7．2 柱、锥、台的体积
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积公式．(重点)
2.熟练运用体积公式求多面体和旋转体的体积．(难点)
1.通过柱、锥、台的体积公式的学习提升直观想象素养.
2.通过运用体积公式求多面体、旋转体的体积，提升数学运算素养.
柱、锥、台的体积
几何体
体积
说明
柱体
V柱体＝Sh
S为柱体的底面积，h为柱体的高
锥体
V锥体＝Sh
S为锥体的底面积，h为锥体的高
台体
V台体＝(S上＋＋S下)·h
S上， S下分别为台体的上、下底面积，h为高
思考：根据柱体、锥体、台体之间的关系，你能发现三者的体积公式之间的关系吗？
提示：台体的体积公式为V台体＝(S′＋＋S)h.当S′＝S时，得柱体的体积公式V柱体＝Sh；当S′＝0时，得锥体的体积公式V锥体＝Sh.
1．圆台上、下底面面积分别是π，4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是( )
A.π B．2π
C.π D.π
D [由已知，圆台上、下底面半径分别为1和2，又S圆台侧＝π(1＋2)l＝6π，∴l＝2，
∴高h＝＝，
∴V＝××(12＋22＋1×2)＝π.]
2．直角三角形两直角边AB＝3，AC＝4，以AB为轴旋转一周所得几何体的体积为( )
A．12π B．16π
C．20π D．24π
B [旋转后的几何体为以AC＝4为底面半径，以3为高的圆锥，
V＝πr2h＝π×42×3＝16π.]
3．如图是一个几何体的三视图，若它的体积是3，则a＝________.
[由三视图可知几何体为一个直三棱柱，底面三角形中边长为2的边上的高为a，
则V＝3×＝3，
所以a＝.]
4．高为3的三棱锥P-ABC底面是边长为1的正三角形，则三棱锥P-ABC的体积为________．
[由已知三棱锥P-ABC的底面面积S＝××1＝，
∴VP-ABC＝××3＝.]
柱体的体积问题
【例1】 已知直四棱柱的底面为菱形，两个对角面的面积分别为2 cm2,2 cm2，侧棱长为2 cm，求其体积．
[解] 如图所示，设底面菱形的对角线AC，BD长分别为x cm，y cm，又该棱柱是直棱柱，两个对角面都是矩形，
故有解得
底面菱形的面积S＝xy＝(cm2)，
所以该棱柱的体积为V＝Sh＝×2＝(cm3)．
求柱体的体积关键是求底面积和高，而底面积的求解要根据平面图形的性质灵活处理.熟记常见平面图形的面积的求法是解决此类问题的关键.
1．一个正方体的底面积和一个圆柱的底面积相等，且侧面积也相等，求正方体和圆柱的体积之比．
[解] 设正方体边长为a，圆柱高为h，底面半径为r，
则有
由①得r＝a，
由②得πrh＝2a2，∴V圆柱＝πr2h＝a3，
∴V正方体∶V圆柱＝a3∶＝∶1＝∶2.
锥体的体积问题
【例2】 如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高．若AB＝，∠APB＝∠ADB＝60°，求四棱锥P-ABCD的体积．
[解] 因为ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，AB＝，所以HA＝HB＝.
因为∠APB＝∠ADB＝60°，
所以PA＝PB＝，HD＝HC＝tan 30°＝1.
可得PH＝＝，
等腰梯形ABCD的面积为S＝AC×BD＝2＋.
所以四棱锥的体积为V＝×(2＋)×＝.
三棱锥的任一个面都可作为三棱锥的底面.求体积时，要选择适当的底面和高，然后应用公式V＝Sh进行计算即可.
2．如图所示，已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1-ABC1的体积为________．
[三棱锥B1-ABC1的体积等于三棱锥A-B1BC1的体积，三棱锥A-B1BC1的高为，底面积为，故其体积为××＝.]
3．已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )
A. B.
C．2π D．4π
B [绕等腰直角三角形的斜边所在的直线旋转一周形成的曲面围成的几何体为两个底面重合，等体积的圆锥，如图所示．每一个圆锥的底面半径和高都为，故所求几何体的体积V＝2××π×()2×＝.]
台体的体积问题
【例3】 如图，圆台高为3，轴截面中母线AA1与底面直径AB的夹角为60°，轴截面中一条对角线垂直于腰，求圆台的体积．
[思路探究] 求圆台的体积，关键是作出轴截面，并根据条件，求出两底面半径，代入公式求解．
[解] 设上、下底面半径分别为r，R.
∵A1D＝3，∠A1AB＝60°，∴AD＝＝，
∴R－r＝，BD＝A1D·tan 60°＝3，
∴R＋r＝3，∴R＝2，r＝，h＝3，
∴V圆台＝π(R2＋Rr＋r2)h＝π×[(2)2＋2×＋()2]×3＝21π.
1．求台体的体积，其关键在于求上、下底面的面积和高，一般地，棱台常把高放在直角梯形中去求解，若是圆台，则把高放在等腰梯形中求解．
2．“还台为锥”是求解台体问题的重要思想，作出截面图，将空间问题平面化，是解决此类问题的关键．
4．正四棱台两底面边长分别为20 cm和10 cm，侧面面积为780 cm2，求其体积．
[解] 正四棱台的大致图形如图所示，其中A1B1＝10 cm，AB＝20 cm，取A1B1的中点E1，AB的中点E，则E1E为斜高．设O1，O分别是上、下底面的中心，则四边形EOO1E1为直角梯形．
∵S侧＝4××(10＋20)×EE1＝780(cm2)，∴EE1＝13 (cm)．在直角梯形EOO1E1中，
O1E1＝A1B1＝5 (cm)，OE＝AB＝10 (cm)，
∴O1O＝＝12(cm)．
故该正四棱台的体积为V＝×12×(102＋202＋10×20)＝2 800(cm3)．
对柱体、锥体、台体的体积公式的四点说明
(1)等底、等高的两个柱体的体积相同．
(2)等底、等高的圆锥和圆柱的体积之间的关系可以通过实验得出，等底、等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍．
(3)柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系
(4)求台体的体积转化为求锥体的体积
根据台体的定义进行“补形”，还原为锥体，采用“大锥体”减去“小锥体”的方法求台体的体积．
1．思考辨析
(1)如果两个柱体的体积相等，则表面积相等． ( )
(2)如果一个柱体和一个锥体的体积相等，则两几何体的底面积相同．
( )
(3)锥体的体积是柱体体积的. ( )
(4)柱体、锥体、台体这些简单几何体的体积只与该几何体的底面积和高有关． ( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2．已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，则该三棱锥的体积是( )
A．1 cm3 B．2 cm3 C．3 cm3 D．6 cm3
A [该三棱锥的底面是两直角边为1,2的直角三角形，高为3，所以V＝××1×2×3＝1.]
3．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著．书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺．问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有( )
A．14斛 B．22斛 C．36斛 D．66斛
B [设米堆的底面半径为r尺，则r＝8，所以r＝，所以米堆的体积为V＝×π×r2×5＝×2×5≈(立方尺)．故堆放的米约有÷1.62≈22(斛)．]
4．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且＝，则的值是________．
[设两个圆柱的底面半径和高分别为r1，r2和h1，h2，
由＝，得＝，则＝.
由圆柱的侧面积相等，得2πr1h1＝2πr2h2，
即r1h1＝r2h2，
所以＝＝＝.]
课件44张PPT。第一章 立体几何初步 §7 简单几何体的再认识
7．2 柱、锥、台的体积Sh 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十一) 柱、锥、台的体积
(建议用时：45分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．若长方体的长、宽、高分别为3 cm,4 cm,5 cm，则长方体的体积为( )
A．27 cm3 B．60 cm3
C．64 cm3 D．125 cm3
B [长方体即为四棱柱，其体积为底面积×高，即为3×4×5＝60 cm3.]
2．已知圆锥的母线长是8，底面周长为6π，则它的体积是( )
A．9π B．9
C．3π D．3
C [设圆锥底面圆的半径为r，则2πr＝6π，
∴r＝3.设圆锥的高为h，则h＝＝，
∴V圆锥＝πr2h＝3π.]
3.如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则三棱锥D1-ACD的体积是( )
A. B.
C. D．1
A [三棱锥D1-ADC的体积V＝S△ADC×D1D＝××AD×DC×D1D＝××1×1×1＝.]
4．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是( )
A．8 cm3 B．12 cm3
C. cm3 D. cm3
C [由三视图可知，该几何体是由一个正方体和一个正四棱锥构成的组合体．下面是棱长为2 cm的正方体，体积V1＝2×2×2＝8(cm3)；上面是底面边长为2 cm，高为2 cm的正四棱锥，体积V2＝×2×2×2＝(cm3)，所以该几何体的体积V＝V1＋V2＝(cm3)．]
5．一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的体积为( )
A．4＋2π B．8＋2π
C．4π D．8π
B [由三视图知该几何体的上面是一个半圆柱，下面是一个长方体，则由三视图的尺寸知该几何体的体积为V＝1×2×4＋×π×12×4＝8＋2π.]
二、填空题
6．已知圆锥的母线长为5 cm，侧面积为15π cm2，则此圆锥的体积为________cm3.
12π [设圆锥的底面半径为r，高为h，则有πrl＝15π，知r＝3，∴h＝＝4，
∴其体积V＝Sh＝πr2h＝×π×32×4＝12π.]
7．棱台上、下底面面积之比为1∶9，则棱台的中截面分棱台成两部分的体积之比是______．
[设棱台高为2h，上底面面积为S，则下底面面积为9S，中截面面积为4S，
＝＝.]
8．已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是________ cm3.
[此几何体的直观图如图，ABCD为正方形，边长为20 cm，S在底面的射影为CD中点E，SE＝20 cm，VS-ABCD＝SABCD·SE＝ cm3.]
三、解答题
9．若圆锥的表面积是15π，侧面展开图的圆心角是60°，求圆锥的体积．
[解] 设圆锥的底面半径为r，母线为l，
则2πr＝πl，得l＝6r.
又S锥＝πr2＋πr·6r＝7πr2＝15π，
得r＝，
圆锥的高h＝·，
V＝πr2h＝π×××＝π.
10．如图所示的几何体，上面是圆柱，其底面直径为6 cm，高为3 cm，下面是正六棱柱，其底面边长为4 cm，高为2 cm，现从中间挖去一个直径为2 cm的圆柱，求此几何体的体积．
[解] V六棱柱＝×42×6×2＝48(cm3)，
V圆柱＝π·32×3＝27π(cm3)，
V挖去圆柱＝π·12×(3＋2)＝5π(cm3)，
∴此几何体的体积：
V＝V六棱柱＋V圆柱－V挖去圆柱＝(48＋22π)(cm3)．
[等级过关练]
1．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )
A. B.
C. D.
D [由已知三视图知该几何体是由一个正方体截去了一个“大角”后剩余的部分，如图所示，截去部分是一个三棱锥．设正方体的棱长为1，则三棱锥的体积为
V1＝××1×1×1＝，
剩余部分的体积V2＝13－＝.
所以＝＝，故选D.]
2．一个圆锥形容器和一个圆柱形容器，它们的轴截面尺寸如图所示，两容器内所盛液体的体积正好相等，且液面高度h正好相同，求h.
[解] 设圆锥形容器的液面的半径为R，则液体的体积为πR2h，
圆柱形容器内的液体体积为π2h.
根据题意，有πR2h＝π2h，解得R＝a.
再根据圆锥形容器的轴截面与内盛液体轴截面是相似三角形，得＝，所以h＝a.
