1．3 两条直线的位置关系
学 习 目 标
核 心 素 养
1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直．(重点)
2.能根据直线平行或垂直求直线方程．(重点)
1.通过利用直线的斜率和截距判断两直线 平行或垂直提升数学抽象素养.
2.根据直线平行或垂直求直线方程提升数学运算素养.
两条直线的位置关系
l1∥l2
l1⊥l2
l1、l2的倾斜角α1、α2间的关系
α1＝α2
|α2－α1|＝90°
图示
斜率间的关系(若l1，l2的斜率都存在，设l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2)
若l1，l2的斜率都存在，则l1∥l2?k1＝k2且b1≠b2(如图①所示)；
若l1，l2的斜率都不存在，则l1∥l2(如图②所示)或l1与l2重合
若l1，l2的斜率都存在，则l1⊥l2?k1k2＝－1(如图③所示)；
若l1，l2有一条直线的斜率不存在，则l1⊥l2?另一条直线的斜率为0(如图④所示)
思考1：如果两条直线平行，那么这两条直线的斜率一定相等吗？
提示：不一定．只有在两条直线的斜率都存在的情况下，斜率才相等．
思考2：如果两条直线垂直，则它们的斜率的积一定等于－1吗？
提示：不一定．若两条直线的斜率都存在，它们垂直时斜率之积是－1，但若两条直线垂直时还可能它们的斜率一个是0，另一个不存在．
1．直线l1，l2的斜率是方程x2－3x－1＝0的两根，则l1与l2的位置关系是( )
A．平行 B．重合
C．相交但不垂直 D．垂直
D [设l1，l2的斜率分别为k1，k2，则由题意得，k1k2＝－1，故l1与l2垂直．选D.]
2．过点A(m,1)，B(－1，m)的直线与过点P(1,2)，Q(－5,0)的直线垂直，则m＝________.
－2 [由题意得，直线AB的斜率存在且kAB·kPQ＝－1.
即×＝－1，解得m＝－2.]
3．与直线x－2y－3＝0平行，且在y轴上的截距等于－3的直线的方程为________．
x－2y－6＝0 [设所求直线方程为x－2y＋c＝0，
令x＝0得y＝＝－3，所以c＝－6，
因此所求直线方程为x－2y－6＝0.]
两条直线平行与垂直的判定
【例1】 判断下列各对直线平行还是垂直，并说明理由．
(1)l1：3x＋5y－6＝0，l2：6x＋10y＋3＝0；
(2)l1：3x－6y＋14＝0，l2：2x＋y－2＝0；
(3)l1：x＝2，l2：x＝4；
(4)l1：y＝－3，l2：x＝1.
[解] (1)将两直线方程分别化为斜截式：
l1：y＝－x＋，l2：y＝－x－.
则k1＝－，b1＝，k2＝－，b2＝－.
∵k1＝k2，b1≠b2，∴l1∥l2.
(2)将两直线方程分别化为斜截式：
l1：y＝x＋，l2：y＝－2x＋2.
则k1＝，k2＝－2.∵k1·k2＝－1，∴l1⊥l2.
(3)由方程知l1⊥x轴，l2⊥x轴，且两直线在x轴上的截距不相等，则l1∥l2.
(4)由方程知l1⊥y轴，l2⊥x轴，则l1⊥l2.
已知直线方程判断两直线平行或垂直的方法：
(1)若两直线l1与l2的斜率均存在，当k1·k2＝－1时，l1⊥l2；当k1＝k2，且它们在y轴上的截距不相等时，l1∥l2；
(2)若两直线斜率均不存在，且在x轴的截距不相等，则它们平行；
(3)若有一条直线斜率为0，另一条直线斜率不存在，则它们垂直．
1．判断下列各小题中的直线l1与l2的位置关系．
(1)l1的斜率为1，l2经过点A(1,1)，B(2,2)；
(2)l1经过点A(0,1)，B(1,0)，l2经过点M(－1,3)，N(2,0)；
(3)l1的斜率为－10，l2经过点A(10,2)，B(20,3)；
(4)l1经过点A(3,4)，B(3,100)，l2经过点M(－10,40)，N(10,40)．
[解] (1)k1＝1，k2＝＝1，
k1＝k2，
∴l1∥l2或l1与l2重合．
(2)k1＝＝－1，k2＝＝－1，
k1＝k2，数形结合知，l1∥l2.
(3)k1＝－10，k2＝＝，
k1k2＝－1，∴l1⊥l2.
(4)l1的倾斜角为90°，则l1⊥x轴；
k2＝＝0，则l2∥x轴．∴l1⊥l2.
利用平行、垂直关系求直线方程
【例2】 已知点A(2,2)和直线l：3x＋4y－20＝0.
求：(1)过点A和直线l平行的直线方程；
(2)过点A和直线l垂直的直线方程．
[解] 法一：(1)由l：3x＋4y－20＝0，
得kl＝－.
设过A点且平行于l的直线为l1，
则kl1＝kl＝－，
所以l1的方程为y－2＝－(x－2)，
即3x＋4y－14＝0.
(2)设过点A与l垂直的直线为l2.
因为kl·kl2＝－1，所以kl2＝，
故直线l2的方程为y－2＝(x－2)，
即4x－3y－2＝0.
法二：(1)设过点A且平行于直线l的直线l1的方程为3x＋4y＋m＝0.
由点A(2,2)在直线l1上，得
3×2＋4×2＋m＝0，解得m＝－14，
故直线l1的方程为3x＋4y－14＝0.
(2)设l2的方程为4x－3y＋m＝0.
因为l2经过点A(2,2)，
所以4×2－3×2＋m＝0，解得m＝－2，
故l2的方程为4x－3y－2＝0.
过点A?x0，y0?且与直线Ax＋By＋C＝0平行或垂直的直线方程的求法有两种方法：
?1?先求斜率?斜率存在时?，再用点斜式求直线方程.
?2?与Ax＋By＋C＝0平行或垂直的直线方程设为Ax＋By＋m＝0或Bx－Ay＋m＝0，再利用所求直线过点A?x0，y0?求出m，便可得到直线方程.
2．已知直线l的方程为3x－2y－12＝0，求直线l′的方程，l′满足：
(1)过点(－1,3)，且与l平行；
(2)过点(－1,3)，且与l垂直．
[解] (1)由l′与l平行，可设l′方程为3x－2y＋m＝0.将点(－1,3)代入上式，得m＝9，
∴所求直线方程为3x－2y＋9＝0.
(2)由l′与l垂直，可设l′方程为2x＋3y＋n＝0.
将(－1,3)代入上式，得n＝－7，
∴所求直线方程为2x＋3y－7＝0.
平行、垂直关系的综合应用
[探究问题]
1．试确定m的值，使过点A(m＋1,0)，B(－5，m)的直线与过点C(－4,3)，D(0,5)的直线平行．
提示：kAB＝＝，
kCD＝＝.由于AB∥CD，即kAB＝kCD，
所以＝，所以m＝－2.
2．△ABC的顶点A(5，－1)，B(1,1)，C(2，m)，试确定m的值，使△ABC是以A为直角顶点的三角形．
提示：因为A为直角，则AC⊥AB，∴kAC·kAB＝－1，
即×＝－1，解得m＝－7.
【例3】 已知在?ABCD中，A(1,2)，B(5,0)，C(3,4)．
(1)求点D的坐标；
(2)试判断?ABCD是否为菱形．
[思路探究] 利用平行或垂直的条件建立方程求解．
[解] (1)设D(a，b)，∵四边形ABCD为平行四边形，
∴kAB＝kCD，kAD＝kBC，
∴
∴D(－1,6)．
(2)∵kAC＝＝1，kBD＝＝－1，
∴kAC·kBD＝－1，
∴AC⊥BD.∴?ABCD为菱形．
1．本例条件不变，试求△ABC中平行于边AB的中位线所在直线方程．
[解] 设所求中位线所在直线方程的斜率为k，AC中点为E.
则k＝kAB＝＝－，E(2,3)，
∴由点斜式方程得：y－3＝－(x－2)，即x＋2y－8＝0.
2．本例条件不变，试求△ABC中BC边上的高线所在直线方程．
[解] 设BC边上的高线的斜率为k，则k＝－＝－＝.
又BC边上的高线过点A(1,2)，
∴所求直线方程为y－2＝(x－1)，即x－2y＋3＝0.
1．利用斜率研究两直线的平行和垂直关系时，要分斜率存在、不存在两种情况进行讨论．
2．当直线是一般式方程时，也可利用以下结论研究两直线的平行和垂直关系：
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0.
①l1∥l2?A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0；
②l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.
两直线平行或垂直的判定方法
斜率
直线
斜率均不存在
平行或重合
一条直线的斜率为0，
另一条直线的斜率不存在
垂直
斜率均存在
相等
平行或重合
积为－1
垂直
1．思考辨析
(1)如果直线的斜率不存在，则这条直线一定平行于y轴． ( )
(2)斜率相等的两条直线一定平行． ( )
(3)若k1·k2≠－1，则两直线必不垂直． ( )
(4)如果两直线垂直，则这两直线的斜率k1，k2满足k1k2＝－1.
( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×
2．若直线2ay－1＝0与直线(3a－1)x＋y－1＝0平行，则实数a等于________．
[因为两直线平行，所以3a－1＝0，即a＝.]
3．经过点(m,3)和(2，m)的直线l与斜率为－4的直线互相垂直，则m的值是________．
[由已知得×(－4)＝－1，解得m＝.]
4．求满足下列条件的直线方程：
(1)过点A(1，－4)，与直线2x＋3y＋5＝0平行；
(2)过点A(1，－4)，与直线2x－3y＋5＝0垂直．
[解] (1)设所求直线方程为2x＋3y＋C1＝0，则由题意得2×1＋3×(－4)＋C1＝0，解得C1＝10，
所以所求直线方程为2x＋3y＋10＝0.
(2)设所求直线方程为3x＋2y＋C2＝0，
由题意得3×1＋2×(－4)＋C2＝0，解得C2＝5，
所以所求直线方程为3x＋2y＋5＝0.
课件43张PPT。第二章 解析几何初步 1．3 两条直线的位置关系k1＝k2且0k1k2＝－1重合l1∥l2b1≠b2点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十六) 两条直线的位置关系
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．如果直线l1的斜率为a，l1⊥l2，则直线l2的斜率为( )
A. B．a
C．－ D．－或不存在
D [若a＝0，则l2的斜率不存在；若a≠0，则l2的斜率为－.]
2．过点(－1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是( )
A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0
C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0
B [设直线方程为x－2y＋C＝0，将(－1,0)代入上式，得C＝1，所求方程为x－2y＋1＝0.]
3．以A(－1,1)，B(2，－1)，C(1,4)为顶点的三角形是( )
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．以A点为直角顶点的直角三角形
D．以B点为直角顶点的直角三角形
C [kAB＝＝－，kAC＝＝，
∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC，∠A为直角．]
4．平行于直线4x＋3y－3＝0，且不过第一象限的直线的方程是( )
A．3x＋4y＋7＝0 B．4x＋3y＋7＝0
C．4x＋3y－42＝0 D．3x＋4y－42＝0
B [平行于直线4x＋3y－3＝0的直线具有形式4x＋3y＋c＝0，故排除A、D.但选项C中直线的截距为正，直线过第一象限，不符合条件，故应选B.]
5．直线l1：(3＋a)x＋4y＝5－3a，和直线l2：2x＋(5＋a)y＝8平行，a等于( )
A．－7或－1 B．－7
C．7或1 D．－1
B [因为两直线平行，所以(3＋a)·(5＋a)＝2×4，解得a＝－1或－7.
当a＝－1时，两直线重合，故a＝－7.]
二、填空题
6．若A(－4,2)，B(6，－4)，C(12,6)，D(2,12)，给出下面四个结论：①AB∥CD；②AB⊥CD；③AC∥BD；④AC⊥BD.其中正确的是________．(把正确选项的序号填在横线上)
①④ [∵kAB＝－，kCD＝－，kAC＝，kBD＝－4，
∴AB∥CD，AC⊥BD.]
7．与直线3x－2y＋6＝0平行且纵截距为9的直线l的方程为________．
3x－2y＋18＝0 [设直线l的方程为3x－2y＋b＝0，令x＝0，y＝＝9，得b＝18，故所求的直线方程为3x－2y＋18＝0.]
8．已知A(m,3)，B(2m，m＋4)，C(m＋1,2)，D(1,0)，且直线AB与直线CD平行，则m的值为________．
0或1 [当m＝0时，A(0,3)，B(0,4)，C(1,2)，D(1,0)，此时直线AB与直线CD的斜率均不存在，满足直线AB与直线CD平行；当m≠0时，由题意，可得kAB＝＝，kCD＝＝.∵直线AB与直线CD平行，所以＝，解得m＝1.综上m＝0或1.]
三、解答题
9．已知点M(2,2)，N(5，－2)，点P在x轴上，分别求满足下列条件的P点坐标．
(1)∠MOP＝∠OPN(O是坐标原点)；
(2)∠MPN是直角．
[解] 设P(x,0)，
(1)∵∠MOP＝∠OPN，∴OM∥NP，∴kOM＝kNP.
又kOM＝＝1，kNP＝＝(x≠5)，
∴1＝，∴x＝7，即P(7,0)．
(2)∵∠MPN＝90°，∴MP⊥NP，
∴kMP·kNP＝－1.
kMP＝(x≠2)，kNP＝(x≠5)，
∴×＝－1，解得x＝1或x＝6，
即P(1,0)或(6,0)．
10．已知直线l1过点A(1,1)，B(3，a)，直线l2过点M(2,2)，N(3＋a,4)．
(1)若l1∥l2，求a的值；
(2)若l1⊥l2，求a的值．
[解] kl1＝kAB＝＝.
(1)若l1∥l2，则3＋a≠2，
且kl2＝kMN＝＝＝，
即a≠－1且a2＝5，∴a＝±.
(2)当a＋3＝2，即a＝－1时，l2无斜率，
此时kl1＝－1，∴l1与l2不垂直；
当a＋3≠2，即a≠－1时，kl2＝，
由l1⊥l2，得kl1·kl2＝·＝－1，
即a＝0.
[等级过关练]
1．已知A(－1,1)，B(3,1)，C(1,3)，则△ABC的BC边上的高所在直线方程为( )
A．x＋y＝0 B．x－y＋2＝0
C．x＋y＋2＝0 D．x－y＝0
B [kBC＝＝－1，∴高所在直线斜率为1，
∴方程为y－1＝1×(x＋1)，即x－y＋2＝0.]
2．两直线的斜率分别是方程x2＋2 019x－1＝0的两根，那么这两直线的位置关系是( )
A．垂直 B．相交但不垂直
C．平行 D．重合
A [设两直线的斜率分别为k1，k2，
∵k1，k2是方程x2＋2 019x－1＝0的两根，
利用根与系数的关系得，k1k2＝－1，
∴两直线的位置关系是垂直．]
3．已知平行四边形ABCD中，A(1,1)，B(－2,3)，C(0，－4)，则点D的坐标为________．
(3，－6) [设D(x，y)，由题意可知，AB∥CD且AD∥BC，
∴kAB＝kCD且kAD＝kBC，
∴解得
∴D点的坐标为(3，－6)．]
4．若直线l经过点(a－2，－1)和(－a－2,1)且与直线2x＋3y＋1＝0垂直，则实数a的值为________．
－ [由题意知两直线的斜率均存在，且直线l与斜率为－的直线垂直，则直线l的斜率为，
于是＝＝＝－，解得a＝－.]
5．已知四边形ABCD的顶点A(m，n)，B(5，－1)，C(4,2)，D(2,2)，求m和n的值，使四边形ABCD为直角梯形．
[解] (1)当∠A＝∠D＝90°时，如图①所示，∵四边形ABCD为直角梯形，∴AB∥DC且AD⊥AB.易求得m＝2，n＝－1.
(2)当∠A＝∠B＝90°时，如图②所示，
∵四边形ABCD为直角梯形，
∴AD∥BC且AB⊥BC.
∴kAD＝kBC，kAB·kBC＝－1，
∴
解得m＝，n＝－.
综上所述，m＝2，n＝－1或m＝，n＝－.
