§4 空间图形的基本关系与公理
4．1 空间图形基本关系的认识
4．2 空间图形的公理
第1课时 空间图形的公理(公理1、2、3)
学 习 目 标
核 心 素 养
1.通过长方体这一常见的空间图形，了解空间图形的基本构成——点、线、面的基本位置关系．
2．理解异面直线的概念，以及空间图形的基本关系．(重点、易错点)
3．掌握空间图形的公理1、2、3.(重点、难点)
1.通过了解空间图形的基本构成，培养直观想象素养．
2．通过学习空间图形的公理1、2、3提升逻辑推理素养.
空间图形的基本关系
位置关系
图形表示
符号表示
点与线的位置
关系
点A不在直线a上
A?a
点B在直线a上
B∈a
点与面的位置
关系
点A在平面α内
A∈α
点B在平面α外
B?α
直线与直线的
位置关系
平行
a∥b
相交
a∩b＝O
平行
a与b异面
直线与平面的
位置关系
线在面内
aα
线面相交
a∩α＝A
线面平行
a∥α
平面与平面的
位置关系
面面平行
α∥β
面面相交
α∩β＝a
对于长方体有12条棱和6个面．
思考1：12条棱中，棱与棱有几种位置关系？
提示：相交，平行，既不平行也不相交．
思考2：棱所在直线与面之间有几种位置关系？
提示：棱在平面内，棱所在直线与平面平行和棱所在直线与平面相交．
思考3：六个面之间有哪几种位置关系．
提示：平行和相交．
2．空间图形的公理
(1)三个公理：
名称
内容
图形表示
符号表示
公理1
过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)
若A，B，C三点不共线，则点A，B，C确定一个平面α使A∈α，B∈α，C∈α
公理2
如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内(即直线在平面内)
若A∈l，B∈l，A∈α，B∈α，则lα
公理3
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
若A∈α，A∈β，且α与β不重合，则α∩β＝l，且A∈l
(2)公理1的三个推论：
推论1：一条直线和直线外一点确定一个平面．
推论2：两条相交直线确定一个平面．
推论3：两条平行直线确定一个平面．
公理1及其推论给出了确定平面的依据．
思考4：两个平面的交线可能是一条线段吗？
提示：不可能．由公理3知两平面的交线是一条直线．
思考5：经过空间任意三点能确定一个平面吗？
提示：不一定．只有经过空间不共线的三点才能确定一个平面．
1．“直线a经过平面α外一点P”用符号表示为( )
A．P∈a，a∥α B．a∩α＝P
C．P∈a，P?α D．P∈a，aα
[答案] C
2．两个平面若有三个公共点，则这两个平面( )
A．相交 B．重合
C．相交或重合 D．以上都不对
C [若三个点在同一条直线上，则两平面可能相交；若这三个点不在同一直线上，则这两个平面重合．]
3．如下所示是表示两个相交平面，其中画法正确的是( )
D [画空间图形时，被遮挡部分应画成虚线，故选D.]
4．据图填入相应的符号：A________平面ABC，A________平面BCD，BD________平面ABC，平面ABC________平面ACD＝AC.
[答案] ∈ ? ∩
三种语言的相互转换
【例1】 用符号表示下列语句，并画出图形．
(1)平面α与β相交于直线l，直线a与α，β分别相交于点A，B；
(2)点A，B在平面α内，直线a与平面α交于点C，点C不在直线AB上．
[解] (1)用符号表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如图．
(2)用符号表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，C?AB，如图．
三种语言的转换方法
?1?用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示.
?2?根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别.
1．(1)如果aα，bα，l∩a＝A，l∩b＝B，那么l与α的位置关系是________．
(2)如图，在正方体ABCD-A′B′C′D′中，哪几条棱所在的直线与直线BC′是异面直线？
(1)直线l在平面α内 [如图，l上有两点A，B在α内，根据公理2，l α.]
(2)解：棱DC，A′B′，AA′，DD′，AD，A′D′所在的直线与直线BC′是异面直线．
点线共面问题
【例2】 证明：两两相交且不共点的三条直线在同一平面内．
[思路探究] 先说明两条相交直线确定一个平面，然后证明另外一条直线也在该平面内．或利用公理1的推论，说明三条相交直线分别确定两个平面α，β，然后证明α，β重合．
[解] 已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.
求证：直线l1，l2，l3在同一平面内．
法一：∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.
∵l2∩l3＝B，∴B∈l2又l2α，∴B∈α.
同理可证C∈α，又B∈l3，C∈l3，∴l3α.
∴直线l1，l2，l3在同一平面内．
法二：∵l1∩l2＝A，∴l1，l2确定一个平面α.
∵l2∩l3＝B，∴l2，l3确定一个平面β.
∵A∈l2，l2α，∴A∈α.
∵A∈l2，l2β，∴A∈β.
同理可证，B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.
∵不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内，
∴平面α和平面β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内．
证明点、线共面问题的理论依据是公理1和公理2，常用方法有：
?1?先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入法”；
?2?先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一个平面β，再证平面α与β重合，即用“同一法”；
?3?假设不共面，结合题设推出矛盾，即用“反证法”.
2．已知A∈l，B∈l，C∈l，D?l(如图)，求证：直线AD，BD，CD共面．
[证明] 因为D?l，所以D和l可确定一平面，设为α.
因为A∈l，所以A∈α.又D∈α，所以ADα.
同理BDα，CDα，所以AD，BD，CD都在平面α内，即它们共面．
点共线与线共点问题
[探究问题]
1．如图所示，在空间四边形各边AD，AB，BC，CD上分别取E，F，G，H四点，如果EF，GH交于一点P，那么点P，B，D共线吗？请说明理由．
提示：连接BD(图略)．
∵EF，HG相交于一点P，
且EF平面ABD，GH平面CBD，
∴P∈平面ABD且P∈平面CBD.
又平面ABD∩平面BCD＝BD，
∴P∈BD，∴点P，B，D共线．
2．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于点Q，能否判断B，Q，D1三点共线？
提示：∵D1∈平面ABC1D1，D1∈平面A1D1CB，B∈平面ABC1D1，B∈平面A1D1CB，
∴平面ABC1D1∩平面A1D1CB＝BD1.
∵A1C∩平面ABC1D1＝Q，且A1C平面A1D1CB，
∴Q∈平面A1D1CB，Q∈平面ABC1D1，
∴Q在两平面的交线BD1上，∴B，Q，D1三点共线．
【例3】 已知△ABC在平面α外，它的三边所在的直线分别交平面α于P，Q，R(如图)．求证：P，Q，R三点共线．
[思路探究] 解答本题可以先选两点确定一条直线，再证明第三点也在这条直线上．
[证明] 法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.
又AB平面ABC，∴P∈平面ABC.
∴由公理3可知，点P在平面ABC与平面α的交线上．
同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上．
∴P，Q，R三点共线．
法二：∵AP∩AR＝A，
∴直线AP与直线AR确定平面APR.
又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，
∴平面APR∩平面α＝PR.
∵B∈平面APR，C∈平面APR，
∴BC平面APR.又∵Q∈直线BC，
∴Q∈平面APR.又Q∈α，
∴Q∈PR，∴P，Q，R三点共线．
1．证明多点共线主要采用如下两种方法：一是首先确定两个平面，然后证明这些点是这两个平面的公共点，再根据公理3，这些点都在这两个平面的交线上；二是选择其中两点确定一条直线，然后再证明其他的点都在这条直线上．
2．证明三线共点问题的方法主要是：先确定两条直线交于一点，再证明该点是这两条直线所在平面的公共点，第三条直线是这两个平面的交线．
3．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为AA1的中点．求证：CE，D1F，DA三线交于一点．
[解] 如图，连接EF，
D1C，A1B.
∵E为AB的中点，F为AA1的中点，
∴EF綊A1B.
又∵A1B∥D1C，∴EF∥D1C，
∴E，F，D1，C四点共面，且EF＝D1C，
∴D1F与CE相交于点P.
又D1F平面A1D1DA，
CE平面ABCD，
∴P为平面A1D1DA与平面ABCD的公共点．
又平面A1D1DA∩平面ABCD＝DA，
根据公理3，可得P∈DA，即CE，D1F，DA三线交于一点．
1．解决立体几何问题首先应过好三大语言关，即实现这三种语言的相互转换，正确理解集合符号所表示的几何图形的实际意义，恰当地用符号语言描述图形语言，将图形语言用文字语言描述出来，再转换为符号语言．文字语言和符号语言在转换的时候，要注意符号语言所代表的含义，作直观图时，要注意线的实虚．
2．在处理点线共面、三点共线及三线共点问题时初步体会三个公理的作用，突出先部分再整体的思想．
1．思考辨析
(1)不平行的两条直线的位置关系为相交． ( )
(2)两个平面的交线可以是一条线段． ( )
(3)直线l在平面α内，可以表示为“lα”． ( )
(4)平面内的直线与不在该平面内的直线互为异面直线． ( )
[解析] (1)×，不平行的两条直线的位置关系为相交或异面，故(1)错．
(2)×，两个平面的交线是直线，故(2)错．
(3)√，正确．
(4)×，可能相交或平行，故(4)错．
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×
2．设平面α与平面β交于直线l，A∈α，B∈α，且直线AB∩l＝C，则直线AB∩β＝________.
C [∵α∩β＝l，AB∩l＝C，∴C∈β，C∈AB，∴AB∩β＝C.]
3．若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则直线a与直线c的位置关系是________．
平行、相交或异面 [两条直线a，c都与同一条直线b是异面直线，则这两条直线平行、相交或异面都有可能．]
4．已知直线a∥b，直线l与a，b都相交，求证：过a，b，l有且只有一个平面．
[解] 如图所示．∵a∥b，
∴直线a，b确定一个平面，设这个平面为α.
设a∩l＝A，b∩l＝B，∴A∈α，B∈α，且A∈l，B∈l，
∴lα.即过a，b，l有且只有一个平面．
课件51张PPT。第一章 立体几何初步 §4 空间图形的基本关系与公理
4．1 空间图形基本关系的认识
4．2 空间图形的公理
第1课时 空间图形的公理(公理1、2、3)a∥αa∩b＝Oa∩α＝Aα∥βα∩β＝a不在一条直线C确定A，B，有且只有有且只有α∩β＝l两点在平面内有一个公共点B∈αA∈l直线外一点平行相交点击右图进入…Thank you for watching !第2课时 空间图形的公理4及等角定理
学 习 目 标
核 心 素 养
1.掌握公理4和“等角定理”．(重点)
2．理解异面直线所成的角及直线与直线垂直的定义．(重点、易错点)
3．会求异面直线所成的角．(难点)
1.通过学习公理4和等角定理，培养逻辑推理素养．
2．通过学习异面直线所成角的定义及求异面直线所成的角提升直观想象能力.
1．公理4
(1)条件：两条直线平行于同一条直线．
(2)结论：这两条直线平行．
(3)符号表述：.
2．等角定理
(1)条件：空间中，如果两个角的两条边分别对应平行．
(2)结论：这两个角相等或互补．
思考1：当一个角的两边与另一个角的两边分别平行时，试问这两个角在什么情况下相等，在什么情况下互补？
提示：当两个角的两边分别平行且方向相同或相反时，这两个角相等；当两个角的一组边的方向相同，而另一组边的方向相反时，这两个角互补．
3．空间两条直线的位置关系
共面直线
异面直线：不共面的两条直线且没有公共点．
4．异面直线所成的
定义
过空间任意一点P分别引两条异面直线a，b的平行线l1，l2(a∥l1，b∥l2)，这两条相交直线所成的锐角(或直角)就是异面直线a，b所成的角
取值
范围
异面直线所成的角θ的取值范围：
特例
当θ＝时，a与b互相垂直，记作a⊥b
思考2：分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗？
提示：不一定．可能是相交，平行或异面．
1．如果两条直线a和b没有公共点，那么a与b的位置关系是( )
A．共面 B．平行
C．异面 D．平行或异面
[答案] D
2．已知a，b是平行直线，直线c∥直线a，则c与b( )
A．不平行 B．相交 C．平行 D．垂直
C [∵a∥b，c∥a，∴c∥b.]
3．空间中一个角A的两边分别与另一个角B的两边对应平行，若A＝70°，则B＝______.
70°或110° [若A的两边与B的两边方向均相同或均相反，则B＝70°；若两个角的一组边方向相同，另一组方向相反，则B＝110°.]
4．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AA1与BC1所成的角的大小为________．
45° [∵BB1∥AA1，∴∠B1BC1为直线AA1与BC1所成的角，其大小为45°.]
公理4的应用
【例1】 如图，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．
(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；
(2)若四边形EFGH是矩形，求证：AC⊥BD.
[解] (1)如题图，在△ABD中，
∵EH是△ABD的中位线，
∴EH∥BD，EH＝BD.
又FG是△CBD的中位线，
∴FG∥BD，FG＝BD，
∴FG∥EH，∴E，F，G，H四点共面，又FG＝EH，
∴四边形EFGH是平行四边形．
(2)由(1)知EH∥BD，同理AC∥GH.又∵四边形EFGH是矩形，∴EH⊥GH，∴AC⊥BD.
空间中证明两直线平行的方法：
?1?借助平面几何知识证明，如三角形中位线性质、平行四边形的性质、用成比例线段证平行等.
?2?利用公理4证明，即证明两直线都与第三条直线平行.
1.已知在棱长为a的正方体ABCD-A′B′C′D′中，M，N分别为CD，AD的中点．
求证：四边形MNA′C′是梯形．
[解] 连接AC(图略)．
∵M，N为CD，AD的中点，∴MN綊AC.
由正方体性质可知AC綊A′C′，
∴MN綊A′C′，∴四边形MNA′C′是梯形．
等角定理的应用
【例2】 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点．
(1)求证：四边形BB1M1M为平行四边形；
(2)求证：∠BMC＝∠B1M1C1.
[解] (1)∵ABCD-A1B1C1D1为正方体，
∴AD綊A1D1，
又M，M1分别为棱AD，A1D1的中点，
∴AM綊A1M1，
∴四边形AMM1A1为平行四边形，
∴MM1綊AA1.
又AA1＝BB1且AA1∥BB1，
∴MM1綊BB1，
∴四边形BB1M1M为平行四边形．
(2)法一：由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，
∴B1M1∥BM.
同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，
∴C1M1∥CM.
由平面几何知识可知，∠BMC和∠B1M1C1都是锐角，
∴∠BMC＝∠B1M1C1.
法二：由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，
∴B1M1＝BM.
同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，
∴C1M1＝CM.
又∵B1C1＝BC，∴△BCM≌△B1C1M1，
∴∠BMC＝∠B1M1C1.
1．空间等角定理实质上是由以下两个结论组成的：
(1)若一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行且方向都相同或相反，那么这两个角相等；
(2)若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，有一组对边方向相同，另一组对边方向相反，那么这两个角互补．
2．证明角相等，一般采用以下途径：
(1)利用等角定理；(2)利用三角形相似；(3)利用三角形全等．
2．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，Q，M，N分别为AD，AB，C1D1，B1C1的中点，求证：A1P∥CN，A1Q∥CM，且∠PA1Q＝∠MCN.
[解] 取A1B1的中点K，连接BK，KM.易知四边形MKBC为平行四边形，∴CM∥BK.
又∵A1K∥BQ且A1K＝BQ，
∴四边形A1KBQ为平行四边形，
∴A1Q∥BK，
由公理4有A1Q∥CM，
同理可证A1P∥CN，
由于∠PA1Q与∠MCN对应边分别平行，且方向相反，
∴∠PA1Q＝∠MCN.
求异面直线所成的角
[探究问题]
1．已知直线a，b是两条异面直线， 如何作出这两条异面直线所成的角？
提示：如图，在空间中任取一点O，作直线a′∥a，b′∥b，则两条相交直线a′，b′所成的锐角或直角θ即两条异面直线a，b所成的角．
2．a′与b′所成角的大小与什么有关，与点O的位置有关吗？通常点O取在什么位置？
提示：a′与b′所成角的大小只由a，b的相互位置确定，与点O的选择无关，一般情况下为了简便，点O选取在两条直线中的一条直线上．
【例3】 如图，在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别是AB，CD的中点，若EF＝，求异面直线AD，BC所成角的大小．
[思路探究] 根据求异面直线所成角的方法，将异面直线AD，BC平移到同一平面内解决．
[解] 如图，取BD的中点M，连接EM，FM.
因为E，F分别是AB，CD的中点，
所以EM綊AD，FM綊BC，
则∠EMF或其补角就是异面直线AD，BC所成的角．
因为AD＝BC＝2，所以EM＝MF＝1，
在等腰△MEF中，过点M，作MH⊥EF于H，
在Rt△MHE中，EM＝1，EH＝EF＝，
则sin∠EMH＝，于是∠EMH＝60°，
则∠EMF＝2∠EMH＝120°.
所以异面直线AD，BC所成的角为∠EMF的补角，
即异面直线AD，BC所成的角为60°.
1．若将例题中“AD＝BC＝2”，改为“AD＝BC且AD⊥BC”，求EF与AD所成的角．
[解] 如例3图中，EM綊AD，MF綊BC，又AD＝BC.
∴EM＝MF，
∴∠MEF就是EF与AD所成的角或其补角，
∵AD⊥BC，
∴EM⊥MF，
∴∠EMF＝90°
∴△EMF为等腰直角三角形，
∴∠MEF＝45°，
即EF与AD所成的角为45°.
2．若将例题中“AD＝BC＝2，E、F分别是AB、CD的中点，若EF＝”改为：“AB＝CD，且AB与CD所成的角为30°，E、F分别为BC、AD中点”，求EF与AB所成角的大小．
[解] 取AC的中点G，连接EG，FG，
则EG綊AB，GF綊CD.
故直线GE，EF所成的锐角即为AB与EF所成的角，
直线GE，GF所成的锐角即为AB与CD所成的角．
∵AB与CD所成的角为30°，
∴∠EGF＝30°或150°.
由AB＝CD，知EG＝FG，
∴△EFG为等腰三角形．
当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°；
当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°.
故EF与AB所成的角为15°或75°.
求两条异面直线所成的角的一般步骤：
?1?构造：根据异面直线的定义，用平移法?常用三角形中位线、平行四边形性质等?作出异面直线所成的角.
?2?证明：证明作出的角就是要求的角.
?3?计算：求角度，常放在三角形内求解.
?4?结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角.
1．判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义．很多情况下，定义就是一种常用的判定方法．
2．在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角．将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径．需要强调的是，两条异面直线所成角的范围为(0°，90°]，解题时经常结合这一点去求异面直线所成角的大小．
1．思考辨析
(1)已知a，b，c，d是四条直线，若a∥b，b∥c，c∥d，则a∥d.
( )
(2)两条直线a，b没有公共点，那么a与b是异面直线． ( )
(3)若a，b是两条直线，α，β是两个平面，且aα，bβ，则a，b是异面直线． ( )
[解析] (2)×，也可能平行．
(3)×，可能平行、相交、异面．
[答案] (1)√ (2)× (3)×
2．下列结论中正确的是( )
①在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行；②平行于同一条直线的两条直线平行；③一条直线和两条平行直线的一条相交，那么它也和另一条相交；④空间四条直线a，b，c，d，如果a∥b，c∥d，且a∥d，那么b∥c.
A．①②③ B．②④
C．③④ D．②③
B [①错，可以异面．②正确，公理4.③错误，和另一条可以异面．④正确，由平行直线的传递性可知．]
3．已知直线a，b，c，下列三个命题：
①若a∥b，a⊥c，则b⊥c；
②若a∥b，a和c相交，则b和c也相交；
③若a⊥b，a⊥c，则b∥c.
其中，命题正确的是________．(填序号)
① [①项正确；②项不正确，有可能相交也有可能异面；③项不正确，可能平行，可能相交也可能异面．]
4．如图，已知长方体ABCD-A′B′C′D′中，AB＝2，AD＝2，AA′＝2.
(1)BC和A′C′所成的角是多少度？
(2)AA′和BC′所成的角是多少度？
[解] (1)因为BC∥B′C′，
所以∠B′C′A′是异面直线A′C′与BC所成的角．
在Rt△A′B′C′中，A′B′＝2，
B′C′＝2，所以∠B′C′A′＝45°.
因此，异面直线BC和A′C′所成的角为45°.
(2)因为AA′∥BB′，
所以∠B′BC′是异面直线AA′和BC′所成的角．
在Rt△BB′C′中，B′C′＝AD＝2，BB′＝AA′＝2，
所以BC′＝4，∠B′BC′＝60°.
因此，异面直线AA′与BC′所成的角为60°.
课件55张PPT。第一章 立体几何初步 §4 空间图形的基本关系与公理
4．1 空间图形基本关系的认识
4．2 空间图形的公理
第2课时 空间图形的公理4及等角定理同一条直线相等或互补平行平行a∥c 锐角(或直角) 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(四) 空间图形的公理(公理1、2、3)
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．若点Q在直线b上，b在平面β内，则Q，b，β之间的关系可记作( )
A．Q∈b∈β B．Q∈bβ
C．Qbβ D．Qb∈β
B [∵点Q(元素)在直线b(集合)上，∴Q∈b.又∵直线b(集合)在平面β(集合)内，∴bβ，∴Q∈bβ.]
2．如果空间四点A，B，C，D不共面，那么下列判断中正确的是( )
A．A，B，C，D四点中必有三点共线
B．A，B，C，D四点中不存在三点共线
C．直线AB与CD相交
D．直线AB与CD平行
B [若A，B，C，D四点中有三点共线，则A，B，C，D四点共面，若AB与CD相交(或平行)，则AB与CD共面，即得A，B，C，D四点共面．]
3．下列叙述中错误的是( )
A．若P∈α，P∈β，且α∩β＝l，则P∈l
B．点A和直线l确定一个平面
C．若直线a∩b＝A，则直线a与b能够确定一个平面
D．圆上三点A，B，C可以确定一个平面
B [由公理3知，A正确；由公理1的推论可知，C正确；由于圆上三点不共线，根据公理1知，D正确；对于选项B，当A∈l时，不能确定一个平面，故选B.]
4．如果两个平面有一个公共点，那么这两个平面( )
A．没有其他公共点 B．仅有这一个公共点
C．仅有两个公共点 D．有无数个公共点
D [根据公理3可知，若两个平面有一个公共点，则这两个平面有且只有一条经过该点的公共直线．故选D.]
5．空间中四点可确定的平面有( )
A．1个 B．3个
C．4个 D．1个或4个或无数个
D [当这四点共线时，可确定无数个平面；当这四点不共线且共面时，可确定一个平面；当这四点不共面时，其中任三点可确定一个平面，此时可确定4个平面．]
二、填空题
6．对于结论“若aα，且a∩b＝P，则P∈α”，用文字语言可以叙述为________．
若直线a在平面α内，且直线a与直线b相交于一点P，则点P一定在平面α内 [若直线a在平面α内，且直线a与直线b相交于一点P，则点P一定在平面α内．]
7．如图，在这个正方体中，①BM与ED平行；②CN与BM是异面直线；③CN与BE是异面直线；④DN与BM是异面直线．
以上四个命题中，正确命题的序号是________．
②④ [观察题图可知①③错误，②④正确．]
8．下列命题：
①若直线a与平面α有公共点，则称aα；
②若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l；
③三条平行直线共面；
④若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面．
其中正确的命题是________．(填序号)
② [①错误．若直线a与平面α有公共点，则a与α相交或aα；
②正确．由公理3知该命题正确；
③错误．三条平行直线不一定共面，例如三棱柱的三条侧棱；
④错误，如图，两个相交平面有三个公共点A，B，C，但A，B，C，D，E不共面．]
三、解答题
9．如图所示，AB∩α＝P，CD∩α＝P，A，D与B，C分别在平面α的两侧，AC∩α＝Q，BD∩α＝R.
求证：P，Q，R三点共线．
[证明] ∵AB∩α＝P，CD∩α＝P，∴AB∩CD＝P，
∴AB，CD可确定一个平面，设为β.
∵A∈AB，C∈CD，B∈AB，D∈CD，
∴A∈β，C∈β，B∈β，D∈β，
∴ACβ，BDβ，平面α，β相交．
∵AB∩α＝P，AC∩α＝Q，BD∩α＝R，
∴P，Q，R三点是平面α与平面β的公共点，
∴P，Q，R都在α与β的交线上，
故P，Q，R三点共线．
10．求证：如果两两平行的三条直线都与一条直线相交，那么这四条直线共面．
[证明] 设a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.
如图所示，因为a∥b，由公理2可知直线a与b确定一个平面，设为α.
因为l∩a＝A，l∩b＝B，所以A∈a，B∈b，则A∈α，B∈α.又因为A∈l，B∈l，
所以由公理1可知lα.
因为b∥c，所以由公理2可知，直线b与c确定一个平面β，同理可知，lβ.
因为平面α和平面β都包含着直线b与l，且l∩b＝B，而由公理2的推论2知，经过两条相交直线，有且只有一个平面，所以平面α与平面β重合，所以直线a，b，c和l共面．
[等级过关练]
1．下列推理错误的是( )
A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α?lα
B．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β?α∩β＝AB
C．lα，A∈l?A?α
D．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线?α与β重合
C [当lα，A∈l时，也有可能A∈α，如l∩α＝A，则C错．]
2．空间四点A，B，C，D共面而不共线，那么这四点中( )
A．必有三点共线 B．可能三点共线
C．至少有三点共线 D．不可能有三点共线
B [如图①②所示，A、C、D均不正确，只有B正确．
]
3．如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C?l，则平面ABC与平面β的交线是________．
直线CD [因为平面α∩平面β＝l，
AB∩l＝D，
所以D∈平面β.
因为AB平面ABC，
所以D∈平面ABC.
又C∈平面ABC，C∈平面β，C?l，
所以平面ABC∩平面β＝CD.]
4．(1)空间任意4点，没有任何3点共线，它们最多可以确定________个平面．
(2)空间5点，其中有4点共面，它们没有任何3点共线，这5个点最多可以确定________个平面．
(1)4 (2)7 [(1)由题意可知，在4点中任选3点即可确定一个平面，故可确定4个．
(2)由题意，在共面的四点中任选2点和第5个点可确定6个平面，再加上四个点所在平面共7个平面．]
5．在正方体AC1中，E，F分别为D1C1，B1C1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q，如图，
(1)求证：D，B，E，F四点共面；
(2)作出直线A1C与平面BDEF的交点R的位置．
[解] (1)证明：由于CC1和BF在同一个平面内且不平行，故必相交．设交点为O，则OC1＝C1C.同理直线DE与CC1也相交，设交点为O′，则O′C1＝C1C，故O′与O重合．由此可证得DE∩BF＝O，故D，B，F，E四点共面(设为α)．
(2)由于AA1∥CC1，
所以A1，A，C，C1四点共面(设为β)．
P∈BD，而BDα，故P∈α.
又P∈AC，而ACβ，所以P∈β，
所以P∈α∩β.
同理可证得Q∈α∩β，从而有α∩β＝PQ.
又因为A1Cβ，
所以A1C与平面α的交点就是A1C与PQ的交点．
连接A1C，则A1C与PQ的交点R就是所求的交点．
课时分层作业(五) 空间图形的公理4及等角定理
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．若直线a∥b，b∩c＝A，则a与c的位置关系是( )
A．异面 B．相交
C．平行 D．异面或相交
D [a与c不可能平行，若a∥c，又因为a∥b，所以b∥c，这与b∩c＝A矛盾，而a与c异面、相交都有可能．]
2．已知AB∥PQ，BC∥QR，∠ABC＝30°，则∠PQR等于( )
A．30° B．30°或150°
C．150° D．以上结论都不对
B [∠ABC的两边与∠PQR的两边分别平行，但方向不能确定是否相同，∴∠PQR＝30°或150°.]
3．如图所示，在长方体木块AC1中，E，F分别是B1O和C1O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有( )
A．3条 B．4条
C．5条 D．6条
B [由于E、F分别是B1O、C1O的中点，故EF∥B1C1，因为和棱B1C1平行的棱还有3条：AD、BC、A1D1，所以共有4条．]
4．若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b⊥c，则直线a与c( )
A．一定平行
B．一定相交
C．一定是异面直线
D．平行、相交或异面都有可能
D [当a，b，c共面时，a∥c；当a，b，c不共面时，a与c可能异面也可能相交．]
5．一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是( )
A．平行或异面 B．相交或异面
C．异面 D．相交
B [假设a与b是异面直线，而c∥a，则c显然与b不平行(否则c∥b，则有a∥b，矛盾)．c与b可能相交或异面．]
二、填空题
6．若AB∥A′B′，AC∥A′C′，则下列结论：
①∠BAC＝∠B′A′C′；
②∠ABC＋∠A′B′C′＝180°；
③∠ACB＝∠A′C′B′或∠ACB＋∠A′C′B′＝180°.
一定成立的是________．
③ [∵AB∥A′B′，AC∥A′C′，
∴∠ACB＝∠A′C′B′或∠ACB＋∠A′C′B′＝180°.]
7．在空间四边形ABCD中，如图所示，＝，＝，则EH与FG的位置关系是________．
平行 [如图，连接BD，在△ABD中，＝，则EH∥BD，
同理可得FG∥BD.
∴EH∥FG.]
8．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥AB，底面ABCD是平行四边形，则PA与CD所成的角是______．
90° [∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠PAB是异面直线PA与CD所成的角．
又∵PA⊥AB，∴∠PAB＝90°.]
三、解答题
9．如图所示，正方体AC1中，E，F分别是A1B1，B1C1的中点，求异面直线DB1与EF所成角的大小．
[解] 如图所示，连接A1C1，B1D1，并设它们相交于点O，取DD1的中点G，连接OG，A1G，C1G，
则OG∥B1D，EF∥A1C1，
∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角．
∵GA1＝GC1，O为A1C1的中点，
∴GO⊥A1C1，
∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.
10．长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点．
(1)求证：D1E∥BF；
(2)求证：∠B1BF＝∠A1ED1.
[证明] (1)取BB1的中点M，连接EM，C1M.
在矩形ABB1A1中，易得EM綊A1B1，
∵A1B1綊C1D1，
∴EM綊C1D1，
∴四边形EMC1D1为平行四边形，
∴D1E∥C1M.
在矩形BCC1B1中，易得MB綊C1F，
∴BF∥C1M，∴D1E∥BF.
(2)∵ED1∥BF，BB1∥EA1，
又∠B1BF与∠A1ED1的对应边方向相同，
∴∠B1BF＝∠A1ED1.
[等级过关练]
1．如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中，AB与CD的位置关系为( )
A．相交 B．平行
C．异面而且垂直 D．异面但不垂直
D [将展开图还原为正方体，如图所示，故AB与CD为不垂直的异面直线．]
2．如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是( )
A．45° B．60° C．90° D．120°
B [连接AB1，易知AB1∥EF，连接B1C，B1C与BC1交于点G，取AC的中点H，连接GH，则GH∥AB1∥EF.设AB＝BC＝AA1＝a，连接HB，在△GHB中，易知GH＝HB＝GB＝a，故所求的两直线所成的角即为∠HGB＝60°.]
3．如图，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是平行直线的图是________(填序号)．
①② [结合公理4可知，①②均是平行直线，④中RS和PQ相交，只有③是异面直线．]
4．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中．
(1)AA1与C1D1所成的角的度数为________；
(2)AA1与B1C所成的角的度数为________．
(1)90° (2)45° [(1)∵AA1∥DD1，
∴∠DD1C1即为所求的角．
∵∠DD1C1＝90°，
∴AA1与C1D1所成的角为90°.
(2)∵AA1∥BB1，
∴∠BB1C即为所求的角．
∵∠BB1C＝45°，
∴AA1与B1C所成的角为45°.]
5．如图所示，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，BC＝，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E为DA的中点，求异面直线BE与CD所成角的余弦值．
[解] 取AC的中点F，连接EF，BF，
在△ACD中，E，F分别是AD，AC的中点，∴EF∥CD，
∴∠BEF即为所求的异面直线BE与CD所成的角(或其补角)．
在Rt△ABC中，BC＝，AB＝AC，∴AB＝AC＝1，
在Rt△EAB中，AB＝1，AE＝AD＝，∴BE＝.
在Rt△AEF中，AF＝AC＝，AE＝，∴EF＝.
在Rt△ABF中，AB＝1，AF＝，∴BF＝.
在等腰三角形EBF中，cos∠FEB＝＝＝，
∴异面直线BE与CD所成角的余弦值为.
