5．2 平行关系的性质
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解直线与平面平行、平面与平面平行的性质定理的含义，会用性质定理证明空间线面关系的问题．(重点)
2．会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行、平面与平面平行的性质定理．(难点)
3．综合应用平行关系的判定和性质定理进行线线平行、线面平行、面面平行的相互转化．(重点、难点)
1.通过用性质定理证明空间线面关系问题提升逻辑推理素养．
2．通过运用三种语言描述性质定理培养直观想象能力.
1．直线与平面平行的性质定理
文字语言
符号语言
图形语言
如果一条直线与一个平面平行，那么过该直线的任意一个平面与已知平面的交线与该直线平行
?a∥b
思考1：若直线a∥平面α，则直线a一定平行于平面α内的任意一条直线吗？
提示：不一定．
当a∥α时，过a的任意一个平面与α的交线都与a平行，即a可以与α内的无数条直线平行，但不是任意一条．平面α内凡是不与a平行的直线，都与a异面．
2．面面平行的性质定理
文字语言
符号语言
图形语言
如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行
?a∥b
思考2：若平面α∥平面β，直线aα，直线bβ，直线a与平面β有怎样的位置关系？直线a与直线b有怎样的位置关系？
提示：直线a∥平面β；直线a与直线b平行或异面．
1．有一木块如图所示，点P在平面A′B′C′D′内，棱BC平行平面A′B′C′D′，要经过点P和棱BC将木料锯开，锯开的面必须平整，有N种锯法，N为( )
A．0 B．1 C．2 D．无数
B [∵BC∥平面A′B′C′D′，BC∥B′C′，在平面A′B′C′D′上过P作EF∥B′C′(图略)，则EF∥BC，∴沿过EF，BC所确定的平面锯开即可．
又由于此平面唯一确定，∴只有一种方法，故选B.]
2．如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，EH∥FG，则EH与BD的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．不确定
A [∵EH∥FG，EH平面BCD，FG平面BCD，
∴EH∥平面BCD，∵EH平面ABD，
平面ABD∩平面BCD＝BD，∴EH∥BD.]
3．六棱柱的两底面为α和β，且A∈α，B∈α，C∈β，D∈β，且AD∥BC，则AB与CD的位置关系为__________．
平行 [∵AD∥BC，∴A，B，C，D共面，
设为γ，由题意知，α∩γ＝AB，β∩γ＝CD，又α∥β，
∴AB∥CD.]
4．已知平面α∥β∥γ，两条直线l，m分别与平面α，β，γ相交于点A，B，C和D，E，F，已知AB＝6，＝，则AC＝________.
15 [∵α∥β∥γ，∴＝.
由＝，得＝，∴＝.
而AB＝6，∴BC＝9，∴AC＝AB＋BC＝15.]
线面平行性质的应用
【例1】 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，H分别为棱A1B1，D1C1上的点，且EH∥A1D1，过EH的平面与棱BB1，CC1相交，交点分别为F，G，求证：FG∥平面ADD1A1.
[解] 因为EH∥A1D1，A1D1∥B1C1，所以EH∥B1C1，又EH平面BCC1B1，B1C1平面BCC1B1，
所以EH∥平面BCC1B1.
又平面FGHE∩平面BCC1B1＝FG，
所以EH∥FG，即FG∥A1D1.
又FG平面ADD1A1，A1D1平面ADD1A1，
所以FG∥平面ADD1A1.
1．直线与平面平行的性质定理，可以用来证明线线平行．
2．运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与这个平面的交线，然后确定线线平行．证题过程应认真领悟线线平行与线面平行的相互转化关系．简记为“过直线，作平面，得交线，得平行”．
1．如图所示，已知AB∥平面α，AC∥BD，且AC，BD与α分别相交于点C，D.
(1)求证：AC＝BD；
(2)满足什么条件时，四边形ABDC为正方形？
[解] (1)证明：如图所示，连接CD，
∵AC∥BD，
∴AC与BD确定一个平面β，
又∵AB∥α，ABβ，α∩β＝CD，
∴AB∥CD，
∴四边形ABDC是平行四边形，
∴AC＝BD.
(2)由(1)知ABDC为平行四边形，所以当AB＝AC且AB⊥AC时，四边形ABDC为正方形．
面面平行性质的应用
【例2】 如图，已知α∥β，点P是平面α，β外的一点(不在α与β之间)，直线PB，PD分别与α，β相交于点A，B和C，D.
(1)求证：AC∥BD；
(2)已知PA＝4 cm，AB＝5 cm，PC＝3 cm，求PD的长．
[思路探究] 由PB与PD相交于点P，可知PB，PD确定一个平面，结合α∥β，可使用面面平行的性质定理推出线线平行关系，这样就转化为平面问题．
[解] (1)证明：∵PB∩PD＝P，
∴直线PB和PD确定一个平面γ，
则α∩γ＝AC，β∩γ＝BD.
又α∥β，∴AC∥BD.
(2)由(1)得AC∥BD，∴＝，
∴＝，∴CD＝(cm)，
∴PD＝PC＋CD＝(cm)．
1．利用面面平行的性质定理证明线线平行的基本步骤：
(1)先找两个平面，使这两个平面分别经过这两条直线中的一条；
(2)判定这两个平面平行；
(3)再找一个平面，使这两条直线都在这个平面上；
(4)由定理得出结论．
2．面面平行的性质定理的本质：
化面面平行为线线平行是面面平行性质定理的本质，而转化的关键是作辅助平面，通过作辅助平面得到交线，就可把面面平行转化为线线平行．
2．如图，已知平面α∥β，P?α且P?β，过点P的直线m与α，β分别交于A，C，过点P的直线n与α，β分别交于B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，求BD的长．
[解] 因为AC∩BD＝P，
所以经过直线AC与BD可确定平面PCD，因为α∥β，α∩平面PCD＝AB，β∩平面PCD＝CD，
所以AB∥CD.所以＝，即＝.
所以BD＝.
平行关系的综合应用
[探究问题]
1．如图所示，已知P是?ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，平面PAD∩平面PBC＝l，直线l与直线BC平行吗？请说明理由．
提示：平行．因为BC∥AD，
BC平面PAD，AD平面PAD，
所以BC∥平面PAD.
又因为BC平面PBC，
平面PBC∩平面PAD＝l，
所以BC∥l.
2．上述问题中条件不变，试判断MN与平面PAD是否平行，并证明你的结论．
提示：平行．取PD的中点E，
连接AE，NE，
可以证得NE∥AM且NE＝AM.
可知四边形AMNE为平行四边形，
所以MN∥AE，MN平面PAD，AE平面PAD，
所以MN∥平面PAD.
【例3】 如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：GH∥平面PAD.
[思路探究]
→
→→
→→
[解] 如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO.
∵ABCD是平行四边形，
∴O是AC的中点，
又M是PC的中点，
∴PA∥MO，而AP平面BDM，OM平面BDM，
∴PA∥平面BMD，又∵PA平面PAHG，
平面PAHG∩平面BMD＝GH，∴PA∥GH.
又PA平面PAD，GH平面PAD，
∴GH∥平面PAD.
1．本例条件不变，GH与平面PAC什么关系？试证明．
[解] 由例题知?GH∥平面PAC.
2．若例题中，将G点取在MB上，上述结论还成立吗？
[解] 上述结论成立，事实上，G点可以是平面DMB上任一点，上述结论都成立．
1．本题综合考查了线面平行的判定和性质，体现了线线平行、线面平行之间的相互转化．
2．空间平行关系的转化图：
1．在遇到线面平行时，常需作出过已知直线与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质．
2．要灵活应用线线平行、线面平行的相互联系、相互转化．在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化．转化思想是解决这类问题的最有效的方法．
3．常用的面面平行的其他几个性质
(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．
(2)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等．
(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．
(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．
(5)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行．
1．思考辨析
(1)如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，bα，那么b∥α. ( )
(2)如果mα，n∥α，m，n共面，那么m∥n. ( )
(3)若平面α∥平面β，平面β∥平面γ，则平面α∥平面γ. ( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)√
2．已知直线a∥平面α，平面α∥平面β，则a与β的位置关系为________．
aβ或a∥β [若aβ，则显然满足题目条件．
若aβ，过直线a作平面γ，γ∩α＝b，γ∩β＝c，于是由直线a∥平面α得a∥b，由α∥β得b∥c，所以a∥c，又aβ，cβ，所以a∥β.]
3．过两平行平面α，β外的点P的两条直线AB与CD，它们分别交α于A，C两点，交β于B，D两点，若PA＝6，AC＝9，PB＝8，则BD的长为________．
12 [两条直线AB与CD相交于P点，所以可以确定一个平面，此平面与两平行平面α，β的交线AC∥BD，所以＝，又PA＝6，AC＝9，PB＝8，故BD＝12.]
4．如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是梯形，AB∥CD，AD⊥DC，CD＝2，DD1＝AB＝1，P，Q分别是CC1，C1D1的中点．求证：AC∥平面BPQ.
[解] 连接CD1，AD1，
∵P，Q分别是CC1，C1D1的中点，
∴PQ∥CD1，且CD1平面BPQ，
∴CD1∥平面BPQ.
又D1Q＝AB＝1，D1Q∥AB，
∴四边形ABQD1是平行四边形，
∴AD1∥BQ，又∵AD1平面BPQ，
∴AD1∥平面BPQ.
又AD1∩CD1＝D1，∴平面ACD1∥平面BPQ.
∵AC平面ACD1，∴AC∥平面BPQ.
课件46张PPT。第一章 立体几何初步 §5 平行关系
5．2 平行关系的性质任意一个交线平面γ∩α＝a两个平行平面交线点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(七) 平行关系的性质
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．梯形ABCD中，AB∥CD，AB平面α，CD平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是( )
A．平行 B．平行或异面
C．平行或相交 D．异面或相交
B [由题意知，CD∥α，则平面α内的直线与CD可能平行，也可能异面．]
2．若直线l∥平面α，则过l作一组平面与α相交，记所得的交线分别为a，b，c，…，那么这些交线的位置关系为( )
A．都平行
B．都相交且一定交于同一点
C．都相交但不一定交于同一点
D．都平行或交于同一点
A [因为直线l∥平面α，所以根据直线与平面平行的性质知l∥a，l∥b，l∥c，…，所以a∥b∥c∥…，故选A.]
3．已知直线a∥平面α，直线b平面α，则( )
A．a∥b B．a与b异面
C．a与b相交 D．a与b无公共点
D [由题意可知a与b平行或异面，所以两者无公共点．]
4．如图，四棱锥P-ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则( )
A．MN∥PD
B．MN∥PA
C．MN∥AD
D．以上均有可能
B [∵MN∥平面PAD，MN平面PAC，平面PAD∩平面PAC＝PA，∴MN∥PA.]
5.如图，平面α∥平面β，过平面α，β外一点P引直线l1分别交平面α，平面β于A，B两点，PA＝2，AB＝6，引直线l2分别交平面α，平面β于C，D两点，已知BD＝4，则AC的长等于( )
A．2 B．1
C．4 D．3
B [由l1∩l2＝P，知l1，l2确定一个平面γ，
由?AC∥BD?＝，
∴＝，
解得AC＝1.]
二、填空题
6．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．
[因为直线EF∥平面AB1C，EF平面ABCD，且平面AB1C∩平面ABCD＝AC，所以EF∥AC，又因为E是DA的中点，所以F是DC的中点，由中位线定理可得：EF＝AC，又因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，所以AC＝2，所以EF＝.]
7．设m、n是平面α外的两条直线，给出三个论断：
①m∥n；②m∥α；③n∥α.以其中的两个为条件，余下的一个为结论，构成三个命题，写出你认为正确的一个命题：________.(用序号表示)
①②?③(或①③?②) [①②?③.
设过m的平面β与α交于l.
∵m∥α，∴m∥l，∵m∥n，∴n∥l，∵nα，lα，∴n∥α.]
8．已知a，b表示两条直线，α，β，γ表示三个不重合的平面，给出下列命题：
①若α∩γ＝a，β∩γ＝b，且a∥b，则α∥β；
②若a，b相交且都在α，β外，a∥α，b∥β，则α∥β；
③若a∥α，a∥β，则α∥β；
④若aα，a∥β，α∩β＝b，则a∥b.
其中正确命题的序号是________．
④ [①错误，α与β也可能相交；②错误，α与β也可能相交；③错误，α与β也可能相交；④正确，由线面平行的性质定理可知．]
三、解答题
9．如图所示，四边形ABCD是平行四边形，P?平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于E，交DP于F.求证：四边形BCFE是梯形．
[证明] 因为四边形ABCD为平行四边形，
所以BC∥AD，因为AD平面PAD，BC平面PAD，
所以BC∥平面PAD.
因为平面BCFE∩平面PAD＝EF，
所以BC∥EF.
因为AD＝BC，AD≠EF，
所以BC≠EF，
所以四边形BCFE是梯形．
10．如图，平面四边形ABCD的四个顶点A，B，C，D均在平行四边形A′B′C′D′所确定的平面α外，且AA′，BB′，CC′，DD′互相平行，求证：四边形ABCD是平行四边形．
[证明] 在平行四边形A′B′C′D′中，A′D′∥B′C′.
∵AA′∥BB′，AA′∩A′D′＝A′，BB′∩B′C′＝B′，
∴平面AA′D′D∥平面BB′C′C.
∵平面AA′D′D∩平面ABCD＝AD，平面BB′C′C∩平面ABCD＝BC，∴AD∥BC.
同理可证AB∥DC.
故四边形ABCD是平行四边形．
[等级过关练]
1．如图所示的三棱柱ABC-A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于直线DE，则DE与AB的位置关系是( )
A．异面 B．平行
C．相交 D．以上均有可能
B [因为A1B1∥AB，AB平面ABC，A1B1平面ABC，所以A1B1∥平面ABC.又A1B1平面A1B1ED，平面A1B1ED∩平面ABC＝DE，所以DE∥A1B1.又AB∥A1B1，所以DE∥AB.]
2．如图，P是△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于点A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则△A′B′C′与△ABC面积的比为( )
A．2∶5 B．3∶8
C．4∶9 D．4∶25
D [由题意知，△A′B′C′∽△ABC，
从而＝2＝2＝.]
3．如图，α∩β＝CD，α∩γ＝EF，β∩γ＝AB，AB∥α，则CD与EF的位置关系为________．
平行 [由线面平行的性质得，AB∥CD，AB∥EF，由公理4得CD∥EF.]
4．如图，A是△BCD所在平面外一点，M是△ABC的重心，N是△ADC的中线AF上的点，并且MN∥平面BCD.当MN＝时，BD＝________.
4 [如图，取BC的中点E，连接AE，EF，则点M在AE上，并且AM∶AE＝2∶3.
因为MN∥平面BCD，
所以MN∥EF.
所以MN∶EF＝2∶3.
而EF＝BD，所以BD＝3MN＝4.]
5．如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是边长为2的正三角形，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB＝2，当点M在何位置时，BM∥平面AEF.
[解] 如图，取EC的中点P，AC的中点Q，连接PQ，PB，BQ，则PQ∥AE.
因为EC＝2FB＝2，所以PE＝BF，所以四边形BFEP为平行四边形，所以PB∥EF.
又AE，EF平面AEF，PQ，PB平面AEF，
所以PQ∥平面AEF，PB∥平面AEF.
又PQ∩PB＝P，所以平面PBQ∥平面AEF.又BQ平面PBQ，所以BQ∥平面AEF.故点Q即为所求的点M，即点M为AC的中点时，BM∥平面AEF.
