§2 直观图
学 习 目 标
核 心 素 养
1.掌握斜二测画法的步骤．(重点)
2．会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图．(重点、难点)
3．通过观察直观图，了解空间几何体的表示形式，进一步认识几何体的结构特征.
1.通过用斜二测画法画简单图形的直观图培养直观想象素养．
2．通过观察直观图了解空间几何体的表示形式，提升数学抽象素养.
1．斜二测画法
(1)在已知图形中建立直角坐标系xOy.画直观图时，它们分别对应x′轴和y′轴，两轴交于点O′，使∠x′O′y′＝45°，它们确定的平面表示水平平面．
(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴和y′轴的线段．
(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的.
思考：相等的角在直观图中还相等吗？
提示：不一定，如正方形的直观图是平行四边形．
2．立体图形的直观图的画法
立体图形直观图画法的“四步曲”：
1．水平放置长方形的直观图可能为下图中的哪一个( )
A．①② B．①②③
C．②⑤ D．③④⑤
[答案] C
2．下面说法正确的是( )
A．水平放置的正方形的直观图可能是梯形
B．两条相交的直线的直观图可能是两条平行直线
C．互相垂直的两条直线的直观图仍然互相垂直
D．水平放置的平行四边形的直观图仍是平行四边形
D [正方形的直观图中对应边互相平行，不可能是梯形，A错；两条相交的直线的直观图仍然相交，不可能平行，B错；互相垂直的两条直线的直观图可能不垂直，C错，只有D正确．]
3．如图，直观图△A′B′C′(其中A′C′∥O′y′，B′C′∥O′x′)所表示的平面图形是( )
A．正三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．直角三角形
D [由A′C′∥O′y′，B′C′∥O′x′知，在原图形中，AC⊥CB，所以对应的平面图形为直角三角形．]
4．在棱长为4 cm的正方体ABCD-A1B1C1D1中，作直观图时，棱AA1在x轴上，棱AD在y轴上，则在其直观图中，对应棱A′D′的长为________cm，棱A′A1′的长为________cm.
2 4 [在x轴上的线段长度不变，故A′A1′＝4 cm，在y轴上的线段变成原来的一半，故A′D′＝2 cm.]
平面直观图的画法
【例1】 画水平放置的直角梯形的直观图，如图所示．
[解] (1)在已知的直角梯形OBCD中，以底边OB所在直线为x轴，垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系．画相应的x′轴和y′轴，使∠x′O′y′＝45°，如图①②所示．
(2)在x′轴上截取O′B′＝OB，在y′轴上截取O′D′＝OD，过点D′作x′轴的平行线l，在l上沿x′轴正方向取点C′使得D′C′＝DC.连接B′C′，如图②.
(3)所得四边形O′B′C′D′就是直角梯形OBCD的直观图．如图③.
1．画水平放置的平面多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置．顶点位置可以分为两类：一类是在轴上或在与轴平行的线段上，这类顶点比较容易确定；另一类是不在轴上且不在与轴平行的线段上，这类顶点一般通过过此点作与轴平行的线段，将此点转到与轴平行的线段上来确定．
2．要画好对应平面图形的直观图，首先应在原图形中确定直角坐标系，然后在此基础上画出水平放置的平面坐标系．
1．用斜二测画法画如图所示边长为4 cm的水平放置的正三角形的直观图．
[解] (1)如图①所示，以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线AO所在的直线为y轴．
(2)画对应的x′轴、y′轴，如图②，
使∠x′O′y′＝45°.
在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝OB＝OC＝2 cm，在y′轴上取O′A′＝OA，连接A′B′，A′C′，去掉辅助线，则三角形A′B′C′即为正三角形ABC的直观图，如图③所示．
空间几何体的直观图的画法
【例2】 画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图．
[解] 画法：(1)画轴．画Ox轴，Oy轴，Oz轴，∠xOy＝45°(或135°)，∠xOz＝90°，如图①.
① ②
(2)画底面．以O为中心在xOy平面内，画出正方形的直观图ABCD.
(3)画顶点．在Oz轴上截取OP使OP的长度等于原四棱锥的高．
(4)成图．顺次连接PA，PB，PC，PD，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得四棱锥的直观图，如图②
画空间几何体时，首先依照斜二测画法规则画出几何体的底面直观图，然后根据平行于z轴的线段在直观图中保持长度不变，画出几何体的各侧面，所以画空间多面体的步骤可简单总结为：
→→→
2．用斜二测画法画长、宽、高分别为4 cm,3 cm,2 cm的长方体ABCD-A′B′C′D′的直观图．
[解] 画法：
(1)画轴．如图①，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
①
(2)画底面．以点O为中点，在x轴上取线段MN，使MN＝4 cm；在y轴上取线段PQ，使PQ＝ cm.
分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD.
(3)画侧棱．过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段AA′，BB′，CC′，DD′.
(4)成图．顺次连接A′，B′，C′，D′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到长方体的直观图，如图②.
②
直观图的还原及有关计算
[探究问题]
1．如图是一梯形OABC的直观图O′A′B′C′，
O′C′＝h，
根据直观图你知道原图形是什么吗？它有什么特点？
提示：原图形是一个直角梯形且高为2 h.
2．已知△ABC的直观图如图所示，你能求出原△ABC的面积吗？你发现直观图的面积与原图形面积有何关系？
提示：由题意，易知在△ABC中，AC⊥AB，且AC＝6，AB＝3，
∴S△ABC＝×6×3＝9.
又S△A′B′C′＝×3×(3sin 45°)＝，∴S△A′B′C′＝S△ABC.
【例3】 如图所示，一个水平放置的平面图形的斜二测画法的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，求原四边形的面积．
[思路探究] 分别以B′C′，A′B′所在的直线为x′轴，y′轴，画出该直观图的对应图形，然后求面积．
[解] 如图①是四边形的直观图，取B′C′所在直线为x′轴．因为∠A′B′C′＝45°，
所以取B′A′所在直线为y′轴．
过D′作D′E′∥A′B′，D′E′交B′C′于E′，则B′E′＝A′D′＝1.
又因为梯形为等腰梯形，所以△E′D′C′为等腰直角三角形，所以E′C′＝.
再建立一个直角坐标系xOy，则O，B重合，如图②所示，在x轴上截取线段BC＝B′C′＝1＋，在y轴上截取线段BA＝2B′A′＝2.
过A作AD∥BC，截取AD＝A′D′＝1.
连接CD，则四边形ABCD就是四边形A′B′C′D′的平面图形．
四边形ABCD为直角梯形，上底AD＝1，下底BC＝1＋，高AB＝2，所以S梯形ABCD＝AB·(AD＋BC)＝×2×(1＋1＋)＝2＋.
1．若将例题中图形变为如图所示的图形，试求原图形面积．
[解] 将该三角形还原后可知|OA|＝2|O′A′|，|OB|＝|O′B′|，
则S△ABO＝×1×2＝.
故原图形面积为.
2．若将例题中直观图换为下图，试求原图形的周长．
[解] 如图为原平面图形．
由斜二测画法可知，
OB＝2O′B′＝2，OC＝O′C′＝AB＝A′B′＝1，
且AB∥OC，∠BOC＝90°.
所以四边形OABC为平行四边形，
且BC＝＝＝3，
故平行四边形OABC的周长为2(OC＋BC)＝8.
将直观图还原为平面图的关键是找与x′轴，y′轴平行的直线或线段， 且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段被还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可.由直观图中的已知量来计算原图形中的量，应依据线段的变化规律分别在两个图中计算.
1．画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定直观图的顶点．确定点的位置，可采用直角坐标系．建立恰当的坐标系是迅速作出直观图的关键，常利用图形的对称性，并让顶点尽量多地落在坐标轴上或与坐标轴平行的直线上．
2．用斜二测画法画图时要紧紧把握住“一斜”、“二测”两点：
(1)一斜：平面图形中互相垂直的Ox，Oy轴，在直观图中画成O′x′，O′y′轴，使∠x′O′y′＝45°或135°.
(2)二测：在直观图中平行于x轴的长度不变，平行于y轴的长度取一半，记为“横不变，纵折半”．
1．思考辨析
(1)用斜二测画法画直观图时，在原图x轴上长为4的线段，在直观图中的长度为4. ( )
(2)正方形的直观图仍是正方形． ( )
(3)平行四边形的直观图仍是平行四边形． ( )
(4)用斜二测画法画直观图时，平行于y轴的线段在直观图中长度减半．
( )
[解析] (2)×，正方形的直观图是平行四边形．
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)√
2．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为________．
2．5 [由题图知原图是以3,4为直角边的直角三角形，而斜边上的中线等于斜边的一半．]
3．如图为△ABO水平放置的直观图，其中O′D′＝B′D′＝2A′D′，且B′D′∥y′轴，由图判断原三角形中AB，OB，BD，OD的大小关系是________．
OD
由三角形的有关性质可知，OB>AB>BD>OD.]
4．已知一等腰△ABC底边AB＝a，高为a，求用斜二测画法得到的直观图的面积．
[解] 如图①②所示的是实际图形和直观图，
由图可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝OC＝a，
在图②中作C′D′⊥A′B′于D′，则C′D′＝O′C′＝a，
所以S△A′B′C′＝A′B′·C′D′＝×a×a＝a2.
课件54张PPT。第一章 立体几何初步 §2 直观图保持原长度不变45°z′性和长度都不变平行点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(二) 直观图
(建议用时：45分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．如图所示是水平放置的三角形的直观图，A′B′∥y′轴，则原图中△ABC是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．任意三角形
B [∵A′B′∥y′轴，∴由斜二测画法可知在原图形中BA⊥AC，故△ABC是直角三角形．]
2．利用斜二测画法画出边长为3 cm的正方形的直观图，正确的是图中的( )
C [正方形的直观图是平行四边形，且平行于x轴的边长为3，平行于y轴的边长为1.5.]
3．如下所示的直观图是将正方体模型放置在你的水平视线的左下角而绘制的，其中正确的是( )
A B C D
A [由几何体的直观图的画法及主体图形中虚线的使用，知A正确．]
4．一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20 m,5 m,10 m，四棱锥的高为8 m，若按1∶500的比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和四棱锥的高分别应为( )
A．4 cm,1 cm,2 cm,1.6 cm
B．4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cm
C．4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm
D．2 cm,0.5 cm,1 m,0.8 cm
C [由比例可知，长方体的长、宽、高和四棱锥的高分别应为4 cm,1 cm,2 cm和1.6 cm，再结合直观图特征，图形的尺寸应为4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm.]
5．如图所示是水平放置的正方形ABCO，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为(4,4)，则由斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为( )
A. B. C．2 D．2
A [由斜二测画法画出直观图，如图所示，作B′E⊥x′轴于点E，在Rt△B′EC′中，B′C′＝2，∠B′C′E＝45°，B′E＝B′C′sin 45°＝2×＝.]
二、填空题
6．如图，平行四边形O′P′Q′R′是四边形OPQR的直观图，若O′P′＝3，O′R′＝1，则原四边形OPQR的周长为________．
10 [由四边形OPQR的直观图可知原四边形是矩形，且OP＝3，OR＝2，所以原四边形OPQR的周长为2×(3＋2)＝10.]
7．如图，四边形OABC是上底为2，下底为6，底角为45°的等腰梯形，用斜二测画法画出这个梯形的直观图O′A′B′C′，则在直观图中梯形的高为________．
[由原图形可知OA＝6，BC＝2，∠COD＝45°，则CD＝2，则直观图中的高h′＝C′D′sin 45°＝1×＝.]
8．在如图所示的直观图中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2 cm，则在xOy坐标系中，四边形ABCO的形状为________，面积为________ cm2.
矩形 8 [由斜二测画法的特点，可知该平面图形的直观图的原图，即在xOy坐标系中，四边形ABCO是个长为4 cm，宽为2 cm的矩形，所以四边形ABCO的面积为8 cm2.]
三、解答题
9．画出水平放置的四边形OBCD(如图所示)的直观图．
[解] (1)过点C作CE⊥x轴，垂足为E，如图①所示，画出对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°，如图②所示．
(2)如图②所示，在x′轴上取点B′，E′，使得O′B′＝OB，O′E′＝OE；在y′轴上取一点D′，使得O′D′＝OD；过E′作E′C′∥y′轴，使E′C′＝EC.
(3)连接B′C′，C′D′，并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线，如图③所示，四边形O′B′C′D′就是所求的直观图．
10．用斜二测画法画底面半径为1 cm，高为3 cm的圆锥的直观图．
[解] 画法如下：
(1)画x′轴和y′轴，两轴交于点O′，使∠x′O′y′＝45°；
(2)分别在x′轴、y′轴上以O′为中心，作A′B′＝2 cm，C′D′＝1 cm，用曲线将A′，C′，B′，D′连起来得到圆锥底面(圆)的直观图，如图①；
(3)画z′轴，在z′轴方向上取O′S＝3 cm，S为圆锥的顶点，连接SA′，SB′；
(4)擦去辅助线，得到圆锥的直观图，如图②.
① ②
[等级过关练]
1．如图所示，△A′O′B′表示水平放置的△AOB的直观图，B′在x′轴上，A′O′和x′轴垂直，且A′O′＝2，则△AOB的边OB上的高为( )
A．2 B．4
C．2 D．4
D [由直观图与原图形中边OB长度不变，
得S原图形＝2S直观图，得·OB·h＝2××2·O′B′，
∵OB＝O′B′，∴h＝4.]
2．如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，则原图形是( )
A．正方形
B．矩形
C．菱形
D．不是矩形或菱形的平行四边形
C [如图，在原图形OABC中，
应有OD＝2O′D′＝2×2
＝4 cm，
CD＝C′D′＝2 cm，
∴OC＝
＝＝6 cm，
∴OA＝OC，故四边形OABC是菱形．]
