§5 平行关系
5．1 平行关系的判定
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理的含义，会判断线面、面面平行．(重点)
2．会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理，并知道其地位和作用．(重点、易错点)
3．能运用直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理证明空间线面关系．(难点)
1.通过理解线面、面面平行的判定定理，培养直观想象数学抽象素养．
2．通过运用判定定理证明空间线面关系，提升逻辑推理素养.
1．直线与平面平行的判定定理
定理
表示
直线与平面平行的判定定理
文字叙述
若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行
符号表示
?l∥α
图形表示
思考1：若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线和这个平面平行吗？
提示：由线面平行的判定定理知，该结论错误．应是平面外的一条直线．
2．平面与平面平行的判定定理
定理
表示
平面与平面平行的判定定理
文字叙述
如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行
符号表示
?α∥β
思考2：如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面也平行吗？
提示：不一定．这条直线与另一个平面平行或在另一个平面内．
1．能保证直线a与平面α平行的条件是( )
A．bα，a∥b
B．bα，c∥α，a∥b，a∥c
C．bα，A，B∈a，C，D∈b，且AC＝BD
D．aα，bα，a∥b
D [若bα，a∥b，则a∥α或aα，故A错；
若bα，c∥α，a∥b，a∥c，则a∥α或aα，故B错；
若bα，A，B∈a，C，D∈b，且AC＝BD，
则a∥α或aα，或a与α相交，故C错；
而D项是线面平行的判定定理不可缺少的三个条件．]
2．正六棱柱的底面和侧面中互相平行的面有( )
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
D [正六棱柱两底面互相平行，六个侧面中，相对的侧面互相平行，故共有4对互相平行的面．]
3．若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面的位置关系是( )
A．一定平行 B．一定相交
C．平行或相交 D．以上都不对
C [当每个平面内的两条直线都是相交直线时，可推出两个平面一定平行，否则，两个平面有可能相交．]
4．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是AB的中点，则和平面C1D1E平行的棱为________．
CD和A1B1 [∵CD∥C1D1且C1D1平面C1D1E，CD平面D1C1E，
故CD∥平面C1D1E，同理A1B1∥平面C1D1E，
而AB虽然与C1D1平行，但AB平面C1D1E.]
线面平行的判定
【例1】 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，D为BC的中点，连接AD，DC1，A1B，AC1，求证：A1B∥平面ADC1.
[证明] 连接A1C，设A1C∩AC1＝O，再连接OD.由题意知，A1ACC1是平行四边形，所以O是A1C的中点，又D是CB的中点，因此OD是△A1CB的中位线，即OD∥A1B.
又A1B平面ADC1，OD平面ADC1，所以A1B∥平面ADC1.
1．利用直线与平面平行的判定定理证明线面平行，关键是寻找平面内与已知直线平行的直线．
2．证线线平行常用三角形中位线定理、平行四边形性质、平行线分线段成比例定理、平行公理等．
1．如图，四边形ABCD是平行四边形，S是平面ABCD外一点，M为SC的中点，求证：SA∥平面MDB.
[解] 连接AC交BD于点O，连接MO，
∵M为SC中点，O为AC中点，
∴MO∥SA.
又SA平面MDB，
MO平面MDB，
∴SA∥平面MDB.
面面平行的判定
【例2】 已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M，N，Q分别在PA，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD.求证：平面MNQ∥平面PBC.
[证明] ∵PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，
∴MQ∥AD，NQ∥BP.
∵BP平面PBC，NQ平面PBC，
∴NQ∥平面PBC.
又底面ABCD为平行四边形，
∴BC∥AD，∴MQ∥BC，
∵BC平面PBC，
MQ平面PBC，
∴MQ∥平面PBC.
又MQ∩NQ＝Q，
根据平面与平面平行的判定定理，
得平面MNQ∥平面PBC.
1．要证明两平面平行，只需在其中一个平面内找到两条相交直线平行于另一个平面即可．
2．判定两个平面平行与判定线面平行一样，应遵循先找后作的原则，即先在一个面内找到两条与另一个平面平行的相交直线，若找不到再作辅助线．
2.如图所示，三棱柱ABC-A1B1C1，D是BC的中点，且A1B∥平面AC1D，D1是B1C1的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.
[解] 连接A1C交AC1于点E，
∵四边形A1ACC1是平行四边形，
∴E是A1C的中点．连接ED，
则ED是△A1BC的中位线，
∴ED∥A1B.
∵ED平面A1BD1，A1B平面A1BD1，
∴ED∥平面A1BD1.
∵C1D1綊BD，∴四边形BDC1D1是平行四边形，
∴C1D∥BD1.
∵C1D平面A1BD1，BD1平面A1BD1，
∴C1D∥平面A1BD1.
又C1D∩ED＝D，∴平面A1BD1∥平面AC1D.
线面平行、面面平行判定定理的综合应用
[探究问题]
1．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC，SC的中点，试判断直线EG与平面BDD1B1是否平行？
提示：连接SB(图略)，
∵E，G分别是BC，SC的中点，∴EG∥SB.
又∵SB平面BDD1B1，
EG平面BDD1B1，
∴直线EG∥平面BDD1B1.
2．在上述问题中，平面EFG∥平面BDD1B1吗？
提示：平行．连接SD，
∵F，G分别是DC，SC的中点，
∴FG∥SD.
又∵SD平面BDD1B1，
FG平面BDD1B1，
∴FG∥平面BDD1B1，
∵EG平面EFG，FG平面EFG，EG∩FG＝G，
∴平面EFG∥平面BDD1B1.
【例3】 如图，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点．
(1)求证：MN∥平面PAD；
(2)在PB上确定一个点Q，使平面MNQ∥平面PAD.
[思路探究] (1)由于N为PC的中点，故可取PD的中点H，证明四边形MNHA为平行四边形，进而利用判定定理证明MN∥平面PAD.
(2)若平面MNQ∥平面PAD，又M为AB的中点，从而可确定Q的位置．
[解] (1)证明：如图，取PD的中点H，连接AH，NH.由N是PC的中点，知NH∥DC，NH＝DC.
由M是AB的中点，知AM∥DC，AM＝DC，
∴NH∥AM，NH＝AM，∴四边形AMNH为平行四边形，
∴MN∥AH.
∵MN平面PAD，AH平面PAD，
∴MN∥平面PAD.
(2)若平面MNQ∥平面PAD，则应有MQ∥PA，
∵M是AB中点，∴Q是PB的中点，
即当Q为PB的中点时，平面MNQ∥平面PAD.
将证明面面平行问题转化为线面平行问题，而将证线面平行问题，转化为线线平行问题.在立体几何中，通过线线、线面、面面间的位置关系的相互转化，可使问题顺利得到解决.熟练掌握这种转化的思想方法，就能找到解题的突破口，这是高考重点考查证明平行的方法，应引起重视.
3．在三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别是棱BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论．
[解] 如图，取线段AB的中点为M，连接A1M，MC，A1C，AC1，设O为A1C，AC1的交点．由已知得，O为AC1的中点，
连接MD，OE，
则MD，OE分别为△ABC，
△ACC1的中位线，
所以MD∥AC且MD＝AC，OE∥AC且OE＝AC，
因此MD∥OE且MD＝OE.
连接OM，从而四边形MDEO为平行四边形，则DE∥MO.
因为直线DE平面A1MC，
MO平面A1MC，
所以直线DE∥平面A1MC.
即线段AB上存在一点M(线段AB的中点)，
使直线DE∥平面A1MC.
1．判断或证明线面平行的常用方法
(1)定义法：证明直线与平面无公共点(不易操作)．
(2)判定定理法：aα，bα，a∥b?a∥α.
(3)排除法：证明直线与平面不相交，直线也不在平面内．
2．证明线线平行的常用方法
(1)利用三角形、梯形中位线的性质．
(2)利用平行四边形的性质．
(3)利用平行线分线段成比例定理．
3．证明面面平行的方法
(1)面面平行的定义．
(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．
(3)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行．
1．思考辨析
(1)若一条直线与一个平面内无数条直线平行，则这条直线与这个平面平行． ( )
(2)若平面α内有无数条直线都与平面β平行，则平面α与平面β平行． ( )
(3)若平面α内的任意一条直线都与平面β平行，则平面α与平面β平行．
( )
[解析] (1)×，此直线也可能在平面内．
(2)×，两平面也可能相交．
[答案] (1)× (2)× (3)√
2．若直线a∩直线b＝A，a∥平面α，则b与α的位置关系是________．
平行或相交 [∵a∥平面α，∴a与平面α没有公共点，
若bα，则A∈α，又A∈a，此种情况不可能，
∴b∥α或b与α相交．]
3．已知正方体ABCD-A1B1C1D1，下列结论中，正确的结论是________(填序号)．
①AD1∥BC1；
②平面AB1D1∥平面BDC1；
③AD1∥DC1；
④AD1∥平面BDC1.
①②④ [如图，∵四边形ABC1D1是平行四边形，∴AD1∥BC1，故①④正确；又AD1与DC1为异面直线，故③错误；又由B1D1∥BD，可知②正确．]
4．如图，P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E，F分别是AB，PD的中点．
求证：AF∥平面PCE.
[证明] 取PC的中点M，连接ME，MF，则FM∥CD且FM＝CD.
又∵AE∥CD且AE＝CD，∴FM綊AE，
即四边形AFME是平行四边形，
∴AF∥ME.又∵AF平面PCE，EM平面PCE，
∴AF∥平面PCE.
课件56张PPT。第一章 立体几何初步 §5 平行关系
5．1 平行关系的判定234平面外平行平面内5l∥b 67两条相交a∩b＝A8910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940414243444546474849505152535455点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(六) 平行关系的判定
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．已知直线a∥平面α，直线b∥平面α，则直线a，b的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．以上都有可能
D [直线a与直线b的位置关系可能相交、可能平行，也可能异面，故D正确．]
2．使平面α∥平面β的一个条件是( )
A．存在一条直线a，a∥α，a∥β
B．存在一条直线a，aα，a∥β
C．存在两条平行直线a，b，aα，bβ，a∥β，b∥α
D．α内存在两条相交直线a，b分别平行于β内两条直线
D [A，B，C中的条件都不一定使α∥β，反例分别为图①②③(图中a∥l，b∥l)；D正确，因为a∥β，b∥β，又a，b相交，从而α∥β.
]
3．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，C1D1的中点，则EF与平面BB1D1D的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．在平面内 D．无法判断
A [连接A1C1，设A1C1∩B1D1＝O，连接OB(图略)，显然OB∥EF，根据线面平行的判定定理可知，EF∥平面BB1D1D，故选A.]
4．在以下说法中，正确的个数是：
①平面α内有两条直线和平面β平行，则α与β平行；②平面α内有无数条直线和平面β平行，则α与β平行；③平面α内△ABC的三个顶点到平面β的距离相等，则α与β平行．( )
A．0 B．1 C．2 D．3
A [对①，当α内的两直线平行时，α与β也可能相交，故①错误；对②，当α内有无数条直线和β平行时，α与β也可能相交，故②错误；对③，若A，B，C三点在β两侧时，α与β相交，故③错误．]
5.四面体A-BCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，则四面体的六条棱中与平面EFGH平行的条数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
C [由题意知，FG∥EH∥BD，BD平面EFGH，FG平面EFGH，所以BD∥平面EFGH，同理，AC∥平面EFGH，共有2条棱与平面EFGH平行．]
二、填空题
6．如图所示，在空间四边形ABCD中，M∈AB，N∈AD，若＝，则MN与平面BDC的位置关系是________．
平行 [∵＝，
∴MN∥BD.
又∵MN平面BDC，BD平面BDC，
∴MN∥平面BDC.]
7．已知平面α、β和直线a，b，c，且a∥b∥c，aα，bβ，cβ，则α与β的关系是________．
相交或平行 [bβ，cβ，aα，a∥b∥c，若α∥β，满足要求；若α与β相交，交线为l，b∥c∥l，a∥l，满足要求，故答案为相交或平行．]
8．如图所示的四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形是________．(填序号)
①④ [①中连接点A与点B，上面的顶点记为C(图略)，则易证平面ABC∥平面MNP，所以AB∥平面MNP；④中AB∥NP，根据空间直线与平面平行的判定定理可以得出AB∥平面MNP；②③中，AB均与平面MNP相交．]
三、解答题
9．如图，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中，E，F分别是PC，PD的中点，求证：EF∥平面PAB.
[解] ∵E，F分别是PC，PD的中点，∴EF∥CD，∵CD∥AB，∴EF∥AB，
∵EF平面PAB，AB平面PAB，∴EF∥平面PAB.
10．P为正方形ABCD所在平面外一点，E，F，G分别为PD，AB，DC的中点，如图．求证：
(1)AE∥平面PCF；
(2)平面PCF∥平面AEG.
[解] (1)取PC中点H，分别连接EH，FH.
∵E，F，H分别为PD，AB，PC的中点，
∴EH綊DC，AF綊DC，∴EH綊AF，
∴四边形EAFH为平行四边形，∴EA∥FH.
又AE平面PCF，FH平面PCF，
∴AE∥平面PCF.
(2)∵E，G分别为PD，CD的中点，
∴EG∥PC.
又EG平面PCF，PC平面PCF，
∴EG∥平面PCF.
由(1)知AE∥平面PCF，EG∩AE＝E，
∴平面PCF∥平面AEG.
[等级过关练]
1．平面α与△ABC的两边AB，AC分别交于D，E，且AD∶DB＝AE∶EC，如图所示，则BC与α的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．BC?α
A [在△ABC中，因为AD∶DB＝AE∶EC，所以BC∥DE.因为BCα，DEα，所以BC∥α.]
2．已知直线a，b，平面α，β，下列命题正确的是( )
A．若a∥α，b∥a，则b∥α
B．若a∥α，b∥α，aβ，bβ，则β∥α
C．若α∥β，b∥α，则b∥β
D．若α∥β，aα，则a∥β
D [若a∥α，b∥a，则b∥α或bα，故A错误；由面面平行的判定定理知B错误；若α∥β，b∥α，则b∥β或bβ，故C错误．故选D.]
3．如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中，
①BM∥平面DE；②CN∥平面AF；③平面BDM∥平面AFN；④平面BDE∥平面NCF.
以上四个命题中，正确命题的序号是________．
①②③④ [以ABCD为下底面还原正方体，如图：
则可判定四个命题都是正确的．]
4．三棱锥S-ABC中，G为△ABC的重心，E在棱SA上，且AE＝2ES，则EG与平面SBC的关系为________．
平行 [如图，取BC中点F，连接SF，AF.
因为G为△ABC的重心，所以A、G、F共线且AG＝2GF.
又因为AE＝2ES，所以EG∥SF.
因为SF平面SBC，EG平面SBC，
所以EG∥平面SBC.]
5．在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ACB＝90°，EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC，AB＝2EF，M是线段AD的中点，求证：GM∥平面ABFE.
[证明] 因为EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC，∠ACB＝90°，所以△ABC∽△EFG，∠EGF＝90°，由于AB＝2EF，因此BC＝2FG.如图，连接AF，由于FG∥BC，FG＝BC，
在?ABCD中，M是线段AD的中点，
则AM∥BC，且AM＝BC，
因此FG∥AM且FG＝AM，
所以四边形AFGM为平行四边形，
因此GM∥FA.
又FA平面ABFE，GM平面ABFE，
所以GM∥平面ABFE.
