)的图象可以看作y＝f(x)的图象先关于y轴对称，再向右平移4个单位长度得到.点(1，1)关于y轴对称的点为(－1，1)，再将此点向右平移4个单位长度.
所以函数y＝f(4－x)的图象过定点(3，1).
答案 (3，1)
10.如图，定义在[－1，＋∞)上的函数f(x)的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则f(x)的解析式为________.
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解析 当－1≤x≤0时，设解析式为y＝kx＋b(k≠0).
则得∴y＝x＋1.
当x>0时，设解析式为y＝a(x－2)2－1(a≠0).
∵图象过点(4，0)，∴0＝a(4－2)2－1，得a＝.
答案 f(x)＝
11.使log2(－x)＜x＋1成立的x的取值范围是________.
解析 在同一直角坐标系内作出y＝log2(－x)，y＝x＋1的图象，知满足条件的x∈(－1，0).
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答案 (－1，0)
12.若关于x的方程|x|＝a－x只有一个解，则实数a的取值范围是________.
解析 在同一个坐标系中画出函数y＝|x|与y＝a－x的图象，如图所示.由图象知当a>0时，方程|x|＝a－x只有一个解.
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答案 (0，＋∞)
能力提升题组
(建议用时：15分钟)
13.函数y＝＋在[－2，0]∪(0，2]上的大致图象为( )
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解析 当x∈(0，2]时，函数y＝＝，当x＝时，y＝0，当x∈时，y＝<0；x∈时，y＝>0，所以函数y＝在(0，2]上只有零点，又函数y＝＋在[－2，0)∪(0，2]上是偶函数.
答案 B
14.若函数f(x)＝的图象如图所示，则m的取值范围为( )
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A.(－∞，－1)
B.(－1，2)
C.(0，2)
D.(1，2)
解析 由图可知，f(x)的定义域为R，所以m>0.
又因为x→＋∞时，f(x)>0，所以2－m>0?m<2.
又因为f(x)是奇函数，所以x>0时，
f(x)＝＝，
所以f(x)在(0，)上单调递增，(，＋∞)上单调递减，所以>1?m>1，
综上，实数m的取值范围是(1，2).
答案 D
15.(2019·江淮十校联考)若直角坐标系内A，B两点满足：(1)点A，B都在f(x)图象上；(2)点A，B关于原点对称，则称点对(A，B)是函数f(x)的一个“和谐点对”，(A，B)与(B，A)可看作一个“和谐点对”.已知函数f(x)＝则f(x)的“和谐点对”有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析 作出函数y＝x2＋2x(x<0)的图象关于原点对称的图象(如图中的虚线部分)，看它与函数y＝(x≥0)的图象的交点个数即可，观察图象可得交点个数为2，即f(x)的“和谐点对”有2个.
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答案 B
16.函数f(x)＝的图象与直线y＝kx＋1交于不同的两点(x1，y1)，(x2，y2)，则y1＋y2＝________.
解析 因为f(x)＝＝＋1，所以f(x)的图象关于点(0，1)对称，而直线y＝kx＋1过(0，1)点，故两图象的交点(x1，y1)，(x2，y2)关于点(0，1)对称，所以＝1，即y1＋y2＝2.
答案 2
对数与对数函数
最新考纲 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用；2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，10，的对数函数的图象；3.体会对数函数是一类重要的函数模型；4.了解指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数.
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知 识 梳 理
1.对数的概念
如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.
2.对数的性质、换底公式与运算性质
(1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1).
(2)对数的运算法则
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①loga(MN)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM(n∈R)；
④logamMn＝logaM(m，n∈R，且m≠0).
(3)换底公式：logbN＝(a，b均大于零且不等于1).
3.对数函数及其性质
(1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).
(2)对数函数的图象与性质
a>1 0图象 INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\F16A.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\F16B.TIF" \* MERGEFORMAT
性质 定义域：(0，＋∞)
值域：R
当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)
当x>1时，y>0； 当01时，y<0； 当00
在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
4.反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称.
[微点提醒]
1.换底公式的两个重要结论
(1)logab＝；(2)logambn＝logab.
其中a>0，且a≠1，b>0，且b≠1，m，n∈R.
2.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.
3.对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，，函数图象只在第一、四象限.
基 础 自 测
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\疑误辨析.TIF" \* MERGEFORMAT
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)log2x2＝2log2x.( )
(2)函数y＝log2(x＋1)是对数函数.( )
(3)函数y＝ln与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同.( )
(4)当x>1时，若logax>logbx，则a解析 (1)log2x2＝2log2|x|，故(1)错.
(2)形如y＝logax(a＞0，且a≠1)为对数函数，故(2)错.
(4)当x＞1时，logax＞logbx，但a与b的大小不确定，故(4)错.
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)×
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2.(必修1P73T3改编)已知a＝2－，b＝log2，c＝log，则( )
A.a>b>c B.a>c>b
C.c>b>a D.c>a>b
解析 ∵01.
∴c>a>b.
答案 D
3.(必修1P74A7改编)函数y＝的定义域是________.
解析 由log(2x－1)≥0，得0<2x－1≤1.
∴∴函数y＝的定义域是.
答案
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4.(2018·嘉兴调研)计算log29×log34＋2log510＋log50.25＝( )
A.0 B.2 C.4 D.6
解析 原式＝2log23×(2log32)＋log5(102×0.25)＝4＋log525＝4＋2＝6.
答案 D
5.(2019·武汉月考)已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，且a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\F16.TIF" \* MERGEFORMAT
A.a>1，c>1
B.a>1，0C.01
D.0解析 由题图可知，函数在定义域内为减函数，所以00，即logac>0，所以0答案 D
6.(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝log2(x2＋a).若f(3)＝1，则a＝________.
解析 由f(3)＝1得log2(32＋a)＝1，所以9＋a＝2，解得a＝－7.
答案 －7
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考点一 对数的运算
【例1】 (1)计算：÷100－＝________.
(2)计算：＝________.
解析 (1)原式＝(lg 2－2－lg 52)×100＝lg×10＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20.
(2)原式＝
＝
＝＝＝＝1.
答案 (1)－20 (2)1
规律方法 1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并.
2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.
3.ab＝N?b＝logaN(a>0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.
【训练1】 (1)若lg 2，lg(2x＋1)，lg(2x＋5)成等差数列，则x的值等于( )
A.1 B.0或 C. D.log23
(2)(2019·成都七中检测)已知a>b>1，若logab＋logba＝，ab＝ba，则a＝________，b＝________.
解析 (1)由题意知lg 2＋lg(2x＋5)＝2lg(2x＋1)，
∴2(2x＋5)＝(2x＋1)2，(2x)2－9＝0，2x＝3，x＝log23.
(2)设logb a＝t，则t>1，因为t＋＝，
所以t＝2，则a＝b2.
又ab＝ba，所以b2b＝bb2，
即2b＝b2，又a>b>1，解得b＝2，a＝4.
答案 (1)D (2)4 2
考点二 对数函数的图象及应用
【例2】 (1)(2019·潍坊一模)若函数f(x)＝ax－a－x(a>0且a≠1)在R上为减函数，则函数y＝loga(|x|－1)的图象可以是( )
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\4S271.TIF" \* MERGEFORMAT
(2)当x∈(1，2)时，不等式(x－1)2A.(0，1) B.(1，2)
C.(1，2] D.
解析 (1)由f(x)在R上是减函数，知0又y＝loga(|x|－1)是偶函数，定义域是(－∞，－1)∪(1，＋∞).
∴当x>1时，y＝loga(x－1)的图象由y＝logax的图象向右平移一个单位得到.
因此选项D正确.
(2)由题意，易知a>1.
在同一坐标系内作出y＝(x－1)2，x∈(1，2)及y＝logax的图象.
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\G121.tif" \* MERGEFORMAT
若y＝logax过点(2，1)，得loga2＝1，所以a＝2.
根据题意，函数y＝logax，x∈(1，2)的图象恒在y＝(x－1)2，x∈(1，2)的上方.
结合图象，a的取值范围是(1，2].
答案 (1)D (2)C
规律方法 1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.
2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.
【训练2】 (1)已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0，a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是( )
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\5S56.TIF" \* MERGEFORMAT
A.0C.0(2)(2019·日照调研)已知函数f(x)＝若方程f(x)－a＝0恰有一个实根，则实数a的取值范围是________.
解析 (1)由函数图象可知，f(x)在R上单调递增，又y＝2x＋b－1在R上单调递增，故a>1.函数图象与y轴的交点坐标为(0，logab)，由函数图象可知－1即logaa－1综上有0(2)作出函数y＝f(x)的图象(如图所示).
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\4S272A.TIF" \* MERGEFORMAT
方程f(x)－a＝0恰有一个实根，等价于函数y＝f(x)的图象与直线y＝a恰有一个公共点，
故a＝0或a≥2，即a的取值范围是{0}∪[2，＋∞).
答案 (1)A (2){0}∪[2，＋∞)
考点三 对数函数的性质及应用 INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\箭头.TIF" \* MERGEFORMAT 多维探究
角度1 对数函数的性质
【例3－1】 (2017·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝ln x＋ln(2－x)，则( )
A.f(x)在(0，2)上单调递增
B.f(x)在(0，2)上单调递减
C.y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称
D.y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称
解析 由题意知，f(x)＝ln x＋ln(2－x)的定义域为(0，2)，f(x)＝ln[x(2－x)]＝ln[－(x－1)2＋1]，由复合函数的单调性知，函数f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，所以排除A，B；又f(2－x)＝ln(2－x)＋ln x＝f(x)，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，C正确，D错误.
答案 C
角度2 比较大小或解简单的不等式
【例3－2】 (1)(一题多解)(2018·天津卷)已知a＝log2e，b＝ln 2，c＝log，则a，b，c的大小关系为( )
A.a>b>c B.b>a>c
C.c>b>a D.c>a>b
(2)若loga(a2＋1)A.(0，1) B.
C. D.(0，1)∪(1，＋∞)
解析 (1)法一 因为a＝log2e>1，b＝ln 2∈(0，1)，c＝log＝log23>log2e＝a>1，所以c>a>b.
法二 log＝log23，如图，在同一坐标系中作出函数y＝log2x，y＝ln x的图象，由图知c>a>b.
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\18GS50.tif" \* MERGEFORMAT
(2)由题意得a>0且a≠1，故必有a2＋1>2a，
又loga(a2＋1)同时2a>1，∴a>.综上，a∈.
答案 (1)D (2)C
角度3 对数型函数性质的综合应用
【例3－3】 已知函数f(x)＝loga(3－ax).
(1)当x∈[0，2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；
(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由.
解 (1)∵a>0且a≠1，设t(x)＝3－ax，
则t(x)＝3－ax为减函数，
x∈[0，2]时，t(x)的最小值为3－2a，
当x∈[0，2]时，f(x)恒有意义，
即x∈[0，2]时，3－ax>0恒成立.
∴3－2a>0.∴a<.
又a>0且a≠1，∴a的取值范围是(0，1)∪.
(2)t(x)＝3－ax，∵a>0，
∴函数t(x)为减函数.
∵f(x)在区间[1，2]上为减函数，∴y＝logat为增函数，
∴a>1，x∈[1，2]时，t(x)最小值为3－2a，f(x)最大值为f(1)＝loga(3－a)，
∴即
故不存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1.
规律方法 1.确定函数的定义域，研究或利用函数的性质，都要在其定义域上进行.
2.如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误.
3.在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解.在利用单调性时，一定要明确底数a的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件.
【训练3】 (1)(2016·全国Ⅰ卷)若a>b>0，0A.logacC.accb
(2)若函数f(x)＝loga(a>0，a≠1)在区间内恒有f(x)>0，则f(x)的单调递增区间为________.
解析 (1)由y＝xc与y＝cx的单调性知，C，D不正确；
∵y＝logcx是减函数，得logcalogac＝，logbc＝，∵0＜c＜1，∴lg c＜0.
又a＞b＞0，∴lg a＞lg b，但不能确定lg a，lg b的正负，
∴logac与logbc的大小不能确定.
(2)令M＝x2＋x，当x∈时，M∈(1，＋∞)，f(x)>0，所以a>1，所以函数y＝logaM为增函数，
又M＝－，因此M的单调递增区间为.
又x2＋x>0，所以x>0或x<－，
所以函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞).
答案 (1)B (2)(0，＋∞)
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[思维升华]
1.对数值取正、负值的规律
当a>1且b>1或00；
当a>1且01时，logab<0.
2.利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决.
3.比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性.
4.多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线y＝1交点的横坐标进行判定.
[易错防范]
1.在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y＝logax的定义域应为(0，＋∞).对数函数的单调性取决于底数a与1的大小关系，当底数a与1的大小关系不确定时，要分01两种情况讨论.
2.在运算性质logaMα＝αlogaM中，要特别注意条件，在无M>0的条件下应为logaMα＝αloga|M|(α∈N*，且α为偶数).
3.解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围.
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\分层限时训练.tif" \* MERGEFORMAT
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1.已知函数f(x)＝则f(2＋log23)的值为( )
A.24 B.16 C.12 D.8
解析 因为3<2＋log23<4，所以f(2＋log23)＝f(3＋log23)＝23＋log23＝8×2log23＝24.
答案 A
2.(2018·天津卷)已知a＝log3 ，b＝，c＝log ，则a，b，c的大小关系为( )
A.a>b>c B.b>a>c C.c>b>a D.c>a>b
解析 log ＝log3－15－1＝log35，因为函数y＝log3x在(0，＋∞)上为增函数，所以log35>log3 >log33＝1，因为函数y＝在(－∞，＋∞)上为减函数，所以<＝1，故c>a>b.
答案 D
3.(2018·张家界三模)在同一直角坐标系中，函数f(x)＝2－ax，g(x)＝loga(x＋2)(a>0，且a≠1)的图象大致为( )
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\4S274.TIF" \* MERGEFORMAT
解析 由题意，知函数f(x)＝2－ax(a>0，且a≠1)为单调递减函数，当02，且函数g(x)＝loga(x＋2)在(－2，＋∞)上为单调递减函数，C，D均不满足；当a>1时，函数f(x)＝2－ax的零点x＝<2，且x＝>0，又g(x)＝loga(x＋2)在(－2，＋∞)上是增函数，排除B，综上只有A满足.
答案 A
4.(2019·肇庆二模)已知f(x)＝lg(10＋x)＋lg(10－x)，则( )
A.f(x)是奇函数，且在(0，10)上是增函数
B.f(x)是偶函数，且在(0，10)上是增函数
C.f(x)是奇函数，且在(0，10)上是减函数
D.f(x)是偶函数，且在(0，10)上是减函数
解析 由得x∈(－10，10)，
且f(x)＝lg(100－x2).
∴f(x)是偶函数，
又t＝100－x2在(0，10)上单调递减，y＝lg t在(0，＋∞)上单调递增，故函数f(x)在(0，10)上单调递减.
答案 D
5.已知函数f(x)＝|ln x|，若f(m)＝f(n)(m>n>0)，则＋＝( )
A. B.1 C.2 D.4
解析 由f(m)＝f(n)，m>n>0，可知m>1>n>0，
∴ln m＝－ln n，则mn＝1.
所以＋＝＝＝2.
答案 C
二、填空题
6.lg＋2lg 2－＝________.
解析 lg＋2lg 2－＝lg＋lg 22－2
＝lg－2＝1－2＝－1.
答案 －1
7.(2019·昆明诊断)设f(x)＝lg是奇函数，则使f(x)<0的x的取值范围是________.
解析 由f(x)是奇函数可得a＝－1，
∴f(x)＝lg，定义域为(－1，1).
由f(x)<0，可得0<<1，∴－1答案 (－1，0)
8.(2019·武汉调研)已知函数f(x)＝
若f(2－a)＝1，则f(a)＝________.
解析 当2－a<2，即a>0时，f(2－a)＝－log2(1＋a)＝1.
解得a＝－，不合题意.
当2－a≥2，即a≤0时，f(2－a)＝2－a－1＝1，即2－a＝2，解得a＝－1，所以f(a)＝f(－1)＝－log24＝－2.
答案 －2
三、解答题
9.设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a>0，a≠1)，且f(1)＝2.
(1)求a的值及f(x)的定义域；
(2)求f(x)在区间上的最大值.
解 (1)∵f(1)＝2，∴loga4＝2(a>0，a≠1)，∴a＝2.
由得－1＜x＜3，
∴函数f(x)的定义域为(－1，3).
(2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)
＝log2[(1＋x)(3－x)]＝log2[－(x－1)2＋4]，
∴当x∈[0，1]时，f(x)是增函数；
当x∈时，f(x)是减函数，
故函数f(x)在上的最大值是f(1)＝log24＝2.
10.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝logx.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)解不等式f(x2－1)>－2.
解 (1)当x<0时，－x>0，则f(－x)＝log(－x).
因为函数f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)＝log(－x)，
所以函数f(x)的解析式为
f(x)＝
(2)因为f(4)＝log4＝－2，f(x)是偶函数，
所以不等式f(x2－1)>－2转化为f(|x2－1|)>f(4).
又因为函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，
所以|x2－1|<4，解得－即不等式的解集为(－，).
能力提升题组
(建议用时：20分钟)
11.(2019·商丘二模)已知a>0且a≠1，函数f(x)＝loga(x＋)在区间(－∞，
＋∞)上既是奇函数又是增函数，则函数g(x)＝loga||x|－b|的图象是( )
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\4S276.TIF" \* MERGEFORMAT
解析 ∵函数f(x)＝loga(x＋)在区间(－∞，＋∞)上是奇函数，∴f(0)＝0，∴b＝1，又函数f(x)＝loga(x＋)在区间(－∞，＋∞)上是增函数，所以a>1.
所以g(x)＝loga||x|－1|，当x>1时，g(x)＝loga(x－1)为增函数，排除B，D；当0答案 A
12.(2017·全国Ⅰ卷)设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则( )
A.2x<3y<5z B.5z<2x<3y
C.3y<5z<2x D.3y<2x<5z
解析 令t＝2x＝3y＝5z，
∵x，y，z为正数，∴t>1.
则x＝log2t＝，同理，y＝，z＝.
∴2x－3y＝－＝
＝>0，
∴2x>3y.
又∵2x－5z＝－＝＝<0，
∴2x<5z，∴3y<2x<5z.
答案 D
13.已知函数f(x)＝lg(mx2＋2mx＋1)，若f(x)的值域为R，则实数m的取值范围是________.
解析 令g(x)＝mx2＋2mx＋1值域为A，∵函数f(x)＝lg(mx2＋2mx＋1)的值域为R，∴(0，＋∞)?A，当m＝0时，g(x)＝1，f(x)的值域不是R，不满足条件；当m≠0时，解得m≥1.
答案 [1，＋∞)
14.已知函数f(x)＝ln.
(1)求函数f(x)的定义域，并判断函数f(x)的奇偶性；
(2)对于x∈[2，6]，f(x)＝ln>ln恒成立，求实数m的取值范围.
解 (1)由>0，解得x<－1或x>1，
∴函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，
当x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，
f(－x)＝ln＝ln＝ln＝－ln＝－f(x).
∴f(x)＝ln是奇函数.
(2)由于x∈[2，6]时，f(x)＝ln>ln恒成立，
∴>>0恒成立，
∵x∈[2，6]，∴0令g(x)＝(x＋1)(7－x)＝－(x－3)2＋16，x∈[2，6]，
由二次函数的性质可知，x∈[2，3]时函数g(x)单调递增，x∈[3，6]时函数g(x)单调递减，
即x∈[2，6]时，g(x)min＝g(6)＝7，
∴0故实数m的取值范围为(0，7).
幂函数与二次函数
最新考纲 1.了解幂函数的概念；结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝的图象，了解它们的变化情况；2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.
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知 识 梳 理
1.幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.
(2)常见的5种幂函数的图象
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\F6.TIF" \* MERGEFORMAT
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.
2.二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式：
一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).
顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n).
零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点.
(2)二次函数的图象和性质
函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象(抛物线) INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\5S48.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\5S49.TIF" \* MERGEFORMAT
定义域 R
值域
对称轴 x＝－
顶点坐标
奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数
单调性 在上是减函数； 在上是增函数 在上是增函数； 在上是减函数
[微点提醒]
1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.
2.若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当时恒有f(x)>0，当时，恒有f(x)<0.
基 础 自 测
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\疑误辨析.TIF" \* MERGEFORMAT
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)函数y＝2x是幂函数.( )
(2)当n>0时，幂函数y＝xn在(0，＋∞)上是增函数.( )
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)不可能是偶函数.( )
(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈[a，b])的最值一定是.( )
解析 (1)由于幂函数的解析式为f(x)＝xα，故y＝2x不是幂函数，(1)错.
(3)由于当b＝0时，y＝ax2＋bx＋c＝ax2＋c为偶函数，故(3)错.
(4)对称轴x＝－，当－小于a或大于b时，最值不是，故(4)错.
答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×
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2.(必修1P79T1改编)已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，则k＋α＝( )
A. B.1 C. D.2
解析 因为f(x)＝k·xα是幂函数，所以k＝1.又f(x)的图象过点，所以＝，所以α＝，所以k＋α＝1＋＝.
答案 C
3.(必修1P44A9改编)若函数f(x)＝4x2－kx－8在[－1，2]上是单调函数，则实数k的取值范围是________.
解析 由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x＝，所以要使f(x)在[－1，2]上是单调函数，则有≤－1或≥2，即k≤－8或k≥16.
答案 (－∞，－8]∪[16，＋∞)
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4.(2016·全国Ⅲ卷)已知a＝2，b＝3，c＝25，则( )
A.bC.b解析 因为a＝2＝4，b＝3，c＝5又y＝x在(0，＋∞)上是增函数，所以c>a>b.
答案 A
5.(2019·衡水中学月考)若存在非零的实数a，使得f(x)＝f(a－x)对定义域上任意的x恒成立，则函数f(x)可能是( )
A.f(x)＝x2－2x＋1 B.f(x)＝x2－1
C.f(x)＝2x D.f(x)＝2x＋1
解析 由存在非零的实数a，使得f(x)＝f(a－x)对定义域上任意的x恒成立，可得函数图象的对称轴为x＝≠0.只有选项A中，f(x)＝x2－2x＋1关于x＝1对称.
答案 A
6.(2018·成都诊断)幂函数f(x)＝(m2－4m＋4)·xm2－6m＋8在(0，＋∞)上为增函数，则m的值为________.
解析 由题意知解得m＝1.
答案 1
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考点一 幂函数的图象和性质
【例1】 (1)幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，则幂函数y＝f(x)的大致图象是( )
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\5S50.TIF" \* MERGEFORMAT
(2)若a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是( )
A.aC.b解析 (1)设幂函数的解析式为y＝xα，
因为幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，
所以2＝4α，解得α＝.
所以y＝，其定义域为[0，＋∞)，且是增函数，当0(2)因为y＝x在第一象限内是增函数，所以a＝>b＝，因为y＝是减函数，所以a＝答案 (1)C (2)D
规律方法 1.对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域.根据α<0，0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定.
2.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较.
【训练1】 (1)(2018·洛阳二模)已知点在幂函数f(x)＝(a－1)xb的图象上，则函数f(x)是( )
A.奇函数 B.偶函数
C.定义域内的减函数 D.定义域内的增函数
(2)(2018·上海卷)已知α∈，.若幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝______.
解析 (1)由题意得a－1＝1，且＝ab，因此a＝2且b＝－1.故f(x)＝x－1是奇函数，但在定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)不是单调函数.
(2)由题意知α可取－1，1，3.又y＝xα在(0，＋∞)上是减函数，
∴α<0，取α＝－1.
答案 (1)A (2)－1
考点二 二次函数的解析式
【例2】 (一题多解)已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定该二次函数的解析式.
解 法一 (利用“一般式”解题)
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).
由题意得解得
∴所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
法二 (利用“顶点式”解题)
设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0).
因为f(2)＝f(－1)，
所以抛物线的对称轴为x＝＝，所以m＝.
又根据题意，函数有最大值8，所以n＝8，
所以y＝f(x)＝a＋8.
因为f(2)＝－1，所以a＋8＝－1，解得a＝－4，
所以f(x)＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7.
法三 (利用“零点式”解题)
由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，
故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，
即f(x)＝ax2－ax－2a－1.
又函数有最大值8，即＝8.
解得a＝－4或a＝0(舍).
故所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
规律方法 求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式，一般选择规律如下：
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\4S247.TIF" \* MERGEFORMAT
【训练2】 已知二次函数f(x)的图象经过点(4，3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则f(x)＝________.
解析 因为f(2－x)＝f(2＋x)对x∈R恒成立，
所以y＝f(x)的图象关于x＝2对称.
又y＝f(x)的图象在x轴上截得的线段长为2，
所以f(x)＝0的两根为2－＝1或2＋＝3.
所以二次函数f(x)与x轴的两交点坐标为(1，0)和(3，0).
因此设f(x)＝a(x－1)(x－3).
又点(4，3)在y＝f(x)的图象上，
所以3a＝3，则a＝1.
故f(x)＝(x－1)(x－3)＝x2－4x＋3.
答案 x2－4x＋3
考点三 二次函数的图象及应用
【例3】 (1)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)与二次函数y＝(a－1)x2－x在同一坐标系内的图象可能是( )
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\4S248.TIF" \* MERGEFORMAT
(2)设函数f(x)＝x2＋x＋a(a>0)，已知f(m)<0，则( )
A.f(m＋1)≥0 B.f(m＋1)≤0
C.f(m＋1)>0 D.f(m＋1)<0
解析 (1)若0若a>1，则y＝loga x在(0，＋∞)上是增函数，
y＝(a－1)x2－x图象开口向上，且对称轴在y轴右侧，
因此B项不正确，只有选项A满足.
(2)因为f(x)的对称轴为x＝－，f(0)＝a>0，所以f(x)的大致图象如图所示.
由f(m)<0，得－1所以m＋1>0，所以f(m＋1)>f(0)>0.
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答案 (1)A (2)C
规律方法 1.研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是抛物线上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向.
2.求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图象特征，分析不等关系成立的条件.
【训练3】 一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象大致是( )
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解析 A中，由一次函数y＝ax＋b的图象可得a>0，此时二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象应该开口向上，A错误；
B中，由一次函数y＝ax＋b的图象可得a>0，b>0，此时二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象应该开口向上，对称轴x＝－<0，B错误；C中，由一次函数y＝ax＋b的图象可得a<0，b<0，此时二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象应该开口向下，对称轴x＝－<0，C正确；
D中，由一次函数y＝ax＋b的图象可得a<0，b<0，此时二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象应该开口向下，D错误.
答案 C
考点四 二次函数的性质 INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\箭头.TIF" \* MERGEFORMAT 多维探究
角度1 二次函数的单调性与最值
【例4－1】 已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4，6].
(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；
(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4，6]上是单调函数.
解 (1)当a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，由于x∈[－4，6]，
∴f(x)在[－4，2]上单调递减，在[2，6]上单调递增，
∴f(x)的最小值是f(2)＝－1，
又f(－4)＝35，f(6)＝15，
故f(x)的最大值是35.
(2)由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使f(x)在[－4，6]上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4，
故a的取值范围是(－∞，－6]∪[4，＋∞).
角度2 二次函数的恒成立问题
【例4－2】 (2019·浙江“超级全能生”模拟)已知在(－∞，1]上递减的函数f(x)＝x2－2tx＋1，且对任意的x1，x2∈[0，t＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤2，则实数t的取值范围是( )
A.[－，] B.[1，]
C.[2，3] D.[1，2]
解析 由于f(x)＝x2－2tx＋1的图象的对称轴为x＝t，
又y＝f(x)在(－∞，1]上是减函数，所以，t≥1.
则在区间[0，t＋1]上，f(x)max＝f(0)＝1，
f(x)min＝f(t)＝t2－2t2＋1＝－t2＋1，
要使对任意的x1，x2∈[0，t＋1]，都有|f(x1)－f(x2)|≤2，
只需1－(－t2＋1)≤2，解得－≤t≤.
又t≥1，∴1≤t≤.
答案 B
规律方法 1.二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想求解.
2.由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键
(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数.
(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离.这两个思路的依据是：a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min.
【训练4】 已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R且a≠0)，x∈R.
(1)若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，求f(x)的解析式，并写出单调区间；
(2)在(1)的条件下，f(x)>x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，试求k的取值范围.
解 (1)由题意知解得
所以f(x)＝x2＋2x＋1，
由f(x)＝(x＋1)2知，函数f(x)的单调递增区间为[－1，＋∞)，
单调递减区间为(－∞，－1].
(2)由题意知，x2＋2x＋1>x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，即k[－3，－1]上恒成立，
令g(x)＝x2＋x＋1，x∈[－3，－1]，
由g(x)＝＋知g(x)在区间[－3，－1]上是减函数，则g(x)min＝g(－1)＝1，所以k<1，
故k的取值范围是(－∞，1).
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[思维升华]
1.幂函数y＝xα的性质和图象，由于α的取值不同而比较复杂，一般可从三方面考查：
(1)α的正负：α>0时图象经过(0，0)点和(1，1)点，在第一象限的部分“上升”；α<0时图象不过(0，0)点，经过(1，1)点，在第一象限的部分“下降”；
(2)曲线在第一象限的凹凸性：α>1时曲线下凹，0<α<1时曲线上凸，α<0时曲线下凹；
(3)函数的奇偶性：一般先将函数式化为正指数幂或根式形式，再根据函数定义域和奇偶性定义判断其奇偶性.
2.求二次函数的解析式就是确定函数式f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中a，b，c的值.应根据题设条件选用适当的表达形式，用待定系数法确定相应字母的值.
3.二次函数与一元二次不等式密切相关，借助二次函数的图象和性质，可直观地解决与不等式有关的问题.
4.二次函数的单调性与对称轴紧密相连，二次函数的最值问题要根据其图象以及所给区间与对称轴的关系确定.
[易错防范]
1.幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.
2.对于函数y＝ax2＋bx＋c，要认为它是二次函数，就必须满足a≠0，当题目条件中未说明a≠0时，就要讨论a＝0和a≠0两种情况.
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\分层限时训练.tif" \* MERGEFORMAT
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1.(2019·济宁联考)下列命题正确的是( )
A.y＝x0的图象是一条直线
B.幂函数的图象都经过点(0，0)，(1，1)
C.若幂函数y＝xα是奇函数，则y＝xα是增函数
D.幂函数的图象不可能出现在第四象限
解析 A中，点(0，1)不在直线上，A错；B中，y＝xα，当α<0时，图象不过原点，B错；C中，当α<0时，y＝xα在(－∞，0)，(0，＋∞)上为减函数，C错.幂函数图象一定过第一象限，一定不过第四象限，D正确.
答案 D
2.若函数f(x)＝x2＋ax＋b的图象与x轴的交点为(1，0)和(3，0)，则函数f(x)( )
A.在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增
B.在(－∞，3)上递增
C.在[1，3]上递增
D.单调性不能确定
解析 由已知可得该函数图象的对称轴为x＝2，又二次项系数为1>0，所以f(x)在(－∞，2]上是递减的，在[2，＋∞)上是递增的.
答案 A
3.(2019·安阳模拟)已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0，1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为( )
A.1 B.0 C.－1 D.2
解析 f(x)＝－x2＋4x＋a＝－(x－2)2＋a＋4，
∴函数f(x)＝－x2＋4x＋a在[0，1]上单调递增，
∴当x＝0时，f(x)取得最小值，当x＝1时，f(x)取得最大值，
∴f(0)＝a＝－2，f(1)＝3＋a＝3－2＝1.
答案 A
4.(2018·岳阳一中质检)已知函数y＝ax2＋bx－1在(－∞，0]是单调函数，则y＝2ax＋b的图象不可能是( )
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\4S251.TIF" \* MERGEFORMAT
解析 ①当a＝0，b≠0时，y＝2ax＋b的图象可能是A；
②当a>0时，－≥0?b≤0，y＝2ax＋b的图象可能是C；
③当a<0时，－≥0?b≥0，y＝2ax＋b的图象可能是D.
答案 B
5.(2019·巢湖月考)已知p：|m＋1|<1，q：幂函数y＝(m2－m－1)xm在(0，＋∞)上单调递减，则p是q的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 p：由|m＋1|<1得－2∵幂函数y＝(m2－m－1)xm在(0，＋∞)上单调递减，
∴m2－m－1＝1，且m<0，解得m＝－1.
∴p是q的必要不充分条件.
答案 B
二、填空题
6.已知函数f(x)为幂函数，且f(4)＝，则当f(a)＝4f(a＋3)时，实数a等于________.
解析 设f(x)＝xα，则4α＝，所以α＝－.
因此f(x)＝x－，从而a－＝4(a＋3)－，解得a＝.
答案
7.(2019·泉州质检)若二次函数f(x)＝ax2－x＋b(a≠0)的最小值为0，则a＋4b的取值范围是________.
解析 依题意，知a>0，且Δ＝1－4ab＝0，∴4ab＝1，且b>0.
故a＋4b≥2＝2，
当且仅当a＝4b，即a＝1，b＝时等号成立.
所以a＋4b的取值范围是[2，＋∞).
答案 [2，＋∞)
8.已知二次函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，且f(x)在[0，2]上是增函数，若f(a)≥f(0)，则实数a的取值范围是________.
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\5S53.TIF" \* MERGEFORMAT
解析 由题意可知函数f(x)的图象开口向下，对称轴为x＝2(如图)，若f(a)≥f(0)，从图象观察可知0≤a≤4.
答案 [0，4]
三、解答题
9.已知奇函数y＝f(x)定义域是R，当x≥0时，f(x)＝x(1－x).
(1)求出函数y＝f(x)的解析式；
(2)写出函数y＝f(x)的单调递增区间.(不用证明，只需直接写出递增区间即可)
解 (1)当x<0时，－x>0，
所以f(－x)＝－x(1＋x).
又因为y＝f(x)是奇函数，
所以f(x)＝－f(－x)＝x(1＋x).
综上f(x)＝
(2)函数y＝f(x)的单调递增区间是.
10.已知幂函数f(x)＝(m－1)2xm2－4m＋2在(0，＋∞)上单调递增，函数g(x)＝2x－k.
(1)求m的值；
(2)当x∈[1，2)时，记f(x)，g(x)的值域分别为集合A，B，设p：x∈A，q：x∈B，若p是q成立的必要条件，求实数k的取值范围.
解 (1)依题意得：(m－1)2＝1?m＝0或m＝2，
当m＝2时，f(x)＝x－2在(0，＋∞)上单调递减，与题设矛盾，舍去，∴m＝0.
(2)由(1)得，f(x)＝x2，
当x∈[1，2)时，f(x)∈[1，4)，即A＝[1，4)，
当x∈[1，2)时，g(x)∈[2－k，4－k)，
即B＝[2－k，4－k)，
因p是q成立的必要条件，则B?A，
则即得0≤k≤1.
故实数k的取值范围是[0，1].
能力提升题组
(建议用时：20分钟)
11.(2019·武汉模拟)幂函数y＝xα，当α取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图象是一组美丽的曲线(如图)，设点A(1，0)，B(0，1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xa，y＝xb的图象三等分，即有BM＝MN＝NA，那么a－＝( )
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\4S252.TIF" \* MERGEFORMAT
A.0 B.1 C. D.2
解析 BM＝MN＝NA，点A(1，0)，B(0，1)，
所以M，N，
将两点坐标分别代入y＝xa，y＝xb，得a＝log，b＝log，∴a－＝log－＝0.
答案 A
12.(2017·浙江卷)若函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M－m( )
A.与a有关，且与b有关
B.与a有关，但与b无关
C.与a无关，且与b无关
D.与a无关，但与b有关
解析 设x1，x2分别是函数f(x)在[0，1]上的最小值点与最大值点，则m＝x＋ax1＋b，M＝x＋ax2＋b.
∴M－m＝x－x＋a(x2－x1)，显然此值与a有关，与b无关.
答案 B
13.已知函数f(x)＝mx2＋(2－m)x＋n(m>0)，当－1≤x≤1时，|f(x)|≤1恒成立，则f＝________.
解析 当x∈[－1，1]时，|f(x)|≤1恒成立.
∴
因此n＝－1，∴f(0)＝－1，f(1)＝1.
由f(x)的图象可知：要满足题意，则图象的对称轴为直线x＝0，
∴2－m＝0，m＝2，
∴f(x)＝2x2－1，∴f＝－.
答案 －
14.已知二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)当x∈[－1，1]时，函数y＝f(x)的图象恒在函数y＝2x＋m的图象的上方，求实数m的取值范围.
解 (1)设f(x)＝ax2＋bx＋1(a≠0)，
则f(x＋1)－f(x)＝2x，得2ax＋a＋b＝2x.
所以，2a＝2且a＋b＝0，解得a＝1，b＝－1，
又f(0)＝1，所以c＝1.
因此f(x)的解析式为f(x)＝x2－x＋1.
(2)因为当x∈[－1，1]时，y＝f(x)的图象恒在y＝2x＋m的图象上方，
所以在[－1，1]上，x2－x＋1>2x＋m恒成立；
即x2－3x＋1>m在区间[－1，1]上恒成立.
所以令g(x)＝x2－3x＋1＝－，
因为g(x)在[－1，1]上的最小值为g(1)＝－1，
所以m<－1.故实数m的取值范围为(－∞，－1).
指数与指数函数
最新考纲 1.了解指数函数模型的实际背景；2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；3.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，3，10，，的指数函数的图象；4.体会指数函数是一类重要的函数模型.
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\知识衍化体验.TIF" \* MERGEFORMAT
知 识 梳 理
1.根式
(1)概念：式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.
(2)性质：()n＝a(a使有意义)；当n为奇数时，＝a，当n为偶数时，＝|a|＝
2.分数指数幂
(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a－＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.
(2)有理指数幂的运算性质：aras＝ar+s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.
3.指数函数及其性质
(1)概念：函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数.
(2)指数函数的图象与性质
a>1 0图象 INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\F64.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\F65.TIF" \* MERGEFORMAT
定义域 R
值域 (0，＋∞)
性质 过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1
当x>0时，y>1； 当x<0时，01； 当x>0时，0 在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数
[微点提醒]
1.画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，.
2.在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象越高，底数越大.
基 础 自 测
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\疑误辨析.TIF" \* MERGEFORMAT
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)＝－4.( )
(2)(－1)＝(－1)＝.( )
(3)函数y＝2x－1是指数函数.( )
(4)函数y＝a x2＋1 (a>1)的值域是(0，＋∞).( )
解析 (1)由于＝＝4，故(1)错.
(2)(－1)＝＝1，故(2)错.
(3)由于指数函数解析式为y＝ax(a＞0，且a≠1)，
故y＝2x－1不是指数函数，故(3)错.
(4)由于x2＋1≥1，又a＞1，∴ax2＋1≥a.
故y＝a x2＋1 (a＞1)的值域是[a，＋∞)，(4)错.
答案 (1)× (2)× (3)× (4)×
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2.(必修1P56例6改编)若函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过，则
f(－1)＝( )
A.1 B.2 C. D.3
解析 依题意可知a2＝，解得a＝，
所以f(x)＝，所以f(－1)＝＝.
答案 C
3.(必修1P59A6改编)某种产品的产量原来是a件，在今后m年内，计划使每年的产量比上一年增加p%，则该产品的产量y随年数x变化的函数解析式为( )
A.y＝a(1＋p%)x(0B.y＝a(1＋p%)x(0≤x≤m，x∈N)
C.y＝a(1＋xp%)(0D.y＝a(1＋xp%)(0≤x≤m，x∈N)
解析 设年产量经过x年增加到y件，则第一年为y＝a(1＋p%)，第二年为y＝a(1＋p%)(1＋p%)＝a(1＋p%)2，第三年为y＝a(1＋p%)(1＋p%)(1＋p%)＝a(1＋p%)3，…，则y＝a(1＋p%)x(0≤x≤m且x∈N).
答案 B
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4.(2018·晋中八校一模)设a>0，将表示成分数指数幂，其结果是( )
A.a B.a C.a D.a
解析 由题意得＝a2－－＝a.
答案 C
5.(2017·北京卷)已知函数f(x)＝3x－，则f(x)( )
A.是偶函数，且在R上是增函数
B.是奇函数，且在R上是增函数
C.是偶函数，且在R上是减函数
D.是奇函数，且在R上是减函数
解析 函数f(x)的定义域为R，
f(－x)＝3－x－＝－3x＝－f(x)，
∴函数f(x)是奇函数.
又y＝3x在R上是增函数，函数y＝在R上是减函数，
∴函数f(x)＝3x－在R上是增函数.
答案 B
6.(2019·福州检测)设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是( )
A.aC.b解析 根据指数函数y＝0.6x在R上单调递减可得0.61.5<0.60.6<0.60＝1，而c＝1.50.6>1，∴b答案 C
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\考点聚焦突破.tif" \* MERGEFORMAT
考点一 指数幂的运算
【例1】 化简下列各式：
(1)＋2－2·－(0.01)0.5；
(2)(a>0，b>0).
解 (1)原式＝1＋×－
＝1＋×－＝1＋－＝.
(2)原式＝＝a+-1＋b1+-2-＝.
规律方法 1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺序.
2.当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.
3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.
【训练1】 化简下列各式：
(1)[(0.064)－2.5]－－π0；
(2)a·b－2·÷.
解 (1)原式＝－－1
＝－－1
＝－－1＝0.
(2)原式＝－a－b－3÷
＝－a－b－3÷(ab－)＝－a－·b－
＝－·＝－.
考点二 指数函数的图象及应用
【例2】 (1)(2019·衡水中学检测)不论a为何值，函数y＝(a－1)2x－恒过定点，则这个定点的坐标是( )
A. B.
C. D.
(2)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________.
解析 (1)y＝(a－1)2x－＝a－2x，令2x－＝0，得x＝－1，故函数y＝(a－1)2x－恒过定点.
(2)在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示.
∴当0∴b的取值范围是(0，2).
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\5S55.TIF" \* MERGEFORMAT
答案 (1)C (2)(0，2)
规律方法 1.对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.
2.有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解.
【训练2】 (1)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( )
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\F15.tif" \* MERGEFORMAT
A.a>1，b<0
B.a>1，b>0
C.00
D.0(2)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________.
解析 (1)由f(x)＝ax－b的图象可以观察出，函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0函数f(x)＝ax－b的图象是在f(x)＝ax的基础上向左平移得到的，所以b<0.
(2)画出曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示.
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\4S268.TIF" \* MERGEFORMAT
由图象得|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1，1].
答案 (1)D (2)[－1，1]
考点三 指数函数的性质及应用 INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\箭头.TIF" \* MERGEFORMAT 多维探究
角度1 指数函数的单调性
【例3－1】 (1)下列各式比较大小正确的是( )
A.1.72.5>1.73 B.0.6－1>0.62
C.0.8－0.1>1.250.2 D.1.70.3<0.93.1
(2)设函数f(x)＝若f(a)<1，则实数a的取值范围是________.
解析 (1)A中，∵函数y＝1.7x在R上是增函数，2.5<3，
∴1.72.5<1.73，错误；
B中，∵y＝0.6x在R上是减函数，－1<2，
∴0.6－1>0.62，正确；
C中，∵(0.8)－1＝1.25，
∴问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小.
∵y＝1.25x在R上是增函数，0.1<0.2，
∴1.250.1<1.250.2，即0.8－0.1<1.250.2，错误；
D中，∵1.70.3>1, 0<0.93.1<1，
∴1.70.3>0.93.1，错误.
(2)当a<0时，原不等式化为－7<1，
则2－a<8，解之得a>－3，所以－3当a≥0时，则<1，0≤a<1.
综上知，实数a的取值范围是(－3，1).
答案 (1)B (2)(－3，1)
角度2 与指数函数有关的复合函数的单调性
【例3－2】 (1)已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上是增加的，则m的取值范围是______.
(2)若函数f(x)＝的值域是，则f(x)的单调递增区间是________.
解析 (1)令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间上是增加的，在区间上是减少的.而y＝2t在R上是增加的，所以要使函数f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上是增加的，则有≤2，即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4].
(2)令g(x)＝ax2＋2x＋3，
由于f(x)的值域是，
所以g(x)的值域是[2，＋∞).
因此有解得a＝1，
这时g(x)＝x2＋2x＋3，f(x)＝.
由于g(x)的单调递减区间是(－∞，－1]，
所以f(x)的单调递增区间是(－∞，－1].
答案 (1)(－∞，4] (2)(－∞，－1]
角度3 函数的最值问题
【例3－3】 如果函数y＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)在区间[－1，1]上的最大值是14，则a的值为________.
解析 令ax＝t，则y＝a2x＋2ax－1＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2.当a>1时，因为x∈
[－1，1]，所以t∈，又函数y＝(t＋1)2－2在上单调递增，所以ymax＝(a＋1)2－2＝14，解得a＝3(负值舍去).当0答案 3或
规律方法 1.比较指数式的大小的方法是：(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小.
2.求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.
易错警示 在研究指数型函数的单调性时，当底数a与“1”的大小关系不确定时，要分类讨论.
【训练3】 (1)(2019·河南八市测评)设函数f(x)＝x2－a与g(x)＝ax(a>1且a≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，则M＝(a－1)0.2与N＝的大小关系是( )
A.M＝N B.M≤N C.MN
(2)函数f(x)＝的单调递增区间为________，单调递减区间为________.
(3)已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b为常量，且a>0，a≠1)的图象经过点A(1，6)，B(3，24).若不等式＋－m≥0在x∈(－∞，1]上恒成立，则实数m的最大值为________.
解析 (1)因为f(x)＝x2－a与g(x)＝ax(a>1，且a≠2)在(0，＋∞)上具有不同的单调性.
所以a>2.
因此M＝(a－1)0.2>1，N＝<1.
故M>N.
(2)依题意知x2－5x＋4≥0，解得x≥4或x≤1，令u＝＝，x∈(－∞，1]∪[4，＋∞)，所以当x∈(－∞，1]时，u是减函数，当x∈[4，＋∞)时，u是增函数.而3>1，所以由复合函数的单调性可知，f(x)＝在区间(－∞，1]上是减函数，在区间[4，＋∞)上是增函数.
(3)把A(1，6)，B(3，24)代入f(x)＝b·ax，得结合a>0，且a≠1，解得所以f(x)＝3·2x.要使＋≥m在区间(－∞，1]上恒成立，
只需保证函数y＝＋在区间(－∞，1]上的最小值不小于m即可.因为函数y＝＋在区间(－∞，1]上为减函数，所以当x＝1时，y＝＋有最小值.所以只需m≤即可.所以m的最大值为.
答案 (1)D (2)[4，＋∞) (－∞，1] (3)
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[思维升华]
1.根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算.
2.判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值再进行比较.
3.指数函数的单调性取决于底数a的大小，当底数a与1的大小关系不确定时应分01两种情况分类讨论.
[易错防范]
1.对与复合函数有关的问题，要弄清楚复合函数由哪些基本初等函数复合而成，并且一定要注意函数的定义域.
2.对可化为a2x＋b·ax＋c＝0或a2x＋b·ax＋c≥0(≤0)形式的方程或不等式，常借助换元法解题，但应注意换元后“新元”的范围.
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基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1.(2019·永州模拟)下列函数中，与函数y＝2x－2－x的定义域、单调性与奇偶性均一致的是( )
A.y＝sin x B.y＝x3
C.y＝ D.y＝log2x
解析 y＝2x－2－x是定义域为R的单调递增函数，且是奇函数.而y＝sin x不是单调递增函数，不符合题意；y＝是非奇非偶函数，不符合题意；
y＝log2x的定义域是(0，＋∞)，不符合题意；
y＝x3是定义域为R的单调递增函数，且是奇函数符合题意.
答案 B
2.函数y＝ax－(a>0，且a≠1)的图象可能是( )
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\4S269.TIF" \* MERGEFORMAT
解析 若a>1时，y＝ax－在R上是增函数，
当x＝0时，y＝1－∈(0，1)，A，B不满足.
若0当x＝0时，y＝1－<0，C错，D项满足.
答案 D
3.(2019·东北三校联考)函数f(x)＝ax－1(a>0，a≠1)的图象恒过点A，下列函数中图象不经过点A的是( )
A.y＝ B.y＝|x－2|
C.y＝2x－1 D.y＝log2(2x)
解析 f(x)过定点A(1，1)，将点A(1，1)代入四个选项，y＝的图象不过点A(1，1).
答案 A
4.设x>0，且1A.0C.1解析 ∵x>0时，11.
又x>0时，bx0时，>1.
∴>1，∴a>b，∴1答案 C
5.若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，且a≠1)，满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是( )
A.(－∞，2] B.[2，＋∞)
C.[－2，＋∞) D.(－∞，－2]
解析 由f(1)＝，得a2＝，解得a＝或a＝－(舍去)，即f(x)＝.
由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增，
所以f(x)在(－∞，2]上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减.
答案 B
二、填空题
6.化简＝________.
解析 原式＝
＝a－－－·b＋－＝.
答案
7.函数y＝－＋1在区间[－3，2]上的值域是________.
解析 令t＝，因为x∈[－3，2]，所以t∈，故y＝t2－t＋1＝＋.当t＝时，ymin＝；当t＝8时，ymax＝57.故所求函数的值域为.
答案
8.设偶函数g(x)＝a|x+b|在(0，＋∞)上单调递增，则g(a)与g(b－1)的大小关系是________.
解析 由于g(x)＝a|x+b|是偶函数，知b＝0，
又g(x)＝a|x|在(0，＋∞)上单调递增，得a>1.
则g(b－1)＝g(－1)＝g(1)，
故g(a)>g(1)＝g(b－1).
答案 g(a)>g(b－1)
三、解答题
9.已知函数f(x)＝，a为常数，且函数的图象过点(－1，2).
(1)求a的值；
(2)若g(x)＝4－x－2，且g(x)＝f(x)，求满足条件的x的值.
解 (1)由已知得＝2，解得a＝1.
(2)由(1)知f(x)＝，
又g(x)＝f(x)，则4－x－2＝，
∴－－2＝0，
令＝t，则t>0，t2－t－2＝0，即(t－2)(t＋1)＝0，
又t>0，故t＝2，即＝2，解得x＝－1，
故满足条件的x的值为－1.
10.(2018·长沙一中月考)已知函数f(x)＝为奇函数.
(1)求a的值；
(2)判断函数f(x)的单调性，并加以证明.
解 (1)因为函数f(x)是奇函数，且f(x)的定义域为R；所以f(0)＝＝0，所以a＝－1.
(2)由(1)知f(x)＝＝1－，函数f(x)在定义域R上单调递增.
证明：设x1则f(x1)－f(x2)＝.
因为x1所以f(x1)能力提升题组
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11.(2019·西安市质检)在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长10.4%，专家预测经过x年可能增长到原来的y倍，则函数y＝f(x)的图象大致为( )
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\4S270.TIF" \* MERGEFORMAT
解析 设原有荒漠化土地面积为b，经过x年后荒漠化面积为z，则z＝b(1＋10.4%)x，故y＝＝(1＋10.4%)x，其是底数大于1的指数函数.其图象应为选项D.
答案 D
12.(2019·合肥检测)当x∈(－∞，－1]时，不等式(m2－m)·4x－2x<0恒成立，则实数m的取值范围是( )
A.(－2，1) B.(－4，3) C.(－3，4) D.(－1，2)
解析 原不等式变形为m2－m<，
又y＝在(－∞，－1]上是减函数，知≥＝2.
故原不等式恒成立等价于m2－m<2，解得－1答案 D
13.(2018·上海卷)已知常数a>0，函数f(x)＝的图象经过点P，Q.若2p+q＝36pq，则a＝________.
解析 因为f(x)＝＝，且其图象经过点P，Q，
则f(p)＝＝，即＝－，①
f(q)＝＝－，即＝－6，②
①×②得＝1，则2p＋q＝a2pq＝36pq，
所以a2＝36，解得a＝±6，因为a>0，所以a＝6.
答案 6
14.已知定义在R上的函数f(x)＝2x－，
(1)若f(x)＝，求x的值；
(2)若2tf(2t)＋mf(t)≥0对于t∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围.
解 (1)当x<0时，f(x)＝0，故f(x)＝无解；
当x≥0时，f(x)＝2x－，
由2x－＝，得2·22x－3·2x－2＝0，
将上式看成关于2x的一元二次方程，
解得2x＝2或2x＝－，
因为2x>0，所以2x＝2，所以x＝1.
(2)当t∈[1，2]时，2t＋m≥0，
即m(22t－1)≥－(24t－1)，因为22t－1>0，
所以m≥－(22t＋1)，
因为t∈[1，2]，所以－(22t＋1)∈[－17，－5]，
故实数m的取值范围是[－5，＋∞).
