第2课 直线方程
直线的倾斜角与斜率
【例1】 已知直线l过P(－2，－1)，且与以A(－4,2)，B(1,3)为端点的线段相交，求直线l的斜率的取值范围．
[解] 根据题中的条件可画出图形，如图所示，由已知得直线PA的斜率kPA＝－，直线PB的斜率kPB＝，结合图形可知当直线l由PB变化到与y轴平行的位置时，它的倾斜角逐渐增大到90°，故斜率的取值范围为，当直线l由与y轴平行的位置变化到PA位置时，它的倾斜角由90°增大到PA的倾斜角，故斜率的变化范围是.综上可知，直线l的斜率的取值范围是∪.
1．由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k＝tan α(α≠90°)解决．
2．由两点坐标求斜率运用两点斜率公式
k＝(x1≠x2)求解．
3．涉及直线与线段有交点问题，常用数形结合利用公式求解．
1．直线l1，l2，l3都经过点P(3,2)，又l1，l2，l3分别经过点Q1(－2，－1)，Q2(4，－2)，Q3(－3,2)，计算直线l1，l2，l3的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．
[解] 设k1，k2，k3分别表示直线l1，l2，l3的斜率．
由于Q1，Q2，Q3的横坐标与P点的横坐标均不相等，
所以k1＝＝，k2＝＝－4，k3＝＝0.
由k1>0知，直线l1的倾斜角为锐角；由k2<0知，直线l2的倾斜角为钝角；由k3＝0知，直线l3的倾斜角为0°.
直线方程的五种形式
【例2】 (1)已知直线的倾斜角为45°，在y轴上的截距为2，则此直线方程为( )
A．y＝x＋2 B．y＝x－2
C．y＝－x＋2 D．y＝－x－2
(2)经过点M(2,1)，且过直线l1：2x＋3y－6＝0与l2：x－2y＋4＝0的交点的直线l的一般式方程为________．
(1)A (2)x＋2y－4＝0 [(1)∵直线的倾斜角为45°，∴直线的斜率k＝tan 45°＝1，由斜截式可得直线方程为y＝x＋2.
(2)由得两条直线的交点为(0,2)．根据直线的两点式方程＝，可得直线l的一般式方程为x＋2y－4＝0.]
直线方程的五种形式在使用时要根据题目的条件灵活选择，尤其在选用四种特殊形式的方程时，注意其适用条件，必要时要对特殊情况进行讨论.求直线方程的方法一般是待定系数法，在使用待定系数法求直线方程时，要注意直线方程形式的选择及适用范围，如点斜式、斜截式适合直线斜率存在的情形，容易遗漏斜率不存在的情形；两点式不含垂直于坐标轴的直线；截距式不含垂直于坐标轴和过原点的直线；一般式适用于平面直角坐标系中的任何直线.因此，要注意运用分类讨论的思想.
2．直线l被两条直线l1：4x＋y＋3＝0和l2：3x－5y－5＝0截得的线段的中点为P(－1,2)，求直线l的方程．
[解] 法一：设直线l与l1的交点为A(x0，y0)，由已知条件，得直线l与l2的交点为B(－2－x0,4－y0)，并且满足
即解得
因此直线l的方程为＝，
即3x＋y＋1＝0.
法二：设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，
即kx－y＋k＋2＝0.
由
得x＝，
由
得x＝.
则＋＝－2，解得k＝－3.
因此所求直线方程为y－2＝－3(x＋1)，
即3x＋y＋1＝0.
法三：两直线l1和l2的方程为(4x＋y＋3)(3x－5y－5)＝0，①
将上述方程中(x，y)换成(－2－x,4－y)，
整理可得l1与l2关于(－1,2)对称图形的方程：
(4x＋y＋1)(3x－5y＋31)＝0.②
①－②整理得3x＋y＋1＝0，即为所求直线方程.
两直线的位置关系
【例3】 已知两条直线l1：ax－by＋4＝0，l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求分别满足下列条件的a，b的值．
(1)直线l1过点(－3，－1)，并且直线l1与直线l2垂直；
(2)直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1，l2的距离相等．
[解] (1)∵l1⊥l2，∴a(a－1)＋(－b)·1＝0.
即a2－a－b＝0，①
又点(－3，－1)在l1上，
∴－3a＋b＋4＝0.②
由①②解得a＝2，b＝2.
(2)∵l1∥l2且l2的斜率为1－a，
∴l1的斜率也存在，＝1－a，即b＝.
故l1和l2的方程可分别表示为
l1：(a－1)x＋y＋＝0，
l2：(a－1)x＋y＋＝0.
∵原点到l1与l2的距离相等，
∴4＝，解得a＝2或a＝.
∴或
考查两条直线的平行和垂直.通常借助直线的斜截式方程来判断两条直线的位置关系.解题时要注意分析斜率是否存在，用一般式方程来判断，可以避免讨论斜率不存在的情况.
3．(1)经过直线l1：2x＋3y－5＝0与l2：7x＋15y＋1＝0的交点，且平行于直线x＋2y－3＝0的直线方程为( )
A．9x＋18y－4＝0
B．18x－9y－193＝0
C．x＋2y－4＝0
D．2x－y－4＝0
(2)直线l1过点A(m,1)和点B(－1，m)，直线l2过点C(m＋n，n＋1)和点D(n＋1，n－m)，则直线l1与l2的位置关系是( )
A．重合 B．平行
C．垂直 D．无法确定
(1)A (2)C [(1)设要求的直线方程为：
2x＋3y－5＋λ(7x＋15y＋1)＝0，
化为(2＋7λ)x＋(3＋15λ)y＋(λ－5)＝0.
因为要求的直线平行于直线x＋2y－3＝0，
所以＝≠，
解得λ＝1，
所以要求的直线方程为：9x＋18y－4＝0.
(2)①当m＝1时，直线l1过点A(1,1)和点B(－1,1)，直线l2过点C(1＋n，n＋1)和点D(n＋1，n－1)，此时直线l1的斜率k1＝0，直线l2的斜率不存在，因此l1⊥l2；②当m＝－1时，直线l1过点A(－1,1)和点B(－1，－1)，直线l2过点C(－1＋n，n＋1)和点D(n＋1，n＋1)，此时直线l1的斜率不存在，直线l2的斜率k2＝0，因此l1⊥l2；③当m≠±1时，直线l1的斜率k1＝，直线l2的斜率k2＝，此时k1·k2＝－1，因此l1⊥l2.综上可知，直线l1与l2的位置关系是垂直．]
对称问题
[探究问题]
1．试求点(－2,3)关于x轴，y轴，原点对称的点的坐标．
提示：在平面直角坐标系中(－2,3)关于x轴对称的点坐标为(－2，－3)，关于y轴的对称点的坐标为(2,3)，关于原点对称的点的坐标为(2，－3)．
2．试求：l1：2x＋y－1＝0关于直线y＝x对称的直线方程．
提示：线的对称问题转化为点的对称问题，设所求直线上的任一点(x，y)，点(x，y)关于y＝x的对称点坐标为(y，x)在已知直线l1上，代入直线方程得x＋2y－1＝0.故所求直线方程为x＋2y－1＝0.
【例4】 已知直线l：y＝3x＋3，试求：
(1)点P(4,5)关于直线l的对称点的坐标；
(2)直线l关于点A(3,2)对称的直线方程．
[解] (1)设点P关于直线l的对称点为P′(x′，y′)，则PP′的中点M在直线l上，且直线PP′垂直于直线l.
即
解得
∴P′点的坐标为(－2,7)．
(2)设直线l关于点A(3,2)对称的直线为l3，则直线l上任一点P(x1，y1)关于点A的对称点P3(x3，y3)一定在直线l3上，反之也成立．
∴解得
代入l的方程后，得3x3－y3－17＝0.
即l3的方程为3x－y－17＝0.
将本例变为求直线x－y－2＝0关于l：3x－y＋3＝0对称的直线方程．
[解] 由得交点P.
取直线x－y－2＝0上一点A(0，－2)，设A点关于直线l：3x－y＋3＝0的对称点为A′(x0，y0)．
则根据kAA′·kl＝－1，且线段AA′的中点在直线l：3x－y＋3＝0上，有解得
故所求直线过点与(－3，－1)．
∴所求直线方程为y＋＝.
即7x＋y＋22＝0.
1．对称点坐标，由中点坐标公式可解决关于点的对称问题，已知点P(a，b)可得对称点坐标如下，P关于y轴的对称点P1(－a，b)，P关于x轴的对称点P2(a，－b)，P关于原点的对称点P3(－a，－b)．
2．点关于直线对称，直线l外一点P1(x1，y1)关于直线l：Ax＋By＋C＝0的对称点P2(x2，y2)的坐标由方程组
决定．
3．直线关于直线对称，直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称的直线l2的方程可转化成“点对称于线问题”求解．
课件36张PPT。阶段复习课第2课 直线方程点击右图进入…Thank you for watching !章末综合测评(二) 解析几何初步
(满分：150分 时间：120分钟)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．空间两点A(3，－2,5)，B(6,0，－1)之间的距离为( )
A．6 B．7
C．8 D．9
B [|AB|＝＝7，故选B.]
2．过两点A(－2，m)，B(m,4)的直线倾斜角是45°，则m的值是( )
A．－1 B．3
C．1 D．－3
C [由kAB＝＝tan 45°＝1，解得m＝1.]
3．过点(－1,3)且平行于直线x－2y＋3＝0的直线方程为( )
A．x－2y＋7＝0 B．2x＋y－1＝0
C．x－2y－5＝0 D．2x＋y－5＝0
A [∵直线x－2y＋3＝0的斜率为，∴所求直线的方程为y－3＝(x＋1)，即x－2y＋7＝0.]
4．已知直线l1：ax－y－2＝0和直线l2：(a＋2)x－y＋1＝0互相垂直，则实数a的值为( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
A [l1的斜率为a，l2的斜率为a＋2，
∵l1⊥l2，∴a(a＋2)＝－1，
∴a2＋2a＋1＝0即a＝－1.]
5．如图，在正方体OABC-O1A1B1C1中，棱长为2，E是B1B上的点，且|EB|＝2|EB1|，则点E的坐标为( )
A．(2,2,1) B.
C. D.
D [∵|EB|＝2|EB1|，∴|EB|＝|BB1|＝.
又E在B1B上，∴E的坐标为.]
6．若以点C(－1,2)为圆心的圆与直线x－2y＋3＝0没有公共点，则圆的半径r的取值范围为( )
A. B.
C．(0，) D．(0,2)
A [设圆心到直线的距离为d，则d＝＝.若直线与圆没有公共点，则07．已知直线l1的方程为x＋Ay＋C＝0，直线l2的方程为2x－3y＋4＝0，若l1，l2的交点在x轴上，则C的值为( )
A．2 B．－2
C．±2 D．与A有关
A [在2x－3y＋4＝0中，令y＝0，得x＝－2，即直线2x－3y＋4＝0与x轴的交点为(－2,0)．∵点(－2,0)在直线x＋Ay＋C＝0上，∴－2＋A×0＋C＝0，∴C＝2.]
8．若a，b满足a＋2b＝1，则直线ax＋3y＋b＝0必过定点( )
A. B.
C. D.
B [令a＝－1，b＝1或a＝1，b＝0，得直线方程分别为－x＋3y＋1＝0，x＋3y＝0，其交点为，此即为直线所过的定点．故选B.]
9．已知平面内两点A(1,2)，B(3,1)到直线l的距离分别是， －，则满足条件的直线l的条数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
C [由题知满足题意的直线l在线段AB两侧各有1条，又因为|AB|＝ ，所以还有1条为过线段AB上的一点且与AB垂直的直线，故共3条．]
10．若圆心在x轴上，半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆O的方程是( )
A．(x－)2＋y2＝5
B．(x＋)2＋y2＝5
C．(x－5)2＋y2＝5
D．(x＋5)2＋y2＝5
D [设圆心O(a,0)(a<0)，则
＝，
∴|a|＝5，
∴a＝－5，
∴圆O的方程为(x＋5)2＋y2＝5.]
11．直线y＝kx被圆x2＋y2＝2截得的弦长为( )
A．2 B．2
C. D．与k的取值有关
A [由于圆x2＋y2＝2的圆心在直线y＝kx上，所以截得弦为圆x2＋y2＝2的直径，又其半径为，故截得的弦长为2.]
12．已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )
A．5－4 B.－1
C．6－2 D.
A [由题意知，圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9的圆心分别为C1(2,3)，C2(3,4)，且|PM|＋|PN|＝|PC1|＋|PC2|－4，点C1(2,3)关于x轴的对称点为C(2，－3)，
所以|PC1|＋|PC2|＝|PC|＋|PC2|≥|CC2|＝5，
即|PM|＋|PN|＝|PC1|＋|PC2|－4≥5－4.]
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．在如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知A1(a,0，c)，C(0，b,0)，则点B1的坐标为________．
(a，b，c) [由题中图可知，点B1的横坐标和竖坐标与点A1的横坐标和竖坐标相同，点B1的纵坐标与点C的纵坐标相同，所以B1(a，b，c)．]
14．两圆x2＋y2＝1，(x＋4)2＋(y－a)2＝25相切，则实数a＝________.
0或±2 [当两圆外切时，由＝6，得a＝±2；当两圆内切时，由＝4，得a＝0.]
15．经过点A(1,1)且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的直线方程为______．
x－y＝0或x＋y－2＝0 [当直线过原点时，满足要求，此时直线方程为x－y＝0；当直线不过原点时，设直线方程为＋＝1，由于点(1,1)在直线上，所以a＝2，此时直线方程为x＋y－2＝0.]
16．已知点M(a，b)在直线3x＋4y＝15上，则的最小值为________．
3 [的最小值为原点到直线3x＋4y＝15的距离d＝＝3.]
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知直线l平行于直线3x＋4y－7＝0，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，求直线l的方程．
[解] 设l：3x＋4y＋m＝0，当y＝0时，x＝－；
当x＝0时，y＝－.
∵直线l与两坐标轴围成的三角形面积为24，
∴··＝24，
∴m＝±24，
∴直线l的方程为3x＋4y＋24＝0或3x＋4y－24＝0.
18．(本小题满分12分)如图所示，直三棱柱ABC-A1B1C1中，|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，AC⊥CB，D，E分别是棱AB，B1C1的中点，F是AC的中点，求DE，EF的长度．
[解] 以点C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
∵|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，
∴C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C1(0,0,2)，B1(0,2,2)，
由中点坐标公式可得，
D(1,1,0)，E(0,1,2)，F(1,0,0)，
∴|DE|＝＝，
|EF|＝＝.
19．(本小题满分12分)菱形ABCD中，A(－4,7)，C(6，－5)，BC边所在直线过点P(8，－1)．求：
(1)AD边所在直线的方程；
(2)对角线BD所在直线的方程．
[解] (1)kBC＝2，∵AD∥BC，∴kAD＝2，
∴直线AD方程为y－7＝2(x＋4)，即2x－y＋15＝0.
(2)kAC＝－，∵菱形对角线互相垂直，∴BD⊥AC，∴kBD＝，而AC中点(1,1)，也是BD的中点，
∴直线BD的方程为y－1＝(x－1)，即5x－6y＋1＝0.
20．(本小题满分12分)已知圆C：(x－1)2＋y2＝9内有一点P(2,2)，过点P作直线l交圆C于A、B两点．
(1)当l经过圆心C时，求直线l的方程；
(2)当弦AB被点P平分时，写出直线l的方程．
[解] (1)已知圆C：(x－1)2＋y2＝9的圆心为C(1,0)，因直线l过点P，C，所以直线l的斜率为2，直线l的方程为y＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.
(2)当弦AB被点P平分时，l⊥PC，直线l的方程为
y－2＝－(x－2)，
即x＋2y－6＝0.
21．(本小题满分12分)自点A(－3,3)发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在的直线与圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切，求光线l所在直线的方程．
[解] 如图所示，已知圆C：x2＋y2－4x－4y＋7＝0关于x轴对称的圆为C1：(x－2)2＋(y＋2)2＝1，其圆心C1的坐标为(2，－2)，半径为1，由光的反射定律知，入射光线所在直线方程与圆C1相切．设l的方程为y－3＝k(x＋3)，
即kx－y＋3＋3k＝0.
则＝1，
即12k2＋25k＋12＝0，∴k1＝－，k2＝－.
则l的方程为4x＋3y＋3＝0或3x＋4y－3＝0.
22．(本小题满分12分)已知圆x2＋y2＋x－6y＋m＝0与直线x＋2y－3＝0相交于P，Q两点，O为原点，若OP⊥OQ，求实数m的值．
[解] 设P，Q两点坐标为(x1，y1)和(x2，y2)，由OP⊥OQ可得x1x2＋y1y2＝0，
由
消去x可得5y2－20y＋12＋m＝0，①
所以y1y2＝，y1＋y2＝4.
又x1x2＝(3－2y1)(3－2y2)＝9－6(y1＋y2)＋4y1y2
＝9－24＋(12＋m)，
所以x1x2＋y1y2＝9－24＋(12＋m)＋＝0，
解得m＝3.
将m＝3代入方程①，可得Δ＝202－4×5×15＝100>0，
可知m＝3满足题意，即实数m的值为3.
