三角函数的图象与性质
最新考纲 1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性；2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等)，理解正切函数在区间内的单调性.
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知 识 梳 理
1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0).
(2)余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1).
2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象 INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\y2.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\y3.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\y4.TIF" \* MERGEFORMAT
定义域 R R {xx≠kπ＋}
值域 [－1，1] [－1，1] R
周期性 2π 2π π
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
递增区间 [2kπ－π，2kπ]
递减区间 [2kπ，2kπ＋π] 无
对称中心 (kπ，0)
对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ 无
[微点提醒]
1.对称与周期
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期.
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.
2.要注意求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时A和ω的符号，尽量化成ω＞0时情况，避免出现增减区间的混淆.
3.对于y＝tan x不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间(k∈Z)内为增函数.
基 础 自 测
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1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)余弦函数y＝cos x的对称轴是y轴.( )
(2)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数.( )
(3)已知y＝ksin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.( )
(4)y＝sin|x|是偶函数.( )
解析 (1)余弦函数y＝cos x的对称轴有无穷多条，y轴只是其中的一条.
(2)正切函数y＝tan x在每一个区间(k∈Z)上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数.
(3)当k>0时，ymax＝k＋1；当k<0时，ymax＝－k＋1.
答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
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2.(必修4P46A2，3改编)若函数y＝2sin 2x－1的最小正周期为T，最大值为A，则( )
A.T＝π，A＝1 B.T＝2π，A＝1
C.T＝π，A＝2 D.T＝2π，A＝2
解析 最小正周期T＝＝π，最大值A＝2－1＝1.故选A.
答案 A
3.(必修4P47B2改编)函数y＝－tan的单调递减区间为________.
解析 由－＋kπ＜2x－＜＋kπ(k∈Z)，
得＋＜x＜＋(k∈Z)，
所以y＝－tan的单调递减区间为(k∈Z).
答案 (k∈Z)
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4.(2017·全国Ⅱ卷)函数f(x)＝sin的最小正周期为( )
A.4π B.2π C.π D.
解析 由题意T＝＝π.
答案 C
5.(2017·全国Ⅲ卷)函数f(x)＝sin＋cos的最大值为( )
A. B.1 C. D.
解析 cos ＝cos＝sin，则f(x)＝sin＋sin＝sin，函数的最大值为.
答案 A
6.(2018·江苏卷)已知函数y＝sin(2x＋φ) 的图象关于直线x＝对称，则φ的值是________.
解析 由函数y＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，得sin＝±1.所以＋φ＝＋kπ(k∈Z)，所以φ＝－＋kπ(k∈Z)，又－<φ<，所以φ＝－.
答案 －
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考点一 三角函数的定义域、值域(最值)
【例1】 (1)函数y＝lg(sin x)＋的定义域为________.
(2)函数f(x)＝sin2x＋cos x－的最大值是________.
解析 (1)函数有意义，则即
解得
所以2kπ
所以函数的定义域为.
(2)由题意可得f(x)＝－cos2x＋cos x＋＝－(cos x－)2＋1.
∵x∈，∴cos x∈[0，1].
∴当cos x＝，即x＝时，f(x)max＝1.
答案 (1) (2)1
规律方法 1.求三角函数的定义域其实质是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数的图象求解.
2.求解三角函数的值域(最值)常见三种类型：
(1)形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)；
(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；
(3)形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值).
【训练1】 (1)函数f(x)＝－2tan的定义域是( )
A. B.
C. D.
(2)(2016·全国Ⅱ卷)函数f(x)＝cos 2x＋6cos的最大值为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
解析 (1)由2x＋≠kπ＋(k∈Z)，得x≠＋(k∈Z).
(2)由f(x)＝cos 2x＋6cos＝1－2sin2x＋6sin x＝－2＋，又
sin x∈[－1，1]，
所以当sin x＝1时，函数f(x)的最大值为5.
答案 (1)D (2)B
考点二 三角函数的单调性 INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\箭头.TIF" \* MERGEFORMAT 多维探究
角度1 求三角函数的单调性
【例2－1】 已知函数f(x)＝sin2x－cos2x－2sin xcos x(x∈R).
(1)求f的值；
(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.
解 (1)由sin ＝，cos ＝－，
f＝()2－－2××，
得f＝2.
(2)由cos 2x＝cos2x－sin2x与sin 2x＝2sin xcos x，
得f(x)＝－cos 2x－sin 2x＝－2sin，
所以f(x)的最小正周期是π.
由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，
解得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z).
所以，f(x)的单调递增区间是(k∈Z).
角度2 已知单调性求参数
【例2－2】 (2018·全国Ⅱ卷)若f(x)＝cos x－sin x在[－a，a]是减函数，则a的最大值是( )
A. B. C. D.π
解析 f(x)＝cos x－sin x＝cos，
由题意得a>0，故－a＋<，
因为f(x)＝cos在[－a，a]是减函数，
所以解得0答案 A
规律方法 1.求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y＝Asin(ωx＋φ)形式，再求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间，只需把ωx＋φ看作一个整体代入y＝sin x的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数.
2.对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷.
【训练2】 (1)函数f(x)＝sin的单调递减区间为________.
(2)(一题多解)若函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝________.
解析 (1)由已知可得函数为y＝－sin，欲求函数的单调递减区间，只需求y＝sin的单调递增区间.
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z).
故所求函数的单调递减区间为(k∈Z).
(2)法一 由于函数f(x)＝sin ωx(ω>0)的图象经过坐标原点，由已知并结合正弦函数的图象可知，为函数f(x)的周期，故＝，解得ω＝.
法二 由题意，得f(x)max＝f＝sinω＝1.
由已知并结合正弦函数图象可知，ω＝＋2kπ(k∈Z)，解得ω＝＋6k(k∈Z).
所以当k＝0时，ω＝.
答案 (1)(k∈Z) (2)
考点三 三角函数的周期性、奇偶性、对称性 INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\箭头.TIF" \* MERGEFORMAT 多维探究
角度1 三角函数奇偶性、周期性
【例3－1】 (1)(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则( )
A.f(x)的最小正周期为π，最大值为3
B.f(x)的最小正周期为π，最大值为4
C.f(x)的最小正周期为2π，最大值为3
D.f(x)的最小正周期为2π，最大值为4
(2)(2019·武汉调研)设函数f(x)＝sin－cos的图象关于y轴对称，则θ＝( )
A.－ B. C.－ D.
解析 (1)易知f(x)＝2cos2x－sin2x＋2＝3cos2x＋1＝3＋1＝cos 2x＋，则f(x)的最小正周期为π，当2x＝2kπ，即x＝kπ(k∈Z)时，f(x)取得最大值，最大值为4.
(2)f(x)＝sin－cos＝2sin，
由题意可得f(0)＝2sin＝±2，即sin＝±1，∴θ－＝＋kπ(k∈Z)，
∴θ＝＋kπ(k∈Z).
∵|θ|<，∴k＝－1时，θ＝－.
答案 (1)B (2)A
规律方法 1.若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则
(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z)；
(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z).
2.函数y＝Asin(ωx＋φ)与y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期T＝，y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期T＝.
【训练3】 (1)(2018·全国Ⅲ卷)函数f(x)＝的最小正周期为( )
A. B. C.π D.2π
(2)(2019·商丘质检)函数f(x)＝3sin，φ∈(0，π)满足f(|x|)＝f(x)，则φ的值为________.
解析 (1)f(x)的定义域为.
f(x)＝＝sin x·cos x＝sin 2x，
∴f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)由题意知f(x)为偶函数，关于y轴对称，
∴f(0)＝3sin＝±3，
∴φ－＝kπ＋(k∈Z)，
又0<φ<π，∴φ＝.
答案 (1)C (2)
角度2 三角函数图象的对称性
【例3－2】 (1)已知函数f(x)＝asin x＋cos x(a为常数，x∈R)的图象关于直线x＝对称，则函数g(x)＝sin x＋acos x的图象( )
A.关于点对称 B.关于点对称
C.关于直线x＝对称 D.关于直线x＝对称
(2)(2016·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，x＝－为f(x)的零点，x＝为y＝f(x)图象的对称轴，且f(x)在上单调，则ω的最大值为( )
A.11 B.9 C.7 D.5
解析 (1)因为函数f(x)＝asin x＋cos x(a为常数，x∈R)的图象关于直线x＝对称，
所以f(0)＝f，所以1＝a＋，a＝，
所以g(x)＝sin x＋cos x＝sin，
函数g(x)的对称轴方程为x＋＝kπ＋(k∈Z)，即x＝kπ＋(k∈Z)，当k＝0时，对称轴为直线x＝，所以g(x)＝sin x＋acos x的图象关于直线x＝对称.
(2)因为x＝－为f(x)的零点，x＝为f(x)的图象的对称轴，所以－＝＋，即＝T＝·(k∈Z)，所以ω＝2k＋1(k∈Z).
又因为f(x)在上单调，所以－＝≤＝，即ω≤12，ω＝11验证不成立(此时求得f(x)＝sin在上单调递增，在上单调递减)，ω＝9时满足条件.由此得ω的最大值为9.
答案 (1)C (2)B
规律方法 1.对于可化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)，求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x即可.
2.对于可化为f(x)＝Acos(ωx＋φ)形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)，求x即可.
【训练4】 (2017·全国Ⅲ卷)设函数f(x)＝cos，则下列结论错误的是( )
A.f(x)的一个周期为－2π
B.y＝f(x)的图象关于直线x＝对称
C.f(x＋π)的一个零点为x＝
D.f(x)在单调递减
解析 A项，因为f(x)的周期为2kπ(k∈Z且k≠0)，所以f(x)的一个周期为－2π，A项正确.
B项，因为f(x)图象的对称轴为直线x＝kπ－(k∈Z)，当k＝3时，直线x＝是其对称轴，B项正确.
C项，f(x＋π)＝cos，将x＝代入得到f＝cos＝0，所以x＝是f(x＋π)的一个零点，C项正确.
D项，因为f(x)＝cos的递减区间为 (k∈Z)，递增区间为 (k∈Z)，所以是减区间，是增区间，D项错误.
答案 D
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[思维升华]
1.讨论三角函数性质，应先把函数式化成y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的形式.
2.对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t＝ωx＋φ，将其转化为研究y＝sin t(或y＝cos t)的性质.
3.数形结合是本讲的重要数学思想.
[易错防范]
1.闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性；含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响.
2.求三角函数的单调区间时，当单调区间有无穷多个时，别忘了注明k∈Z.
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基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1.函数y＝sin 2x＋cos 2x的最小正周期为( )
A. B. C.π D.2π
解析 ∵y＝2＝2sin，
∴T＝＝π.
答案 C
2.(2018·石家庄检测)若是函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx图象的一个对称中心，则ω的一个取值是( )
A.2 B.4 C.6 D.8
解析 因为f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝sin，由题意，知f＝sin＝0，所以＋＝kπ(k∈Z)，即ω＝8k－2(k∈Z)，当k＝1时，ω＝6.
答案 C
3.已知函数f(x)＝2sin ωx(ω>0)在区间上的最小值是－2，则ω的最小值等于( )
A. B. C.2 D.3
解析 ∵ω>0，－≤x≤，∴－≤ωx≤.
由已知条件知－≤－，∴ω≥.
答案 B
4.(2019·湖南十四校联考)已知函数f(x)＝2sin ωx－cos ωx(ω>0)，若f(x)的两个零点x1，x2满足|x1－x2|min＝2，则f(1)的值为( )
A. B.－ C.2 D.－2
解析 依题意可得函数的最小正周期为＝2|x1－x2|min＝2×2＝4，即ω＝，所以f(1)＝2sin －cos ＝2.
答案 C
5.若f(x)为偶函数，且在上满足：对任意x10，则f(x)可以为( )
A.f(x)＝cos B.f(x)＝|sin(π＋x)|
C.f(x)＝－tan x D.f(x)＝1－2cos22x
解析 ∵f(x)＝cos＝－sin x为奇函数，∴排除A；f(x)＝－tan x为奇函数，∴排除C；f(x)＝1－2cos22x＝－cos 4x为偶函数，且单调增区间为(k∈Z)，排除D；f(x)＝|sin(π＋x)|＝|sin x|为偶函数，且在上单调递增.
答案 B
二、填空题
6.(2019·烟台检测)若函数f(x)＝cos(0<φ<π)是奇函数，则φ＝________.
解析 因为f(x)为奇函数，所以φ－＝＋kπ(k∈Z)，φ＝＋kπ，k∈Z.又因为0<φ<π，故φ＝.
答案
7.函数y＝cos的单调递减区间为________.
解析 由y＝cos＝cos，
得2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)，
解得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，
所以函数的单调递减区间为(k∈Z).
答案 (k∈Z)
8.(2018·北京卷)设函数f(x)＝cos(ω>0).若f(x)≤f对任意的实数x都成立，则ω的最小值为________.
解析 由于对任意的实数都有f(x)≤f成立，故当x＝时，函数f(x)有最大值，故f＝1，－＝2kπ(k∈Z)，∴ω＝8k＋(k∈Z).又ω>0，∴ωmin＝.
答案
三、解答题
9.(2018·北京卷)已知函数f(x)＝sin2x＋sin xcos x.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)若f(x)在区间上的最大值为，求m的最小值.
解 (1)f(x)＝－cos 2x＋sin 2x
＝sin＋.
所以f(x)的最小正周期为T＝＝π.
(2)由(1)知f(x)＝sin＋.
由题意知－≤x≤m，
所以－≤2x－≤2m－.
要使得f(x)在上的最大值为，
即sin在上的最大值为1.
所以2m－≥，即m≥.
故实数m的最小值为.
10.(2019·合肥质检)已知函数f(x)＝sin ωx－cos ωx(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求函数y＝f(x)图象的对称轴方程；
(2)讨论函数f(x)在上的单调性.
解 (1)∵f(x)＝sin ωx－cos ωx＝sin，且T＝π，
∴ω＝2，于是f(x)＝sin.
令2x－＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z).
即函数f(x)图象的对称轴方程为x＝＋(k∈Z).
(2)令2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
得函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z).
注意到x∈，所以令k＝0，
得函数f(x)在上的单调递增区间为；
同理，其单调递减区间为.
能力提升题组
(建议用时：20分钟)
11.若对于任意x∈R都有f(x)＋2f(－x)＝3cos x－sin x，则函数f(2x)图象的对称中心为( )
A.(k∈Z) B.(k∈Z)
C.(k∈Z) D.(k∈Z)
解析 因为f(x)＋2f(－x)＝3cos x－sin x，
所以f(－x)＋2f(x)＝3cos x＋sin x.
解得f(x)＝cos x＋sin x＝sin，
所以f(2x)＝sin.
令2x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝－(k∈Z).
所以f(2x)图象的对称中心为(k∈Z).
答案 D
12.(2017·天津卷)设函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω>0，|φ|<π.若f＝2，f＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，则( )
A.ω＝，φ＝ B.ω＝，φ＝－
C.ω＝，φ＝－ D.ω＝，φ＝
解析 ∵f＝2，f＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，
∴f(x)的最小正周期为4＝3π，
∴ω＝＝，
∴f(x)＝2sin.
∴2sin＝2，得φ＝2kπ＋(k∈Z)，
又|φ|<π，∴取k＝0，得φ＝.
答案 A
13.已知x0＝是函数f(x)＝sin(2x＋φ)的一个极大值点，则f(x)的单调递减区间是________.
解析 因为x0＝是函数f(x)＝sin(2x＋φ)的一个极大值点，
所以sin＝1，解得φ＝2kπ－(k∈Z).
不妨取φ＝－，此时f(x)＝sin，
令2kπ＋≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
得f(x)的单调递减区间是(k∈Z).
答案 (k∈Z)
14.已知函数f(x)＝sinsin x－cos2x＋.
(1)求f(x)的最大值及取得最大值时x的值；
(2)若方程f(x)＝在(0，π)上的解为x1，x2，求cos(x1－x2)的值.
解 (1)f(x)＝cos xsin x－(2cos2x－1)
＝sin 2x－cos 2x＝sin.
当2x－＝＋2kπ(k∈Z)，即x＝π＋kπ(k∈Z)时，函数f(x)取最大值，且最大值为1.
(2)由(1)知，函数f(x)图象的对称轴为x＝π＋kπ(k∈Z)，
∴当x∈(0，π)时，对称轴为x＝π.
又方程f(x)＝在(0，π)上的解为x1，x2.
∴x1＋x2＝π，则x1＝π－x2，
∴cos(x1－x2)＝cos＝sin，
又f(x2)＝sin＝，
故cos(x1－x2)＝.
任意角、弧度制及任意角的三角函数
最新考纲 1.了解任意角的概念和弧度制的概念；2.能进行弧度与角度的互化；
3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.
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知 识 梳 理
1.角的概念的推广
(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.
(2)分类
(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}.
2.弧度制的定义和公式
(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.
(2)公式
角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示)
角度与弧度的换算 1°＝ rad；1 rad＝°
弧长公式 弧长l＝|α|r
扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2
3.任意角的三角函数
(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0).
(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1，0).如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线，余弦线和正切线.
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[微点提醒]
1.三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦.
2.若α∈，则tan α>α>sin α.
3.角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用.
4.象限角的集合
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基 础 自 测
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1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)小于90°的角是锐角.( )
(2)锐角是第一象限角，反之亦然.( )
(3)将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是30°.( )
(4)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等.( )
解析 (1)锐角的取值范围是.
(2)第一象限角不一定是锐角.
(3)顺时针旋转得到的角是负角.
(4)终边相同的角不一定相等.
答案 (1)× (2)× (3)× (4)×
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2.(必修4P12例2改编)已知角α的终边过点P(8m，3)，且cos α＝－，则m的值为( )
A.－ B. C.－ D.
解析 由题意得m<0且＝－，解得m＝－.
答案 A
3.(必修4P4例1改编)在－720°～0°范围内，所有与角α＝45°终边相同的角β构成的集合为________.
解析 所有与角α终边相同的角可表示为：β＝45°＋k×360°(k∈Z)，则令－720°≤45°＋k×360°<0°(k∈Z)，得－765°≤k×360°<－45°(k∈Z).
解得k＝－2或k＝－1，∴β＝－675°或β＝－315°.
答案 {－675°，－315°}
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\考题体验.TIF" \* MERGEFORMAT
4.(2019·衡水模拟)若sin θ·cos θ<0，>0，则角θ是( )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
解析 由>0，得>0，故cos θ>0.又sin θ·cos θ<0，所以sin θ<0，所以θ为第四象限角.
答案 D
5.(2018·日照一中质检)若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α∈(0，π)的弧度数为________.
解析 设圆半径为r，则其内接正三角形的边长为r，所以r＝α·r，所以α＝.
答案
6.(2019·武汉模拟)已知角α的终边在直线y＝－x上，且cos α<0，则tan α＝________.
解析 如图，由题意知，角α的终边在第二象限，在其上任取一点P(x，y)，则y＝－x，由三角函数的定义得tan α＝＝＝－1.
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答案 －1
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考点一 角的概念及其集合表示
【例1】 (1)若角α是第二象限角，则是( )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第一或第三象限角 D.第二或第四象限角
(2)终边在直线y＝x上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________.
解析 (1)∵α是第二象限角，∴＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z，
∴＋kπ＜＜＋kπ，k∈Z.
当k为偶数时，是第一象限角；
当k为奇数时，是第三象限角.
(2)如图，在坐标系中画出直线y＝x，可以发现它与x轴的夹角是，在[0，2π)内，终边在直线y＝x上的角有两个：，π；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－π，－π，故满足条件的角α构成的集合为.
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\V6.TIF" \* MERGEFORMAT
答案 (1)C (2)
规律方法 1.利用终边相同的角的集合求适合某些条件的角：先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角.
2.若要确定一个绝对值较大的角所在的象限，一般是先将角化为2kπ＋α(0≤α<2π)(k∈Z)的形式，然后再根据α所在的象限予以判断.
【训练1】 (1)设集合M＝，
N＝，那么( )
A.M＝N B.M?N
C.N?M D.M∩N＝?
(2)已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α用集合可表示为________.
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\V9.TIF" \* MERGEFORMAT
解析 (1)由于M中，x＝·180°＋45°＝k·90°＋45°＝(2k＋1)·45°，2k＋1是奇数；而N中，x＝·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1是整数，因此必有M?N.
(2)在[0，2π)内，终边落在阴影部分角的集合为，
所以，所求角的集合为.
答案 (1)B (2){α|2kπ＋<α<2kπ＋，k∈Z}
考点二 弧度制及其应用 INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\箭头.TIF" \* MERGEFORMAT 典例迁移
【例2】 (经典母题)已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l.若α＝，R＝10 cm，求扇形的面积.
解 由已知得α＝，R＝10，
∴S扇形＝α·R2＝××102＝(cm2).
【迁移探究1】 若例题条件不变，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积.
解 l＝α·R＝×10＝(cm)，
S弓形＝S扇形－S三角形
＝·l·R－·R2·sin
＝××10－×102×
＝(cm2).
【迁移探究2】 若例题条件改为：“若扇形周长为20 cm”，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
解 由已知得，l＋2R＝20，即l＝20－2R(0所以S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，
所以当R＝5 cm时，S取得最大值25 cm2，此时l＝10 cm，α＝2 rad.
规律方法 1.应用弧度制解决问题的方法：
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度；
(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决.
2.求扇形面积的关键是求扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量.
【训练2】 (一题多解)《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝(弦×矢＋矢2)，弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆
心角为，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是( )
A.6平方米 B.9平方米
C.12平方米 D.15平方米
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\4S394.TIF" \* MERGEFORMAT
解析 法一 如图，由题意可得∠AOB＝，OA＝4，在Rt△AOD中，可得∠AOD＝，∠DAO＝，OD＝AO＝×4＝2，于是矢＝4－2＝2.
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\4S395.TIF" \* MERGEFORMAT
由AD＝AO·sin ＝4×＝2，得弦AB＝2AD＝4.
所以弧田面积＝(弦×矢＋矢2)＝×(4×2＋22)＝4＋2≈9(平方米).
法二 由已知，可得扇形的面积S1＝r2θ＝×42×＝，△AOB的面积S2＝×OA×OB×sin ∠AOB＝×4×4×sin ＝4.
故弧田的面积S＝S1－S2＝－4≈9(平方米).
答案 B
考点三 三角函数的概念
【例3】 (1)(2018·合肥质检)在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点P，则sin(π＋α)＝( )
A.－ B.－ C. D.
(2)若sin αtan α<0，且<0，则角α是( )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
解析 (1)易知sin ＝，cos ＝，则P.
由三角函数的定义可得sin α＝＝，
则sin(π＋α)＝－sin α＝－.
(2)由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号，则α为第二或第三象限角；由<0可知cos α，tan α异号，则α为第三或第四象限角.综上可知，α为第三象限角.
答案 (1)B (2)C
规律方法 1.三角函数定义的应用
(1)直接利用三角函数的定义，找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，确定这个角的三角函数值.
(2)已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程，求参数的值.
2.三角函数线的应用问题的求解思路
确定单位圆与角的终边的交点，作出所需要的三角函数线，然后求解.
【训练3】 (1)(2019·西安一中月考)如图，在平面直角坐标系xOy中，角α，β的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，若点A，B的坐标分别为和，则cos(α＋β)的值为( )
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\4S396.TIF" \* MERGEFORMAT
A.－ B.－ C.0 D.
(2)满足cos α≤－的角α的集合为________.
解析 (1)由三角函数的定义可得cos α＝，sin α＝，cos β＝－，sin β＝.
所以cos(α＋β)＝cos αcosβ－sin αsin β＝－.
(2)作直线x＝－交单位圆于C，D两点，
连接OC，OD，则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为.
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\V8.TIF" \* MERGEFORMAT
答案 (1)A (2)
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\反思与感悟A.TIF" \* MERGEFORMAT
[思维升华]
1.在利用三角函数定义时，点P可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点.|OP|＝r一定是正值.
2.在解决简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是体现数学直观想象核心素养.
[易错防范]
1.注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角.第一类是象限角，第二、第三类是区间角.
2.相等的角终边相同，但终边相同的角不一定相等.
3.已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况.
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基础巩固题组
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1.给出下列四个命题：
①－是第二象限角；②是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角.
其中正确的命题有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析 －是第三象限角，故①错误.＝π＋，从而是第三象限角，②正确.－400°＝－360°－40°，从而③正确.－315°＝－360°＋45°，从而④正确.
答案 C
2.下列与的终边相同的角的表达式中正确的是( )
A.2kπ＋45°(k∈Z) B.k·360°＋π(k∈Z)
C.k·360°－315°(k∈Z) D.kπ＋(k∈Z)
解析 与的终边相同的角可以写成2kπ＋(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，排除A、B，易知D错误，C正确.
答案 C
3.已知角α的终边经过点(，)，若α＝，则m的值为( )
A.27 B. C.9 D.
解析 ∵tan ＝＝m－＝，∴m－1＝33＝27，
∴m＝，故选B.
答案 B
4.(2019·石家庄模拟)已知点M在角θ终边的反向延长线上，且|OM|＝2，则点M的坐标为( )
A.(2cos θ，2sin θ) B.(－2cos θ，2sin θ)
C.(－2cos θ，－2sin θ) D.(2cos θ，－2sin θ)
解析 由题意知，M的坐标为(2cos(π＋θ)，2sin(π＋θ))，即(－2cos θ，－2sin θ).
答案 C
5.设θ是第三象限角，且＝－cos ，则是( )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
解析 由θ是第三象限角，知为第二或第四象限角，
∵＝－cos ，∴cos <0，综上知为第二象限角.
答案 B
6.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos 2θ＝( )
A.－ B.－ C. D.
解析 由题意知，tan θ＝2，即sin θ＝2cos θ.
将其代入sin2θ＋cos2θ＝1中可得cos2θ＝，
故cos 2θ＝2cos2θ－1＝－.
答案 B
7.(2019·潍坊一模)若角α的终边过点A(2，1)，则sin＝( )
A.－ B.－ C. D.
解析 由三角函数定义，cos α＝＝，
则sin＝－cos α＝－.
答案 A
8.已知角α的终边上一点P的坐标为，则角α的最小正值为( )
A. B. C. D.
解析 由题意知点P在第四象限，根据三角函数的定义得cos α＝sin ＝，故α＝2kπ－(k∈Z)，所以α的最小正值为.
答案 D
二、填空题
9.已知角θ的终边经过点P(4，m)，且sin θ＝，则m等于________.
解析 由题意知m>0且sin θ＝＝，解得m＝3.
答案 3
10.已知扇形的圆心角为，面积为，则扇形的弧长等于________.
解析 设扇形半径为r，弧长为l，
则解得
答案
11.(2019·许昌调研)设α是第二象限角，P(x，4)为其终边上的一点，且cos α＝x，则tan α＝________.
解析 因为α是第二象限角，
所以cos α＝x<0，即x<0.
又cos α＝x＝，
解得x＝－3，所以tan α＝＝－.
答案 －
12.已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a的取值范围是________.
解析 ∵cos α≤0，sin α>0，
∴角α的终边落在第二象限或y轴的正半轴上.
∴∴－2答案 (－2，3]
能力提升题组
(建议用时：20分钟)
13.给出下列命题：
①第二象限角大于第一象限角；
②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；
③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；
④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同；
⑤若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角.
其中正确命题的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析 举反例：第一象限角370°不小于第二象限角100°，故①错；当三角形的内角为90°时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；由于sin＝sin，但与的终边不相同，故④错；当cos θ＝－1，θ＝π时，其既不是第二象限角，也不是第三象限角，故⑤错.综上可知只有③正确.
答案 A
14.(2018·全国Ⅰ卷)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos 2α＝，则|a－b|＝( )
A. B. C. D.1
解析 由题意可知tan α＝＝b－a，
又cos 2α＝cos2α－sin2α＝＝＝＝，
∴5(b－a)2＝1，得(b－a)2＝，则|b－a|＝.
答案 B
15.函数y＝的定义域为________.
解析 ∵2sin x－1≥0，∴sin x≥.
由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影所示).
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∴x∈(k∈Z).
答案 (k∈Z)
16.已知sin α<0，tan α>0.
(1)求角α的集合；
(2)求的终边所在的象限；
(3)试判断tan sin cos 的符号.
解 (1)由sin α<0，知α在第三、四象限或y轴的负半轴上；
由tan α>0，知α在第一、三象限，故角α在第三象限，
其集合为.
(2)由(1)知2kπ＋π<α<2kπ＋，k∈Z，
故kπ＋<故的终边在第二、四象限.
(3)当在第二象限时，tan <0，
sin >0，cos <0，
所以tan sin cos 取正号；
当在第四象限时，tan <0，
sin <0，cos >0，
所以tan sin cos 也取正号.
综上，tan sin cos 取正号.
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用
最新考纲 1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响；2.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.
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知 识 梳 理
1.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示.
x － －＋ －
ωx＋φ 0 π 2π
y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0
2.函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时 振幅 周期 频率 相位 初相
A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ
3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径
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[微点提醒]
1.由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度.
2.函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)确定；对称中心由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)确定其横坐标.
基 础 自 测
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1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)将函数y＝3sin 2x的图象左移个单位长度后所得图象的解析式是y＝3sin.( )
(2)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致.( )
(3)函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.( )
(4)由图象求解析式时，振幅A的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的.( )
解析 (1)将函数y＝3sin 2x的图象向左平移个单位长度后所得图象的解析式是y＝3cos 2x.
(2)“先平移，后伸缩”的平移单位长度为|φ|，而“先伸缩，后平移”的平移单位长度为.故当ω≠1时平移的长度不相等.
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√
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2.(必修4P56T3改编)y＝2sin的振幅、频率和初相分别为( )
A.2，4π， B.2，，
C.2，，－ D.2，4π，－
解析 由题意知A＝2，f＝＝＝，初相为－.
答案 C
3.(必修4P62例4改编)某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现.下表是今年前四个月的统计情况：
月份x 1 2 3 4
收购价格y(元/斤) 6 7 6 5
选用一个正弦型函数来近似描述收购价格(元/斤)与相应月份之间的函数关系为________________________.
解析 设y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)，
由题意得A＝1，B＝6，T＝4，因为T＝，所以ω＝，
所以y＝sin＋6.
因为当x＝2时，y＝7，
所以sin(π＋φ)＋6＝7，即sin φ＝－1，
即φ＝－＋2kπ(k∈Z)，可取φ＝－.
所以y＝sin＋6＝6－cosx.
答案 y＝6－cosx
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4.(2019·永州模拟)函数y＝2cos的部分图象大致是( )
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解析 由y＝2cos可知，函数的最大值为2，故排除D；又因为函数图象过点，故排除B；又因为函数图象过点，故排除C.
答案 A
5.(2016·全国Ⅰ卷)若将函数y＝2sin的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为( )
A.y＝2sin B.y＝2sin
C.y＝2sin D.y＝2sin
解析 函数y＝2sin的周期为π，将函数y＝2sin的图象向右平移个周期即个单位，所得函数为y＝2sin＝2sin，故选D.
答案 D
6.(2018·长沙模拟改编)y＝cos(x＋1)图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是________.
解析 相邻最高点与最低点的纵坐标之差为2，横坐标之差恰为半个周期π，故它们之间的距离为.
答案
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\考点聚焦突破.tif" \* MERGEFORMAT
考点一 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
【例1】 某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) 在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
ωx＋φ 0 π 2π
x
Asin(ωx＋φ) 0 5 －5 0
(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式；
(2)将y＝f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y＝g(x)的图象.若y＝g(x)图象的一个对称中心为，求θ的最小值.
解 (1)根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－.数据补全如下表：
ωx＋φ 0 π 2π
x π
Asin(ωx＋φ) 0 5 0 －5 0
且函数解析式为f(x)＝5sin.
(2)由(1)知f(x)＝5sin，
得g(x)＝5sin.
因为函数y＝sin x图象的对称中心为(kπ，0)(k∈Z).
令2x＋2θ－＝kπ，k∈Z，解得x＝＋－θ(k∈Z).
由于函数y＝g(x)的图象关于点成中心对称，所以令＋－θ＝(k∈Z)，解得θ＝－(k∈Z).
由θ>0可知，当k＝1时，θ取得最小值.
规律方法 作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象常用如下两种方法：
(1)五点法作图，用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象；
(2)图象的变换法，由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.
【训练1】 (1)(2017·全国Ⅰ卷)已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin，则下面结论正确的是( )
A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
(2)(2018·石家庄调研)若把函数y＝sin的图象向左平移个单位长度，所得到的图象与函数y＝cos ωx的图象重合，则ω的一个可能取值是( )
A.2 B. C. D.
解析 (1)易知C1：y＝cos x＝sin，把曲线C1上的各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝sin的图象，再把所得函数的图象向左平移个单位长度，可得函数y＝sin＝sin的图象，即曲线C2，因此D项正确.
(2)y＝sin和函数y＝cos ωx的图象重合，可得π－＝＋2kπ，k∈Z，则ω＝6k＋2，k∈Z.
∴2是ω的一个可能值.
答案 (1)D (2)A
考点二 求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
【例2】 (1)(一题多解)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为________.
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\S111.TIF" \* MERGEFORMAT
(2)(2019·长郡中学、衡阳八中联考)函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，已知A，B，则f(x)图象的对称中心为( )
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\4S398.TIF" \* MERGEFORMAT
A.(k∈Z) B.(k∈Z)
C.(k∈Z) D.(k∈Z)
解析 (1)由题图可知A＝，
法一 ＝－＝，
所以T＝π，故ω＝2，
因此f(x)＝sin(2x＋φ)，
又对应五点法作图中的第三个点，
因此2×＋φ＝π＋2kπ(k∈Z)，所以φ＝＋2kπ(k∈Z)，
又|φ|<，所以φ＝.故f(x)＝sin.
法二 以为第二个“零点”，为最小值点，
列方程组解得
故f(x)＝sin.
(2)T＝2＝π＝，∴ω＝2，
因此f(x)＝sin(2x＋φ).
由五点作图法知A是第二点，得2×＋φ＝，
2×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，所以φ＝－＋2kπ(k∈Z)，
又|φ|<，所以φ＝－.∴f(x)＝sin.
由2x－＝kπ(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z).
∴f(x)图象的对称中心为(k∈Z).
答案 (1)f(x)＝sin (2)C
规律方法 1.已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，利用周期性求ω，难点是“φ”的确定.
2.y＝Asin(ωx＋φ)中φ的确定方法
(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入.
(2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.
【训练2】 (1)(2019·衡水中学一模)已知函数f(x)＝－2cos ωx(ω>0)的图象向左平移φ个单位，所得的部分函数图象如图所示，则φ的值为( )
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\4S399.TIF" \* MERGEFORMAT
A. B. C. D.
(2)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分如图所示，则f(x)图象的对称轴方程是________.
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\4S400.TIF" \* MERGEFORMAT
解析 (1)由题图知，T＝2＝π，
∴ω＝＝2，∴f(x)＝－2cos 2x，
∴f(x＋φ)＝－2cos(2x＋2φ)，
则由图象知，f＝－2cos＝2.
∴＋2φ＝2kπ＋π(k∈Z)，则φ＝＋kπ(k∈Z).
又0<φ<，所以φ＝.
(2)由图象知A＝2，
又1＝2sin(ω×0＋φ)，即sin φ＝，
又|φ|<，∴φ＝.
又×ω＋＝2π，∴ω＝2，
∴f(x)＝2sin，
令2x＋＝＋kπ(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z).
∴f(x)＝2sin的对称轴方程为x＝＋(k∈Z).
答案 (1)C (2)x＝＋(k∈Z)
考点三 y＝Asin(ωx＋φ)图象与性质的应用 INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\箭头.TIF" \* MERGEFORMAT 多维探究
角度1 三角函数模型的应用
【例3－1】 如图，某大风车的半径为2米，每12秒旋转一周，它的最低点O离地面1米，点O在地面上的射影为A.风车圆周上一点M从最低点O开始，逆时针方向旋转40秒后到达P点，则点P到地面的距离是________米.
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\4S401.TIF" \* MERGEFORMAT
解析 以圆心O1为原点，以水平方向为x轴方向，以竖直方向为y轴方向建立平面直角坐标系，则根据大风车的半径为2米，圆上最低点O离地面1米，12秒转动一周，设∠OO1P＝θ，运动t(秒)后与地面的距离为f(t).
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\4S402.TIF" \* MERGEFORMAT
又周期T＝12，所以θ＝t，
则f(t)＝3＋2sin＝3－2cos t(t≥0)，
当t＝40 s时，f(t)＝3－2cos＝4.
答案 4
角度2 三角函数性质与图象的综合应用
【例3－2】 已知函数f(x)＝2sin ωxcos ωx＋2sin2ωx－(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求函数f(x)的单调递增区间.
(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y＝g(x)的图象，若y＝g(x)在[0，b](b>0)上至少含有10个零点，求b的最小值.
解 (1)f(x)＝2sin ωxcosωx＋(2sin2ωx－1)
＝sin 2ωx－cos 2ωx＝2sin.
由最小正周期为π，得ω＝1，
所以f(x)＝2sin，
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
整理得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
所以函数f(x)的单调递增区间是(k∈Z).
(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到y＝2sin 2x＋1的图象；
所以g(x)＝2sin 2x＋1.
令g(x)＝0，得x＝kπ＋或x＝kπ＋(k∈Z)，
所以在[0，π]上恰好有两个零点，若y＝g(x)在[0，b]上有10个零点，则b不小于第10个零点的横坐标即可.
所以b的最小值为4π＋＝.
规律方法 1.三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型，再利用三角函数的有关知识解决问题.
2.方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数.
3.研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题.
【训练3】 (1)某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用函数y＝a＋Acos(x＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高为28 ℃，12月份的月平均气温最低为18 ℃，则10月份的平均气温为________℃.
解析 因为当x＝6时，y＝a＋A＝28；
当x＝12时，y＝a－A＝18，所以a＝23，A＝5，
所以y＝f(x)＝23＋5cos，
所以当x＝10时，f(10)＝23＋5cos
＝23－5×＝20.5.
答案 20.5
(2)已知函数f(x)＝5sin xcos x－5cos2x＋(其中x∈R)，求：
①函数f(x)的最小正周期；
②函数f(x)的单调区间；
③函数f(x)图象的对称轴和对称中心.
解 ①因为f(x)＝sin 2x－(1＋cos 2x)＋
＝5(sin 2x－cos 2x)＝5sin，
所以函数的最小正周期T＝＝π.
②由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
所以函数f(x)的递增区间为(k∈Z).
由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，
所以函数f(x)的递减区间为(k∈Z).
③由2x－＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，
所以函数f(x)的对称轴方程为x＝＋(k∈Z).
由2x－＝kπ(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，
所以函数f(x)的对称中心为(k∈Z).
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[思维升华]
1.五点法作图及图象变换问题
(1)五点法作简图要取好五个关键点，注意曲线凸凹方向；
(2)图象变换时的伸缩、平移总是针对自变量x而言，而不是看角ωx＋φ的变化.
2.由图象确定函数解析式
解决由函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象确定A，ω，φ的问题时，常常以“五点法”中的五个点作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个“零点”和第二个“零点”的位置.要善于抓住特殊量和特殊点.
[易错防范]
1.由函数y＝sin x的图象经过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，如先伸缩再平移时，要把x前面的系数提取出来.
2.复合形式的三角函数的单调区间的求法.函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的单调区间的确定，基本思想是把ωx＋φ看作一个整体.若ω<0，要先根据诱导公式进行转化.
3.求函数y＝Asin(ωx＋φ)在x∈[m，n]上的最值，可先求t＝ωx＋φ的范围，再结合图象得出y＝Asin t的值域.
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\核心素养提升A.tif" \* MERGEFORMAT
逻辑推理与数学运算——三角函数中有关ω的求解
数学运算是解决数学问题的基本手段，通过运算可促进学生思维的发展；而逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式.运算和推理贯穿于探究数学问题的始终，可交替使用，相辅相成.
类型1 三角函数的周期T与ω的关系
【例1】 为了使函数y＝sin ωx(ω>0)在区间[0，1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值为( )
A.98π B.π C.π D.100π
解析 由题意，至少出现50次最大值即至少需用49个周期，所以T＝·≤1，所以ω≥π.
答案 B
评析 解决此类问题的关键在于结合条件弄清周期T＝与所给区间的关系，从而建立不等关系.
类型2 三角函数的单调性与ω的关系
【例2】 若函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在区间上单调递减，则ω的取值范围是( )
A.0≤ω≤ B.0≤ω≤
C.≤ω≤3 D.≤ω≤3
解析 令＋2kπ≤ωx≤π＋2kπ(k∈Z)，得＋≤x≤＋，因为f(x)在上单调递减，
所以得6k＋≤ω≤4k＋3.
又ω>0，所以k≥0，
又6k＋<4k＋3，得0≤k<，所以k＝0.
故≤ω≤3.
答案 D
评析 根据正弦函数的单调递减区间，确定函数f(x)的单调递减区间，根据函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在区间上单调递减，建立不等式，即可求ω的取值范围.
类型3 三角函数的对称性、最值与ω的关系
【例3】 (1)(2019·枣庄模拟)已知f(x)＝sin ωx－cos ωx，若函数f(x)图象的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标都不属于区间(π，2π)，则ω的取值范围是________.(结果用区间表示)
(2)已知函数f(x)＝2sin ωx在区间上的最小值为－2，则ω的取值范围是________.
解析 (1)f(x)＝sin ωx－cos ωx＝sin，
令ωx－＝＋kπ(k∈Z)，解得x＝＋(k∈Z).
当k＝0时，≤π，即≤ω，
当k＝1时，＋≥2π，即ω≤.
综上，≤ω≤.
(2)显然ω≠0，分两种情况：
若ω>0，当x∈时，－ω≤ωx≤ω.
因函数f(x)＝2sin ωx在区间上的最小值为－2，所以－ω≤－，解得ω≥.
若ω<0，当x∈时，ω≤ωx≤－ω，
因函数f(x)＝2sin ωx在区间上的最小值为－2，所以ω≤－，解得ω≤－2.
综上所述，符合条件的实数ω≤－2或ω≥.
答案 (1) (2)
评析 这类三角函数题除了需要熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的单调性外，还必须知晓一个周期里函数最值的变化，以及何时取到最值，函数取到最值的区间要求与题目给定的区间的关系如何.
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基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1. (2016·全国Ⅱ卷)函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则( )
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\16W1.TIF" \* MERGEFORMAT
A.y＝2sin B.y＝2sin
C.y＝2sin D.y＝2sin
解析 由题图可知，A＝2，T＝2＝π，
所以ω＝2，由五点作图法知2×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，
所以φ＝－，所以函数的解析式为y＝2sin.
答案 A
2.(2019·洛阳期中)将函数y＝sin·cos的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的取值不可能是( )
A.－ B.－ C. D.
解析 将y＝sincos＝sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位后得到的图象对应的函数为y＝sin，由题意得＋φ＝kπ＋(k∈Z)，
∴φ＝kπ＋(k∈Z)，当k＝－1，0，1时，φ的值分别为－，，，φ的取值不可能是－.
答案 B
3.(2019·咸阳模拟)已知点P(，－)是函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)图象上的一个最低点，M，N是与点P相邻的两个最高点，若∠MPN＝60°，则该函数的最小正周期是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
解析 由P是函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)图象上的一个最低点，M，N是与P相邻的两个最高点，知|MP|＝|NP|，
又∠MPN＝60°，所以△MPN为等边三角形.
由P，得|MN|＝×2＝6.
∴该函数的最小正周期T＝6.
答案 D
4.(2018·天津卷)将函数y＝sin的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数( )
A.在区间上单调递增
B.在区间上单调递减
C.在区间上单调递增
D.在区间上单调递减
解析 y＝sin＝sin 2，将其图象向右平移个单位长度，得到函数y＝sin 2x的图象.由2kπ－≤2x≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.令k＝0，可知函数y＝sin 2x在区间上单调递增.
答案 A
5.(2019·张家界模拟)将函数f(x)＝sin 2x－cos 2x的图象向左平移t(t>0)个单位后，得到函数g(x)的图象，若g(x)＝g，则实数t的最小值为( )
A. B. C. D.
解析 由题意得，f(x)＝2sin，
则g(x)＝2sin，
从而2sin＝2sin＝－2sin(2x－2t)＝2sin(2x－2t＋π)，又t>0，
所以当2t－＝－2t＋π＋2kπ时，即t＝＋(k∈Z)，实数tmin＝π.
答案 B
二、填空题
6.将函数y＝sin x的图象上所有的点向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是________________.
y＝sin.
答案 y＝sin
7. (2018·沈阳质检)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，则f＝________.
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\5S3.TIF" \* MERGEFORMAT
解析 由图象可知A＝2，T＝－＝，∴T＝π，∴ω＝2.
∵当x＝时，函数f(x)取得最大值，
∴2×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，∴φ＝＋2kπ(k∈Z)，
∵0<φ<π，∴φ＝，∴f(x)＝2sin，
则f＝2sin＝2cos ＝.
答案
8.已知f(x)＝sin(ω>0)，f＝f，且f(x)在区间上有最小值，无最大值，则ω＝____________________________________________.
解析 依题意，x＝＝时，y有最小值，
∴sin＝－1，∴ω＋＝2kπ＋ (k∈Z).
∴ω＝8k＋ (k∈Z)，
因为f(x)在区间上有最小值，无最大值，
所以－≤，即ω≤12，
令k＝0，得ω＝.
答案
三、解答题
9.某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)＝10－cost－sint，t∈[0，24).
(1)求实验室这一天上午8时的温度；
(2)求实验室这一天的最大温差.
解 (1)f(8)＝10－cos－sin
＝10－cos －sin ＝10－×－＝10.
故实验室上午8时的温度为10 ℃.
(2)因为f(t)＝10－2(cost＋sint)＝10－2sin，
又0≤t<24，所以≤t＋<，－1≤sin≤1.
当t＝2时，sin＝1；
当t＝14时，sin＝－1.
于是，f(t)在[0，24)上取得最大值12，取得最小值8.
故实验室这一天的最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.
10.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象关于直线x＝对称，且图象上相邻最高点的距离为π.
(1)求f的值；
(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位后，得到y＝g(x)的图象，求g(x)的单调递减区间.
解 (1)因为f(x)的图象上相邻最高点的距离为π，
所以f(x)的最小正周期T＝π，从而ω＝＝2.
又f(x)的图象关于直线x＝对称，
所以2×＋φ＝kπ＋(k∈Z)，
因为－≤φ＜，所以k＝0，
所以φ＝－＝－，所以f(x)＝sin，
则f＝sin＝sin ＝.
(2)将f(x)的图象向右平移个单位后，得到f的图象，
所以g(x)＝f＝sin＝sin.
当2kπ＋≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
即kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)时，g(x)单调递减.
因此g(x)的单调递减区间为(k∈Z).
能力提升题组
(建议用时：20分钟)
11.(2019·合肥调研)已知x＝是函数f(x)＝sin(2x＋φ)＋cos(2x＋φ)(0<φ<π)图象的一条对称轴，将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，则函数g(x)在上的最小值为( )
A.－2 B.－1 C.－ D.－
解析 ∵x＝是f(x)＝2sin图象的一条对称轴，∴＋φ＝kπ＋(k∈Z)，即φ＝kπ＋(k∈Z).
∵0<φ<π，∴φ＝，则f(x)＝2sin，
∴g(x)＝－2sin在上的最小值为g＝－1.
答案 B
12.已知函数f(x)＝2sin cos ＋2cos2－1(ω>0)的最小正周期为π，当x∈时，方程f(x)＝m恰有两个不同的实数解x1，x2，则f(x1＋x2)＝( )
A.2 B.1 C.－1 D.－2
解析 函数f(x)＝2sin cos ＋2cos2－1
＝sin ωx＋cos ωx＝2sin.
由T＝＝π，可得ω＝2，∴f(x)＝2sin.
∵x∈，∴≤2x＋≤，∴－1≤f(x)≤2.
画出f(x)的图象(图略)，结合图象知x1＋x2＝，
则f(x1＋x2)＝f＝2sin＝2sin ＝1.
答案 B
13.(2019·广东省际名校联考)将函数f(x)＝1－2·cos2x－(sin x－cos x)2的图象向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，若x∈，则函数g(x)的单调递增区间是________.
解析 ∵f(x)＝1－2cos2 x－(sin x－cos x)2
＝sin 2x－cos 2x－＝2sin－，
∴g(x)＝2sin－＝2sin－，
由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，
得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，
∵x∈，
∴函数g(x)在上的单调递增区间是.
答案
14.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜)的部分图象如图所示.
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\A36.TIF" \* MERGEFORMAT
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的倍，再把所得的函数图象向左平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)在区间上的最小值.
解 (1)设函数f(x)的最小正周期为T，由题图可知
A＝1，＝－＝，
即T＝π，所以π＝，解得ω＝2，
所以f(x)＝sin(2x＋φ)，又过点，
由0＝sin可得＋φ＝2kπ(k∈Z)，
则φ＝2kπ－(k∈Z)，因为|φ|＜，所以φ＝－，
故函数f(x)的解析式为f(x)＝sin.
(2)根据条件得g(x)＝sin，
当x∈时，4x＋∈，
所以当x＝时，g(x)取得最小值，且g(x)min＝.
同角三角函数基本关系式与诱导公式
最新考纲 1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α；2.能利用单位圆中的三角函数线推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\知识衍化体验.TIF" \* MERGEFORMAT
知 识 梳 理
1.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.
(2)商数关系：＝tan__α.
2.三角函数的诱导公式
公式 一 二 三 四 五 六
角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α
正弦 sin α －sin__α －sin__α sin__α cos__α cos__α
余弦 cos α －cos__α cos__α －cos__α sin__α －sin__α
正切 tan α tan__α －tan__α －tan__α
口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限
[微点提醒]
1.同角三角函数关系式的常用变形
(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；sin α＝tan α·cos α.
2.诱导公式的记忆口诀
“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.
3.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.
基 础 自 测
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\疑误辨析.TIF" \* MERGEFORMAT
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角.( )
(2)六组诱导公式中的角α可以是任意角.( )
(3)若α∈R，则tan α＝恒成立.( )
(4)若sin(kπ－α)＝(k∈Z)，则sin α＝.( )
解析 (1)中对于任意α∈R，恒有sin(π＋α)＝－sin α.
(3)中当α的终边落在y轴上，商数关系不成立.
(4)当k为奇数时，sin α＝，
当k为偶数时，sin α＝－.
答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\教材衍化.TIF" \* MERGEFORMAT
2.(必修4P21A12改编)已知tan α＝－3，则cos2α－sin2α＝( )
A. B.－ C. D.－
解析 由同角三角函数关系得cos2α－sin2α＝＝＝＝－.
答案 B
3.(必修4P29B2改编)已知α为锐角，且sin α＝，则cos (π＋α)＝( )
A.－ B. C.－ D.
解析 因为α为锐角，所以cos α＝＝，
故cos(π＋α)＝－cos α＝－.
答案 A
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4.(2017·全国Ⅲ卷)已知sin α－cos α＝，则sin 2α＝( )
A.－ B.－ C. D.
解析 ∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－sin 2α，
∴sin 2α＝1－＝－.
答案 A
5.(2019·济南质检)若sin α＝－，且α为第四象限角，则tan α＝( )
A. B.－ C. D.－
解析 ∵sin α＝－，α为第四象限角，
∴cos α＝＝，因此tan α＝＝－.
答案 D
6.(2018·成都月考)化简：＝________.
解析 原式＝＝＝1.
答案 1
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考点一 同角三角函数基本关系式的应用
【例1】 (1)(2018·兰州测试)已知sin αcos α＝，且<α<，则cos α－sin α＝( )
A.－ B. C.－ D.
(2)(2019·平顶山联考)已知＝5，则cos2α＋sin 2α＝( )
A. B.－ C.－3 D.3
解析 (1)∵<α<，
∴cos α<0，sin α<0且cos α>sin α，
∴cos α－sin α>0.
又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×＝，
∴cos α－sin α＝.
(2)由＝5得＝5，可得tan α＝2，
则cos2α＋sin 2α＝cos2α＋sin αcos α＝＝＝.
答案 (1)B (2)A
规律方法 1.利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以实现角α的弦切互化.
2.应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二.
3.注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.
【训练1】 (1)若3sin α＋cos α＝0，则的值为( )
A. B. C. D.－2
(2)(2018·全国Ⅱ卷)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________.
解析 (1)3sin α＋cos α＝0?cos α≠0?tan α＝－，＝＝
＝＝.
(2)由sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，
两式平方相加，得2＋2sin αcos β＋2cos αsin β＝1，
整理得sin(α＋β)＝－.
答案 (1)A (2)－
考点二 诱导公式的应用
【例2】 (1)(2019·衡水中学调研)若cos＝，则cos(π－2α)＝( )
A. B. C.－ D.－
(2)设f(α)＝(1＋2sin α≠0)，则f＝________.
解析 (1)由cos＝，得sin α＝.
∴cos(π－2α)＝－cos 2α＝－(1－2sin2α)＝2sin2α－1＝2×－1＝－.
(2)∵f(α)＝
＝＝＝，
∴f＝＝＝.
答案 (1)D (2)
规律方法 1.诱导公式的两个应用
(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.
(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了.
2.含2π整数倍的诱导公式的应用
由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算，如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α.
【训练2】 (1)(2017·北京卷)在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若sin α＝，则sin β＝________.
(2)已知cos＝a，则cos＋sin的值是________.
解析 (1)α与β的终边关于y轴对称，则α＋β＝π＋2kπ，k∈Z，∴β＝π－α＋2kπ，k∈Z.
∴sin β＝sin(π－α＋2kπ)＝sin α＝.
(2)∵cos＝cos＝－cos
＝－a，
sin＝sin＝a，
∴cos＋sin＝－a＋a＝0.
答案 (1) (2)0
考点三 同角三角函数基本关系式与诱导公式的活用
【例3】 (1)(2019·菏泽联考)已知α∈，sin＝，则tan(π＋2α)＝( )
A. B.± C.± D.
(2)(2018·福州调研)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α＝( )
A. B. C. D.
解析 (1)∵α∈，sin＝，
∴cos α＝，sin α＝－，tan α＝＝－2.
∴tan(π＋2α)＝tan 2α＝＝＝.
(2)由已知得
消去sin β，得tan α＝3，
∴sin α＝3cos α，代入sin2α＋cos2α＝1，
化简得sin2α＝，则sin α＝(α为锐角).
答案 (1)A (2)C
(3)已知－π①求sin x－cos x的值；
②求的值.
解 ①由已知，得sin x＋cos x＝，
两边平方得sin2x＋2sin xcos x＋cos2 x＝，
整理得2sin xcos x＝－.
∵(sin x－cos x)2＝1－2sin xcos x＝，
由－π又sin xcos x＝－<0，
∴cos x>0，∴sin x－cos x<0，
故sin x－cos x＝－.
②＝
＝
＝＝－.
规律方法 1.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.
2.(1)注意角的范围对三角函数值符号的影响，开方时先判断三角函数值的符号；
(2)熟记一些常见互补的角、互余的角，如－α与＋α互余等.
【训练3】 (1)(2019·湖北七州市联考)已知α∈(0，π)，且cos α＝－，则sin·tan α＝( )
A.－ B.－ C. D.
(2)(2016·全国Ⅰ卷)已知θ是第四象限角，且sin＝，则tan＝________.
解析 (1)∵α∈(0，π)，且cos α＝－，∴sin α＝，
因此sin·tan α＝cos α·＝sin α＝.
(2)由题意，得cos＝，∴tan＝.
∴tan＝tan＝－＝－.
答案 (1)C (2)－
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[思维升华]
1.同角三角函数基本关系可用于统一函数；诱导公式主要用于统一角，其主要作用是进行三角函数的求值、化简和证明.
2.三角函数求值、化简的常用方法：(1)弦切互化法：主要利用公式tan x＝进行切化弦或弦化切，如，asin2x＋bsin xcos x＋ccos2x等类型可进行弦化切.
(2)和积转换法：如利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化.
(3)巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝sin2θ(1＋)＝tan 等.
[易错防范]
1.利用诱导公式进行化简求值时，可利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐.
特别注意函数名称和符号的确定.
2.注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.
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基础巩固题组
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1.sin 600°的值为( )
A.－ B.－ C. D.
解析 sin 600°＝sin(360°＋240°)＝sin 240°
＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－.
答案 B
2.(2019·衡水模拟)已知直线2x－y－1＝0的倾斜角为α，则sin 2α－2cos2α＝( )
A. B.－ C.－ D.－
解析 由题意知tan α＝2，
∴sin 2α－2cos2α＝＝＝.
答案 A
3.＝( )
A.sin 2－cos 2 B.sin 2＋cos 2
C.±(sin 2－cos 2) D.cos 2－sin 2
解析 ＝
＝＝|sin 2－cos 2|＝sin 2－cos 2.
答案 A
4.已知sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，|θ|<，则θ等于( )
A.－ B.－ C. D.
解析 ∵sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，
∴－sin θ＝－cos θ，
∴tan θ＝，∵|θ|＜，∴θ＝.
答案 D
5.已知sin＝，则cos＝( )
A. B. C.－ D.－
解析 因为sin＝，所以cos＝sin＝sin＝.
答案 B
6.向量a＝，b＝(cos α，1)，且a∥b，则cos＝( )
A.－ B. C.－ D.－
解析 ∵a＝，b＝(cos α，1)，且a∥b，
∴×1－tan αcos α＝0，∴sin α＝，
∴cos＝－sin α＝－.
答案 A
7.已知函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，且f(4)＝3，则f(2 020)的值为( )
A.－1 B.1 C.3 D.－3
解析 ∵f(4)＝asin(4π＋α)＋bcos(4π＋β)＝asin α＋bcos β＝3，
∴f(2 020)＝asin(2 020π＋α)＋bcos(2 020π＋β)＝asin α＋bcos β＝3.
答案 C
二、填空题
8.已知sin α＝－，且α为第三象限的角，则tan α＝______.
解析 ∵sin α＝－，且α为第三象限的角，
∴cos α＝－＝－，∴tan α＝＝.
答案
9.已知tan＝，则tan＝________.
解析 ∵＋＝π，
∴tan＝tan＝－tan＝－.
答案 －
10.已知sin θ＋cos θ＝，θ∈，则sin θ－cos θ的值为________.
解析 ∵sin θ＋cos θ＝，∴sin θcos θ＝.
又∵(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝，
又∵θ∈，∴sin θ－cos θ＝－.
答案 －
11.已知tan θ＝3，则cos＝________.
解析 ∵tan θ＝3，∴cos＝sin 2θ＝＝＝＝.
答案
12.(2019·邯郸一模)若sin(α＋β)＝3sin(π－α＋β)，且α，β∈，则＝________.
解析 由条件，得sin(α＋β)＝3sin(α－β)，
∴sin αcos β＝2cos αsin β，则tan α＝2tan β，
因此＝2.
答案 2
能力提升题组
(建议用时：20分钟)
13.若sin θ，cos θ是方程4x2＋2mx＋m＝0的两根，则m的值为( )
A.1＋ B.1－
C.1± D.－1－
解析 由题意知sin θ＋cos θ＝－，sin θ·cos θ＝.
又＝1＋2sin θcos θ，
∴＝1＋，解得m＝1±.
又Δ＝4m2－16m≥0，∴m≤0或m≥4，∴m＝1－.
答案 B
14.已知sincos＝，且0<α<，则sin α＝________，cos α＝________.
解析 sincos＝－cos α·(－sin α)＝sin αcos α＝.
∵0<α<，∴0又∵sin2α＋cos2α＝1，
∴sin α＝，cos α＝.
答案
15.已知k∈Z，化简：＝________.
解析 当k＝2n(n∈Z)时，
原式＝
＝＝＝－1；
当k＝2n＋1(n∈Z)时，
原式＝
＝＝＝－1.
综上，原式＝－1.
答案 －1
16.是否存在α∈，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝cos，
cos(－α)＝－cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由.
解 假设存在角α，β满足条件，
则由已知条件可得
由①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2.
∴sin2α＝，∴sin α＝±.
∵α∈，∴α＝±.
当α＝时，由②式知cos β＝，
又β∈(0，π)，∴β＝，此时①式成立；
当α＝－时，由②式知cos β＝，
又β∈(0，π)，∴β＝，此时①式不成立，故舍去.
∴存在α＝，β＝满足条件.
