§1 直线与直线的方程
1．1 直线的倾斜角和斜率
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解直线的倾斜角和斜率的概念．(重点)
2．掌握过两点的直线斜率的计算公式．(重点)
1.通过直线的倾斜角和斜率的概念培养数学抽象素养．
2．通过学习过两点的直线的斜率公式的应用培养数学运算素养.
1．直线的确定及直线的倾斜角
(1)直线的确定：在平面直角坐标系中，确定直线位置的几何条件是：已知直线上的一个点和这条直线的方向．
(2)直线的倾斜角：①定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l重合所成的角，叫作直线l的倾斜角，通常用α表示．
②范围：0°≤α<180°.
思考1：若一条直线的倾斜角为0°时，此直线与x轴什么关系？
提示：平行或重合．
2．直线的斜率
(1)直线的斜率：
直线倾斜角α的正切值叫作直线的斜率，即k＝
(2)经过两点的直线斜率的计算公式：
经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝.
(3)斜率与倾斜角的关系：
图示
倾斜角
(范围)
α＝0°
0°＜α＜90°
α＝90°
90°＜α
＜180°
斜率
(范围)
k＝0
k＞0
不存在
k＜0
思考2：所有直线都有斜率吗？若直线没有斜率，那么这条直线的倾斜角为多少？
提示：不是．若直线没有斜率，那么这条直线的倾斜角为90°.
思考3：在同一直线(与x轴不重合)上任意取不同的两点的坐标计算的斜率都相等吗？
提示：相等．对于一条直线来说其斜率是一个定值，与所选择点的位置无关，所以取任意不同的两点的坐标计算同一条直线的斜率一定相等．
1．若直线l的倾斜角为60°，则该直线的斜率为________．
[k＝tan 60°＝.]
2．经过两点A(3,2)，B(4,7)的直线的斜率是________．
5 [k＝＝＝5.]
3．经过两点P(1，－4)，Q(－1，－4)的直线的倾斜角是________．
0° [k＝tan α＝＝＝0，∴α＝0°.]
直线的倾斜角
【例1】 一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向的夹角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为( )
A．α B．180°－α
C．180°－α或90°－α D．90°＋α或90°－α
D [如图，当直线l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当直线l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°－α.
]
求直线的倾斜角的方法及两点注意：
?1?方法：结合图形，构造含倾斜角的特殊三角形求解.
?2?两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°；
②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.
1．设直线l与x轴交于点A，其倾斜角为α，直线l绕点A顺时针旋转45°后得直线l1，有下列四个选项：①α＋45°；②α＋135°；③α－45°；④135°－α，则直线l1的倾斜角可能的取值是( )
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
B [当α≥45°时，直线l绕点A顺时针旋转45°后得直线l1的倾斜角为α－45°；当0°≤α<45°时，直线l1的倾斜角为180°－(45°－α)＝135°＋α，故选B.]
求直线的斜率
【例2】 (1)已知点A(4，－5)，B(2，－3)，则直线AB的斜率kAB＝________；
(2)已知过A(3,1)，B(m，－2)的直线的斜率为1，则m的值为________．
[思路探究] 利用直线的斜率公式求解．
(1)－1 (2)0 [(1)kAB＝＝＝－1.
(2)当m＝3时，直线AB平行于y轴，斜率不存在．
当m≠3时，k＝＝－＝1，解得m＝0.]
1．熟记斜率公式是解答本题的关键．
2．求直线的斜率有两种思路：一是公式，二是定义．当两点的横坐标相等时，过这两个点的直线与x轴垂直，其斜率不存在，不能用斜率公式求解，因此，用斜率公式求斜率时，要先判断斜率是否存在．
2．已知直线l经过两点P1(2,1)和P2(m,2)(m∈R)．
(1)求直线l的斜率；
(2)若直线l的倾斜角α为45°，求m的值．
[解] (1)当m＝2时，x1＝x2＝2，∴直线l垂直x轴，故直线l的斜率不存在．
当m≠2时，直线l的斜率k＝＝.
(2)∵α＝45°，∴k＝tan α＝1，
∴＝1，即m－2＝1，∴m＝3.
斜率的应用
[探究问题]
1．若三点A(2，－3)，B(4,3)，C(5，k)在同一条直线上，求k的值．
提示：∵A，B，C在同一条直线上，∴kAB＝kBC，
∴＝，解得k＝6.
2．已知点A(－1，－3)，B(0，－1)，C(4,7)，试判断这三点是否共线？
提示：∵kAB＝＝2，kAC＝＝2，
∴kAB＝kAC.
∴直线AB与AC重合，∴点A，B，C共线．
【例3】 已知坐标平面内三点A(－1,1)，B(1,1)，C(2，＋1)．
(1)求直线AB，BC，AC的斜率和倾斜角；
(2)若D为△ABC的边AB上一动点，求直线CD斜率k的变化范围．
[思路探究] (1)解题时可利用斜率公式求出斜率，再求倾斜角；
(2)可采用数形结合法来解．
[解] (1)由斜率公式得
kAB＝＝0，kBC＝＝，
kAC＝＝.
∵tan 0°＝0，∴AB的倾斜角为0°；
tan 60°＝，∴BC的倾斜角为60°；
tan 30°＝，∴AC的倾斜角为30°.
(2)如图，当斜率k变化时，直线CD绕C点旋转，当直线CD由CA逆时针转到CB时，直线CD与AB恒有交点，即D在线段AB上，此时k由kCA增大到kCB，所以k的取值范围是.
1．将本例(2)中条件改为“若点D为BC边上的一动点”，其它条件不变，试求直线AD斜率k的变化范围．
[解] 依题意直线AD与BC始终有交点，
所以kAB≤kAD≤kAC，所以0≤kAD≤，所以直线AD斜率的范围为.
2．将本例(2)中条件改为“若点D为AC边上的一动点”，其它条件不变，试求直线BD斜率k的变化范围．
[解] 依题意，直线BD始终与AC有交点，
所以应有kBD≥kBC或kBD≤kAB，
所以kBD≥或kBD≤0.
所以直线BD斜率的变化范围为(－∞，0]∪(，＋∞)．
1．求直线斜率的取值范围时，通常先结合图形找出倾斜角的范围，再得到斜率的范围．
2．利用斜率可解决点共线问题，点A，B，C共线?kAB＝kAC或kAB与kAC都不存在．
3.的几何意义是直线的斜率，用之可通过几何方法解决函数的值域问题．
1．求直线的倾斜角，关键是依据平面几何的知识判断直线向上方向与x轴正向之间所成的角，同时应明确倾斜角的范围．
2．求直线斜率时，一定要根据题目条件对斜率是否存在做出判断，以免漏解．
3．当直线的倾斜角α∈[0°，90°)时，随着α的增大，直线的斜率k为非负值且逐渐变大；当直线的倾斜角α∈(90°，180°)时，随着α的增大，直线的斜率k为负值且逐渐变大．
1．思考辨析
(1)任何一条直线都有斜率． ( )
(2)斜率相等的两直线倾斜角相等． ( )
(3)直线的倾斜角越大，则直线的斜率越大． ( )
[答案] (1)× (2)√ (3)×
2．若经过P(－2，m)和Q(m,4)的直线的斜率为1，则m等于( )
A．1 B．4
C．1或3 D．1或4
A [由题意，得kPQ＝＝1，解得m＝1.]
3．在平面直角坐标系中，直线AB的位置如图所示，则直线AB的倾斜角为________，斜率为________．
30° [根据倾斜角定义可知直线AB的倾斜角为30°，
∴k＝tan 30°＝.]
4．如图，四边形OABC为等腰梯形，其中上底长为1，下底长为3，高为1，求梯形各边所在直线的倾斜角和斜率．
[解] 如图，分别过点B，C作x轴的垂线，垂足分别为D和E，
则有OE＝ED＝DA＝1，CE＝BD＝1，所以C(1,1)，B(2,1)，A(3,0)，所以kOC＝＝1，kOA＝kBC＝0，所以OA，BC，CO三边所在直线的倾斜角分别为0°，0°，45°.又OC与AB倾斜角互补，则直线AB的倾斜角为180°－45°＝135°，直线AB的斜率kAB＝tan 135°＝－1.
课件42张PPT。第二章 解析几何初步 §1 直线与直线的方程
1．1 直线的倾斜角和斜率一个点0°≤α<180°逆时针x轴(正方向)方向重合 tan α不存在90°k＜0k＞0k＝0点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十三) 直线的倾斜角和斜率
(建议用时：45分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．已知直线l1的倾斜角为45°，直线l2的倾斜角为θ，若l1与l2关于y轴对称，则θ的值为( )
A．45° B．90° C．135° D．180°
C [由对称性知θ＝180°－45°＝135°.]
2．直线l经过原点和点(－1，－1)，则它的倾斜角是( )
A．45° B．135°
C．135°或225° D．0°
A [由k＝＝1，知tan α＝1，α＝45°.]
3．过点M(－2，a)，N(a,4)的直线的斜率为－，则a等于( )
A．－8 B．10 C．2 D．4
B [∵k＝＝－，∴a＝10.]
4．已知三点A(2，－3)，B(4,3)及C在同一条直线上，则k的值是( )
A．7 B．9 C．11 D．12
D [若A，B，C三点在同一条直线上，则kAB＝kAC，即＝，解得k＝12.]
5．直线l过点A(1,2)且不过第四象限，那么l的斜率的取值范围是( )
A．[0,2] B．[0,1] C. D.
A [如图，当k＝0时，不过第四象限，当直线过原点时也不过第四象限，
∴由kOA＝＝2，知k∈[0,2]．]
二、填空题
6．已知过点P(1－a,1＋a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为α，若α＝0°，则a＝________；若α＝90°，则a＝________.
1 －2 [若α＝0°，则1＋a＝2a，∴a＝1；若α＝90°，则1－a＝3，∴a＝－2.]
7．已知点M的坐标为(3,4)，在坐标轴上有一点N，若kMN＝2，则N点的坐标为________．
(1,0)或(0，－2) [设N(x,0)或N(0，y)，kMN＝或，∴＝2或＝2，∴x＝1或y＝－2，∴N点的坐标为(1,0)或(0，－2)．]
8．已知直线l的倾斜角为60°，将直线l绕它与x轴的交点顺时针旋转80°到l′，则l′的倾斜角为________．
160° [如图，顺时针旋转80°，等价于逆时针旋转100°，故l′的倾斜角为60°＋100°＝160°.]
三、解答题
9．已知A(1,1)，B(3,5)，C(a,7)，D(－1，b)四点在同一条直线上，求直线的斜率k及a，b的值．
[解] 由题意可知kAB＝＝2，
kAC＝＝，kAD＝＝，
所以k＝2＝＝，解得a＝4，b＝－3，
所以直线的斜率k＝2，a＝4，b＝－3.
10．点M(x，y)在函数y＝－2x＋8的图像上，当x∈[2,5]时，求的取值范围．
[解] ＝的几何意义是过M(x，y)，N(－1，－1)两点的直线的斜率．
∵点M在函数y＝－2x＋8的图像上，且x∈[2,5]，
∴设该线段为AB且A(2,4)，B(5，－2)，
设直线NA，NB的斜率分别为kNA，kNB.
∵kNA＝，kNB＝－，∴－≤≤.
∴的取值范围是.
[等级过关练]
1．若图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则( )
A．k1B．k3C．k3D．k1D [由图可知，l1的倾斜角α1>90°，所以k1<0，l2，l3的倾斜角满足0°<α3<α2<90°，所以k32．直线l经过A(2,1)，B(1，m2)(m∈R)两点，则直线l的倾斜角的取值范围为________．
[0°，45°]∪(90°，180°) [直线l的斜率k＝＝1－m2≤1.
若l的倾斜角为α，则tan α≤1.又∵α∈[0°，180°)，
当0≤tan α≤1时，0°≤α≤45°；
当tan α<0时，90°<α<180°，∴α∈[0°，45°]∪(90°，180°)．]
