不等式的性质与一元二次不等式
最新考纲 1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景；2.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型；3.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；4.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.
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知 识 梳 理
1.实数的大小顺序与运算性质的关系
(1)a>b?a－b>0；
(2)a＝b?a－b＝0；
(3)a
2.不等式的性质
(1)对称性：a＞b?b＜a；
(2)传递性：a＞b，b＞c?a＞c；
(3)可加性：a＞b?a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d?a＋c＞b＋d；
(4)可乘性：a＞b，c＞0?ac＞bc；a>b，c<0?ac(5)可乘方：a＞b＞0?an＞bn(n∈N，n≥1)；
(6)可开方：a＞b＞0?＞(n∈N，n≥2).
3.三个“二次”间的关系
判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象 INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\W168.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\W169.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\W170.TIF" \* MERGEFORMAT
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 有两相异实根x1，x2(x1＜x2) 有两相等实根x1＝x2＝－ 没有实数根
ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 R
ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2} ? ?
[微点提醒]
1.有关分数的性质
(1)若a>b>0，m>0，则<；>(b－m>0).
(2)若ab>0，且a>b?<.
2.对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记a＝0时的情形.
3.当Δ<0时，不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R还是?，要注意区别.
基 础 自 测
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\疑误辨析.TIF" \* MERGEFORMAT
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)a＞b?ac2＞bc2.( )
(2)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x1，x2)，则必有a＞0.( )
(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a＜0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0(a<0)的解集为R.( )
(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a＜0且Δ＝b2－4ac≤0.( )
解析 (1)由不等式的性质，ac2＞bc2?a＞b；反之，c＝0时，a＞bac2＞bc2.
(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a<0)没有实根，则不等式ax2＋bx＋c>0(a<0)的解集为?.
(4)当a＝b＝0，c≤0时，不等式ax2＋bx＋c≤0也在R上恒成立.
答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×
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2.(必修5P74例1改编)若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有( )
A.＞ B.＜
C.＞ D.＜
解析 因为c＜d＜0，所以0＞＞，两边同乘－1，得－＞－＞0，又a＞b＞0，故由不等式的性质可知－＞－＞0.两边同乘－1，得＜.
答案 B
3.(必修5P103A2改编)已知集合A＝，B＝{x|x2－x－6<0}，则A∩B＝( )
A.(－2，3) B.(－2，2)
C.(－2，2] D.[－2，2]
解析 因为A＝{x|x≤2}，B＝{x|－2答案 C
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4.(2018·衡阳联考)若a，b，c为实数，且aA.ac2C.> D.a2>ab>b2
解析 c＝0时，A项不成立；
－＝>0，选项B错；
－＝＝<0，选项C错.
由aab>b2.D正确.
答案 D
5.(2019·河北重点八所中学模拟)不等式2x2－x－3>0的解集为________.
解析 由2x2－x－3>0，得(x＋1)(2x－3)>0，
解得x>或x<－1.
∴不等式2x2－x－3>0的解集为.
答案
6.(2018·汉中调研)已知函数f(x)＝ax2＋ax－1，若对任意实数x，恒有f(x)≤0，则实数a的取值范围是______.
解析 若a＝0，则f(x)＝－1≤0恒成立，
若a≠0，则由题意，得
解得－4≤a<0，
综上，得a∈[－4，0].
答案 [－4，0]
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考点一 不等式的性质 INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\箭头.TIF" \* MERGEFORMAT 多维探究
角度1 比较大小及不等式性质的简单应用
【例1－1】 (1)已知实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c的大小关系是( )
A.c≥b>a B.a>c≥b
C.c>b>a D.a>c>b
(2)(一题多解)若＜＜0，给出下列不等式：①＜；②|a|＋b＞0；③a－＞b－；④ln a2＞ln b2.其中正确的不等式是( )
A.①④ B.②③ C.①③ D.②④
解析 (1)∵c－b＝4－4a＋a2＝(a－2)2≥0，∴c≥b.
又b＋c＝6－4a＋3a2，∴2b＝2＋2a2，∴b＝a2＋1，
∴b－a＝a2－a＋1＝＋>0，
∴b>a，∴c≥b>a.
(2)法一 因为＜＜0，故可取a＝－1，b＝－2.
显然|a|＋b＝1－2＝－1＜0，所以②错误；因为ln a2＝ln(－1)2＝0，ln b2＝ln(－2)2＝ln 4＞0，所以④错误.综上所述，可排除A，B，D.
法二 由＜＜0，可知b＜a＜0.①中，因为a＋b＜0，ab＞0，所以＜0，＞0.故有＜，即①正确；
②中，因为b＜a＜0，所以－b＞－a＞0.故－b＞|a|，即|a|＋b＜0，故②错误；
③中，因为b＜a＜0，又＜＜0，则－＞－＞0，
所以a－＞b－，故③正确；
④中，因为b＜a＜0，根据y＝x2在(－∞，0)上为减函数，可得b2＞a2＞0，而y＝ln x在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以ln b2＞ln a2，故④错误.由以上分析，知①③正确.
答案 (1)A (2)C
角度2 利用不等式变形求范围
【例1－2】 (一题多解)设f(x)＝ax2＋bx，若1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，则f(－2)的取值范围是________.
解析 法一 设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n为待定系数)，则4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，
即4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b.
于是得解得
∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1).
又∵1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4.
∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，
故5≤f(－2)≤10.
法二 由
得
∴f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1).
又∵1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，
∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故5≤f(－2)≤10.
法三 由确定的平面区域如图阴影部分所示，
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当f(－2)＝4a－2b过点A时，
取得最小值4×－2×＝5，
当f(－2)＝4a－2b过点B(3，1)时，
取得最大值4×3－2×1＝10，
∴5≤f(－2)≤10.
答案 [5，10]
规律方法 1.比较两个数(式)大小的两种方法
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\4S295.TIF" \* MERGEFORMAT
2.与充要条件相结合问题，用不等式的性质分别判断p?q和q?p是否正确，要注意特殊值法的应用.
3.与命题真假判断相结合问题.解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法.
4.在求式子的范围时，如果多次使用不等式的可加性，式子中的等号不能同时取到，会导致范围扩大.
【训练1】 (1)(2019·东北三省四市模拟)设a，b均为实数，则“a>|b|”是“a3>b3”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
(2)(2018·天一测试)已知实数a∈(1，3)，b∈，则的取值范围是________.
解析 (1)a>|b|能推出a>b，进而得a3>b3；当a3>b3时，有a>b，但若b|b|不成立，所以“a>|b|”是“a3>b3”的充分不必要条件.
(2)依题意可得4<<8，又1答案 (1)A (2)(4，24)
考点二 一元二次不等式的解法
【例2－1】 (1)(2019·河南中原名校联考)已知f(x)是定义在R上的奇函数.当x>0时，f(x)＝x2－2x，则不等式f(x)>x的解集用区间表示为________.
(2)已知不等式ax2－bx－1>0的解集是{x|－解析 (1)设x<0，则－x>0，
因为f(x)是奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－(x2＋2x).
又f(0)＝0.
于是不等式f(x)>x等价于或
解得x>3或－3故不等式的解集为(－3，0)∪(3，＋∞).
(2)由题意，知－，－是方程ax2－bx－1＝0的两个根，且a<0，
所以解得
故不等式x2－bx－a≥0为x2－5x＋6≥0，
解得x≥3或x≤2.
答案 (1)(－3，0)∪(3，＋∞) (2){x|x≥3或x≤2}
【例2－2】 解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R).
解 原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0.
①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0，解得x≤－1.
②当a＞0时，原不等式化为(x＋1)≥0，
解得x≥或x≤－1.
③当a＜0时，原不等式化为(x＋1)≤0.
当＞－1，即a＜－2时，解得－1≤x≤；
当＝－1，即a＝－2时，解得x＝－1满足题意；
当＜－1，即－2综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤－1}；
当a＞0时，不等式的解集为；
当－2＜a＜0时，不等式的解集为；
当a＝－2时，不等式的解集为{－1}；
当a＜－2时，不等式的解集为.
规律方法 1.解一元二次不等式的一般方法和步骤
(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式.
(2)判：计算对应方程的判别式，根据判别式判断方程有没有实根(无实根时，不等式解集为R或?).
(3)求：求出对应的一元二次方程的根.
(4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集.
2.含有参数的不等式的求解，首先需要对二次项系数讨论，再比较(相应方程)根的大小，注意分类讨论思想的应用.
【训练2】 (1)不等式≥2的解集是( )
A. B.
C.∪(1，3] D.∪(1，3]
(2)(2019·清远一模)关于x的不等式ax－b<0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)>0的解集是( )
A.(－∞，－1)∪(3，＋∞) B.(1，3)
C.(－1，3) D.(－∞，1)∪(3，＋∞)
解析 (1)不等式可化为≤0，
即≤0，
解得－≤x<1或1(2)关于x的不等式ax－b<0即ax∴不等式(ax＋b)(x－3)>0可化为(x＋1)(x－3)<0，解得－1∴所求不等式的解集是(－1，3).
答案 (1)D (2)C
考点三 一元二次不等式恒成立问题 INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\箭头.TIF" \* MERGEFORMAT 多维探究
角度1 在实数R上恒成立
【例3－1】 (2018·大庆实验中学期中)对于任意实数x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4<0恒成立，则实数a的取值范围是( )
A.(－∞，2) B.(－∞，2]
C.(－2，2) D.(－2，2]
解析 当a－2＝0，即a＝2时，－4<0恒成立；
当a－2≠0，即a≠2时，
则有
解得－2综上，实数a的取值范围是(－2，2].
答案 D
角度2 在给定区间上恒成立
【例3－2】 (一题多解)设函数f(x)＝mx2－mx－1(m≠0)，若对于x∈[1，3]，f(x)＜－m＋5恒成立，则m的取值范围是________.
解析 要使f(x)＜－m＋5在[1，3]上恒成立，
故mx2－mx＋m－6＜0，
则m＋m－6＜0在x∈[1，3]上恒成立.
法一 令g(x)＝m＋m－6，x∈[1，3].
当m＞0时，g(x)在[1，3]上是增函数，
所以g(x)max＝g(3)＝7m－6＜0.
所以m＜，则0＜m＜.
当m＜0时，g(x)在[1，3]上是减函数，
所以g(x)max＝g(1)＝m－6＜0.
所以m＜6，所以m＜0.
综上所述，m的取值范围是.
法二 因为x2－x＋1＝＋＞0，
又因为m(x2－x＋1)－6＜0，所以m＜.
因为函数y＝＝在[1，3]上的最小值为，所以只需m＜即可.
因为m≠0，所以m的取值范围是.
答案
角度3 给定参数范围的恒成立问题
【例3－3】 已知a∈[－1，1]时不等式x2＋(a－4)x＋4－2a＞0恒成立，则x的取值范围为( )
A.(－∞，2)∪(3，＋∞) B.(－∞，1)∪(2，＋∞)
C.(－∞，1)∪(3，＋∞) D.(1，3)
解析 把不等式的左端看成关于a的一次函数，记f(a)＝(x－2)a＋x2－4x＋4，
则由f(a)＞0对于任意的a∈[－1，1]恒成立，
得f(－1)＝x2－5x＋6＞0，
且f(1)＝x2－3x＋2＞0即可，
解不等式组得x＜1或x＞3.
答案 C
规律方法 1.对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.
2.解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.
【训练3】 (1)(2019·河南豫西南五校联考)已知关于x的不等式kx2－6kx＋k＋8≥0对任意x∈R恒成立，则k的取值范围是( )
A.[0，1] B.(0，1]
C.(－∞，0)∪(1，＋∞) D.(－∞，0]∪[1，＋∞)
(2)(2019·安庆模拟)若不等式x2＋ax＋1≥0对一切x∈恒成立，则a的最小值是( )
A.0 B.－2 C.－ D.－3
解析 (1)当k＝0时，不等式kx2－6kx＋k＋8≥0可化为8≥0，其恒成立，当k≠0时，要满足关于x的不等式kx2－6kx＋k＋8≥0对任意x∈R恒成立，只需解得0综上，k的取值范围是[0，1].
(2)由于x∈，若不等式x2＋ax＋1≥0恒成立，
则a≥－，x∈时恒成立，
令g(x)＝x＋，x∈，
易知g(x)在上是减函数，则y＝－g(x)在上是增函数.
∴y＝－g(x)的最大值是－＝－.
因此a≥－，则a的最小值为－.
答案 (1)A (2)C
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\反思与感悟A.TIF" \* MERGEFORMAT
[思维升华]
1.比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，比较法之一作差法的主要步骤为作差——变形——判断正负.
2.判断不等式是否成立，主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简单.
[易错防范]
1.“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础；一般可把a＜0的情况转化为a＞0时的情形.
2.含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论.
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基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1.若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)，g(x)的大小关系是( )
A.f(x)＝g(x) B.f(x)＞g(x)
C.f(x)＜g(x) D.随x的值变化而变化
解析 f(x)－g(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1＞0?f(x)＞g(x).
答案 B
2.(2019·北京东城区综合练习)已知x，y∈R，那么“x>y”的充要条件是( )
A.2x>2y B.lg x>lg y
C.> D.x2>y2
解析 因为2x>2y?x>y，所以“2x>2y”是“x>y”的充要条件，A正确；
lg x>lg y?x>y>0，则“lg x>lg y”是“x>y”的充分不必要条件，B错误；
“>”和“x2>y2”都是“x>y”的既不充分也不必要条件.
答案 A
3.不等式|x|(1－2x)>0的解集为( )
A.(－∞，0)∪ B.
C. D.
解析 当x≥0时，原不等式即为x(1－2x)>0，所以00，所以x<0，综上，原不等式的解集为(－∞，0)∪.
答案 A
4.(2018·延安质检)若实数m，n满足m>n>0，则( )
A.－<－ B.－<
C.> D.m2解析 取m＝2，n＝1，代入各选择项验证A，C，D不成立.只有B项成立(事实上－1<).
答案 B
5.已知函数f(x)＝若f(2－x2)>f(x)，则实数x的取值范围是( )
A.(－∞，－1)∪(2，＋∞) B.(－∞，－2)∪(1，＋∞)
C.(－1，2) D.(－2，1)
解析 易知f(x)在R上是增函数，∵f(2－x2)>f(x)，
∴2－x2>x，解得－2答案 D
二、填空题
6.若00的解集是________.
解析 原不等式可化为(x－a)<0，由0答案
7.规定记号“⊙”表示一种运算，定义a⊙b＝＋a＋b(a，b为正实数)，若1⊙k2<3，则k的取值范围是________.
解析 由题意知＋1＋k2<3，
化为(|k|＋2)(|k|－1)<0，所以|k|<1，
所以－1答案 (－1，1)
8.(2019·阳春质检)设a<0，若不等式－cos2x＋(a－1)cos x＋a2≥0对于任意的x∈R恒成立，则a的取值范围是________.
解析 令t＝cos x，t∈[－1，1]，则不等式f(t)＝t2－(a－1)t－a2≤0对t∈[－1，1]恒成立，因此?∵a<0，∴a≤－2.
答案 (－∞，－2]
三、解答题
9.已知f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6.
(1)解关于a的不等式f(1)＞0；
(2)若不等式f(x)＞b的解集为(－1，3)，求实数a，b的值.
解 (1)由题意知f(1)＝－3＋a(6－a)＋6＝－a2＋6a＋3＞0，即a2－6a－3＜0，解得3－2＜a＜3＋2.
所以不等式的解集为{a|3－2＜a＜3＋2}.
(2)∵f(x)＞b的解集为(－1，3)，
∴方程－3x2＋a(6－a)x＋6－b＝0的两根为－1，3，
∴解得
故a的值为3±，b的值为－3.
10.某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件.若售价降低x成(1成＝10%)，售出商品数量就增加x成.要求售价不能低于成本价.
(1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式y＝f(x)，并写出定义域；
(2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x的取值范围.
解 (1)由题意得，y＝100·100.
因为售价不能低于成本价，所以100－80≥0，解得0≤x≤2.
所以y＝f(x)＝40(10－x)(25＋4x)，
定义域为{x|0≤x≤2}.
(2)由题意得40(10－x)(25＋4x)≥10 260，
化简得8x2－30x＋13≤0，解得≤x≤.
所以x的取值范围是.
能力提升题组
(建议用时：20分钟)
11.已知0A.log2a>0 B.2a－b<
C.log2a＋log2b<－2 D.2＋<
解析 由题意知02＝2，所以2＋>22＝4，D错误；由a＋b＝1>2，得ab<，因此log2a＋log2b＝log2(ab)答案 C
12.(2019·保定调研)已知定义在R上的奇函数f(x)满足：当x≥0时，f(x)＝x3，若不等式f(－4t)>f(2m＋mt2)对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是( )
A.(－∞，－) B.(－，0)
C.(－∞，0)∪(，＋∞) D.(－∞，－)∪(，＋∞)
解析 因为f(x)在R上为奇函数，且在[0，＋∞)上为增函数，所以f(x)在R上是增函数，结合题意得－4t>2m＋mt2对任意实数t恒成立?mt2＋4t＋2m<0对任意实数t恒成立??m∈(－∞，－).
答案 A
13.已知－1解析 设3x＋2y＝m(x＋y)＋n(x－y)，
则∴
即3x＋2y＝(x＋y)＋(x－y)，
又∵－1∴－<(x＋y)<10，1<(x－y)<，
∴－<(x＋y)＋(x－y)<，
即－<3x＋2y<，
∴3x＋2y的取值范围为.
答案
14.(2019·济南质检)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝ex.若对任意x∈[a，a＋1]，恒有f(x＋a)≥f(2x)成立，求实数a的取值范围.
解 因为函数f(x)是偶函数，
故函数图象关于y轴对称，且在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增.
所以由f(x＋a)≥f(2x)可得|x＋a|≥2|x|在[a，a＋1]上恒成立，
从而(x＋a)2≥4x2在[a，a＋1]上恒成立，
化简得3x2－2ax－a2≤0在[a，a＋1]上恒成立，
设h(x)＝3x2－2ax－a2，
则有解得a≤－.
故实数a的取值范围是.
二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
最新考纲 1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.
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知 识 梳 理
1.二元一次不等式(组)表示的平面区域
不等式 表示区域
Ax＋By＋C>0 直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域 不包括边界直线
Ax＋By＋C≥0 包括边界直线
不等式组 各个不等式所表示平面区域的公共部分
2.点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)位于直线Ax＋By＋C＝0的两侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)<0；位于直线Ax＋By＋C＝0同侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)>0.
3.线性规划的有关概念
名称 意义
线性约束条件 由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组，是对x，y的约束条件
目标函数 关于x，y的解析式
线性目标函数 关于x，y的一次解析式
可行解 满足线性约束条件的解(x，y)
可行域 所有可行解组成的集合
最优解 使目标函数达到最大值或最小值的可行解
线性规划问题 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题
[微点提醒]
1.画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域：
(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；
(2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0，1)或(1，0)来验证.
2.判定二元一次不等式表示的区域
(1)若B(Ax＋By＋C)>0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方.
(2)若B(Ax＋By＋C)<0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方.
基 础 自 测
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1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)不等式Ax＋By＋C＞0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方.( )
(2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的.( )
(3)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上.( )
(4)在目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距.( )
解析 (1)不等式x－y＋1>0表示的平面区域在直线x－y＋1＝0的下方.
(4)直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距是.
答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×
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2.(必修5P86T3改编)不等式组表示的平面区域是( )
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\V61.TIF" \* MERGEFORMAT
解析 x－3y＋6≥0表示直线x－3y＋6＝0及其右下方部分，x－y＋2＜0表示直线x－y＋2＝0左上方部分，故不等式表示的平面区域为选项B.
答案 B
3.(必修5P91练习T1(1)改编)已知x，y满足约束条件则z＝2x＋y＋1的最大值、最小值分别是( )
A.3，－3 B.2，－4
C.4，－2 D.4，－4
解析 不等式组所表示的平面区域如图所示.
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\4S296.TIF" \* MERGEFORMAT
其中A(－1，－1)，B(2，－1)，C，
画直线l0：y＝－2x，平移l0过B时，zmax＝4，
平移l0过点A时， zmin＝－2.
答案 C
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4.(2019·合肥一中月考)在平面直角坐标系xOy中，不等式组表示图形的面积等于( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析 不等式组对应的平面区域如图，即对应的区域为正方形ABCD，其中A(0，1)，D(1，0)，边长AD＝，则正方形的面积S＝×＝2.
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答案 B
5.(2018·全国Ⅰ卷)若x，y满足约束条件则z＝3x＋2y的最大值为________.
解析 作出可行域为如图所示的△ABC所表示的阴影区域，作出直线3x＋2y＝0，并平移该直线，当直线过点A(2，0)时，目标函数z＝3x＋2y取得最大值，且zmax＝3×2＋2×0＝6.
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答案 6
6.(2017·全国Ⅲ卷)若x，y满足约束条件 则z＝3x－4y的最小值为________.
解析 画出可行域如图阴影部分所示.
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\17GS50.TIF" \* MERGEFORMAT
由z＝3x－4y，得y＝x－，
作出直线y＝x，平移使之经过可行域，观察可知，当直线经过点A(1，1)处时取最小值，故zmin＝3×1－4×1＝－1.
答案 －1
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考点一 二元一次不等式(组)表示的平面区域
【例1】 (1)(2019·北京西城区二模)在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是( )
A. B. C. D.2
(2)(2018·深圳二模)已知直线y＝kx－3经过不等式组所表示的平面区域，则实数k的取值范围是( )
A. B.∪
C. D.∪
解析 (1)作出不等式组表示的平面区域是以点O(0，0)，B(－2，0)和A(1，)为顶点的三角形区域，如图所示的阴影部分(含边界)，由图知该平面区域的面积为×2×＝.
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\4S300.TIF" \* MERGEFORMAT
(2)画出不等组
所表示的平面区域，如图所示，直线y＝kx－3过定点M(0，－3)，
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\4S301.TIF" \* MERGEFORMAT
由解得A(－2，4)，
当直线y＝kx－3过点A时，
k＝＝－；
由解得B(2，0)，
当直线y＝kx－3过点B时，k＝＝.
由图形知，实数k的取值范围是∪.
答案 (1)B (2)B
规律方法 1.二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域.
2.求平面区域的面积：
(1)首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；
(2)对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和.
【训练1】 (2019·玉溪模拟)已知不等式组所表示的平面区域为面积等于的三角形，则实数k的值为( )
A.－1 B.－ C. D.1
解析 由题意知k>0，且不等式组所表示的平面区域如图所示.
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\4S302.TIF" \* MERGEFORMAT
∵直线y＝kx－1与x轴的交点为，
直线y＝kx－1与直线y＝－x＋2的交点为，
∴三角形的面积为××＝，
解得k＝1或k＝，经检验，k＝不符合题意，∴k＝1.
答案 D
考点二 线性规划中的最值问题 INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\箭头.TIF" \* MERGEFORMAT 多维探究
角度1 求线性目标函数的最值
【例2－1】 (一题多解)(2018·全国Ⅲ卷)若变量x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值是________.
解析 法一 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，画出直线y＝－3x，平移该直线，由图可知当平移后的直线经过直线x＝2与直线x－2y＋4＝0的交点A(2，3)时，z＝x＋y取得最大值，故zmax＝2＋×3＝3.
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\18GW34.TIF" \* MERGEFORMAT
法二 画出可行域(如上图)，由图知可行域为三角形区域，易求得顶点坐标分别为(2，3)，(2，－7)，(－2，1)，将三点坐标代入，可知zmax＝2＋×3＝3.
答案 3
角度2 求非线性目标函数的最值
【例2－2】 (1)(2019·济南一模)若变量x，y满足约束条件则的最大值为( )
A.1 B.3 C. D.5
(2)若x，y满足约束条件则z＝x2＋2x＋y2的最小值为( )
A. B. C.－ D.－
解析 (1)不等式组表示平面区域是以(1，1)，，(2，2)为顶点的三角形区域(包含边界)(图略).
表示平面区域内的点与原点的连线的斜率，由题意得点与原点的连线斜率最大，即的最大值为＝.
(2)画出约束条件对应的平面区域，如图中阴影部分所示，z＝x2＋2x＋y2＝(x＋1)2＋y2－1，其几何意义是平面区域内的点(x，y)到定点(－1，0)的距离的平方再减去1.
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\4S304.TIF" \* MERGEFORMAT
观察图形可得，平面区域内的点到定点(－1，0)的距离的最小值为，故z＝x2＋2x＋y2的最小值为zmin＝－1＝－.
答案 (1)C (2)D
角度3 线性规划中的参数问题
【例2－3】 (2019·西安质检)已知实数x，y满足约束条件若目标函数z＝y－ax(a≠0)取得最大值时的最优解有无数个，则a的值为( )
A.2 B.1
C.1或2 D.－1
解析 画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示.
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\4S305.TIF" \* MERGEFORMAT
由z＝y－ax(a≠0)得y＝ax＋z.
因为a≠0，所以要使z＝y－ax取得最大值时的最优解有无数个，故必有a>0.
①当直线y＝ax＋z与直线AC重合，即a＝1时，直线y＝ax＋z在y轴上的截距最大，此时z取得最大值，且最优解有无数个，符合条件；②当直线y＝ax＋z与直线BC重合时，直线y＝ax＋z在y轴上的截距最小，此时z取得最小值，不符合条件.故a＝1.
答案 B
规律方法 1.先准确作出可行域，再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值.一般在平面区域的顶点或边界处取得.
2.当目标函数是非线性的函数时，常利用目标函数的几何意义来解题.常见代数式的几何意义：
(1)表示点(x，y)与原点(0，0)的距离，表示点(x，y)与点(a，b)的距离；
(2)表示点(x，y)与原点(0，0)连线的斜率，表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率.
3.当目标函数中含有参数时，要根据临界位置确定参数所满足的条件.
【训练2】 (1)(2018·茂名二模)若实数x，y满足条件则的最大值为( )
A. B. C.1 D.2
(2)已知实数x，y满足约束条件若z＝2x＋y的最小值为3，则实数b＝( )
A. B. C.1 D.
解析 (1)作出的可行域如图，
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\4S306.TIF" \* MERGEFORMAT
求的最大值转化为求x－y的最小值，
令z＝x－y，由图知当直线z＝x－y经过点(0，1)时，z取得最小值，即zmin＝0－1＝－1，
所以的最大值为＝2.
(2)作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分所示.
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\4S307.TIF" \* MERGEFORMAT
由z＝2x＋y得y＝－2x＋z，
平移直线y＝－2x，
由图可知当直线y＝－2x＋z经过点A时，直线y＝－2x＋z的截距最小，此时z最小为3，即2x＋y＝3.
由解得即A，
又点A也在直线y＝－x＋b上，即＝－＋b，∴b＝.
答案 (1)D (2)A
考点三 实际生活中的线性规划问题
【例3】 (2016·全国Ⅰ卷)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元.
解析 设生产A产品x件，B产品y件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，得线性约束条件为
目标函数z＝2 100x＋900y.
作出可行域为图中的阴影部分(包括边界)内的整数点，图中阴影四边形的顶点坐标分别为(60，100)，(0，200)，(0，0)，(90，0)，在(60，100)处取得最大值，
zmax＝2 100×60＋900×100＝216 000(元).
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\16W47.TIF" \* MERGEFORMAT
答案 216 000
规律方法 1.解线性规划应用题的步骤.
(1)转化——设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题；
(2)求解——解这个纯数学的线性规划问题；
(3)作答——将数学问题的答案还原为实际问题的答案.
2.解线性规划应用题，可先找出各变量之间的关系，最好列成表格，然后用字母表示变量，列出线性约束条件，写出要研究的函数，转化成线性规划问题.
【训练3】 某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为2千元/件、1千元/件.甲、乙两种产品都需要在A，B两种设备上加工，生产一件甲产品需用A设备2小时，B设备6小时；生产一件乙产品需用A设备3小时，B设备1小时.A，B两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为( )
A.320千元 B.360千元
C.400千元 D.440千元
解析 设生产甲产品x件，生产乙产品y件，利润为z千元，
则作出可行域如图中阴影部分中的整点，作出直线2x＋y＝0，平移该直线，当直线z＝2x＋y经过直线2x＋3y＝480与直线6x＋y＝960的交点(150，60)(满足x∈N，y∈N)时，z取得最大值，为360.
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\4S309.TIF" \* MERGEFORMAT
答案 B
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\反思与感悟A.TIF" \* MERGEFORMAT
[思维升华]
1.求最值：求二元一次目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，将z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－x＋，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值.最优解在顶点或边界处取得.
2.利用线性规划的思想结合代数式的几何意义可以解决一些非线性规划问题.
[易错防范]
1.画出平面区域.避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化.
2.在通过求直线的截距的最值间接求出z的最值时，要注意：当b>0时，截距取最大值时，z也取最大值；截距取最小值时，z也取最小值；当b<0时，截距取最大值时，z取最小值；截距取最小值时，z取最大值.
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直观想象——高考命题中线性规划问题类型探析
直观想象是指借助生动的几何直观和空间想象感知事物的形态变化与运动规律.线性规划问题是在一组约束条件下，利用数形结合求最优解，求解方法灵活，常考常新.
类型1 目标函数含参数
【例1】 设不等式组所表示的平面区域为D，若直线y＝a(x＋1)与D有公共点，则a的取值范围是______.
解析 由可行域(如图)易知直线y＝a(x＋1)过定点P(－1，0).
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当直线y＝a(x＋1)经过x＋3y＝4与3x＋y＝4的交点A(1，1)时，a取得最小值；
当直线y＝a(x＋1)经过x＝0与3x＋y＝4的交点B时，a取得最大值4.
故a的取值范围为.
答案
评析 1.“目标函数”含参，使问题从“静态”化为“动态”，即对线性规则问题融入动态因素，用运动变化的观点来探究参数，此类试题旨在考查学生逆向思维及数形结合解决问题的能力.
2.当“目标函数”含参时，可先画出可行域，然后用数形结合思想，通过比较目标函数与边界有关直线的倾斜程度，直观求解.
类型2 线性约束条件含参
【例2】 已知z＝2x＋y，其中实数x，y满足且z的最大值是最小值的4倍，则a的值是( )
A. B. C.4 D.
解析 作出不等式组对应的平面区域如图：
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由z＝2x＋y得y＝－2x＋z，
由图可知当直线y＝－2x＋z经过点A时，直线的纵截距最大，z取最大值.
由解得即A(1，1)，
zmax＝2×1＋1＝3.
当直线y＝－2x＋z经过点B时，直线的纵截距最小，此时z最小.
由解得则点B(a，a).
∴zmin＝2×a＋a＝3a，
∵z的最大值是最小值的4倍，
∴3＝4×3a，即a＝.
答案 B
评析 当“约束条件”含参时，可根据条件先确定可行域上的边界点或者边界线，进而确定“约束条件”中所含有的参数值，然后画出可行域，把问题转化为一般形式的线性规划问题.
类型3 “隐性”的线性规划问题
【例3】 如果函数f(x)＝(m－2)x2＋(n－8)x＋1(m≥0，n≥0)在区间上单调递减，则mn的最大值为( )
A.16 B.18 C.25 D.
解析 f′(x)＝(m－2)x＋n－8.由已知得：对任意的x∈，f′(x)≤0，所以f′≤0，f′(2)≤0，所以
画出可行域，如图，令mn＝t，
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则当n＝0时，t＝0；当n≠0时，m＝.
由线性规划的相关知识，只有当直线2m＋n＝12与曲线m＝相切时，t取得最大值.
由解得n＝6，t＝18.所以(mn)max＝18.
答案 B
评析 1.本例以函数为载体隐蔽“约束条件”，有效实现了知识模块的交汇，例3要求从题设中抓住本质条件，转化为关于“m，n”的约束条件.
2.解题的关键是要准确无误地将已知条件转化为线性约束条件作出可行域，抓住可行域中所求点的相应几何意义.该题立意新颖，在注意基础知识的同时，渗透了等价转化思想和数形结合思想，考查了学生的综合应用能力.
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基础巩固题组
(建议用时：35分钟)
一、选择题
1.已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x－2y－a＝0的两侧，则a的取值范围为( )
A.(－24，7)
B.(－7，24)
C.(－∞，－7)∪(24，＋∞)
D.(－∞，－24)∪(7，＋∞)
解析 根据题意知(－9＋2－a)·(12＋12－a)<0，即(a＋7)(a－24)<0，解得－7答案 B
2.在平面直角坐标系中，不等式组所表示的平面区域的面积为( )
A.1 B.2 C.4 D.8
解析 不等式组表示的平面区域是以点(0，0)，(0，2)和(1，1)为顶点的三角形区域(含边界)，则面积为×2×1＝1.
答案 A
3.(2018·天津卷)设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x＋5y的最大值为( )
A.6 B.19 C.21 D.45
解析 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线y＝－x，平移该直线，当经过点C时，z取得最大值，由得即C(2，3)，所以zmax＝3×2＋5×3＝21，故选C.
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答案 C
4.(2017·全国Ⅱ卷)设x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最小值是( )
A.－15 B.－9 C.1 D.9
解析 作出不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义得函数在点B(－6，－3)处取得最小值zmin＝－12－3＝－15.
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答案 A
5.若x，y满足且z＝3x－y的最大值为2，则实数m的值为( )
A. B. C.1 D.2
解析 若z＝3x－y的最大值为2，则此时目标函数为y＝3x－2，直线y＝3x－2与3x－2y＋2＝0和x＋y＝1分别交于A(2，4)，B，
mx－y＝0经过其中一点，所以m＝2或m＝，
当m＝时， 经检验不符合题意，故m＝2.
答案 D
6.(2019·武汉模拟)已知则z＝22x＋y的最小值是( )
A.1 B.16 C.8 D.4
解析 作出不等式组对应的平面区域如图，
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设m＝2x＋y，则y＝－2x＋m，
由图可知当直线y＝－2x＋m经过点A时，直线在y轴上的截距最小，
此时m最小，z也最小，
由解得即A(1，1)，
mmin＝2×1＋1＝3，则zmin＝23＝8.
答案 C
7.(2018·成都诊断)已知点M的坐标(x，y)满足不等式组N为直线y＝－2x＋2上任一点，则|MN|的最小值是( )
A. B. C.1 D.
解析 作出不等式组的可行域如图，
因为点M的坐标(x，y)满足不等式组N为直线y＝－2x＋2上任一点，
所以|MN|的最小值就是两条平行直线y＝－2x＋2与2x＋y－4＝0之间的距离，为＝.
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\4S312.TIF" \* MERGEFORMAT
答案 B
8.某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )
甲 乙 原料限额
A(吨) 3 2 12
B(吨) 1 2 8
A.12万元 B.16万元
C.17万元 D.18万元
解析 设每天生产甲、乙产品分别为x吨、y吨，每天所获利润为z万元，则有目标函数z＝3x＋4y，线性约束条件表示的可行域如图阴影部分所示，
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\SXT162.TIF" \* MERGEFORMAT
可得目标函数在点A处取到最大值.
由得A(2，3).
则zmax＝3×2＋4×3＝18(万元).
答案 D
二、填空题
9.(一题多解)(2018·北京卷)若x，y满足x＋1≤y≤2x，则2y－x的最小值是________.
解析 法一 x＋1≤y≤2x表示的平面区域如图中阴影部分所示，令z＝2y－x，易知z＝2y－x在点A(1，2)处取得最小值，最小值为3.
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\18GW38.TIF" \* MERGEFORMAT
法二 由题意知则2y－x＝－3(x－y)＋(2x－y)≥3，所以2y－x的最小值为3.
答案 3
10.(2018·全国Ⅱ卷)若x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值为________.
解析 画出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示.作出直线x＋y＝0，平移该直线，当直线过点B(5，4)时，z取得最大值，zmax＝5＋4＝9.
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\18GS44.TIF" \* MERGEFORMAT
答案 9
11.已知实数x，y满足如果目标函数z＝x－y的最小值为－1，则实数m＝________.
解析 画出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，作直线l：y＝x，平移l可知，当直线l经过A时符合题意，
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\4S316.TIF" \* MERGEFORMAT
由解得.
又A(2，3)在直线x＋y＝m上，则m＝5.
答案 5
12.已知实数x，y满足则z＝的取值范围为________.
解析 不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，z＝表示点D(2，3)与平面区域内的点(x，y)之间连线的斜率.因点D(2，3)与B(8，1)连线的斜率为－且C的坐标为(2，－2)，
故由图知z＝的取值范围为.
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\4S317.TIF" \* MERGEFORMAT
答案
能力提升题组
(建议用时：15分钟)
13.(2019·长沙一模)设不等式组表示的平面区域为Ω1，不等式(x＋2)2＋(y－2)2≤2表示的平面区域为Ω2，对于Ω1中的任意一点M和Ω2中的任意一点N，|MN|的最小值为( )
A. B. C. D.3
解析 不等式组表示的平面区域Ω1和不等式(x＋2)2＋(y－2)2≤2表示的平面区域Ω2如图所示，
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\4S318.TIF" \* MERGEFORMAT
对于Ω1中的任意一点M和Ω2中的任意一点N，|MN|的最小值就是点(0，0)与圆(x＋2)2＋(y－2)2＝2的圆心(－2，2)连线的长度减去半径，
即为－＝.
答案 C
14.(2019·石家庄模拟)已知x，y满足约束条件若的最大值为2，则m的值为( )
A.4 B.5 C.8 D.9
解析 不等式组对应的可行域如图所示：
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\4S319.TIF" \* MERGEFORMAT
由得B(1，m－1).
＝表示动点(x，y)和点D(－1，0)连线的斜率，可行域中点B和点D连线的斜率最大，
∴＝2，∴m＝5.
答案 B
15.(2018·山东K12联盟联考)已知变量x，y满足则z＝log2(2x＋y)的最大值为______.
解析 作出不等式组所表示的平面区域，如图阴影部分所示，
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\4S320.TIF" \* MERGEFORMAT
令m＝2x＋y，由图可知当直线y＝－2x＋m经过点A时，
直线y＝－2x＋m的纵截距最大，此时m取得最大值，
由解得所以点A(1，2).
则m的最大值为4，
所以z的最大值为log2 4＝2.
答案 2
16.为了活跃学生课余生活，我校高三年级部计划使用不超过1 200元的资金购买单价分别为90元、120元的排球
和篮球.根据需要，排球至少买3个，篮球至少买2个，并且排球的数量不得超过篮球数量的2倍，则能买排球和篮球的个数之和的最大值是________.
解析 设买排球x个，篮球y个，买排球和篮球的个数之和z＝x＋y，则即
由约束条件作出可行域如图阴影部分中的整点.
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\4S321.TIF" \* MERGEFORMAT
联立解得A(8，4)，化目标函数z＝x＋y为y＝－x＋z，由图可知，当直线y＝－x＋z过点A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值，此时z＝8＋4＝12.
答案 12
基本不等式及其应用
最新考纲 1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\知识衍化体验.TIF" \* MERGEFORMAT
知 识 梳 理
1.基本不等式：≤
(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号.
(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数.
2.两个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.
(2)ab≤(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.
3.利用基本不等式求最值
已知x≥0，y≥0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小).
(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大).
[微点提醒]
1.＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号.
2.ab≤≤.
3.≤≤≤(a>0，b>0).
基 础 自 测
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\疑误辨析.TIF" \* MERGEFORMAT
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是相同的.( )
(2)函数y＝x＋的最小值是2.( )
(3)函数f(x)＝sin x＋的最小值为4.( )
(4)x＞0且y＞0是＋≥2的充要条件.( )
解析 (1)不等式a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R；
不等式≥成立的条件是a≥0，b≥0.
(2)函数y＝x＋的值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)，没有最小值.
(3)函数f(x)＝sin x＋没有最小值.
(4)x>0且y>0是＋≥2的充分不必要条件.
答案 (1)× (2)× (3)× (4)×
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\教材衍化.TIF" \* MERGEFORMAT
2.(必修5P99例1(2)改编)若x>0，y>0，且x＋y＝18，则的最大值为( )
A.9 B.18 C.36 D.81
解析 因为x＋y＝18，所以≤＝9，当且仅当x＝y＝9时，等号成立.
答案 A
3.(必修5P100练习T1改编)若x<0，则x＋( )
A.有最小值，且最小值为2
B.有最大值，且最大值为2
C.有最小值，且最小值为－2
D.有最大值，且最大值为－2
解析 因为x<0，所以－x>0，－x＋≥2＝2，当且仅当x＝－1时，等号成立，所以x＋≤－2.
答案 D
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4.(2019·玉溪一中月考)已知f(x)＝，则f(x)在上的最小值为( )
A. B. C.－1 D.0
解析 f(x)＝＝x＋－2≥2－2＝0，当且仅当x＝，即x＝1时取等号.
又1∈，所以f(x)在上的最小值为0.
答案 D
5.(2018·济宁一中月考)一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，则这个矩形的长为________m，宽为________m时菜园面积最大.
解析 设矩形的长为x m，宽为y m.则x＋2y＝30，
所以S＝xy＝x·(2y)≤＝，当且仅当x＝2y，
即x＝15，y＝时取等号.
答案 15
6.(2018·天津卷)已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋的最小值为________.
解析 由题设知a－3b＝－6，又2a>0，8b>0，所以2a＋≥2＝2·2＝，当且仅当2a＝，即a＝－3，b＝1时取等号.故2a＋的最小值为.
答案
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\考点聚焦突破.tif" \* MERGEFORMAT
考点一 利用基本不等式求最值 INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\箭头.TIF" \* MERGEFORMAT 多维探究
角度1 通过配凑法求最值
【例1－1】 (2019·乐山一中月考)设0解析 y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]
≤2＝，
当且仅当2x＝3－2x，即x＝时，等号成立.
∵∈，∴函数y＝4x(3－2x)的最大值为.
答案
角度2 通过常数代换法求最值
【例1－2】 (2019·潍坊调研)函数y＝a1－x(a>0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny－1＝0上，且m，n为正数，则＋的最小值为________.
解析 ∵曲线y＝a1－x恒过定点A，x＝1时，y＝1，
∴A(1，1).
将A点代入直线方程mx＋ny－1＝0(m>0，n>0)，
可得m＋n＝1，
∴＋＝·(m＋n)＝2＋＋≥2＋2＝4，
当且仅当＝且m＋n＝1(m>0，n>0)，即m＝n＝时，取得等号.
答案 4
规律方法 在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，主要有两种思路：
(1)对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解.常用的方法有：折项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等.
(2)条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值.
【训练1】 (1)(2019·济南联考)若a>0，b>0且2a＋b＝4，则的最小值为( )
A.2 B. C.4 D.
(2)已知x<，则f(x)＝4x－2＋的最大值为______.
解析 (1)因为a>0，b>0，故2a＋b≥2(当且仅当2a＝b时取等号).
又因为2a＋b＝4，
∴2≤4?0∴≥，故的最小值为(当且仅当a＝1，b＝2时等号成立).
(2)因为x<，所以5－4x>0，
则f(x)＝4x－2＋＝－＋3
≤－2＋3＝－2＋3＝1.
当且仅当5－4x＝，即x＝1时，等号成立.
故f(x)＝4x－2＋的最大值为1.
答案 (1)B (2)1
考点二 基本不等式在实际问题中的应用
【例2】 运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100(单位：千米/时).假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时14元.
(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；
(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值.
解 (1)设所用时间为t＝(h)，
y＝×2×＋14×，x∈[50，100].
所以，这次行车总费用y关于x的表达式是y＝＋x，x∈[50，100]
(或y＝＋x，x∈[50，100]).
(2)y＝＋x≥26，
当且仅当＝x，
即x＝18时等号成立.
故当x＝18千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为26元.
规律方法 1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.
2.根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值.
3.在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.
【训练2】 网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2019年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月运营发现，产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用t万元之间满足函数关系式x＝3－.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和， 则该公司最大月利润是________万元.
解析 由题意知t＝－1(1当且仅当x＝时取等号，即最大月利润为37.5万元.
答案 37.5
考点三 基本不等式的综合应用
【例3】 (1)(2019·河南八校测评)已知等差数列{an}中，a3＝7，a9＝19，Sn为数列{an}的前n项和，则的最小值为________.
(2)(一题多解)(2018·江苏卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝1，则4a＋c的最小值为________.
解析 (1)∵a3＝7，a9＝19，
∴d＝＝＝2，
∴an＝a3＋(n－3)d＝7＋2(n－3)＝2n＋1，
∴Sn＝＝n(n＋2)，
因此＝＝
≥×2＝3，
当且仅当n＝2时取等号.故的最小值为3.
(2)法一 依题意画出图形，如图所示.
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\4S325.TIF" \* MERGEFORMAT
易知S△ABD＋S△BCD＝S△ABC，
即csin 60°＋asin 60°＝acsin 120°，
∴a＋c＝ac，∴＋＝1，
∴4a＋c＝(4a＋c)＝5＋＋≥9，
当且仅当＝，即a＝，c＝3时取“＝”.
法二 以B为原点，BD所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\4S326.TIF" \* MERGEFORMAT
则D(1，0)，∵AB＝c，BC＝a，
∴A，C.
∵A，D，C三点共线，∴∥.
∴＋c＝0，
∴ac＝a＋c，∴＋＝1，
∴4a＋c＝(4a＋c)＝5＋＋≥9，
当且仅当＝， 即a＝，c＝3时取“＝”.
答案 (1)3 (2)9
规律方法 基本不等式的应用非常广泛，它可以和数学的其他知识交汇考查，解决这类问题的策略是：
1.先根据所交汇的知识进行变形，通过换元、配凑、巧换“1”等手段把最值问题转化为用基本不等式求解，这是难点.
2.要有利用基本不等式求最值的意识，善于把条件转化为能利用基本不等式的形式.
3.检验等号是否成立，完成后续问题.
【训练3】 (1)(2019·厦门模拟)已知f(x)＝32x－(k＋1)3x＋2，当x∈R时，f(x)恒为正值，则k的取值范围是( )
A.(－∞，－1) B.(－∞，2－1)
C.(－1，2－1) D.(－2－1，2－1)
(2)在各项都为正数的等比数列{an}中，若a2 018＝，则＋的最小值为________.
解析 (1)由f(x)>0得32x－(k＋1)3x＋2>0，解得k＋1<3x＋.
又3x＋≥2(当且仅当3x＝，即x＝log3 时，等号成立).
所以k＋1<2，即k<2－1.
(2)∵{an}为等比数列，∴a2 017·a2 019＝a＝.
∴＋≥2＝2＝4.
当且仅当＝，即a2 019＝2a2 017时，取得等号.
∴＋的最小值为4.
答案 (1)B (2)4
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\反思与感悟A.TIF" \* MERGEFORMAT
[思维升华]
1.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点.
2.对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件.
3.对使用基本不等式时等号取不到的情况，可考虑使用函数y＝x＋(m>0)的单调性.
[易错防范]
1.使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可.
2.连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致.
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\分层限时训练.tif" \* MERGEFORMAT
基础巩固题组
(建议用时：35分钟)
一、选择题
1.(2019·孝感调研)“a>b>0”是“ab<”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 由a>b>0，可知a2＋b2>2ab，充分性成立，由ab<，可知a≠b，a，b∈R，故必要性不成立.
答案 A
2.下列结论正确的是( )
A.当x>0且x≠1，lg x＋≥2
B.<1(x∈R)
C.当x>0时，＋≥2
D.当0解析 对于A，当0对于B，当x＝0时，有＝1，不等式不成立；
对于C，当x>0时，＋≥2＝2，当且仅当x＝1时等号成立；
对于D，当0答案 C
3.(2018·绵阳诊断)已知x>1，y>1，且lg x，2，lg y成等差数列，则x＋y有( )
A.最小值20 B.最小值200
C.最大值20 D.最大值200
解析 由题意得2×2＝lg x＋lg y＝lg (xy)，所以xy＝10 000，则x＋y≥2＝200，当且仅当x＝y＝100时，等号成立，所以x＋y有最小值200.
答案 B
4.设a>0，若关于x的不等式x＋≥5在(1，＋∞)上恒成立，则a的最小值为( )
A.16 B.9 C.4 D.2
解析 在(1，＋∞)上，x＋＝(x－1)＋＋1
≥2＋1＝2＋1(当且仅当x＝1＋时取等号).
由题意知2＋1≥5.所以a≥4.
答案 C
5.(2019·太原模拟)若P为圆x2＋y2＝1上的一个动点，且A(－1，0)，B(1，0)，则|PA|＋|PB|的最大值为( )
A.2 B.2 C.4 D.4
解析 由题意知∠APB＝90°，∴|PA|2＋|PB|2＝4，
∴≤＝2(当且仅当|PA|＝|PB|时取等号)，
∴|PA|＋|PB|≤2，∴|PA|＋|PB|的最大值为2.
答案 B
6.某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为800元，若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )
A.60件 B.80件
C.100件 D.120件
解析 设每批生产产品x件，则每件产品的生产准备费用是元，仓储费用是元，总的费用是元，由基本不等式得＋≥2＝20，当且仅当＝，即x＝80时取等号.
答案 B
7.若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为( )
A. B.2 C.2 D.4
解析 依题意知a>0，b>0，则＋≥2＝，
当且仅当＝，即b＝2a时，“＝”成立.
因为＋＝，所以≥，
即ab≥2(当且仅当a＝2，b＝2时等号成立)，
所以ab的最小值为2.
答案 C
8.(2019·衡水中学质检)正数a，b满足＋＝1，若不等式a＋b≥－x2＋4x＋18－m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是( )
A.[3，＋∞) B.(－∞，3]
C.(－∞，6] D.[6，＋∞)
解析 因为a>0，b>0，＋＝1，
所以a＋b＝(a＋b)＝10＋＋≥16，
当且仅当＝，即a＝4，b＝12时取等号.
依题意，16≥－x2＋4x＋18－m，即x2－4x－2≥－m对任意实数x恒成立.
又x2－4x－2＝(x－2)2－6，
所以x2－4x－2的最小值为－6，所以－6≥－m，即m≥6.
答案 D
二、填空题
9.正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是________.
解析 ∵a，b是正数，∴ab＝a＋b＋3≥2＋3(当且仅当a＝b＝3时等号成立)，解得≥3，即ab≥9.
答案 [9，＋∞)
10.某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则每台机器为该公司创造的年平均利润的最大值是________万元.
解析 每台机器运转x年的年平均利润为＝18－，而x>0，故≤18－2＝8，当且仅当x＝5时等号成立，此时每台机器为该公司创造的年平均利润最大，最大值为8万元.
答案 8
11.(2019·合肥调研)设x，y满足约束条件若目标函数z＝abx＋y(a>0，b>0)的最大值为35，则a＋b的最小值为________.
解析 可行域如图所示，当直线abx＋y＝z(a>0，b>0)过点B(2，3)时，z取最大值2ab＋3.
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\AB2.TIF" \* MERGEFORMAT
于是有2ab＋3＝35，ab＝16.
所以a＋b≥2＝8，当且仅当a＝b＝4时等号成立，
所以(a＋b)min＝8.
答案 8
12.已知直线mx＋ny－2＝0经过函数g(x)＝loga x＋1(a>0且a≠1)的定点，其中mn>0，则＋的最小值为________.
解析 因为函数g(x)＝loga x＋1(a>0且a≠1)的定点(1，1)在直线mx＋ny－2＝0上，
所以m＋n－2＝0，即＋＝1.
所以＋＝＝1＋＋
≥1＋2＝2，
当且仅当＝，即m＝n＝1时取等号，
所以＋的最小值为2.
答案 2
能力提升题组
(建议用时：15分钟)
13.(2018·江西师范大学附属中学月考)若向量m＝(a－1，2)，n＝(4，b)，且m⊥n，a>0，b>0，则log a＋log3 有( )
A.最大值log3 B.最小值log32
C.最大值log D.最小值0
解析 由m⊥n，得m·n＝0，即4(a－1)＋2b＝0，
∴2a＋b＝2，∴2≥2，∴ab≤(当且仅当2a＝b时，等号成立).
又log a＋log3 ＝log a＋log b＝log ab≥log ＝log3 2，
故log a＋log3 有最小值为log3 2.
答案 B
14.(2019·湖南师大附中模拟)已知△ABC的面积为1，内切圆半径也为1，若△ABC的三边长分别为a，b，c，则＋的最小值为( )
A.2 B.2＋ C.4 D.2＋2
解析 因为△ABC的面积为1，内切圆半径也为1，
所以(a＋b＋c)×1＝1，所以a＋b＋c＝2，
所以＋＝＋＝2＋＋≥2＋2，
当且仅当a＋b＝c，即c＝2－2时，等号成立，
所以＋的最小值为2＋2.
答案 D
15.若a，b∈R，ab>0，则的最小值为________.
解析 ∵a，b∈R，ab>0，
∴≥＝4ab＋≥2＝4，
当且仅当即时取得等号.
答案 4
16.已知函数f(x)＝(a∈R)，若对于任意的x∈N*，f(x)≥3恒成立，则a的取值范围是________.
解析 对任意x∈N*，f(x)≥3，
即 ≥3恒成立，即a≥－＋3.
设g(x)＝x＋，x∈N*，则g(x)＝x＋≥4，
当x＝2时等号成立，又g(2)＝6，g(3)＝，
∵g(2)>g(3)，∴g(x)min＝.∴－＋3≤－，
∴a≥－，故a的取值范围是.
答案
