§1 简单几何体
1．1 简单旋转体
1．2 简单多面体
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解柱、锥、台、球的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．
2．掌握简单几何体的分类．
3．理解圆柱、圆锥、圆台及球的概念．(重点、难点)
4．理解棱柱、棱锥、棱台等简单几何体的概念．(重点、难点)
1.通过了解柱、锥、台、球的结构特征培养直观想象素养．
2．通过理解柱、锥、台及球的相关概念提升数学抽象素养.
1．两个平面平行及直线与平面垂直的概念
(1)两个平面平行：称无公共点的两个平面是平行的．
(2)直线与平面垂直：直线与平面内的任意一条直线都垂直，称为直线与平面垂直．
2．简单的旋转体
(1)定义：一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体．
(2)球、圆柱、圆锥、圆台的概念及比较：
名称
定义
图形表示
相关概念
球
以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆旋转所形成的曲面叫作球面．球面所围成的几何体叫作球体，简称球
球心：半圆的圆心；
球的半径：连接球心和球面上任意一点的线段；
球的直径：连接球面上两点并且过球心的线段
圆柱、
圆锥、
圆台
分别以矩形的一边、直角三角形的一条直角边、直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体分别叫作圆柱、圆锥、圆台
高：在旋转轴上这条边的长度；
底面：垂直于旋转轴的边旋转而成的圆面；
侧面：不垂直于旋转轴的边旋转而成的曲面；母线：不垂直于旋转轴的边旋转，无论转到什么位置，都叫作侧面的母线
思考1：(1)圆柱的母线有多少条？它们之间有什么关系？
(2)过旋转体的轴的截面叫作轴截面，那么圆锥的轴截面是什么图形？
(3)圆台的两条母线所在的直线一定相交吗？
(4)球能否由圆面旋转而成？
提示：(1)圆柱的母线有无数条；它们之间相互平行．
(2)等腰三角形．
(3)一定．由于圆台可认为是由圆锥截得的，故两条母线所在的直线一定相交．
(4)能．圆面以直径所在的直线为旋转轴，旋转半周所形成的旋转体即为球．
3．简单的多面体
(1)简单多面体的定义
把若干个平面多边形围成的几何体叫作多面体．其中棱柱、棱锥、棱台是简单多面体．
(2)棱柱、棱锥、棱台的结构特征
名称
棱柱
棱锥
棱台
图形
表示
棱柱AC′或棱柱
ABCDE-
A′B′C′D′E′
棱锥S-AC
或棱锥
S-ABCDE
棱台AC′或棱
台ABCD-
A′B′C′D′
结构特征
两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行
有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分
侧棱
平行且相等
相交于一点，但不一定相等
延长线交于一点，但不一定相等
侧面
平行四边形
三角形
梯形
底面
平行且全等的多边形
多边形
平行且边数相等的多边形
思考2：有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱吗？
提示：不是．如图所示的几何体有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，但不是棱柱．
1．下列几何体中是旋转体的是( )
①圆柱；②六棱锥；③正方体；④球体；⑤四面体．
A．①⑤ B．①
C．③④ D．①④
[答案] D
2．长方体相对的两个侧面的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．无法确定
A [根据两个平面平行的定义可知长方体相对的两个侧面平行，故选A.]
3．下列说法正确的是( )
A．直线绕定直线旋转形成柱面
B．半圆面绕定直线旋转形成球体
C．矩形绕任意一条直线旋转都可以围成圆柱
D．圆柱的任意两条母线所在的直线是相互平行的
D [直线与定直线平行时，直线绕定直线旋转才形成柱面，故A错误；半圆面以直径所在直线为轴旋转形成球体，故B错误；矩形绕对角线所在直线旋转，不能围成圆柱，故C错误，所以应选D.]
4．对棱柱而言，下列说法正确的序号是________．
①有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形；②所有的棱长都相等；③棱柱中至少有2个面的形状完全相同；④相邻两个面的交线叫作侧棱．
①③ [由棱柱的概念知①③正确．②④错误．
旋转体的结构特征
【例1】 下列叙述中，正确的个数是( )
(1)以直角三角形的一边所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆锥；
(2)以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转所得的几何体是圆台；
(3)用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台；
(4)圆面绕它的任一直径所在直线旋转一周形成的几何体是球．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
B [(1)应以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴旋转才可得到圆锥，故(1)错；(2)以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为旋转轴旋转可得到圆台，故(2)错；(3)用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，可得到一个圆锥和一个圆台，用不平行于圆锥底面的平面不能得到，故(3)错；(4)正确．]
1．圆柱、圆锥、圆台和球都是一个平面图形绕其特定直线旋转而成的几何体，必须准确认识各旋转体对旋转轴的具体要求．
2．只有理解了各旋转体的生成过程，才能明确由此产生的母线、轴、底面等概念，进而判断与这些概念有关的命题的正误．
1．下列说法正确的是________．
①一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台；
②圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形；
③在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球．
② [①错．直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体，如图所示．
②正确．
③错．应为球面．]
多面体的结构特征
【例2】 下列关于棱锥、棱台的说法：
①用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台；
②棱柱的侧面一定是平行四边形；
③棱锥的侧面只能是三角形；
④由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；
⑤棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．
其中正确说法的序号是________．
②③④ [①错误，若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台；
②正确，棱柱的侧面是对边平行的四边形；
③正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形；
④正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；
⑤错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥．]
判断棱柱、棱锥、棱台形状的两个方法：
(1)举反例法：
结合棱柱、棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱柱、棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．
(2)直接法：
棱柱
棱锥
棱台
定底面
两个互相平行的面，即为底面
只有一个面是多边形，此面即为底面
两个互相平行的面，即为底面
看侧棱
平行
相交于一点
延长后相交于一点
2．给出下列几个结论：
①棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共顶点；
②多面体至少有四个面；
③棱台的侧棱所在直线均相交于同一点．
其中，错误的个数是( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
A [①正确；对于②，一个图形要成为空间几何体，它至少需有四个顶点，因为三个顶点只围成一个平面图形是三角形，有四个顶点时，易知它可围成四个面，因而一个多面体至少应有四个面，故这样的面必是三角形，所以②是正确的；对于③，棱台的侧棱所在的直线就是原棱锥的侧棱所在的直线，而棱锥的侧棱都有一个公共的点，即棱锥的顶点，于是棱台的侧棱所在的直线均相交于同一点，所以③是正确的．]
空间几何体的表面展开与折叠
[探究问题]
1．如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？
提示：①为五棱柱；②为五棱锥；③为三棱台．
2．若知道空间几何体表面上两点，如何求两点间最短的表面距离？
提示：在几何体的表面上求两点间的最短表面距离问题，常转化为求其展开图中相应的线段长，即用“化曲为直”的方法转化为平面问题来处理．
3．六棱锥P-ABCDEF的底面是边长为1 m的正六边形，侧棱长为2 m，M为PA的中点，从D点拉一条绳子，沿锥体侧面(不经过底面)到达M点．分组讨论，在什么情况下，绳子最短？
提示：制作这样一个六棱锥观察实验，不难发现，当去掉底面，沿侧棱PA剪开，铺平后，两点D，M之间的距离即为最短绳长．
【例3】 如图所示，有一个底面半径为1，高为2的圆柱体，在A点处有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱表面一周且由A点爬到B点，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？
[思路探究] 将圆柱体侧面展开，利用平面中两点之间线段最短求解．
[解] 把圆柱的侧面沿AB剪开，然后展开成为平面图形——矩形，如图所示，连接AB′，则AB′即为蚂蚁爬行的最短距离．
∵AA′为底面圆的周长，
∴AA′＝2π×1＝2π.又AB＝A′B′＝2，
∴AB′＝＝＝2，
即蚂蚁爬行的最短距离为2.
将例3中的圆柱体变为长方体如图所示，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝2，BB1＝1，求沿着长方体的表面从A到C1的最短距离．
[解] 将长方体相邻两个面展开，比较三个展开图，
图①中AC1＝，图②中AC1＝3，图③中AC1＝2，
∴从A到C1的最短距离为3.
在几何体的表面上求连接两点的曲线长的最短问题，常转化为求其展开图中相应的线段长，即用“化曲为直”的方法转化为平面问题来处理.
1．圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示．
2．棱柱、棱锥定义的关注点
(1)棱柱的定义有以下两个要点，缺一不可：
①有两个平面(底面)互相平行；
②其余各面(侧面)每相邻两个面的公共边(侧棱)都互相平行．
(2)棱锥的定义有以下两个要点，缺一不可：
①有一个面(底面)是多边形；
②其余各面(侧面)是有一个公共顶点的三角形．
3．球面、球体的区别和联系
区别
联系
球面
球的表面是球面，球面是旋转形成的曲面
球面是球体的表面
球体
球体是几何体，包括球面及所围的空间部分
1．思考辨析
(1)直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥．
( )
(2)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是一圆柱． ( )
(3)棱柱的侧面都是平行四边形． ( )
(4)棱锥的侧面都是三角形． ( )
[解析] (1)×，若绕直角三角形斜边旋转得到的是两个同底圆锥．
(2)×，两个截面与圆柱底面不平行时就不是圆柱．
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√
2．给出下列命题：
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；
②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；
③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；
④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．
其中正确的是( )
A．①② B．②③ C．①③ D．②④
D [依据圆柱、圆锥和圆台的定义及母线的性质可知，②④正确，①③错误．]
3．下面几何体的截面一定是圆面的是( )
A．圆柱 B．圆锥 C．球 D．圆台
C [无论用怎样的平面去截球，截面一定是圆面，其他三个旋转体截面则不一定是圆面．]
4．已知圆锥的轴截面是正三角形，它的面积是，则圆锥的高与母线的长分别为________．
，2 [设正三角形的边长为a，则a2＝，∴a＝2.由于圆锥的高即为圆锥的轴截面三角形的高，所以所求的高为a＝，圆锥的母线即为圆锥的轴截面正三角形的边，所以母线长为2.]
5．如图所示为长方体ABCD-A′B′C′D′，E、F分别为棱A′B′，C′D′上的点，且B′E＝C′F，当用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的多面体还是棱柱吗？如果不是，请说明理由．
[解] 截面BCFE上方部分是棱柱，为棱柱BEB′-CFC′，其中△BEB′和△CFC′是底面．
截面BCFE下方部分也是棱柱，为棱柱ABEA′-DCFD′，其中四边形ABEA′和四边形DCFD′是底面．
课件55张PPT。第一章 立体几何初步 §1 简单几何体
1．1 简单旋转体
1．2 简单多面体234无公共点封闭的曲面平面曲线垂直5直径球心线段圆心球面曲面6不垂直于旋转轴一边一条直角边垂直于底边曲面旋转轴旋转轴圆面不垂直于旋转轴789平面多边形棱台棱锥棱柱1011有一个互相平行互相平行公共顶点12平行且全等的多边形平行且边数相等梯形延长线交于一点形平行四边形的多边形131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(一) 简单几何体
(建议用时：45分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．如图是由哪个平面图形旋转得到的( )
A [图中给出的组合体是一个圆台上接一个圆锥，因此平面图形应由一个直角三角形和一个直角梯形构成，并且上面应是直角三角形，下面应是直角梯形．]
2．一个多边形沿垂直于它所在平面的方向平移一段距离可以形成的几何体是( )
A．棱锥 B．棱柱
C．平面 D．长方体
B [平移后形成的几何体是以此多边形(起点处和终点处)为两底面的棱柱，故选B.]
3．如图，E，F，G，H是三棱柱对应边上的中点，过此四点作截面EFGH，则截面以下的几何体是( )
A．棱柱 B．棱台
C．棱锥 D．五面体
A [选择左右两个平行平面为底面，则它符合棱柱的结构特征，故选A.]
4．下列结论正确的是( )
A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥
B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥
C．棱锥的所有面不可能都是全等的三角形
D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线
D [A是错误的，例如由两个相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各个面都是三角形，但它不是棱锥；B是错误的，直角三角形绕着直角边旋转一周形成的面所围成的几何体才是圆锥；C是错误的，因为底面和侧面均为全等三角形的棱锥存在，如空间正四面体，故选D.]
5．某同学制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒，如图所示，则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为( )
[答案] A
二、填空题
6．直角三角形围绕其斜边所在的直线旋转得到的旋转体由________组成．
两个圆锥 [所得旋转体如图，是由两个圆锥组成的．]
7．下列命题中错误的是________．
①过球心的截面所截得的圆面的半径等于球的半径；
②母线长相等的不同圆锥的轴截面的面积相等；
③圆台所有平行于底面的截面都是圆；
④圆锥所有的轴截面都是全等的等腰三角形．
② [因为圆锥的母线长一定，根据三角形面积公式，当两条母线的夹角为90°时，过圆锥顶点的截面面积最大．]
8．圆台两底面半径分别是2 cm和5 cm，母线长是3 cm，则它的轴截面的面积是________．
63 cm2 [画出轴截面，如图，过A作AM⊥BC于M，则BM＝5－2＝3(cm)，
AM＝＝9(cm)，
∴S四边形ABCD＝＝63(cm2)．]
三、解答题
9．画一个三棱台，再把它分成：
(1)一个三棱柱和另一个多面体；
(2)三个三棱锥，并用字母表示．
[解] (1)如图①，三棱柱是A′B′C′-AB″C″.
(2)如图②，三个三棱锥分别是A′-ABC，B′-A′BC，C′-A′B′C.
10．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，且AD[解] 如图所示，旋转所得的几何体是一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分构成的组合体．
[等级过关练]
1．在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
D [如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，取四棱锥A1-ABCD，则此四棱锥的四个侧面都是直角三角形．]
2．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，P是AA1的中点，E是BB1上的点，则PE＋EC的最小值是________．
[如图所示，当PE＋EC＝PC时，PE＋EC的值最小，在Rt△APC中，PC＝＝.∴(PE＋EC)min＝.
]
