正弦定理和余弦定理
最新考纲 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.
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知 识 梳 理
1.正、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理 正弦定理 余弦定理
公式 ＝＝＝2R a2＝b2＋c2－2bccos__A；b2＝c2＋a2－2cacos__B；c2＝a2＋b2－2abcos__C
常见变形 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin__B，c＝2Rsin__C； (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (3)a∶b∶c＝sin__A∶sin__B∶sin__C； (4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A cos A＝； cos B＝； cos C＝
2.S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝＝(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.
3.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：
A为锐角 A为钝角或直角
图形 INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\V19.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\V20.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\V21.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\V22.TIF" \* MERGEFORMAT
关系式 a＝bsin A bsin A
b a≤b
解的个数 一解 两解 一解 一解 无解
[微点提醒]
1.三角形中的三角函数关系
(1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cos(A＋B)＝－cos C；
(3)sin＝cos；(4)cos＝sin.
2.三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B.
3.在△ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A>B?a>b?sin A>
sin B?cos A基 础 自 测
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1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.( )
(2)在△ABC中，若sin A>sin B，则A>B.( )
(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.( )
(4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，△ABC为直角三角形；当b2＋c2－a2<0时，△ABC为钝角三角形.( )
解析 (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角的正弦值之比.
(3)已知三角时，不可求三边.
(4)当b2＋c2－a2>0时，三角形ABC不一定为锐角三角形.
答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×
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2.(必修5P10A4改编)在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC＝( )
A. B. C. D.
解析 在△ABC中，设AB＝c＝5，AC＝b＝3，BC＝a＝7，由余弦定理得cos∠BAC＝＝＝－，
由A∈(0，π)，得A＝，即∠BAC＝.
答案 C
3.(必修5P10B2改编)在△ABC中，acos A＝bcos B，则这个三角形的形状为________.
解析 由正弦定理，得sin Acos A＝sin Bcos B，
即sin 2A＝sin 2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B，
即A＝B或A＋B＝，
所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形.
答案 等腰三角形或直角三角形
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4.(2018·沈阳质检)已知△ABC中，A＝，B＝，a＝1，则b等于( )
A.2 B.1 C. D.
解析 由正弦定理＝，得＝，
∴＝，∴b＝.
答案 D
5.(2018·全国Ⅱ卷)在△ABC中，cos ＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝( )
A.4 B. C. D.2
解析 由题意得cos C＝2cos2 －1＝2×－1＝－.
在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos C＝52＋12－2×5×1×＝32，
所以AB＝4.
答案 A
6.(2019·荆州一模)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝2，cos A＝，sin B＝2sin C，则△ABC的面积是________.
解析 由sin B＝2sin C，cos A＝，A为△ABC一内角
可得b＝2c，sin A＝＝，
∴由a2＝b2＋c2－2bccos A，可得8＝4c2＋c2－3c2，
解得c＝2(舍负)，则b＝4.
∴S△ABC＝bcsin A＝×2×4×＝.
答案
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考点一 利用正、余弦定理解三角形
【例1】 (1)(2017·全国Ⅲ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C＝60°，b＝，c＝3，则A＝________.
(2)(2019·枣庄二模)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，则A＝( )
A. B. C. D.
(3)(2018·全国Ⅲ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为，则C＝( )
A. B. C. D.
解析 (1)由正弦定理，得sin B＝＝＝，
结合b(2)∵(a＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，
∴由正弦定理得(a＋b)(a－b)＝c(c－b)，即b2＋c2－a2＝bc.
所以cos A＝＝，又A∈(0，π)，所以A＝.
(3)因为a2＋b2－c2＝2abcos C，
且S△ABC＝，
所以S△ABC＝＝absin C，所以tan C＝1.
又C∈(0，π)，故C＝.
答案 (1)75° (2)B (3)C
规律方法 1.三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.
2.已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形.可用正弦定理，也可用余弦定理.用正弦定理时，需判断其解的个数，用余弦定理时，可根据一元二次方程根的情况判断解的个数.
【训练1】 (1)(2017·全国Ⅰ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin B＋sin A(sin C－cos C)＝0，a＝2，c＝，则C＝( )
A. B. C. D.
(2)(2019·郑州二模)在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c.若2cos2－cos 2C＝1，4sin B＝3sin A，a－b＝1，则c的值为( )
A. B. C. D.6
(3)在△ABC中，已知a＝2，b＝，A＝45°，则满足条件的三角形有( )
A.1个 B.2个 C.0个 D.无法确定
解析 (1)由题意得sin(A＋C)＋sin A(sin C－cos C)＝0，
∴sin Acos C＋cos Asin C＋sin Asin C－sin Acos C＝0，
则sin C(sin A＋cos A)＝sin Csin＝0，
因为C∈(0，π)，所以sin C≠0，所以sin＝0，
又因为A∈(0，π)，所以A＋＝π，所以A＝.
由正弦定理＝，得＝，
则sin C＝，又C∈(0，π)，得C＝.
(2)由2cos2－cos 2C＝1，
可得2cos2－1－cos 2C＝0，
则有cos 2C＋cos C＝0，即2cos2C＋cos C－1＝0，
解得cos C＝或cos C＝－1(舍)，
由4sin B＝3sin A，得4b＝3a，①
又a－b＝1，②
联立①，②得a＝4，b＝3，
所以c2＝a2＋b2－2abcos C＝16＋9－12＝13，则c＝.
(3)∵bsin A＝×＝，∴bsin A∴满足条件的三角形有2个.
答案 (1)B (2)A (3)B
考点二 判断三角形的形状
【例2】 (1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A.钝角三角形 B.直角三角形
C.锐角三角形 D.等边三角形
(2)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.不确定
解析 (1)由又B∈(0，π)，所以sin B>0，
所以sin C即sin(A＋B)所以sin Acos B<0，
因为在三角形中sin A>0，所以cos B<0，
即B为钝角，所以△ABC为钝角三角形.
(2)由正弦定理得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A，
∴sin(B＋C)＝sin2A，即sin A＝sin2A.
∵A∈(0，π)，∴sin A>0，∴sin A＝1，即A＝，
∴△ABC为直角三角形.
答案 (1)A (2)B
规律方法 1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁.
2.无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制.
【训练2】 若将本例(2)中条件变为“c－acos B＝(2a－b)cos A”，判断△ABC的形状.
解 ∵c－acos B＝(2a－b)cos A，C＝π－(A＋B)，
∴由正弦定理得sin C－sin Acos B＝2sin Acos A－sin Bcos A，
∴sin Acos B＋cos Asin B－sin Acos B＝2sin Acos A－sin Bcos A，
∴cos A(sin B－sin A)＝0，
∴cos A＝0或sin B＝sin A，
∴A＝或B＝A或B＝π－A(舍去)，
∴△ABC为等腰或直角三角形.
考点三 和三角形面积、周长有关的问题 INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\箭头.TIF" \* MERGEFORMAT 多维探究
角度1 与三角形面积有关的问题
【例3－1】 (2017·全国Ⅲ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋cos A＝0，a＝2，b＝2.
(1)求c；
(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积.
解 (1)由sin A＋cos A＝0及cos A≠0，
得tan A＝－，又0所以A＝.
由余弦定理，得28＝4＋c2－4c·cos .
即c2＋2c－24＝0，解得c＝－6(舍去)，c＝4.
(2)由题设可得∠CAD＝，所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝.
故△ABD与△ACD面积的比值为＝1.
又△ABC的面积为×4×2sin∠BAC＝2，
所以△ABD的面积为.
角度2 与三角形周长有关的问题
【例3－2】 (2018·大理模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足asin B＝bcos A.若a＝4，则△ABC周长的最大值为________.
解析 由正弦定理＝，
可将asin B＝bcos A转化为sin Asin B＝sin Bcos A.
又在△ABC中，sin B>0，∴sin A＝cos A，
即tan A＝.
∵0由余弦定理得a2＝16＝b2＋c2－2bccos A
＝(b＋c)2－3bc≥(b＋c)2－3，
则(b＋c)2≤64，即b＋c≤8(当且仅当b＝c＝4时等号成立)，
∴△ABC周长＝a＋b＋c＝4＋b＋c≤12，即最大值为12.
答案 12
规律方法 1.对于面积公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.
2.与面积周长有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.
【训练3】 (2019·潍坊一模)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(a＋2c)cos B＋bcos A＝0.
(1)求B；
(2)若b＝3，△ABC的周长为3＋2，求△ABC的面积.
解 (1)由已知及正弦定理得
(sin A＋2sin C)cos B＋sin Bcos A＝0，
(sin Acos B＋sin Bcos A)＋2sin Ccos B＝0，
sin(A＋B)＋2sin Ccos B＝0，
又sin(A＋B)＝sin C，且C∈(0，π)，sin C≠0，
∴cos B＝－，∵0(2)由余弦定理，得9＝a2＋c2－2accos B.
∴a2＋c2＋ac＝9，则(a＋c)2－ac＝9.
∵a＋b＋c＝3＋2，b＝3，∴a＋c＝2，
∴ac＝3，∴S△ABC＝acsin B＝×3×＝.
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[思维升华]
1.正弦定理和余弦定理其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系.
2.在已知关系式中，既含有边又含有角，通常的解题思路是：先将角都化成边或边都化成角，再结合正弦定理、余弦定理即可求解.
3.在△ABC中，若a2＋b2[易错防范]
1.在利用正弦定理解有关已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形时，有时出现一解、两解，所以要进行分类讨论.
另外三角形内角和定理起着重要作用，在解题中要注意根据这个定理确定角的范围，确定三角函数值的符号，防止出现增解等扩大范围的现象.
2.在判断三角形的形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解.
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基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1.(2016·全国Ⅰ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝，c＝2，cos A＝，则b＝( )
A. B. C.2 D.3
解析 由余弦定理，得5＝b2＋22－2×b×2×，解得b＝3.
答案 D
2.在△ABC中，cos2＝(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为( )
A.等边三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形或直角三角形
D.等腰直角三角形
解析 因为cos2＝，
所以2cos2－1＝－1，所以cos B＝，
所以＝，所以c2＝a2＋b2.
所以△ABC为直角三角形.
答案 B
3.(2019·石家庄一模)在△ABC中，AB＝2，C＝，则AC＋BC的最大值为( )
A. B.2 C.3 D.4
解析 在△ABC中，AB＝2，C＝，
则＝＝＝4，
则AC＋BC＝4sin B＋4sin A
＝4sin＋4sin A＝2cos A＋6sin A
＝4sin(A＋θ)，(其中tan θ＝).
所以AC＋BC的最大值为4.
答案 D
4.(2019·开封模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝，＝2sin Asin B，且b＝6，则c＝( )
A.2 B.3 C.4 D.6
解析 在△ABC中，A＝，b＝6，
∴a2＝b2＋c2－2bccos A，即a2＝36＋c2－6c，①
又＝2sin Asin B，∴＝2ab，
即cos C＝＝，∴a2＋36＝4c2，②
由①②解得c＝4或c＝－6(不合题意，舍去).因此c＝4.
答案 C
5.(2018·全国Ⅰ卷改编)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为( )
A. B. C. D.
解析 由bsin C＋csin B＝4asin Bsin C及正弦定理，
得2sin Bsin C＝4sin Asin Bsin C，
易知sin Bsin C≠0，∴sin A＝.
又b2＋c2－a2＝8，
∴cos A＝＝，则cos A>0.
∴cos A＝，即＝，则bc＝.
∴△ABC的面积S＝bcsin A＝××＝.
答案 B
二、填空题
6.(2018·浙江卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝2，A＝60°，则sin B＝________，c＝________.
解析 由＝，得sin B＝sin A＝，
又a2＝b2＋c2－2bccos A，
∴c2－2c－3＝0，解得c＝3(c＝－1舍去).
答案 3
7.(2019·合肥模拟)我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，则“三斜求积”公式为S＝.若a2sin C＝4sin A，(a＋c)2＝12＋b2，则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为________.
解析 根据正弦定理及a2sin C＝4sin A，可得ac＝4，
由(a＋c)2＝12＋b2，可得a2＋c2－b2＝4，
所以S△ABC＝＝＝.
答案
8.在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且B为锐角，若＝，sin B＝，S△ABC＝，则b的值为________.
解析 由＝?＝?a＝c，①
由S△ABC＝acsin B＝且sin B＝得ac＝5，②
联立①，②得a＝5，且c＝2.
由sin B＝且B为锐角知cos B＝，
由余弦定理知b2＝25＋4－2×5×2×＝14，b＝.
答案
三、解答题
9.(2018·北京卷)在△ABC中，a＝7，b＝8，cos B＝－.
(1)求∠A；
(2)求AC边上的高.
解 (1)在△ABC中，因为cos B＝－，
所以sin B＝＝.
由正弦定理得sin A＝＝.
由题设知<∠B<π，所以0<∠A<.
所以∠A＝.
(2)在△ABC中，
因为sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝，
所以AC边上的高为asin C＝7×＝.
10.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2－ab－2b2＝0.
(1)若B＝，求A，C；
(2)若C＝，c＝14，求S△ABC.
解 (1)由已知B＝，a2－ab－2b2＝0结合正弦定理化简整理得2sin2A－sin A－1＝0，
于是sin A＝1或sin A＝－(舍).
因为0又A＋B＋C＝π，
所以C＝π－－＝.
(2)由题意及余弦定理可知a2＋b2＋ab＝196，①
由a2－ab－2b2＝0得(a＋b)(a－2b)＝0，
因为a＋b>0，
所以a－2b＝0，即a＝2b，②
联立①②解得b＝2，a＝4.
所以S△ABC＝absin C＝14.
能力提升题组
(建议用时：20分钟)
11.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos C＝，bcos A＋
acos B＝2，则△ABC的外接圆面积为( )
A.4π B.8π C.9π D.36π
解析 由题意及正弦定理得2Rsin Bcos A＋2Rsin Acos B＝2Rsin(A＋B)＝2(R为△ABC的外接圆半径).即2Rsin C＝2.
又cos C＝及C∈(0，π)，知sin C＝.
∴2R＝＝6，R＝3.
故△ABC外接圆面积S＝πR2＝9π.
答案 C
12.(2019·武汉模拟)在△ABC中，C＝，AB＝3，则△ABC的周长为( )
A.6sin＋3 B.6sin＋3
C.2sin＋3 D.2sin＋3
解析 设△ABC的外接圆半径为R，则2R＝＝2，于是BC＝2Rsin A＝
2sin A，AC＝2Rsin B＝2sin.
于是△ABC的周长为2＋3＝2sin＋3.
答案 C
13.(2019·长春一模)在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝sin Acos C，且a＝2，则△ABC面积的最大值为________.
解析 因为cos A＝sin Acos C，
所以bcos A－sin Ccos A＝sin Acos C，
所以bcos A＝sin(A＋C)，所以bcos A＝sin B，
所以＝，
又＝，a＝2，
所以＝，得tan A＝，
又A∈(0，π)，则A＝，
由余弦定理得(2)2＝b2＋c2－2bc·＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc，
即bc≤12，当且仅当b＝c＝2时取等号，
从而△ABC面积的最大值为×12×＝3.
答案 3
14.(2018·天津卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsin A＝acos.
(1)求角B的大小；
(2)设a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值.
解 (1)在△ABC中，由正弦定理＝，
得bsin A＝asin B，
又由bsin A＝acos，
得asin B＝acos，
即sin B＝cos，
可得tan B＝.
又因为B∈(0，π)，可得B＝.
(2)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝，
有b2＝a2＋c2－2accos B＝7，故b＝.
由bsin A＝acos，可得sin A＝.
因为a因此sin 2A＝2sin Acos A＝，
cos 2A＝2cos2A－1＝.
所以，sin(2A－B)＝sin 2Acos B－cos 2Asin B＝×－×＝.
解三角形应用举例
最新考纲 能够运用正弦定理、余弦定理等知识方法解决一些与测量、几何计算有关的实际问题.
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知 识 梳 理
1.仰角和俯角
在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1).
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2.方位角
从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如B点的方位角为α(如图2).
3.方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°，北偏西45°等.
4.坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值.
5.解决与平面几何有关的计算问题关键是找清各量之间的关系，从而应用正、余弦定理求解.
[微点提醒]
1.不要搞错各种角的含义，不要把这些角和三角形内角之间的关系弄混.
2.在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易出现错误.
基 础 自 测
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1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)东北方向就是北偏东45°的方向.( )
(2)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.( )
(3)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为.( )
(4)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系.( )
解析 (2)α＝β；(3)俯角是视线与水平线所构成的角.
答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√
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2.(必修5P11例1改编)如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为( )
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\5S5.TIF" \* MERGEFORMAT
A.50 m B.50 m C.25 m D. m
解析 由正弦定理得＝，
又∵∠CBA＝30°，
∴AB＝＝＝50(m).
答案 A
3. (必修5P15练习T3改编)如图所示，D，C，B三点在地面的同一条直线上，DC＝a，从C，D两点测得A点的仰角分别为60°，30°，则A点离地面的高度AB＝________.
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\4S403.TIF" \* MERGEFORMAT
解析 由已知得∠DAC＝30°，△ADC为等腰三角形，
AD＝a，所以在Rt△ADB中，AB＝AD＝a.
答案 a
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\考题体验.TIF" \* MERGEFORMAT
4.(2019·雅礼中学月考)如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的( )
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\4S404.TIF" \* MERGEFORMAT
A.北偏东10° B.北偏西10°
C.南偏东80° D.南偏西80°
解析 由条件及图可知，∠A＝∠CBA＝40°，
又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，
所以∠DBA＝10°，
因此灯塔A在灯塔B的南偏西80°.
答案 D
5.(2017·浙江卷)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度.祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年.“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6，S6＝________.
解析 如图，连接正六边形的对角线，将正六边形分成六个边长为1的正三角形，从而S6＝6××12×sin 60°＝.
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\4S405.TIF" \* MERGEFORMAT
答案
6.(2018·福州模拟)如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin ∠BAC＝，AB＝3，AD＝3，则BD的长为________.
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\4S462.TIF" \* MERGEFORMAT
解析 因为sin∠BAC＝，且AD⊥AC，
所以sin＝，
所以cos∠BAD＝，在△BAD中，由余弦定理，
得BD＝
＝＝.
答案
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\考点聚焦突破.tif" \* MERGEFORMAT
考点一 求距离、高度问题 INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\箭头.TIF" \* MERGEFORMAT 多维探究
角度1 测量高度问题
【例1－1】 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\A41.TIF" \* MERGEFORMAT
解析 由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°.
又AB＝600 m，故由正弦定理得＝，
解得BC＝300(m).
在Rt△BCD中，CD＝BC·tan 30°＝300×＝100(m).
答案 100
规律方法 1.在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键.
2.在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错.
3.注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题.
【训练1】 如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB等于( )
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\V36.TIF" \* MERGEFORMAT
A.5 B.15 C.5 D.15
解析 在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°.
由正弦定理得＝，
所以BC＝15.
在Rt△ABC中，
AB＝BCtan ∠ACB＝15×＝15.
答案 D
角度2 测量距离问题
【例1－2】 如图所示，某旅游景点有一座风景秀丽的山峰，山上有一条笔直的山路BC和一条索道AC，小王和小李打算不坐索道，而是花2个小时的时间进行徒步攀登，已知∠ABC＝120°，∠ADC＝150°，BD＝1 km，AC＝3 km.假设小王和小李徒步攀登的速度为每小时1 250米，请问：两位登山爱好者能否在2个小时内徒步登上山峰？(即从B点出发到达C点)
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\4S406.TIF" \* MERGEFORMAT
解 在△ABD中，由题意知，∠ADB＝∠BAD＝30°，
所以AB＝BD＝1 km，因为∠ABD＝120°，由正弦定理得＝，解得AD＝ km，
在△ACD中，
由AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos 150°，
得9＝3＋CD2＋2×CD，
即CD2＋3CD－6＝0，解得CD＝ km(负值舍去)，
BC＝BD＋CD＝ km，
两个小时小王和小李可徒步攀登1 250×2＝2 500米，
即2.5千米，而<＝＝2.5，
所以两位登山爱好者可以在两个小时内徒步登上山峰.
规律方法 1.选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解.
2.确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理.
【训练2】 海轮“和谐号”从A处以每小时21海里的速度出发，海轮“奋斗号”在A处北偏东45°的方向，且与A相距10海里的C处，沿北偏东105°的方向以每小时9海里的速度行驶，则海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为________小时.
解析 设海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为x小时，如图，则由已知得△ABC中，AC＝10，AB＝21x，BC＝9x，∠ACB＝120°.
由余弦定理得：(21x)2＝100＋(9x)2－2×10×9x×cos 120°，
整理，得36x2－9x－10＝0，
解得x＝或x＝－(舍). INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\SA1.TIF" \* MERGEFORMAT
所以海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为小时.
答案
考点二 测量角度问题
【例2】 已知岛A南偏西38°方向，距岛A3海里的B处有一艘缉私艇.岛A处的一艘走私船正以10海里/时的速度向岛屿北偏西22°方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\4S407.TIF" \* MERGEFORMAT
解 如图，设缉私艇在C处截住走私船，D为岛A正南方向上一点，缉私艇的速度为每小时x海里，则BC＝0.5x，AC＝5，依题意，
∠BAC＝180°－38°－22°＝120°，
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\4S408.TIF" \* MERGEFORMAT
由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 120°，
所以BC2＝49，所以BC＝0.5x＝7，解得x＝14.
又由正弦定理得sin∠ABC＝＝＝，所以∠ABC＝38°，
又∠BAD＝38°，所以BC∥AD，
故缉私艇以每小时14海里的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时截住该走私船.
规律方法 1.测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解.
2.方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角.
【训练3】 如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD等于( )
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\V30.TIF" \* MERGEFORMAT
A.30° B.45° C.60° D.75°
解析 依题意可得AD＝20 m，AC＝30 m，
又CD＝50 m，
所以在△ACD中，由余弦定理得
cos∠CAD＝＝
＝＝，
又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，
所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.
答案 B
考点三 正(余)弦定理在平面几何中的应用
【例3】 (2019·洛阳二模)如图，已知扇形的圆心角∠AOB＝，半径为4，若点C是上的一动点(不与点A，B重合).
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\4S409.TIF" \* MERGEFORMAT
(1)若弦BC＝4(－1)，求的长；
(2)求四边形OACB面积的最大值.
解 (1)在△OBC中，BC＝4(－1)，OB＝OC＝4，
所以由余弦定理得cos∠BOC＝＝，
所以∠BOC＝，
于是的长为×4＝π.
(2)设∠AOC＝θ，θ∈，则∠BOC＝－θ，
S四边形OACB＝S△AOC＋S△BOC＝×4×4sin θ＋×4×4·sin＝24sin θ＋8cos θ＝16sin，
由于θ∈，
所以θ＋∈，
当θ＝时，四边形OACB的面积取得最大值16.
规律方法 1.把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解.
2.寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果，求解时要灵活利用平面几何的性质，将几何性质与正弦、余弦定理有机结合起来.
【训练4】 (2019·成都诊断)如图，在平面四边形ABCD中，已知A＝，B＝，AB＝6.在AB边上取点E，使得BE＝1，连接EC，ED.若∠CED＝，EC＝.
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\4S410.TIF" \* MERGEFORMAT
(1)求sin∠BCE的值；
(2)求CD的长.
解 (1)在△BEC中，由正弦定理，知＝，
因为B＝，BE＝1，CE＝，
所以sin∠BCE＝＝＝.
(2)因为∠CED＝B＝，所以∠DEA＝∠BCE，
所以cos∠DEA＝＝＝＝.
因为A＝，所以△AED为直角三角形，又AE＝5，
所以ED＝＝＝2.
在△CED中，
CD2＝CE2＋DE2－2CE·DE·cos∠CED＝7＋28－2××2×＝49.
所以CD＝7.
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\反思与感悟A.TIF" \* MERGEFORMAT
[思维升华]
利用解三角形解决实际问题时：(1)要理解题意，整合题目条件，画出示意图，建立一个三角形模型；(2)要理解仰角、俯角、方位角、方向角等概念；(3)三角函数模型中，要确定相应参数和自变量范围，最后还要检验问题的实际意义.
[易错防范]
在三角形和三角函数的综合问题中，要注意边角关系相互制约，推理题中的隐含条件.
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基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1.在相距2 km的A，B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，C两点之间的距离为( )
A. km B. km C. km D.2 km
解析 如图，在△ABC中，由已知可得∠ACB＝45°，∴＝，
∴AC＝2×＝(km).
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\V32.TIF" \* MERGEFORMAT
答案 A
2.如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，李宁同学首先选定了与A，B不共线的一点C(△ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c)，然后给出了三种测量方案：①测量A，C，b；②测量a，b，C；③测量A，B，a.则一定能确定A，B间的距离的所有方案的序号为( )
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\4S411.TIF" \* MERGEFORMAT
A.①② B.②③ C.①③ D.①②③
解析 对于①③可以利用正弦定理确定唯一的A，B两点间的距离，对于②直接利用余弦定理即可确定A，B两点间的距离.
答案 D
3.一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是( )
A.10海里 B.10海里
C.20海里 D.20海里
解析 如图所示，易知，
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在 △ABC中，AB＝20，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，
根据正弦定理得＝，
解得BC＝10(海里).
答案 A
4.(2019·深圳模拟)一架直升飞机在200 m高度处进行测绘，测得一塔顶与塔底的俯角分别是30°和60°，则塔高为( )
A. m B. m
C. m D. m
解析 如图所示.
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\4S412A.TIF" \* MERGEFORMAT
在Rt△ACD中可得CD＝＝BE，
在△ABE中，由正弦定理得＝，
则AB＝，所以DE＝BC＝200－＝(m).
答案 A
5.如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC等于( )
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\V41.TIF" \* MERGEFORMAT
A.240(－1)m B.180(－1)m
C.120(－1)m D.30(＋1)m
解析 如图，
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∠ACD＝30°，∠ABD＝75°，AD＝60 m，
在Rt△ACD中，CD＝＝＝60(m)，
在Rt△ABD中，BD＝＝＝＝60(2－)(m)，
∴BC＝CD－BD＝60－60(2－)＝120(－1)(m).
答案 C
二、填空题
6.如图，在△ABC中，B＝45°，D是BC边上一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，则AB＝________.
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解析 在△ACD中，由余弦定理可得
cos C＝＝，
则sin C＝.
在△ABC中，由正弦定理可得＝，
则AB＝＝＝.
答案
7.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿DC走到C用了3分钟.若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为________米.
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解析 连接OC，由题意知CD＝150米，OD＝100米，∠CDO＝60°.
在△COD中，由余弦定理得OC2＝CD2＋OD2－2CD·OD·cos 60°，即OC＝50.
答案 50
8.如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，则cos θ的值为________.
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解析 在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，
由余弦定理得
BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝2 800?BC＝20.
由正弦定理，得＝
?sin∠ACB＝·sin∠BAC＝.
由∠BAC＝120°，知∠ACB为锐角，则cos∠ACB＝.
由θ＝∠ACB＋30°，得cos θ＝cos(∠ACB＋30°)
＝cos∠ACBcos 30°－sin∠ACBsin 30°＝.
答案
三、解答题
9.如图，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的飞行高度为10 000 m，速度为50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420 s后看山顶的俯角为45°，则山顶的高度为多少米？(取＝1.4，＝1.7)
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解 如图，作CD垂直于AB的延长线于点D，由题意知∠A＝15°，∠DBC＝45°，所以∠ACB＝30°，AB＝50×420＝21 000(m).
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又在△ABC中，＝，
所以BC＝×sin 15°＝10 500(－).
因为CD⊥AD，所以CD＝BC·sin∠DBC
＝10 500(－)×＝10 500(－1)
≈7 350(m).
故山顶的高度为10 000－7 350＝2 650(m).
10.在△ABC中，A＝，AB＝6，AC＝3，点D在BC边上，AD＝BD，求AD的长.
解 设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，
由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos∠BAC＝(3)2＋62－2×3×6×cos＝18＋36－(－36)＝90，
所以a＝3.
又由正弦定理，得sin B＝＝＝，
由题设知0所以cos B＝＝＝.
在△ABD中，因为AD＝BD，
所以∠ABD＝∠BAD，所以∠ADB＝π－2B.
由正弦定理，得AD＝＝＝＝.
能力提升题组
(建议用时：20分钟)
11.(2018·衡水质检)某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在C处(点C在水平地面下方，O为CH与水平地面ABO的交点)进行该仪器的垂直弹射，水平地面上两个观察点A，B两地相距100米，∠BAC＝60°，其中A到C的距离比B到C的距离远40米.A地测得该仪器在C处的俯角为∠OAC＝15°，A地测得最高点H的仰角为∠HAO＝30°，则该仪器的垂直弹射高度CH为( )
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\G34.tif" \* MERGEFORMAT
A.210(＋)米 B.140米
C.210米 D.20(－)米
解析 由题意，设AC＝x米，则BC＝(x－40)米，在△ABC内，由余弦定理：BC2＝BA2＋CA2－2BA·CA·cos∠BAC，
即(x－40)2＝x2＋10 000－100x，解得x＝420(米).
在△ACH中，AC＝420米，∠CAH＝30°＋15°＝45°，∠CHA＝90°－30°＝60°，
由正弦定理：＝.
可得CH＝AC·＝140(米).
答案 B
12.校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10 m(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上.若国歌时长为50 s，升旗手应以________m/s的速度匀速升旗.
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解析 依题意可知∠AEC＝45°，∠ACE＝180°－60°－15°＝105°，
∴∠EAC＝180°－45°－105°＝30°.
由正弦定理可知＝，
∴AC＝·sin∠CEA＝20 m.
∴在Rt△ABC中，AB＝AC·sin∠ACB＝20×＝30 m.
∵国歌时长为50 s，∴升旗速度为＝0.6 m/s.
答案 0.6
13.某人为测出所住小区的面积，进行了一些测量工作，最后将所住小区近似地画成如图所示的四边形，测得的数据如图所示，则该图所示的小区的面积是________km2.
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\V43.TIF" \* MERGEFORMAT
解析 如图，连接AC，由余弦定理可知AC＝＝，
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\V44.TIF" \* MERGEFORMAT
故∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，∠DAC＝∠DCA＝15°，∠ADC＝150°，
由＝，
得AD＝＝，
故S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ADC＝×1×＋××＝(km2).
答案
14.如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝，AD∶AB＝2∶3，BD＝，AB⊥BC.
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\17W197.TIF" \* MERGEFORMAT
(1)求sin∠ABD的值；
(2)若∠BCD＝，求CD的长.
解 (1)∵AD∶AB＝2∶3，
∴可设AD＝2k，AB＝3k(k>0).
又BD＝，∠DAB＝，∴由余弦定理，
得()2＝(3k)2＋(2k)2－2×3k×2kcos，
解得k＝1，∴AD＝2，AB＝3，
sin∠ABD＝＝＝.
(2)∵AB⊥BC，∴cos∠DBC＝sin∠ABD＝，
∴sin∠DBC＝，∴＝，
∴CD＝＝.
