§6 垂直关系
6．1 垂直关系的判定
学 习 目 标
核 心 素 养
1.掌握直线与平面垂直、平面与平面垂直的定义．(重点)
2．掌握直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定定理，并能灵活应用判定定理证明直线与平面垂直、平面与平面垂直．(重点、难点)
3．了解二面角、二面角的平面角的概念，会求简单的二面角的大小．(重点、易错点)
1.通过应用判定定理证明空间中的垂直关系，提升逻辑推理素养．
2．通过求解二面角的大小培养直观想象数学运算素养.
1．直线与平面垂直的概念及判定定理
(1)定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直．
(2)画法：通常把表示直线的线段画成和表示平面的平行四边形的横边垂直，如图所示．
(3)直线与平面垂直的判定定理：
文字
语言
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直
图形
语言
符号
语言
若直线a平面α，
直线b平面α，
直线l⊥a，l⊥b，a∩b＝A，则l⊥平面α
思考1：若一条直线垂直于一个平面内的两条直线，则此直线与平面什么关系？
提示：相交、垂直或在平面内．
2．二面角
(1)二面角的概念：
①半平面：一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫作半平面．
②二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角，这条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫作二面角的面．
③二面角的记法：以直线AB为棱、半平面α，β为面的二面角，记作二面角α-AB-β.
(2)二面角的平面角：
文字
语言
以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角
图形
语言
符号
语言
若α∩β＝l，OAα，OBβ，且OA⊥l，OB⊥l，则∠AOB为二面角α-l-β的平面角
取值范围
0°≤θ≤180°
直二面角
平面角是直角的二面角叫作直二面角
思考2：二面角的大小，与角的顶点在棱上的位置有关吗？
提示：没关系．
3．平面与平面垂直
(1)平面与平面垂直：
定义
两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直
画法
把表示直立平面的平行四边形的竖边画成和表示水平平面的平行四边形的横边垂直(如图)
记法
α⊥β
(2)平面与平面垂直的判定定理：
文字语言
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直
符号语言
若直线AB平面β，AB⊥平面α，则β⊥α
思考3：若两个平面垂直，则一个平面内的直线与另一个平面有何位置关系？
提示：平行、垂直、斜交．
1．已知平面α及α外一直线l，给出下列命题：
①若l垂直于α内两条直线，则l⊥α；
②若l垂直于α内所有直线，则l⊥α；
③若l垂直于α内任意一条直线，则l⊥α；
④若l垂直于α内两条平行直线，则l⊥α.
其中，正确命题的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
C [根据直线与平面垂直的定义可知，②③正确，①④不正确．]
2．空间四边形ABCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，那么有( )
A．平面ABC⊥平面ADC
B．平面ABC⊥平面ADB
C．平面ABC⊥平面DBC
D．平面ADC⊥平面DBC
D [∵AD⊥BC，AD⊥BD，BC∩BD＝B，
∴AD⊥平面BCD.
又∵AD平面ADC，∴平面ADC⊥平面DBC.]
3．如图所示，∠BCA＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中．
(1)与PC垂直的直线有________；
(2)与AP垂直的直线有________．
(1)AB，BC，AC (2)BC [(1)因为PC⊥平面ABC，AB，AC，BC平面ABC，
所以与PC垂直的直线有AB，AC，BC.
(2)∠BCA＝90°，即BC⊥AC，又BC⊥PC，AC∩PC＝C，所以BC⊥平面PAC，又AP平面PAC，所以BC⊥AP.]
4．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，截面C1D1AB与底面ABCD所成二面角C1-AB-C的大小为________．
45° [∵AB⊥BC，AB⊥BC1，
∴∠C1BC为二面角C1-AB-C的平面角，其大小为45°.]
线面垂直的判定
【例1】 如图所示，Rt△ABC所在的平面外一点S，SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点．求证：直线SD⊥平面ABC.
[证明] ∵SA＝SC，点D为斜边AC的中点，
∴SD⊥AC.
连接BD，在Rt△ABC中，则AD＝DC＝BD，
∴△ADS≌△BDS，
∴SD⊥BD.
又AC∩BD＝D，
∴SD⊥平面ABC.
1．在本例中，若AB＝BC，其他条件不变，求BD与平面SAC的位置关系．
[解] ∵AB＝BC，点D为斜边AC的中点，
∴BD⊥AC.
又由本例知SD⊥平面ABC，
∴SD⊥BD.
于是BD垂直于平面SAC内的两条相交直线，
故BD⊥平面SAC.
2．将本例改为：已知四棱锥P-ABCD的底面是菱形，且PA＝PC，PB＝PD.若O是AC与BD的交点，求证：PO⊥平面ABCD.
[证明] 在△PBD中，PB＝PD，O为BD的中点，
∴PO⊥BD.
在△PAC中，PA＝PC，O为AC的中点，
∴PO⊥AC，
又∵AC∩BD＝O，
∴PO⊥平面ABCD.
1．直线与平面垂直的判定(或证明)常用的方法是线面垂直的判定定理，要注意定理中的两个关键条件：
①平面内的两条相交直线；②都垂直．
2．要证明线面垂直，先证线线垂直，而证线线垂直，通常又借助线面垂直，它们是相互转化的．
面面垂直的判定
【例2】 如图所示，在四面体ABCS中，已知∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°，又SA＝SB＝SC.求证：平面ABC⊥平面SBC.
[证明] 法一：因为∠BSA＝∠CSA＝60°，SA＝SB＝SC，所以△ASB和△ASC是等边三角形，
则有SA＝SB＝SC＝AB＝AC，
设其值为a，则△ABC和△SBC为共底边BC的等腰三角形．
取BC的中点D，如图所示，
连接AD，SD，则AD⊥BC，SD⊥BC，
所以∠ADS为二面角A-BC-S的平面角．
在Rt△BSC中，因为SB＝SC＝a，
所以SD＝a，BD＝＝a，
在Rt△ABD中，AD＝a，
在△ADS中，因为SD2＋AD2＝SA2，
所以∠ADS＝90°，即二面角A-BC-S为直二面角，故平面ABC⊥平面SBC.
法二：因为SA＝SB＝SC，且∠BSA＝∠CSA＝60°，
所以SA＝AB＝AC，
所以点A在平面SBC上的射影为△SBC的外心．
因为△SBC为直角三角形，
所以点A在△SBC上的射影D为斜边BC的中点，
所以AD⊥平面SBC.
又因为AD平面ABC，所以平面ABC⊥平面SBC.
证明面面垂直的方法：
?1?定义法：即说明两个半平面所成的二面角是直二面角；
?2?判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为“线面垂直”；
?3?性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面.
1．如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．求证：平面AEC⊥平面PDB.
[解] ∵AC⊥BD，AC⊥PD，PD，BD为平面PDB内两条相交直线，
∴AC⊥平面PDB.
又∵AC平面AEC，
∴平面AEC⊥平面PDB.
二面角
[探究问题]
1．如图所示，在三棱锥S-ABC中，△SBC，△ABC都是等边三角形，请根据二面角的平面角的定义作出二面角S-BC-A的平面角，并说明理由．
提示：取BC的中点O，连接SO，AO，因为AB＝AC，O是BC的中点，所以AO⊥BC.
同理可证SO⊥BC，所以∠SOA是二面角S-BC-A的平面角．
2．在上述问题中，若BC＝1，SA＝，请计算二面角S-BC-A的大小．
提示：在△AOB中，∠AOB＝90°，∠ABO＝60°，AB＝1，所以AO＝1×sin 60°＝.
同理可求SO＝.
又SA＝，所以△SOA是等边三角形，
所以∠SOA＝60°，所以二面角S-BC-A的大小为60°.
【例3】 如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在平面，C是圆周上不同于A、B的一点，且AB＝2，PA＝BC＝1.
(1)求证：平面PAC⊥平面PBC；
(2)求二面角P-BC-A的大小．
[解] (1)证明：∵A，B，C在⊙O上，
∴⊙O所在平面可记为平面ABC，
∵PA⊥平面ABC，BC平面ABC，
∴PA⊥BC.
∵C在圆周上，且异于A、B两点，AB是⊙O的直径，
∴BC⊥AC.
又AC∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC.
又BC平面PBC，∴平面PAC⊥平面PBC.
(2)由(1)知，BC⊥平面PAC，∵PC平面PAC，
∴PC⊥BC，又∵AC⊥BC，
∴∠PCA为二面角P-BC-A的平面角．
在Rt△PAC中，PA＝1，AC＝，∠PAC＝90°，
∴tan∠PCA＝，∴∠PCA＝30°，
所以二面角P-BC-A的大小是30°.
1．本例条件不变，试求二面角C-PA-B的大小．
[解] ∵PA⊥平面ABC.
∴PA⊥AC，PA⊥AB，
∴∠CAB即为二面角C-PA-B的平面角，
在Rt△ACB中，易知AB＝2，BC＝1，∴AC＝，
∴sin∠BAC＝，
∴∠BAC＝30°，
∴二面角C-PA-B的大小为30°.
2．本例条件不变，试求二面角A-PB-C的正弦值．
[解] 过A作AE⊥PB于点E，过E作EF⊥PB交PC于点F，连AF，则∠AEF即为二面角A-PB-C的平面角(图略)．
由例题知，BC⊥平面PAC，又AF平面PAC，
∴AF⊥BC，
又PB⊥AE，PB⊥EF，
∴PB⊥平面AEF，
∴AF⊥PB，
又BC∩PB＝B，
∴AF⊥平面PBC.
∴△AFE为直角三角形．
在Rt△PAC中，PA＝1，AC＝.
∴PC＝2，
∴AF＝，
在Rt△PAB中，PA＝1，AB＝2，
∴PB＝，
∴AE＝.
∴在Rt△AFE中，sin∠AEF＝＝＝.
1．求二面角大小的关键是先找出或作出平面角，再把平面角放在三角形中，最后利用解三角形得到平面角的大小或三角函数值，其步骤为：作角→证明→计算．
2．要在适当位置作出二面角的平面角，就要注意观察二面角两个面的特点，如是否为等腰三角形等．
1．直线和平面垂直的判定方法：
(1)利用线面垂直的定义．
(2)利用线面垂直的判定定理．
(3)利用下面两个结论：
①若a∥b，a⊥α，则b⊥α；②若α∥β，a⊥α，则a⊥β.
2．求二面角大小的步骤
简称为“一作二证三求”．
3．平面与平面垂直的判定定理的应用思路
(1)本质：通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直，即线面垂直?面面垂直．
(2)证题思路：处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题来解决．
1．思考辨析
(1)如果一条直线和一个平面内的两条平行直线都垂直，则该直线与此平面垂直． ( )
(2)一条直线和一个平面内的所有直线垂直，则该直线与该平面垂直．
( )
(3)一条直线和一个平面内的无数条直线垂直，则该直线与该平面垂直．
( )
(4)若直线l不垂直于平面α，则α内不存在直线垂直于直线l.
( )
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×
2．对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是( )
A．m⊥n，m∥α，n∥β B．m⊥n，α∩β＝m，nα
C．m∥n，n⊥β，mα D．m∥n，m⊥α，n⊥β
C [∵n⊥β，m∥n，∴m⊥β，又mα，由面面垂直的判定定理，∴α⊥β.]
3．如图所示，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面角B-PA-C的大小为________．
90° [∵PA⊥平面ABC，BA，CA平面ABC，∴BA⊥PA，CA⊥PA，因此，∠BAC即为二面角B-PA-C的平面角．又∠BAC＝90°，故二面角B-PA-C的大小为90°.]
4．如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，E为BC的中点，把△ABE和△CDE沿AE、DE折起，使点B与点C重合于点P.求证：平面PED⊥平面PAD.
[解] 由矩形ABCD知折起前AB⊥BE，
所以折起后AP⊥PE，同理PD⊥PE，
因为PD∩PA＝P，
所以PE⊥平面PAD，
因为PE平面PED，
所以平面PED⊥平面PAD.
课件63张PPT。第一章 立体几何初步 §6 垂直关系
6．1 垂直关系的判定任何一条横边垂直两条相交直线a∩b＝A两部分α-AB-β两个半平面这条直线两个半平面每一部分任一点于棱垂直平面角是直角 直二面角α⊥β垂线AB⊥平面α点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(八) 垂直关系的判定
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．垂直于梯形两腰的直线与梯形所在平面的位置关系是( )
A．垂直 B．斜交
C．平行 D．不能确定
A [梯形的两腰所在的直线相交，根据线面垂直的判定定理知选项A正确．]
2．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是( )
A．平面DD1C1C
B．平面A1DCB1
C．平面A1B1C1D1
D．平面A1DB
B [连接A1D、B1C，由ABCD-A1B1C1D1为正方体可知，AD1⊥A1B1，AD1⊥A1D.故AD1⊥平面A1DCB1.]
3．如果直线l，m与平面α，β，γ满足：l＝β∩γ，l∥α，mα和m⊥γ，那么必有( )
A．α⊥γ且l⊥m B．α⊥γ且m∥β
C．m∥β且l⊥m D．α∥β且α⊥γ
A [B错，有可能m与β相交；C错，有可能m与β相交；D错，有可能α与β相交．]
4．从空间一点P向二面角α-l-β的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若∠EPF＝60°，则二面角α-l-β的平面角的大小是( )
A．60° B．120°
C．60°或120° D．不确定
C [若点P在二面角内，则二面角的平面角为120°；若点P在二面角外，则二面角的平面角为60°.]
5．如图，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，则图中互相垂直的平面有( )
A．1对 B．2对
C．3对 D．5对
D [∵DA⊥AB，DA⊥PA，∴DA⊥平面PAB.同理BC⊥平面PAB，又AB⊥平面PAD，∴DC⊥平面PAD，∴平面PAD⊥平面ABCD，平面PAB⊥平面ABCD，平面PBC⊥平面PAB，平面PAB⊥平面PAD，平面PDC⊥平面PAD，共5对．]
二、填空题
6．如图所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数有________．
4 [?
?BC⊥平面PAC?BC⊥PC，
∴直角三角形有△PAB，△PAC，△ABC，△PBC.]
7．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，将△ABC沿斜边BC上的高AD折叠，使平面ABD⊥平面ACD，则折叠后BC＝________.
1 [由题意知，BD⊥AD，由于平面ABD⊥平面ACD.
∴BD⊥平面ADC.又DC平面ADC，
∴BD⊥DC.
连接BC(图略)，则
BC＝＝＝1.]
8．正四面体的侧面与底面所成的二面角的余弦值是________．
[如图所示，设正四面体A-BCD的棱长为1，顶点A在底面上的射影为O，连接DO，并延长交BC于点E，连接AE，则E为BC的中点，故AE⊥BC，DE⊥BC，
∴∠AEO为侧面ABC与底面BCD所成的二面角的平面角．
在Rt△AEO中，AE＝，EO＝ED＝×＝，
∴cos∠AEO＝＝.]
三、解答题
9．如图，四边形ABCD是边长为a的菱形，PC⊥平面ABCD，E是PA的中点，求证：平面BDE⊥平面ABCD.
[证明] 设AC∩BD＝O，连接OE.
因为O为AC中点，E为PA的中点，
所以EO是△PAC的中位线，
EO∥PC.
因为PC⊥平面ABCD，
所以EO⊥平面ABCD.
又因为EO平面BDE，
所以平面BDE⊥平面ABCD.
10.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°且PA＝AB＝BC，E是PC的中点．求证：
(1)CD⊥AE；
(2)PD⊥平面ABE.
[解] (1)因为PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，
所以PA⊥CD.因为AC⊥CD，PA∩AC＝A，所以CD⊥平面PAC.
而AE平面PAC，所以CD⊥AE.
(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.
因为E是PC的中点，所以AE⊥PC.
由(1)知，AE⊥CD，且PC∩CD＝C，所以AE⊥平面PCD.
又PD平面PCD，所以AE⊥PD.
因为PA⊥平面ABCD，AB平面ABCD，所以PA⊥AB.
又AB⊥AD，PA∩AD＝A，所以AB⊥平面PAD，
又PD平面PAD，所以AB⊥PD.
又AE∩AB＝A，所以PD⊥平面ABE.
[等级过关练]
1．以下命题正确的是( )
①?a⊥β；②?b∥α；③?b⊥α.
A．① B．①③
C．②③ D．①②
A [①由线面垂直的判定定理可知结论正确；②中b，α的关系可以线面平行或直线在平面内；③中直线可以与平面平行，相交或直线在平面内．]
2．如图，在四面体P-ABC中，AB＝AC，PB＝PC，D，E，F分别是棱AB，BC，CA的中点，则下列结论中不一定成立的是( )
A．BC∥平面PDF
B．DF⊥平面PAE
C．平面PDF⊥平面PAE
D．平面PDF⊥平面ABC
D [因为D，F分别为AB，AC的中点，则DF为△ABC的中位线，则BC∥DF，依据线面平行的判定定理，可知BC∥平面PDF，A成立．又E为BC的中点，且PB＝
PC，AB＝AC，则BC⊥PE，BC⊥AE，依据线面垂直的判定定理，可知BC⊥平面PAE.因为BC∥DF，所以DF⊥平面PAE，B成立．又DF平面PDF，则平面PDF⊥平面PAE，C成立．要使平面PDF⊥平面ABC，已知AE⊥DF，则必须有AE⊥PD或AE⊥PF，由条件知此垂直关系不一定成立，故选D.]
3．在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，把菱形沿对角线AC折起，使折起后BD＝，则二面角B-AC-D的余弦值为________．
60° [如图所示，由二面角的定义知∠BOD即为二面角的平面角．
∵DO＝OB＝BD＝，
∴∠BOD＝60°.]
4．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a(a>0)，PA⊥平面AC，且PA＝1，若BC边上存在点Q，使得PQ⊥QD，则a的最小值为________．
2 [因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥QD.
若BC边上存在一点Q，使得QD⊥PQ，
则有QD⊥平面PAQ，从而QD⊥AQ.
在矩形ABCD中，当AD＝a<2时，直线BC与以AD为直径的圆相离，故不存在点Q，使PQ⊥DQ.
所以当a≥2时，才存在点Q，使得PQ⊥QD.所以a的最小值为2.]
5．如图，已知三棱锥P-ABC，∠ACB＝90°，D为AB的中点，且△PDB是正三角形，PA⊥PC.
求证：(1)PA⊥平面PBC；
(2)平面PAC⊥平面ABC.
[证明] (1)因为△PDB是正三角形，
所以∠BPD＝60°，
因为D是AB的中点，
所以AD＝BD＝PD.
又∠ADP＝120°，所以∠DPA＝30°，
所以∠DPA＋∠BPD＝90°，
所以PA⊥PB.又PA⊥PC，PB∩PC＝P，
所以PA⊥平面PBC.
(2)因为PA⊥平面PBC，所以PA⊥BC.
因为∠ACB＝90°，
所以AC⊥BC.又PA∩AC＝A，
所以BC⊥平面PAC.
因为BC平面ABC，
所以平面PAC⊥平面ABC.
