1.4 两条直线的交点
学 习 目 标
核 心 素 养
1.学会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．(重点)
2.理解方程组的解和两直线交点坐标的对应关系．(难点)
1.通过学习解方程组的方法求两直线交点坐标培养数学运算素养.
2.通过理解方程组的解和两直线交点坐标的对应关系提升数学抽象素养.
两直线的交点
已知两条不重合的直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0.
(1)若点P(x0，y0)是l1与l2的交点，
则.
(2)若两直线方程组成的方程组有唯一解则两条直线相交，交点坐标为(x0，y0)．因此求两条直线的交点，就是求这两条直线方程的公共解．
思考：两条直线的交点同时满足这两条直线吗？
提示：满足．
1．两条直线l1：2x－y－1＝0与l2：x＋3y－11＝0的交点坐标为( )
A．(3,2) B．(2,3)
C．(－2，－3) D．(－3，－2)
B [解方程组
得
故两条直线的交点坐标为(2,3)．]
2．已知两条直线l1：ax＋3y－3＝0，l2：4x＋6y－1＝0，若l1与l2相交，则实数a满足的条件是________．
a≠2 [由题意得6a－12≠0，即a≠2.]
3．直线y＝kx＋3过直线2x－y＋1＝0与y＝x＋5的交点，则k的值为________．
[由得交点(4,9)，
代入y＝kx＋3得9＝4k＋3，∴k＝.]
两直线的交点问题
【例1】 判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点坐标．
(1)l1：2x＋3y－7＝0，l2：5x－y－9＝0；
(2)l1：2x－3y＋5＝0，l2：4x－6y＋10＝0；
(3)l1：2x－y＋1＝0，l2：4x－2y＋3＝0.
[解] (1)解方程组得
所以交点坐标为(2,1)，所以l1与l2相交．
(2)解方程组
①×2得4x－6y＋10＝0.
因此①和②可以化成同一方程，即①和②表示同一条直线，l1与l2重合．
(3)解方程组
①×2－②，得－1＝0，矛盾，方程组无解，所以两条直线无公共点，l1∥l2.
解答本题充分利用了直线相交与联立直线方程所得方程组之间的关系，以及直线上的点的坐标与直线的方程之间的关系，掌握并理解这些关系是解此类问题的基础.
1．直线ax＋2y＋8＝0，x＋3y－4＝0和5x＋2y＋6＝0相交于一点，求a的值．
[解] 解方程组得
∴直线x＋3y－4＝0和5x＋2y＋6＝0的交点坐标为(－2，2)，代入直线方程ax＋2y＋8＝0，
得－2a＋4＋8＝0，∴a＝6.
过两直线交点的直线方程
【例2】 求过直线l1：3x＋2y－7＝0与l2：x－y＋1＝0的交点，且平行于直线5x－y＋3＝0的直线方程．
[解] 法一：由
得又所求直线与直线5x－y＋3＝0平行，
所以斜率k＝5，由点斜式得y－2＝5(x－1)，
即5x－y－3＝0.
法二：设所求直线方程为3x＋2y－7＋λ(x－y＋1)＝0，即(λ＋3)x＋(2－λ)y－7＋λ＝0.
∵直线与5x－y＋3＝0平行，
∴－(λ＋3)＝5(2－λ)，解得λ＝，
∴所求直线为3x＋2y－7＋(x－y＋1)＝0，
即5x－y－3＝0.
经过两直线交点的直线系方程：
①与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程为Ax＋By＋C′＝0?C′≠C?；
②与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程为Bx－Ay＋C′＝0；
③过两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为λ1?A1x＋B1y＋C1?＋λ2?A2x＋B2y＋C2?＝0?λ1，λ2为参数?.
当λ1＝1，λ2＝0时，方程即为l1；
当λ1＝0，λ2＝1时，方程即为l2.
2．求经过两直线l1：3x＋4y－2＝0和l2：2x＋y＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l的方程．
[解] 法一：由方程组
解得即l1与l2的交点坐标为(－2,2)．
∵直线过坐标原点，所以其斜率k＝＝－1，
直线方程为y＝－x，一般式为x＋y＝0.
法二：∵l2不过原点，
∴可设l的方程为3x＋4y－2＋λ(2x＋y＋2)＝0(λ∈R)，
即(3＋2λ)x＋(4＋λ)y＋2λ－2＝0，
将原点坐标(0,0)代入上式解得λ＝1，
∴l的方程为5x＋5y＝0，即x＋y＝0.
直线恒过定点问题
[探究问题]
1．不论k取什么值，直线y＝kx＋2恒过定点，试求出此定点．
提示：由直线的方程可知当x＝0时y＝2，此时与k的取值无关．故直线恒过点(0,2)．
2．不论m取什么值：直线y－2＝m(x＋3)恒过定点．求出此定点．
提示：由直线方程可知当x＝－3时y＝2与m的取值无关故直线恒过定点(－3,2)．
【例3】 求证：无论k取何值时，直线(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0必过定点，并求出该定点坐标．
[解] 法一： 当k＝1时，直线方程为x＝1.
当k＝0时，直线方程为x＋y＝0.
由得交点P(1，－1)，
将P(1，－1)代入原方程左边得
k＋1－(k－1)×(－1)－2k＝k＋1＋k－1－2k＝0，
即点P的坐标总适合直线方程．
∴无论k取何实数，点P(1，－1)总在直线(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0上．
法二：将原方程化为k(x－y－2)＋x＋y＝0，
要使其对任意实数k恒成立，则有
∴
∴不论k为何实数，原直线都过定点(1，－1)．
若将本例中的直线方程改为(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5应如何求解．
[证明] 法一：取m＝1时，直线方程为y＝－4；取m＝时，直线方程为x＝9.
两直线的交点为P(9，－4)，将点P的坐标代入原方程左边
(m－1)×9＋(2m－1)×(－4)＝m－5.
故不论m取何实数，点P(9，－4)总在直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5上，
即直线恒过点P(9，－4)．
法二：原方程化为(x＋2y－1)m＋(－x－y＋5)＝0.
若对任意m都成立，
则有∴
∴不论m为何实数，所给直线都过定点P(9，－4)．
1．求直线过定点，可以分离系数，即将原方程化为f(x，y)＋mg(x，y)＝0的形式，欲使此式成立与m的取值无关，则由此方程组求得定点坐标．
2．分别令参数为两个特殊值，得方程组，求出点的坐标，代入原方程成立，则此点为定点．
1．解含有参数的直线过定点问题将含有一个参数的二元一次方程常整理为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(其中λ为常数)形式，可通过求解定点．
2．方程组有唯一解的等价条件是A1B2－A2B1≠0，亦即两条直线相交的等价条件是A1B2－A2B1≠0，直线A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)是过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线(不含l2)．
1．思考辨析
(1)两条直线不相交就平行． ( )
(2)若两直线相交，则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元一次方程组的解． ( )
(3)两直线平行，则由两直线方程组成的方程组无解． ( )
(4)若两直线重合，则由两直线方程组成的方程组有无数组解．
( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√
2．直线2x－y＝7与直线3x＋2y－7＝0的交点坐标是( )
A．(3，－1) B．(－1,3)
C．(－3，－1) D．(3,1)
A [联立两直线的方程，得解得即交点为(3，－1)，故选A.]
3．当a取不同实数时，直线(2＋a)x＋(a－1)y＋3a＝0恒过一个定点，这个定点的坐标为________．
(－1，－2) [直线方程可写成a(x＋y＋3)＋2x－y＝0，则该直线系必过直线x＋y＋3＝0与直线2x－y＝0的交点，即(－1，－2)．]
4．已知直线l1：x－2y＋4＝0，l2：x＋y－2＝0，设其交点为P.
(1)求交点P的坐标；
(2)设直线l3：3x－4y＋5＝0，分别求过点P且与直线l3平行及垂直的直线方程．
[解] (1)∵直线l1：x－2y＋4＝0与直线l2：x＋y－2＝0的交点为P，
由得∴P(0,2)．
(2)∵l3：3x－4y＋5＝0，
设与l3平行的直线方程为3x－4y＋C＝0(C≠5)，
将P(0,2)代入得C＝8，
∴过点P(0,2)且与l3平行的直线方程是3x－4y＋8＝0.
设与l3垂直的直线方程为4x＋3y＋C＝0，
将P(0,2)代入得C＝－6，
∴过点P(0,2)且与l3垂直的直线方程是4x＋3y－6＝0.
课件46张PPT。第二章 解析几何初步 1.4 两条直线的交点相交公共解(x0，y0)点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十七) 两条直线的交点
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．A＝{(x，y)|x＋y－4＝0}，B＝{(x，y)|2x－y－5＝0}，则集合A∩B等于( )
A．{1,3} B．{(1,3)} C．{(3,1)} D．?
C [由得故A∩B＝{(3,1)}．]
2．直线3x－2y＋m＝0和(m2＋1)x＋3y－3m＝0的位置关系是( )
A．平行 B．重合 C．相交 D．不确定
C [∵k1＝，k2＝－，∴k1≠k2，∴两直线相交．]
3．方程(a－1)x－y＋2a＋1＝0(a∈R)所表示的直线( )
A．恒过定点(－2,3)
B．恒过定点(2,3)
C．恒过点(－2,3)和点(2,3)
D．都是平行直线
A [(a－1)x－y＋2a＋1＝0化为ax－x－y＋2a＋1＝0，因此－x－y＋1＋a(x＋2)＝0.
由得故选A.]
4．直线2x＋y＋2＝0与ax＋4y－2＝0互相垂直，则这两条直线的交点坐标为( )
A．(1，－4) B．(0，－2)
C．(－1,0) D.
C [由两条直线互相垂直得，
(－2)·＝－1，a＝－2，
解方程组得
所以两直线的交点为(－1,0)．]
5．若两条直线2x－my＋4＝0和2mx＋3y－6＝0的交点位于第二象限，则m的取值范围是( )
A. B．(0,2)
C. D.
A [联立
得所以
所以－二、填空题
6．已知l1过P1(0，－1)，P2(2,0)，l2：x＋y－1＝0，则l1与l2的交点坐标为________．
[l1的方程为x－2y－2＝0，由
解得故交点坐标为.]
7．已知直线ax＋4y－2＝0和2x－5y＋b＝0垂直，交于点A(1，m)，则a＝________，b＝________，m＝________.
10 －12 －2 [∵点A(1，m)在两直线上，∴
又两直线垂直，得2a－4×5＝0， ③
由①②③得，a＝10，m＝－2，b＝－12.]
8．已知点M(0，－1)，点N在直线x－y＋1＝0上，若直线MN垂直于直线x＋2y－3＝0，则N点的坐标是________．
(2,3) [直线MN的方程是y＋1＝2x，由得所以N点的坐标是(2,3)．]
三、解答题
9．已知直线l1：3x－y＋12＝0，l2：3x＋2y－6＝0，求l1，l2及x轴围成的三角形的面积．
[解] 由得
即l1与l2交于点P(－2,6)，
由得
l1交x轴于A(－4,0)．
同理l2交x轴于B(2,0)，|AB|＝6.
S△ABP＝×6×6＝18.
即l1，l2及x轴围成的三角形面积为18.
10．已知△ABC的顶点A的坐标为(5,6)，两边AB、AC上的高所在直线的方程分别为4x＋5y－24＝0与x－6y＋5＝0，求直线BC的方程．
[解] ∵AB边上的高所在直线的方程为4x＋5y－24＝0，
∴可设直线AB的方程为5x－4y＋m＝0，
把点A(5,6)坐标代入，得25－24＋m＝0，
∴m＝－1，
即直线AB方程为5x－4y－1＝0.
由得即B(1,1)．
同理可得C(6,0)，∴kBC＝＝－.
∴直线BC的方程为y＝－(x－6)，
即x＋5y－6＝0.
[等级过关练]
1．直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是( )
A．x＋2y－1＝0 B．2x＋y－1＝0
C．2x＋y－3＝0 D．x＋2y－3＝0
D [由得交点A(1,1)，由所求直线斜率为－，排除B、C，又所求直线过点A(1,1)，故选D.]
2．已知m∈R，则直线(2m＋1)x＋(2－m)y＋5m＝0必经过定点( )
A．(2,1) B．(－2,1)
C．(2，－1) D．(－1，－2)
B [直线方程可化为(x＋2y)＋m(2x－y＋5)＝0，解方程组得因此直线必经过定点(－2,1)．]
3．已知ax＋4y－2＝0与2x－5y＋b＝0互相垂直，交点为(1，c)，则a＋b＋c＝________.
－4 [由两直线垂直得－×＝－1，
∴a＝10，将交点坐标代入ax＋4y－2＝0，得c＝－2，再代入2x－5y＋b＝0，得b＝－12，∴a＋b＋c＝－4.]
4．已知直线y＝kx＋3k－2与直线y＝－x＋1的交点在x轴上，则k的值为________．
[直线y＝－x＋1交x轴于点(4,0)．∵两条直线的交点在x轴上，∴直线y＝kx＋3k－2过点(4,0)．
∴0＝4k＋3k－2.∴k＝.]
5．是否存在实数a，使三条直线：l1：ax＋y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0，l3：x＋y＋a＝0围成一个三角形？并说明理由．
[解] ①当＝≠时，l1∥l2，
解得a＝－1；
②当＝≠时，l1∥l3，无解；
③当＝≠时，l2∥l3，无解；
④当l1与l2，l3相交于同一点时，由
得交点(－1－a,1)，
将其代入ax＋y＋1＝0，
得a＝－2或a＝1.
故当a≠1且a≠－1且a≠－2时，这三条直线能围成一个三角形．
