6.2 垂直关系的性质
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解直线与平面、平面与平面垂直的性质定理．(重点)
2．理解并掌握空间“平行”与“垂直”之间的相互转化．(难点、易错点)
3．能灵活地应用线面与面面垂直的性质定理证明有关问题．(难点)
1.通过学习直线与平面、平面与平面垂直的性质定理提升数学抽象、直观想象素养．
2．通过应用线面与面面垂直的性质定理证明有关问题，培养逻辑推理素养.
1．直线与平面垂直的性质定理
(1)文字语言：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．
(2)符号语言：l⊥α，m⊥α?l∥m.
(3)图形语言：如图所示．
(4)作用：证明两直线平行．
思考1：过一点有几条直线与已知平面垂直？
提示：一条．
2．平面与平面垂直的性质定理
(1)文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．
(2)符号语言：α⊥β，α∩β＝m，lβ，l⊥m?l⊥α.
(3)图形语言：如图所示．
(4)作用：证明直线与平面垂直．
思考2：若α⊥β，则α内的直线与β内的直线有什么位置关系？
提示：平行、相交、异面．
思考3：若α⊥β，则α内的直线是否都与β内的直线垂直？
提示：不是．
1．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为A1C1的中点，则直线CE垂直于( )
A．AC B．BD C．A1D1 D．A1A
B [可证BD⊥平面AA1C1C，而CE平面AA1C1C，故BD⊥CE.]
2．若平面α⊥β，直线a∥α，则( )
A．a⊥β B．a∥β或aβ
C．a与β相交 D．aβ或a∥β或a与β相交
D [a与β三种位置关系都有可能．]
3．在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是( )
A．相交 B．平行
C．异面 D．相交或平行
B [圆柱的母线垂直于圆柱的底面，由线面垂直的性质知B正确．]
4．(2019·全国卷Ⅲ)如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则( )
A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线
B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线
C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线
D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线
[答案] B
线面垂直的性质
【例1】 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.
求证：MN∥AD1.
[证明] 因为四边形ADD1A1为正方形，所以AD1⊥A1D.
又因为CD⊥平面ADD1A1，AD1平面ADD1A1，
所以CD⊥AD1.
因为A1D∩CD＝D，
所以AD1⊥平面A1DC.
又因为MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1.
证明线线平行常用如下方法：
?1?利用线线平行的定义：证共面且无公共点；
?2?利用平行公理：证两线同时平行于第三条直线；
?3?利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行；
?4?利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直；
?5?利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行.
1．如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，直线aβ，a⊥AB.求证：a∥l.
[解] 因为EA⊥α，α∩β＝l，
即lα，所以l⊥EA.
同理l⊥EB.
又EA∩EB＝E，
所以l⊥平面EAB.因为EB⊥β，aβ，所以EB⊥a，
又a⊥AB，EB∩AB＝B，
所以a⊥平面EAB，因此，a∥l.
面面垂直性质的应用
【例2】 如图，已知P是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC，求证：BC⊥AC.
[证明] 如图，在平面PAC内作AD⊥PC于点D，
∵平面PAC⊥平面PBC，AD平面PAC，平面PAC∩平面PBC＝PC，且AD⊥PC，
∴AD⊥平面PBC，
又BC平面PBC，
∴AD⊥BC.
∵PA⊥平面ABC.BC平面ABC，
∴PA⊥BC，
∵AD∩PA＝A，
∴BC⊥平面PAC，
又AC平面PAC，
∴BC⊥AC.
1．面面垂直的性质定理，为线面垂直的判定提供了依据和方法．所以当已知两个平面垂直的时候，经常找交线的垂线，这样就可利用面面垂直证明线面垂直．
2．证明线面垂直主要有两种方法，一种是利用线面垂直的判定定理，另一种是利用面面垂直的性质定理．应用后者时要注意：(1)两个平面垂直；(2)直线在一个平面内；(3)直线垂直于交线．以上三点缺一不可．
2．如图，四棱锥V-ABCD的底面是矩形，侧面VAB⊥底面ABCD，又VB⊥平面VAD.
求证：平面VBC⊥平面VAC.
[解] ∵平面VAB⊥平面ABCD，且BC⊥AB，平面VAB∩平面ABCD＝AB，BC平面ABCD，
∴BC⊥平面VAB，∵VA平面VAB，∴BC⊥VA，
又VB⊥平面VAD，∴VB⊥VA，又VB∩BC＝B，
∴VA⊥平面VBC，
∵VA平面VAC，
∴平面VBC⊥平面VAC.
垂直关系的综合应用
[探究问题]
1．如图，四边形ABCD是正方形，SA⊥平面ABCD，BK⊥SC于点K，连接DK.判断平面SBC与平面KBD是否垂直，并说明理由．
提示：垂直．连接AC(图略)．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD.又SA⊥平面ABCD，∴SA⊥BD，
∴BD⊥平面SAC，∴SC⊥BD.
又∵SC⊥BK，BK∩BD＝B，∴SC⊥平面KBD.
又SC平面SBC，∴平面SBC⊥平面KBD.
2．在上述问题中，判断平面SBC与平面SDC是否垂直，并说明理由．
提示：不垂直．假设平面SBC⊥平面SDC.
∵BK⊥SC，∴BK⊥平面SDC.
∵DC平面SDC，∴BK⊥DC，
又AB∥CD，∴BK⊥AB.
∵ABCD是正方形，AB⊥BC，
∴AB⊥平面SBC，又SB平面SBC，
∴AB⊥SB，这与∠SBA是Rt△SAB的一个锐角矛盾，故假设不成立．
∴原结论成立，即平面SBC不垂直于平面SDC.
【例3】 如图所示 ，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.
(1)求证：AD⊥PB；
(2)若E为BC边的中点，能否在PC棱上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论．
[思路探究] 解答本题要首先从菱形、正三角形中找到其中所蕴含的垂直关系，联系所学的判定定理与性质定理，得出结论．
[解] (1)证明：设G为AD的中点，连接PG，BG，
∵△PAD为正三角形，∴PG⊥AD.
在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，
G为AD的中点，∴BG⊥AD.
又BG∩PG＝G，∴AD⊥平面PGB.
∵PB平面PGB，∴AD⊥PB.
(2)当F为PC的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD.
证明：取PC的中点F，连接DE，EF，DF，
在△PBC中，FE∥PB.
在菱形ABCD中，GB∥DE，
而FE平面DEF，DE平面DEF，EF∩DE＝E，
∴平面DEF∥平面PGB.
由(1)得PG⊥平面ABCD，而PG平面PGB，
∴平面PGB⊥平面ABCD，
∴平面DEF⊥平面ABCD.
本例条件不变，试求二面角P-BC-A的大小．
[解] 如例题解答图，易知PG⊥平面ABCD，
∴PG⊥BC.
又四边形ABCD为菱形，且∠DAB＝60°，
∴BG⊥AD.又AD∥BC，
∴BG⊥BC，∴BC⊥平面PBG，∴BC⊥PB.
∴∠PBG为二面角P-BC-A的平面角．
又PG＝a，BG＝a，PG⊥BG，∴∠PBG＝45°.
∴二面角P-BC-A的大小为45°.
立体几何中的垂直关系有三类：线线垂直、线面垂直、面面垂直．处理垂直问题时，要注意三者之间的内在联系．转化思想是立体几何中解决垂直问题的重要思想．垂直关系的转化如下：
1．线面垂直的性质定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据．
2．面面垂直的性质定理揭示了“面面垂直、线面垂直及线线垂直”间的内在联系，体现了数学中的转化与化归思想，其转化关系如下：
1．思考辨析
(1)垂直于同一个平面的两条直线互相平行． ( )
(2)一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直． ( )
(3)若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则平面α⊥平面γ. ( )
[解析] (3)×，α∥γ或α∩γ＝l.
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
2．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点P∈l，给出下面四个结论：
①过P与l垂直的直线在α内；
②过P与β垂直的直线在α内；
③过P与l垂直的直线必与α垂直；
④过P与β垂直的平面必与l垂直．
其中正确的命题是( )
A．② B．③ C．①④ D．②③
A [因为α⊥β，α∩β＝l，P∈l，所以过点P作β的垂线必在平面α内且和l垂直，①③④可能成立，也可能不成立．]
3．(2019·全国卷Ⅰ)已知∠ACB＝90°，P为平面ABC外一点，PC＝2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为，那么P到平面ABC的距离为________
[∠ACB＝90°，P为平面ABC外一点，PC＝2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为，
过点P作PD⊥AC，交AC于D，作PE⊥BC，交BC于E，过P作PO⊥平面ABC，交平面ABC于O，
连接OD，OE，则PD＝PE＝，
∴CD＝CE＝OD＝OE＝＝1，
∴PO＝＝＝.
∴P到平面ABC的距离为.]
4．如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，N是EC中点，求证：平面DMN∥平面ABC.
[解] ∵M，N分别是EA与EC的中点，∴MN∥AC，
∵AC平面ABC，MN平面ABC，∴MN∥平面ABC，
∵DB⊥平面ABC，EC⊥平面ABC，
∴BD∥EC，∴四边形BDEC为直角梯形，
∵N为EC中点，EC＝2BD，∴NC綊BD，∴四边形BCND为矩形，
∴DN∥BC，又∵DN平面ABC，BC平面ABC，
∴DN∥平面ABC，
又∵MN∩DN＝N，且MN、DN平面DMN，
∴平面DMN∥平面ABC.
课件50张PPT。第一章 立体几何初步 §6 垂直关系
6.2 垂直关系的性质平行l∥m平行 交线垂直l⊥α垂直点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(九) 垂直关系的性质
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，lα，lβ，则( )
A．α∥β且l∥α
B．α⊥β且l⊥β
C．α与β相交，且交线垂直于l
D．α与β相交，且交线平行于l
D [由m⊥ 平面α，直线l满足l⊥m，且lα，所以l∥α，又n⊥平面β，l⊥n，lβ，所以l∥β.
由直线m，n为异面直线，且m⊥平面α，n⊥平面β，则α与β相交，否则，若α∥β则推出m∥n，与m，n异面矛盾．故α与β相交，且交线平行于l.]
2．若m、n表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为( )
①?n⊥α； ②?m∥n；
③?m⊥n; ④?n⊥α.
A．1 B．2 C．3 D．4
C [①②③正确，④中n与α可能有：nα或n∥α或相交(包括n⊥α)．]
3．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面( )
A．若m⊥n，n∥α，则m⊥α
B．若m∥β，β⊥α，则m⊥α
C．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α
D．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α
C [A，B，D中，m与平面α可能平行、相交或m在平面α内；对于C，若m⊥β，n⊥β，则m∥n，而n⊥α，所以m⊥α.故选C.]
4．如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是( )
A．异面 B．平行
C．垂直 D．不确定
C [∵BA⊥α，α∩β＝l，lα，∴BA⊥l.
同理BC⊥l.又BA∩BC＝B，∴l⊥平面ABC.
∵AC平面ABC，∴l⊥AC.]
5．在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB＝BC，AD＝CD，则BD与CC1的位置关系为( )
A．平行 B．共面
C．垂直 D．不垂直
C [如图所示，在四边形ABCD中，∵AB＝BC，AD＝CD.∴BD⊥AC.∵平面AA1C1C⊥平面ABCD，平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，BD平面ABCD，∴BD⊥平面AA1C1C.又CC1平面AA1C1C，∴BD⊥CC1，故选C.]
二、填空题
6．若α⊥β，α∩β＝AB，a∥α，a⊥AB，则a与β的关系
为________．
a⊥β [过a作平面γ与平面α相交于a′.
∵a∥α，∴a∥a′.∵a⊥AB，∴a′⊥AB.
又α⊥β且α∩β＝AB，a′α，∴a′⊥β，∴a⊥β.]
7．如图，平面ABC⊥平面ABD，∠ACB＝90°，CA＝CB，△ABD是正三角形，O为AB中点，则图中直角三角形的个数为________．
6 [∵CA＝CB，O为AB的中点，
∴CO⊥AB.
又平面ABC⊥平面ABD，交点为AB，
∴CO⊥平面ABD.
∵OD平面ABD，∴CO⊥OD，
∴△COD为直角三角形．
所以图中的直角三角形有△AOC，△COB，△ABC，△AOD，△BOD，△COD共6个．]
8．如图，直二面角α-l-β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB＝2，AC＝BD＝1，则CD的长为
________.
[如图，连接BC，
∵二面角α-l-β为直二面角，
ACα，且AC⊥l，
∴AC⊥β.
又BDβ，
∴AC⊥BC，
∴BC2＝AB2－AC2＝3，
又BD⊥CD，
∴CD＝＝.]
三、解答题
9．如图所示，三棱锥P-ABC中，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△PAC是直角三角形，∠PAC＝90°，∠ACP＝30°，平面PAC⊥平面ABC.求证：平面PAB⊥平面PBC.
[证明] ∵平面PAC⊥平面ABC，
平面PAC∩平面ABC＝AC，PA⊥AC，PA平面PAC，
∴PA⊥平面ABC.又BC平面ABC，
∴PA⊥BC.
又∵AB⊥BC，AB∩PA＝A，
∴BC⊥平面PAB.
又BC平面PBC，
∴平面PAB⊥平面PBC.
10.如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，侧面PBC⊥底面ABCD.PA与BD是否相互垂直，请证明你的结论．
[解] PA与BD垂直，证明如下：
如图，取BC的中点O，连接PO，AO，
∵PB＝PC，∴PO⊥BC，
又侧面PBC⊥底面ABCD，
∴PO⊥底面ABCD，
∴PO⊥BD，
在直角梯形ABCD中，易证△ABO≌△BCD，
∠BAO＝∠CBD，∠CBD＋∠ABD＝90°，
∴∠BAO＋∠ABD＝90°，∴AO⊥BD，
又PO∩AO＝O，∴BD⊥平面PAO，
∴BD⊥PA，∴PA与BD相互垂直．
[等级过关练]
1．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出如下命题：
①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；
②若α⊥β，m⊥β，mα，则m∥α；
③若α⊥β，m∥α，则m⊥β.
其中正确命题的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
B [①中，α，β可能平行，也可能相交，不正确；②中，α⊥β，m⊥β，mα时，只可能有m∥α，正确；③中，m与β的位置关系可能是m∥β或mβ或m与β相交，不正确．综上可知正确命题的个数为1，故选B.]
2．如图所示，三棱锥P-ABC的底面在平面α上，且AC⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，点P，A，B是定点，则动点C运动形成的图形是( )
A．一条线段
B．一条直线
C．一个圆
D．一个圆，但要去掉两个点
D [∵平面PAC⊥平面PBC，AC⊥PC，AC平面PAC，且平面PAC∩平面PBC＝PC，∴AC⊥平面PBC.
又∵BC平面PBC，∴AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，∴动点C运动形成的图形是以AB为直径的圆，除去A和B两点，故选D.]
3．如图，若边长为4和3与边长为4和2的两个矩形所在的平面互相垂直，则cos α∶cos β＝________.
∶2 [由题意，两个矩形的对角线长分别为5,2，所以cos α＝＝，cos β＝，所以cos α∶cos β＝∶2.]
4．如图，平行四边形ABCD中，AB⊥BD，沿BD将△ABD折起，使平面ABD⊥平面BCD，连接AC，则在四面体ABCD的四个面中，互相垂直的平面的对数为________．
3 [因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AB⊥BD，所以AB⊥平面BCD.所以平面ABC⊥平面BCD.在折起前，因为AB⊥BD，AB∥CD，所以CD⊥BD.又因为平面ABD⊥平面BCD，所以CD⊥平面ABD，所以平面ACD⊥平面ABD，共3对．]
5．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA⊥PD，底面ABCD是直角梯形，其中BC∥AD，∠BAD＝90°，AD＝3BC，O是AD上一点．
(1)若CD∥平面PBO，试指出点O的位置；
(2)求证：平面PAB⊥平面PCD.
[解] (1)∵CD∥平面PBO，CD平面ABCD，
且平面ABCD∩平面PBO＝BO，
∴BO∥CD.
又BC∥AD，
∴四边形BCDO为平行四边形．
则BC＝DO，而AD＝3BC，
∴AD＝3OD，即点O是靠近点D的线段AD的一个三等分点．
(2)证明：∵侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD＝AD，AB底面ABCD，且AB⊥AD，
∴AB⊥平面PAD.
又PD平面PAD，∴AB⊥PD.
又PA⊥PD，且PA平面PAB，AB平面PAB，AB∩PA＝A，
∴PD⊥平面PAB.
又PD平面PCD，
∴平面PAB⊥平面PCD.
