§7 简单几何体的再认识
7．1 柱、锥、台的侧面展开与面积
学 习 目 标
核 心 素 养
1.通过对简单几何体侧面展开图的探究，了解侧面积公式的由来．
2．准确掌握简单几何体的侧面积公式及推导方法．(重点)
3．掌握简单组合体侧面积和表面积的计算．(难点)
1.通过对简单几何体侧面展开图的探究，提升直观想象素养．
2．通过对简单几何体侧面积的计算，培养数学运算素养.
1．圆柱、圆锥、圆台的侧面积
几何体
侧面展开图
侧面积公式
圆柱
S圆柱侧＝2πrl
r为底面半径
l为侧面母线长
圆锥
S圆锥侧＝πrl
r为底面半径
l为侧面母线长
圆台
S圆台侧＝π(r1＋r2)l
r1为上底面半径
r2为下底面半径
l为侧面母线长
2.直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积
几何体
侧面展开图
侧面积公式
直棱柱
S直棱柱侧＝ch
c为底面周长
h为高
正棱锥
S正棱锥侧＝ch′
c为底面周长
h′为斜高，即侧面
等腰三角形的高
正棱台
S正棱台侧＝(c＋c′)h′
c′为上底面周长
c为下底面周长
h′为斜高，即侧面
等腰梯形的高
思考1：怎样计算柱、锥、台的表面积？
提示：柱、锥、台的表面积S表等于该几何体的侧面积S侧与底面积S底的和，即S表＝S侧＋S底．
思考2：求圆柱、圆锥、圆台的表面积时，要求的关键量是什么？
提示：求圆柱、圆锥的表面积时，关键是求其母线长与底面的半径；求圆台的表面积时，关键是求其母线长与上、下底面的半径．
1．矩形的边长分别为1和2，分别以这两边为轴旋转，所形成的几何体的侧面积之比为( )
A．1∶2 B．1∶1 C．1∶4 D．4∶1
B [S1＝2π·1·2＝4π，S2＝2π·2·1＝4π，∴S1＝S2.]
2．若圆台的上下底面半径分别是1和3，它的侧面积是两底面面积和的2倍，则圆台的母线长是( )
A．2 B．2.5 C．5 D．10
C [S侧＝π(r1＋r2)l＝2(πr＋πr)，∴l＝＝5.]
3．已知正三棱锥底面边长为6，侧棱长为5，则此棱锥的体积为________．
3 [∵正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为5，
∴底面的正三角形的面积为：
S＝×6×＝9，
故底面的正三角形高为3，其外接圆半径为2，
∴三棱锥的高为h＝＝，
∴体积为V＝×9×＝3.]
4．若一个正六棱柱的底面边长为a，侧面对角线的长为2a，则它的表面积为________．
9a2 [正六棱柱的底面边长为a，所以正六棱柱的底面面积为S底＝，又侧面对角线的长为2a，所以侧棱长为a，则该正六棱柱的表面积为S表＝2S底＋S侧＝2×＋6a×a＝9a2.]
圆柱、圆锥、圆台的侧面积与表面积
【例1】 如图所示，已知直角梯形ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，AB＝5 cm，BC＝16 cm，AD＝4 cm.求以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积．
[解] 以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆台，其上底半径是4 cm，下底半径是16 cm，母线DC＝＝13(cm)，
∴该几何体的表面积为π(4＋16)×13＋π×42＋π×162＝532π(cm2)．
1．圆柱、圆锥、圆台的相关几何量都集中体现在轴截面上，因此准确把握轴截面中的相关量及其关系是求解旋转体表面积的关键．
2．求几何体的表面积问题，通常将所给几何体分成基本的柱、锥、台，再通过这些柱、锥、台的表面积，进行求和或作差，从而求得几何体的表面积．
1．圆柱的底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是( )
A．4πS B．2πS C．πS D.πS
A [设底面半径为r，则S＝πr2，则r＝，所以底面周长为2πr＝2π，又侧面展开图为一个正方形，故母线长为2πr＝2·π，
∴S侧＝2πr·l＝(2πr)2＝4π2·r2＝4π22＝4πS.]
直棱柱、正棱锥、正棱台的表面积
【例2】 正三棱锥S-ABC的侧面积是底面积的2倍，它的高SO＝3，求此正三棱锥的表面积．
[思路探究] 在由高、斜高构成的直角三角形中应用勾股定理，求出底面边长和斜高，从而求其侧面积，然后求表面积．
[解] 设正三棱锥底面边长为a，斜高为h′，如图所示，过O作OE⊥AB，连接SE，则SE⊥AB，且SE＝h′.
因为S侧＝2S底，
所以×3a×h′＝a2×2，
所以a＝h′.
因为SO⊥OE，所以SO2＋OE2＝SE2，
所以32＋2＝h′2，
所以h′＝2，所以a＝h′＝6，
所以S底＝a2＝×62＝9，
所以S侧＝2S底＝18，
则S表＝S侧＋S底＝27.
1．正棱锥和正棱台的侧面分别是等腰三角形和等腰梯形，只要弄清楚相对应的元素，求解就会很简单．
2．多面体的表面积等于各侧面与底面的面积之和．对于正棱锥中的计算问题，往往要构造直角三角形来求解，而对正棱台，则需要构造直角梯形或等腰梯形来求解．
2．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
A．48 B．32＋8
C．48＋8 D．80
C [由三视图可知本题所给的是一个底面为等腰梯形的放倒的直四棱柱，所以该直四棱柱的表面积为：S＝2××(2＋4)×4＋4×4＋2×4＋2××4＝48＋8.]
组合体的表面积
【例3】 已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD内，过点C作l⊥CB，以l为轴将梯形ABCD旋转一周，求旋转体的表面积．
[思路探究] 该组合体为一个圆柱在中间挖去了一个等高的圆锥，分别计算各部分的表面积即可．
[解] 如题图所示，所得几何体为一个圆柱除去一个圆锥．
在直角梯形ABCD中，AD＝a，BC＝2a，
AB＝(2a－a)tan 60°＝a，DC＝＝2a.
又DD′＝DC＝2a，
∴S表＝S圆环＋S圆柱侧＋S圆C＋S圆锥侧
＝[π·(2a)2－πa2]＋2π·2a·a＋π·(2a)2＋π·a·2a
＝(9＋4)πa2.
求组合体的表面积的解题策略：
?1?对于由基本几何体拼接成的组合体，要注意拼接面的重合对组合体表面积的影响.
?2?对于从基本几何体中通过切挖得到的组合体，要注意新产生的截面和原几何体表面的变化.
3.如图所示，△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，以AB所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得到的旋转体的表面积．
[解] 过C点作CD⊥AB于点D.如图所示，△ABC以AB所在直线为轴旋转一周，所得到的旋转体是两个底面重合的圆锥，这两个圆锥的高的和为AB＝5，
底面半径DC＝＝，故S表＝π·DC·(BC＋AC)＝π.
1．多面体的表面积为围成多面体的各个面的面积之和．
2．有关旋转体的表面积的计算要充分利用其轴截面，就是说将已知条件尽量归结到轴截面中求解．而对于圆台有时需要将它还原成圆锥，再借助相似的相关知识求解．
3．S圆柱表＝2πr(r＋l)；S圆锥表＝πr(r＋l)；S圆台表＝π(r2＋rl＋Rl＋R2)．
1．思考辨析
(1)把柱、锥、台的侧面无论沿哪一条侧棱或母线剪开，所得到的展开图形状都相同，面积都相等． ( )
(2)无论是哪种几何体，它们的侧面展开图都是极为规则的平面图形． ( )
(3)空间几何体的侧面积即是表面积． ( )
(4)圆台的侧面展开图是一个扇环． ( )
[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√
2．已知正四棱锥底面边长为6，侧棱长为5，则此棱锥的侧面积为( )
A．6 B．12 C．24 D．48
D [正四棱锥的斜高h′＝＝4，S侧＝4××6×4＝48.]
3．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的表面积是( )
A．3π B．3π
C．6π D．9π
A [根据轴截面面积是，可得圆锥的母线长为2，底面半径为1，所以S＝πr2＋πrl＝π＋2π＝3π.]
4．圆锥的侧面展开图是半径为R的半圆，则圆锥的高是________．
R [设底面半径是r，则2πr＝πR，
∴r＝，∴圆锥的高h＝＝R.]
课件45张PPT。第一章 立体几何初步 §7 简单几何体的再认识
7．1 柱、锥、台的侧面展开与面积侧面2πrl底面半径母线长侧面侧面母线长下底面半径上底面半径π(r1＋r2)l底面半径πrl母线长ch高底面周长底面周长斜高上底面下底面周长斜高周长点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十) 柱、锥、台的侧面展开与面积
(建议用时：45分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．棱长都是1的三棱锥的表面积为( )
A. B．2 C．3 D．4
A [S表＝4S正△＝4×＝.]
2．若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为( )
A．1∶2 B．1∶ C．1∶ D.∶2
C [设圆锥底面半径为r，则高h＝2r，
∴其母线长l＝r.
∴S侧＝πrl＝πr2，S底＝πr2，
∴S底∶S侧＝1∶.]
3．已知正六棱柱的高为h，底面边长为a，则它的表面积为( )
A．3a2＋6ah B.a2＋6h
C．4a2＋6ah D.a2＋6ah
A [柱体的表面积是侧面积加底面积，据正六棱柱的性质，得其表面积为S侧＋2S底＝3a2＋6ah.]
4．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为( )
A．7 B．6 C．5 D．3
A [设圆台较小底面半径为r，
则另一底面半径为3r.
由S＝π(r＋3r)·3＝84π，解得r＝7.]
5．已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比是( )
A. B. C. D.
A [设圆柱的底面半径为r，高为h，则由题设知h＝2πr，所以S表＝2πr2＋2πr·h＝2πr2(1＋2π)，又S侧＝h2＝4π2r2，所以＝.]
二、填空题
6．表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为________．
2 [设圆锥的母线为l，圆锥底面半径为r，由题意可知，πrl＋πr2＝3π，且πl＝2πr.解得r＝1，即直径为2.]
7．已知圆锥的母线长为2，高为，则该圆锥的侧面积是________．
2π [由圆锥的性质知其底面圆的半径为＝1，所以圆锥的侧面积为S侧＝πrl＝π×1×2＝2π.]
8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．
38 [由三视图可知，该几何体为一个长方体中挖去一个圆柱构成．其中长方体的长、宽、高分别为4,3,1，圆柱的底面圆的半径为1，高为1.
长方体的表面积S1＝2×(4×3＋4×1＋3×1)＝38；圆柱的侧面积S2＝2π×1×1＝2π；圆柱的上下底面面积和S3＝2×π×12＝2π.故该几何体的表面积S＝S1＋S2－S3＝38.]
三、解答题
9．已知正四棱锥底面正方形边长为4 cm，高与斜高的夹角为30°，求正四棱锥的侧面积和表面积(单位：cm2)．
[解] 如图所示，正四棱锥的高PO，斜高PE，底面边心距OE组成Rt△POE.
∵OE＝2 (cm)，∠OPE＝30°，
∴PE＝2OE＝4(cm)，
因此，S棱锥侧＝ch′＝×4×4×4＝32(cm2)．
S表面积＝S侧＋S底＝32＋16＝48(cm2)．
10．圆柱有一个内接长方体AC1，长方体对角线长是10 cm，圆柱的侧面展开平面图为矩形，此矩形的面积是100π cm2，求圆柱的底面半径和高．
[解] 设圆柱底面半径为r cm，高为h cm，如图所示，则圆柱轴截面长方形的对角线长等于它的内接长方体的对角线长，则：
∴
即圆柱的底面半径为5 cm，高为10 cm.
[等级过关练]
1．已知圆锥的侧面展开图为半圆，半圆的面积为S，则圆锥的底面面积是( )
A．2S B. C.S D.S
B [设圆锥的底面半径为r，母线长为l.
则由题意，得S＝πl2，S＝πrl，所以πl2＝πrl，
于是l＝2r，代入S＝πrl，得S＝2πr2，
所以圆锥的底面面积πr2＝.]
2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
A．54 B．60 C．66 D．72
B [由三视图可知，该几何体为如图所示的一个三棱柱上方被截去一个三棱锥得到的．由三视图中的相关数据易知，底面的面积为×3×4＝6，左侧侧面积为3×5＝15，前面的侧面积为×(2＋5)×4＝14，后面的侧面积为×(2＋5)×5＝，截面积为×3×5＝，故表面积为6＋14＋15＋＋＝60.选B.]
