7．3 球
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解球的体积和表面积公式．(重点)
2.会用球的体积和表面积公式解决实际问题. (难点)
1.通过学习球的体积、表面积公式培养直观想象素养.
2.通过求球的体积和表面积提升数学运算素养.
1．球的体积
球的半径为R，那么它的体积V球＝πR3.
2．球的表面积
球的半径为R，那么它的表面积S球＝4πR2.
思考：球有底面吗？球面能展开成平面图形吗？
提示：球没有底面，球面不能展开成平面图形．
1．如果两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的表面积之比为( )
A．8∶27 B．2∶3
C．4∶9 D．2∶9
C [∶＝8∶27，
∴r∶R＝2∶3，∴S1∶S2＝4∶9.]
2．如图所示，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的表面积与圆柱的侧面积之比是( )
A．3∶2 B．2∶3
C．1∶2 D．1∶1
D [设球的半径为R，则球的表面积S表＝4πR2，圆柱的侧面积S侧＝2πR×2R＝4πR2，所以S表∶S侧＝1∶1.]
3．将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为( )
A. B.π
C.π D.
A [由题意得，球的直径为正方体的棱长，即球的半径为1，所以V球＝π×13＝.]
4．用一个平面截半径为25 cm的球，截面圆的面积是225π cm2，则球心到截面的距离为________ cm.
20 [由题意知，球的半径R＝25(cm)，易知截面圆的半径r＝15(cm)，则球心到截面的距离d＝＝20(cm)．]
球的体积与表面积
【例1】 (1)球的体积是，则此球的表面积是( )
A．12π B．16π
C. D.
(2)若圆锥与球的体积相等，且圆锥底面半径与球的直径相等，则圆锥侧面积与球面面积之比是________．
(1)B (2) [(1)πR3＝π，故R＝2，球的表面积为4πR2＝16π.
(2)设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，球的半径为R，则由题意得
∴π(2R)2·h＝πR3，∴R＝h，r＝2h，
∴l＝＝h，
∴S圆锥侧＝πrl＝π×2h×h＝2πh2，S球＝4πR2＝4πh2，
∴＝＝.]
求球的体积与表面积的方法
?1?要求球的体积或表面积，必须知道半径R或者通过条件能求出半径R，然后代入体积或表面积公式求解.
?2?半径和球心是球的最关键要素，把握住了这两个要素，计算球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了.
1．(1)已知球的直径为2，求它的表面积和体积；
(2)已知球的体积为，求它的表面积．
[解] (1)因为直径为2，所以半径R＝1，
所以表面积S球＝4πR2＝4π×12＝4π，
体积V球＝πR3＝π×13＝π.
(2)因为V球＝πR3＝π，
所以R3＝27，R＝3，所以S球＝4π×32＝36π.
球的表面积及体积的应用
【例2】 一个倒立的圆锥形容器，它的轴截面是正三角形．在此容器内注入水并且放入一个半径为r的铁球，这时水面恰好和球面相切，问将球从圆锥内取出后，圆锥内水面的高是多少？
[思路探究] 设出球未取出时的水面高度和取出后的水面高度，由水面下降后减少的体积来建立一个关系式解决．
[解] 设△PAB所在平面为轴截面，AB为水平面，设球未取出时，水面高PC＝h，球取出后水面高PH＝x，如图所示．
∵AC＝r，PC＝3r，
∴以AB为底面直径的圆锥的容积为
V圆锥＝πAC2·PC
＝π(r)2·3r＝3πr3，V球＝πr3.
球取出后水面下降到EF，水的体积为
V水＝πEH2·PH
＝π(PH·tan 30°)2·PH＝πx3.
而V水＝V圆锥－V球，
即πx3＝3πr3－πr3，∴x＝r.
故球取出后水面的高为r.
1．画出截面图是解答本题的关键．
2．球的体积和表面积有着非常重要的应用．在具体问题中，要分清涉及的是体积问题还是表面积问题，然后再利用等量关系进行计算．
2．圆柱形容器的内壁底面半径为5 cm，两个直径为5 cm的玻璃小球都浸没于容器的水中，若取出这两个小球，则容器的水面将下降多少？
[解] 设取出小球后，容器中水面下降h cm，两个小球的体积为V球＝2×π×3＝，此体积即等于它们在容器中排出水的体积V＝π×52×h，
所以＝π×52×h，所以h＝(cm)，
即若取出这两个小球，则容器的水面将下降 cm.
与球有关的切、接问题
[探究问题]
1．一个正方体的内切球与其外接球的体积之比是多少？
提示：设正方体的棱长为a，则它的内切球的半径为a，它的外接球的半径为a，故所求的比为1∶3.
2．长方体一个顶点上的三条棱长分别为3,4,5，若它的八个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是多少？
提示：设长方体的体对角线长为l，球半径为R，则所以R＝，
所以S球＝4πR2＝50π.
【例3】 已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的直径为( )
A. B．2 C．13 D．3
C [如图，由已知条件可知，当AB⊥AC时，BC中点D为△ABC外接圆的圆心，因为三棱柱是直三棱柱，所以DE中点M为球心，又DE＝AA1＝12，
设△ABC外接圆半径为r，则r＝＝.
即EC1＝.
球O的半径R＝|MC1|＝＝.
故球的直径为13.]
1．本例若将直三棱柱改为“棱长为4的正方体”，则此正方体外接球和内切球的体积各是多少？
[解] 由题意可知，此正方体的体对角线长即为其外接球的直径，正方体的棱长即为其内切球的直径．设该正方体外接球的半径为R，内切球的半径为r.
又正方体的棱长为4，故其体对角线长为4，
从而V外接球＝πR3＝π×(2)3＝32π，
V内切球＝πr3＝π×23＝.
2．本例若将直三棱柱改为“正四面体”，则此正四面体的表面积S1与其内切球的表面积S2的比值为多少？
[解] 设正四面体棱长为a，则正四面体表面积为S1＝4··a2＝a2，其内切球半径r为正四面体高的，即r＝·a＝a，因此内切球表面积为S2＝4πr2＝，则＝＝.
3. 本例中若将直三棱柱改为“侧棱和底面边长都是3的正四棱锥”，则其外接球的半径是多少？
[解] 依题意得，该正四棱锥的底面对角线的长为3×＝6，高为＝3，
因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该正四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为3.
空间几何体与球接、切问题的求解方法：
(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．
(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解(其R为球的半径)．
1．球的体积和表面积公式
设球的半径为R
(1)体积公式：V＝πR3.
(2)表面积公式：S＝4πR2.
2．用一个平面截球所得截面的特征
(1)用一个平面去截球，截面是圆面．
(2)球心和截面圆心的连线垂直于截面．
(3)球心到截面的距离d与球的半径R以及截面的半径r，有下面的关系r＝.
3．常见的几何体与球的切、接问题的解决策略：
解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径，关键是根据“切点”和“接点”，作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来计算．
1．思考辨析
(1)球的表面积等于它的大圆面积的2倍． ( )
(2)两个球的半径之比为1∶2，则其体积之比为1∶4. ( )
(3)球心与其截面圆的圆心的连线垂直于截面． ( )
[答案] (1)× (2)× (3)√
2．若球的体积与其表面积数值相等，则球的半径等于( )
A. B．1 C．2 D．3
D [由题设球半径为r，则4πr2＝πr3，可得r＝3，故选D.]
3．表面积为Q的多面体的每一个面都与表面积为64π的球相切，则这个多面体的体积为( )
A.Q B．Q
C.Q D．2Q
C [4πR2＝64π?R＝4，∴V＝QR＝Q，故选C.]
4．某几何体的三视图如图所示(单位：m)：
(1)求该几何体的表面积(结果保留π)；
(2)求该几何体的体积(结果保留π)．
[解] 由三视图可知，该几何体是一个四棱柱和一个半球构成的组合体，且半球的直径为2，该四棱柱为棱长为2的正方体．
(1)该几何体的表面积为
S＝2πR2＋6×2×2－π×R2＝π＋24(m2)．
(2)该几何体的体积为
V＝×πR3＋23＝π＋8(m3)．
课件48张PPT。第一章 立体几何初步 §7 简单几何体的再认识
7．3 球4πR2 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十二) 球
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．直径为6的球的表面积和体积分别是( )
A．36π，144π B．36π，36π
C．144π，36π D．144π，144π
B [球的半径为3，表面积S＝4π·32＝36π，体积V＝π·33＝36π.]
2．两个半径为1的铁球，熔化成一个大球，这个大球的半径为( )
A．2 B. C. D.
C [设熔化后的球的半径为R，则其体积是原来小球的体积的2倍，即V＝πR3＝2×π×13，得R＝.]
3．若一个圆锥的底面半径和一个半球的半径相等，体积也相等，则它们的高度之比为( )
A．2∶1 B．2∶3 C．2∶π D．2∶5
A [设半球的半径为r，圆锥的高为h，则πr2h＝πr3×，所以h＝2r，故选A.]
4．棱长为2的正方体的外接球的表面积是( )
A．8π B．4π C．12π D．16π
C [正方体的体对角线长为2，即2R＝2，∴R＝，S＝4πR2＝12π.]
5．一根细金属丝下端挂着一个半径为1 cm的金属球，将它浸没在底面半径为2 cm的圆柱形容器内的水中，现将金属丝向上提升，当金属球被拉出水面时，容器内的水面下降了( )
A. cm B. cm C. cm D. cm
D [设容器内的水面下降了h cm，则球的体积等于水下降的体积，即π·13＝π·22·h，解得h＝.]
二、填空题
6．若一球与正方体的所有棱都相切，则正方体的棱长与球的半径之比为________；
∶1 [若一球与正方体的所有棱都相切，则球的直径和正方体的面对角线的长相等，故正方体的棱长与球的半径之比为∶1.]
7．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为________．
[如图所示，设球半径为R，底面中心为O′且球心为O，∵正四棱锥P-ABCD中AB＝2，∴AO′＝.
∵PO′＝4，
∴在Rt△AOO′中，
AO2＝AO′2＋OO′2，∴R2＝()2＋(4－R)2，解得R＝，∴该球的表面积为4πR2＝4π×2＝.]
8．圆柱形容器内部盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________cm.
4 [设球的半径为r，放入3个球后，圆柱液面高度变为6r.则有
πr2·6r＝8πr2＋3×πr3，即2r＝8，∴r＝4.]
三、解答题
9．设正方体的表面积为24，求其内切球的体积及外接球的体积．
[解] 设正方体的棱长为a，则6a2＝24，∴a＝2，
正方体内切球的直径等于其棱长，∴2r＝2，r＝1，
故内切球的体积V内＝πr3＝π.
外接球的直径等于正方体的体对角线长，
∴2R＝a，∴R＝，
故外接球的体积V外＝πR3＝π×()3＝4π.
10.如图，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的体积．(其中∠BAC＝30°)
[解] 过C作CO1⊥AB于O1，在半圆中可得∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2R，
∴AC＝R，BC＝R，CO1＝R.
AO1＝AC·sin 60°＝R，
BO1＝AB－AO1＝，∴V球＝πR3.
V圆锥AO1＝·π·2·R＝πR3，
V圆锥BO1＝·π·2·R＝πR3，
V几何体＝V球－V圆锥AO1－V圆锥BO1
＝πR3－πR3－πR3＝πR3.
[等级过关练]
1．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是( )
A．16π B．20π C．24π D．32π
C [设正四棱柱底面边长为a，则S底＝a2，
∴V＝S底·h＝4a2＝16，∴a＝2.
又正四棱柱内接于球，设球半径为R，
则(2R)2＝22＋22＋42＝24，
∴R＝，
∴球的表面积为4πR2＝24π.]
2．用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为( )
A. B. C．8π D.
C [设球的半径为R，则截面圆的半径为，
∴截面圆的面积为S＝π()2＝(R2－1)π＝π，
∴R2＝2，
∴球的表面积S＝4πR2＝8π.]
3．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为，则正方体的棱长为________．
[设球半径为R，正方体棱长为a，则V球＝πR3＝π，得到R＝，正方体体对角线的长为a＝2R，则a＝，所以正方体棱长为.]
4．已知H是球O的直径AB上一点，AH∶HB＝1∶2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为________．
π [如图，设球O半径为R，则BH＝R，OH＝，截面圆半径设为r，则πr2＝π，r＝1，即HC＝1，由勾股定理得R2－2＝1，R2＝，S球＝4πR2＝π.]
5．求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥(轴截面是正三角形的圆锥叫等边圆锥)的体积之比．
[解] 如图，等边△SAB为圆锥的轴截面，此截面截圆柱得正方形C1CDD1，截球面得球的大圆O1.
设球的半径O1O＝R，则它的外切圆柱的高为2R，底面半径为R，
OB＝O1O·cot 30°＝R，
SO＝OB·tan 60°＝R·＝3R，
∴V球＝πR3，V柱＝πR2·2R＝2πR3，
V锥＝π·(R)2·3R＝3πR3，
∴V球∶V柱∶V锥＝4∶6∶9.
