§3 三视图
3．1 简单组合体的三视图
3．2 由三视图还原成实物图
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解组合体的两种基本的组成形式．
2．理解三视图的成图原理，掌握绘制三视图的规律——“长对正、高平齐、宽相等”．(重点、易错点)
3．能识别三视图所表示的立体模型，并能画出它们的实物草图．(难点)
1.通过了解组合体的概念培养数学抽象素养．
2．由三视图的成图原理，绘制三视图的规律，提升直观想象素养.
1．组合体
(1)定义：由基本几何体生成的几何体叫作组合体．
(2)基本形式：有两种，一种是将基本几何体拼接成组合体；另一种是从基本几何体中切掉或挖掉部分构成组合体．
2．三视图
(1)三视图的特点：
①空间几何体的三视图是指主视图、左视图、俯视图．
②三视图的主视图、俯视图、左视图分别是从正前方、正上方、正左侧观察同一个几何体，所画出的空间几何体的平面图形．
③三视图的排列规则是俯视图放在主视图的下方，长度与主视图一样，左视图放在主视图的右面，高度与主视图一样，宽度与俯视图的宽度一样．
(2)绘制三视图时的注意事项：
①首先，确定主视、俯视、左视的方向，同一物体放置的位置不同，所画三视图可能不同．
②其次，简单组合体是由哪几个基本几何体生成的，并注意它们的生成方式，特别是它们的交线位置．
③分界线和可见轮廓线都用实线画出；不可见轮廓线都用虚线画出．
思考：三视图分别反映物体的哪些位置关系(上下、左右、前后)？哪些数量关系(长、宽)?
提示：主视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度；俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；左视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度．
1．下列四个几何体中，每个几何体的三视图中有且仅有两个视图相同的是( )
A．①② B．①③
C．①④ D．②④
[答案] D
2．一个圆柱的三视图中一定没有的图形是( )
A．圆 B．矩形
C．三角形 D．正方形
C [直立圆柱的主视图、左视图都是矩形，也可以是正方形，俯视图是圆．]
3．下列说法正确的是( )
A．任何物体的三视图都与物体的摆放位置有关
B．任何物体的三视图都与物体的摆放位置无关
C．有的物体的三视图与物体的摆放位置无关
D．正方体的三视图一定是三个全等的正方形
[答案] C
4．有一个几何体的三视图如图所示，这个几何体应是一个________．
[答案] 四棱台
简单几何体的三视图
【例1】 画出如图所示的空间几何体的三视图．(阴影面为主视面，尺寸不作严格要求)
[解] 三视图如下．
1．在画三视图时，先要想象几何体的后面、右面、下面各有一个屏幕，一组平行光线分别从前面、左面、上面垂直照射，我们画的是影子的轮廓，再验证几何体的轮廓线，能看到的画实线，不能看到的画虚线．
2．作三视图时，要遵循三视图的排列规则，即“长对正，高平齐，宽相等”．
3．画完三视图草图后，要再对照实物图验证其正确性．
1．沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的左视图为( )
B [依题意，左视图中棱的方向是从左上角到右下角，故选B.]
简单组合体的三视图
【例2】 如图是将球放在圆筒上形成的组合体，画出它的三视图．
[解] 它的三视图如图所示：
1．画组合体的三视图的步骤：
(1)分析组合体的组成形式；
(2)把组合体分解成简单几何体；
(3)画分解后的简单几何体的三视图；
(4)将各个三视图拼合成组合体的三视图．
2．画三视图时要注意的问题：
(1)先画主体部分，后画次要部分；
(2)几个视图要配合着画，一般是先画主视图，再确定左视图和俯视图；
(3)组合体的各部分之间要画出分界线．
2．一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是( )
B [由直观图可知，该几何体由一个长方体和一个截角三棱柱组成．从上往下看，外层轮廓线是一个矩形，矩形内部有一条线段连接的两个三角形．]
由三视图还原成实物图
[探究问题]
1．根据如图所给出的物体的三视图，请说出它们的名称．
提示：从观察三视图的特征入手，联想简单几何体三视图，从而确定几何体的名称，所以①是圆锥，②是三棱柱．
2．如图是某一几何体的三视图，你能想象几何体的结构特征，并画出几何体的直观图吗？
提示：由几何体的三视图可知，几何体是一个倒立的三棱台，即上底面面积大，下底面面积小，直观图如图．
【例3】 根据三视图想象物体原形，并画出物体的实物草图．
[思路探究] 观察三视图时可将该几何体分解为上下两部分进行判断，易知该物体是由一个圆柱和一个长方体组合而成的．
[解] 由俯视图并结合其他两个视图可以看出，这个物体是由一个圆柱和一个长方体组合而成，它的实物草图如图所示．
1．例3中，若将俯视图改为如图所示的图形，试画出实物图．
[解] 由三视图可知，该几何体上方是一个直三棱柱，下方是长方体，其草图如图．
2．例3中，若将主视图、俯视图改为如图所示的图形，试画出其实物图．
[解] 由三视图可知，该几何体下方是一个圆柱，上方是一个三棱柱，其草图如图．
由三视图还原空间几何体的策略：
?1?通过主视图和左视图确定是柱体、锥体还是台体.若主视图和左视图为矩形，则原几何体为柱体；若主视图和左视图为等腰三角形，则原几何体为锥体；若主视图和左视图为等腰梯形，则原几何体为台体.
?2?通过俯视图确定是多面体还是旋转体.若俯视图为多边形，则原几何体为多面体；若俯视图为圆，则原几何体为旋转体.
1．三视图的主视图、左视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线，画几何体三视图的要求是主视图、俯视图长对正，主视图、左视图高平齐，俯视图、左视图宽相等，前后对应，画出的三视图要检验是否符合“长对正、高平齐、宽相等”的基本特征．
2．画组合体的三视图的步骤
特别提醒：画几何体的三视图时，能看见的轮廓线和棱用实线表示，看不见的轮廓线和棱用虚线表示．
1．思考辨析
(1)画三视图时应保证光线与投射面垂直． ( )
(2)同一个物体的主视图可能不同． ( )
(3)画三视图时，被遮住的部分可不画． ( )
(4)圆柱的三视图都是矩形． ( )
[解析] (3)×，被遮挡部分画成虚线．
(4)×，其三视图中有一个是圆形．
[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)×
2．如图，该几何体的上半部分为正三棱柱，下半部分为圆柱，其俯视图是( )
C [因为俯视图是从上往下看的，所以图中的几何体的俯视图是一个圆，且圆内有一个内接正三角形．]
3．三视图如图所示的几何体是________．
四棱锥 [根据三视图可知该几何体为四棱锥．]
4．画出如图所示几何体的三视图．
[解] 三视图如图所示：
课件50张PPT。第一章 立体几何初步 §3 三视图
3．1 简单组合体的三视图
3．2 由三视图还原成实物图基本几何体挖掉切掉拼接主视图左视图俯视图正左侧正上方正前方俯视图左视图方向虚线实线交线位置点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(三) 三视图
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．若一个几何体的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆，则这个几何体可能是( )
A．圆柱 B．三棱柱
C．圆锥 D．球体
C [主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆说明此几何体是圆锥．]
2．如图所示的是一个立体图形的三视图，此立体图形的名称为( )
A．圆锥 B．圆柱
C．长方体 D．圆台
B [由俯视图可知几何体的上、下底面是全等的圆，结合主视图和左视图，可知其为圆柱．]
3．如图所示，五棱柱的左视图应为( )
B [从五棱柱左面看，是2个矩形，上面的小一点，故选B.]
4．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是( )
A．三棱锥 B．三棱柱
C．四棱锥 D．四棱柱
B [将三视图还原为几何体即可．如图所示，几何体为三棱柱．]
5．已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，左视图是一个面积为的矩形，则该正方体的主视图的面积等于( )
A. B．1 C. D.
D [由已知，正方体的主视图与左视图都是长为，宽为1的矩形，所以主视图的面积等于左视图的面积，为.]
二、填空题
6．如图所示，为一个简单几何体的三视图，它的上部是一个________，下部是一个________．
圆锥 圆柱 [由三视图可知该几何体图示为：
所以，其上部是一个圆锥，下部是一个圆柱．]
7．如图所示，是一个圆锥的三视图，则该圆锥的高为______cm.
[由三视图知，圆锥的母线长为3 cm，底面圆的直径为3 cm，所以圆锥的轴截面也是边长为3 cm的等边三角形，所以圆锥的高为＝(cm)．]
8．用小正方体搭成一个几何体，如图是它的主视图和左视图，搭成这个几何体的小正方体的个数最多为________个．
7 [其俯视图如下时为小正方体个数最多情况(其中小正方形内的数字表示小正方体的个数)，共需7个小正方体．]
1
2
1
1
1
1
三、解答题
9．如图所示，画出这个几何体的三视图．
[解] 几何体的三视图如图所示．
10．已知正三棱锥V-ABC的主视图和俯视图如图所示．
(1)画出该三棱锥的左视图和直观图；
(2)求出左视图的面积．
[解] (1)如图．
(2)根据三视图间的关系可得BC＝2，
在左视图中，VA＝＝2，
故S△VBC＝×2×2＝6.
[等级过关练]
1．直角边分别为1和的三角形，绕一条直角边所在直线旋转，形成的圆锥的俯视图是半径为1的圆，则它的主视图是( )
A．等腰直角三角形
B．边长为的等边三角形
C．边长为2的等边三角形
D．不能确定
C [由俯视图知长为的边在轴上．因此主视图为边长为2的等边三角形．]
2．底面水平放置的正三棱柱的所有棱长均为2，当其主视图有最大面积时，其左视图的面积为( )
A．2 B．3
C. D．4
A [当主视图的面积最大时，可知其正三棱柱某个侧面的面积可以按如图所示放置，此时S左＝2.]
3．若一个正三棱柱(底面为正三角形，侧面为矩形的棱柱)的三视图如图所示，则这个正三棱柱的侧棱长和底面边长分别为________、________.
2 4 [左视图中尺寸2为正三棱柱的侧棱长，尺寸2为俯视图正三角形的高，所以正三棱柱的底面边长为4.]
4．已知某组合体的主视图与左视图相同(其中AB＝AC，四边形BCDE为矩形)，则该组合体的俯视图可以是图中的________．(填序号)
①②③④ [由主视图和左视图可知，几何体为锥体和柱体的组合体．
(1)若几何体为圆柱与圆锥的组合体，则俯视图为③；
(2)若几何体为棱柱与圆锥的组合体，则俯视图为④；
(3)若几何体为棱柱与棱锥的组合体，则俯视图为①；
(4)若几何体为圆柱与棱锥的组合体，则俯视图为图②.]
5．如图是正四棱锥P-ABCD的三视图，其中主视图和左视图都是边长为1的正三角形，求这个四棱锥的侧棱长．
[解] 由条件知，正四棱锥底面边长AB＝1，
高PO＝(O是底面中心)，
OB＝AB＝，
故侧棱长PB＝＝＝.
