1．5 平面直角坐标系中的距离公式
学 习 目 标
核 心 素 养
1.掌握平面直角坐标系中两点间的距离公式、点到直线的距离公式，并能简单应用．(重点)
2.能准确求出两平行直线间的距离.
3.会用解析法证明几何问题．(难点)
1.通过学习平面中两点间，点到直线及平行线间的距离提升数学抽象素养.
2.通过距离公式的简单应用，培养数学运算素养.
1．两点间的距离公式
一般地，若两点A，B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有两点A，B间的距离公式，|AB|＝.
2．点到直线的距离公式
已知点P(x0，y0)，直线l的方程是Ax＋By＋C＝0，则点P到直线l的距离公式是d＝.
思考：点到直线的距离公式对于A＝0或B＝0时的直线是否仍然适用？
提示：仍然适用，①当A＝0，B≠0时，直线l的方程为By＋C＝0，
即y＝－，d＝＝，适合公式．
②当B＝0，A≠0时，直线l的方程为Ax＋C＝0，x＝－，d＝＝，适合公式．
3．两平行线间的距离公式
两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝.
1．已知A(－1,0)，B(5,6)，C(3,4)，则的值为( )
A. B.
C．3 D．2
D [由两点间的距离公式，
得|AC|＝＝4，
|CB|＝＝2，故＝＝2.]
2．点(1，－1)到直线x－y＋1＝0的距离是( )
A. B.
C. D.
A [d＝＝.]
3．分别过点A(－2,1)和点B(3，－5)的两条直线均垂直于x轴，则这两条直线间的距离是________．
5 [d＝|3－(－2)|＝5.]
两点间的距离公式
【例1】 (1)若x轴的正半轴上的点M到原点的距离与点(5，－3)到原点的距离相等，则点M的坐标为( )
A．(－2,0) B．(1,0)
C. D．(，0)
(2)直线2x＋my＋2＝0(m≠0)与两坐标轴的交点之间的距离为________．
(1)D (2)(m≠0) [(1)设点M(x,0)(x＞0)，由题意可知，
＝，
解得x＝.
(2)直线2x＋my＋2＝0与x轴的交点为(－1,0)，与y轴的交点为，所以两交点之间的距离为＝(m≠0)．]
使用两点间距离公式要注意结构特点，公式与两点的先后顺序无关，使用于任意两点P1?x1，y1?，P2?x2，y2?，但对于特殊情况结合图形求解会更便捷.
1．已知点A(－1,2)，B(2，)，在x轴上求一点P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值．
[解] 设所求点P(x,0)，于是由|PA|＝|PB|得
＝，
即x2＋2x＋5＝x2－4x＋11，解得x＝1.
所以，所求P点坐标为(1,0)，
|PA|＝＝2.
点到直线的距离公式
【例2】 求点P(1,2)到下列直线的距离：
(1)l1：y＝x－3；(2)l2：y＝－1；(3)y轴．
[思路探究] 解答本题可先将直线方程化为一般式，然后直接用点到直线的距离公式求解．
[解] (1)将直线方程化为一般式为x－y－3＝0.
由点到直线的距离公式，得d＝＝2.
(2)法一：直线方程化为一般式为y＋1＝0，由点到直线的距离公式，得d＝＝3.
法二：∵y＝－1平行于x轴，由图知，d＝|2－(－1)|＝3.
(3)法一：y轴的方程为x＝0，由点到直线的距离公式，得d＝＝1.
法二：由图可知，d＝|1－0|＝1.
应用点到直线的距离公式应注意以下问题：
?1?直线方程应为一般式，若给出其他形式，应化成一般式，再用公式；
?2?当点P?x0，y0?在直线上时，d＝0；
?3?点P?x0，y0?到直线x＝a的距离d＝|x0－a|；,点P?x0，y0?到直线y＝b的距离d＝|y0－b|.
2．若点(2，k)到直线5x－12y＋6＝0的距离是4，则k的值是________．
－3或 [∵＝4，∴|16－12k|＝52，
∴k＝－3或k＝.]
两平行线间的距离公式
[探究问题]
1．能否将平行直线间的距离转化为点到直线的距离，如何转化？
提示：能，由于一条直线上任意一点到另一条直线的距离都是两条平行直线间的距离，所以只要在一条直线上找到一个已知点，求这点到另一条直线的距离即可．
2．已知l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，如何推导出l1与l2的距离公式呢？
提示：由l1与l2的方程可知直线l1∥l2，设P0(x0，y0)是直线Ax＋By＋C2＝0上任一点，则点P0到直线Ax＋By＋C1＝0的距离为d＝.又Ax0＋By0＋C2＝0，即Ax0＋By0＝－C2，∴d＝.
【例3】 已知直线l1与l2的方程分别为7x＋8y＋9＝0,7x＋8y－3＝0，直线l平行于l1，直线l与l1的距离为d1，与l2的距离为d2，且＝，求直线l的方程．
[思路探究] 设P为l上任一点，根据点到直线的距离公式求出d1，d2，代入d2＝2d1，化简求解．
[解] 设P(x，y)为l上任一点．
则d1＝，d2＝.
由＝，即d2＝2d1，得
|7x＋8y－3|＝2|7x＋8y＋9|.
∴7x＋8y－3＝2(7x＋8y＋9)
或7x＋8y－3＝－2(7x＋8y＋9)．
化简得l的方程为7x＋8y＋21＝0或7x＋8y＋5＝0.
求两条平行直线间的距离有两种思路：,?1?转化为其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离；,?2?利用公式d＝求解，但需注意两直线方程都化为一般式，且x，y的系数对应相等.
3．已知直线3x＋4y－3＝0与直线6x＋my＋14＝0平行，则它们之间的距离是( )
A．1 B．2
C. D．4
B [∵＝≠，∴m＝8，直线6x＋my＋14＝0可化为3x＋4y＋7＝0，两平行线之间的距离d＝＝2.]
1．点到直线的距离即是点与直线上的点连线的距离的最小值，利用点到直线的距离公式，解题时要注意把直线方程化为一般式．当直线与坐标轴垂直时可直接求之．
2．利用点到直线的距离公式可求直线的方程，有时需结合图形，数形结合，使问题更清晰．
3．已知两平行直线，其距离可利用公式d＝求解，也可在已知直线上取一点，转化为点到直线的距离．
1．思考辨析
(1)直线l：Ax＋By＋C1＝0到l2：Ax＋By＋C2＝0的距离是|C1－C2|.
( )
(2)点到直线的距离公式不适用于点在直线上的情形． ( )
(3)原点到直线Ax＋By＋C＝0的距离公式是. ( )
(4)求平面内任意两点间的距离均可使用两点间的距离公式．
( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√
2．已知点A(－2，－1)，B(a,3)，且|AB|＝5，则a的值为( )
A．1 B．－5
C．1或－5 D．－1或5
C [由|AB|＝＝5?a＝1或a＝－5.]
3．P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋6＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为________．
3 [直线6x＋8y＋6＝0可变为3x＋4y＋3＝0，由此可知两条直线平行，它们的距离d＝＝3，|PQ|最小值为d＝3.]
4．求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且到l的距离为2的直线方程．
[解] 设所求直线的方程为5x－12y＋C＝0，
在直线l上取点，
由点到直线的距离公式得2＝，
解得C＝32或C＝－20.
故所求直线的方程为5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0.
课件43张PPT。第二章 解析几何初步 1．5 平面直角坐标系中的距离公式点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十八) 平面直角坐标系中的距离公式
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．已知点A(2k，－1)，B(k,1)，且|AB|＝，则实数k等于( )
A．±3 B．3 C．－3 D．0
A [|AB|＝＝，即k2＋4＝13，所以k＝±3.]
2．到直线3x－4y－11＝0的距离为2的直线方程为( )
A．3x－4y－1＝0
B．3x－4y－1＝0或3x－4y－21＝0
C．3x－4y＋1＝0
D．3x－4y－21＝0
B [设所求的直线方程为3x－4y＋c＝0.由题意＝2，解得c＝－1或c＝－21.故选B.]
3．点P(a,0)到直线3x＋4y－6＝0的距离大于3，则实数a的取值范围为( )
A．a>7 B．a<－3
C．a>7或a<－3 D．a>7或－3
C [根据题意，得>3，解得a>7或a<－3.]
4．已知直线3x＋my－3＝0与6x＋4y＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是( )
A．4 B. C. D.
D [∵直线3x＋my－3＝0与6x＋4y＋1＝0互相平行，∴m＝2，∴直线3x＋my－3＝0可化为6x＋4y－6＝0，∴两平行直线之间的距离d＝＝. ]
5．过点A(4，a)和点B(5，b)的直线与y＝x＋m平行，则|AB|的值为( )
A．6 B.
C．2 D．不能确定
B [kAB＝＝b－a.
又∵过A，B的直线与y＝x＋m平行，
∴b－a＝1，
∴|AB|＝＝.]
二、填空题
6．点P与x轴及点A(－4,2)的距离都是10，则P的坐标为________．
(2,10)或(－10,10) [设P(x，y)，则
当y＝10时，x＝2或－10；当y＝－10时，无解．
则P(2,10)或P(－10,10)．]
7．两平行直线kx＋6y＋2＝0与4x－3y＋4＝0之间的距离为________．
1 [∵直线kx＋6y＋2＝0与4x－3y＋4＝0平行，∴－＝，∴k＝－8，∴直线kx＋6y＋2＝0可化为4x－3y－1＝0，∴两平行直线之间的距离d＝＝1.]
8．直线l经过点M0(1,5)，倾斜角为60°，且交直线x－y－2＝0于点M，则|MM0|＝________.
6＋6 [∵直线l经过点M0(1,5)，倾斜角为60°，∴直线l的方程为y－5＝(x－1)，即x－y＋5－＝0，则由得交点M(－2－3，－4－3，∴|MM0|＝＝6＋6.]
三、解答题
9．在直线2x－y＝0上求一点P，使它到点M(5,8)的距离为5，并求直线PM的方程．
[解] ∵点P在直线2x－y＝0上，∴可设P(a,2a)．
根据两点间的距离公式得
|PM|2＝(a－5)2＋(2a－8)2＝52，
即5a2－42a＋64＝0，解得a＝2或a＝，
∴P(2,4)或，
∴直线PM的方程为＝或＝，
整理得4x－3y＋4＝0或24x－7y－64＝0.
10．已知点A(0,0)，B(1,1)，C(2，－1)，求△ABC的面积．
[解] 直线AB的方程为x－y＝0，
点C到AB的距离d＝＝，
|AB|＝＝，
∴S△ABC＝|AB|d＝××＝.
[等级过关练]
1．若点P在直线3x＋y－5＝0上，且点P到直线x－y－1＝0的距离为，则P点的坐标为( )
A．(1,2) B．(2,1)
C．(1,2)或(2，－1) D．(2,1)或(－1,2)
C [设P点坐标为(x,5－3x)，则由点到直线的距离公式得＝，即|4x－6|＝2，∴4x－6＝±2，∴x＝1或x＝2，∴P点坐标为(1,2)或(2，－1)．]
2．直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是( )
A．3x－2y－6＝0 B．2x＋3y＋7＝0
C．3x－2y－12＝0 D．2x＋3y＋8＝0
D [法一：设所求直线的方程为2x＋3y＋C＝0，
由题意可知
＝，∴C＝－6(舍)或C＝8，
故所求直线的方程为2x＋3y＋8＝0.
法二：令(x0，y0)为所求直线上任意一点，则点(x0，y0)关于(1，－1)的对称点为(2－x0，－2－y0)，此点在直线2x＋3y－6＝0上，代入可得所求直线方程为2x＋3y＋8＝0.]
3．若实数x，y满足关系式x＋y＋1＝0，S＝的最小值为________．
[∵x2＋y2－2x－2y＋2＝(x－1)2＋(y－1)2，
∴上式可看成是一个动点M(x，y)到一个定点N(1,1)的距离．
即为点N与直线l：x＋y＋1＝0上任意一点M(x，y)的距离，
∴S＝|MN|的最小值应为点N到直线l的距离，即
|MN|min＝d＝＝.]
4．已知a，b，c为某一直角三角形的三边长，c为斜边长，若点P(m，n)在直线ax＋by＋2c＝0上，则m2＋n2的最小值为________．
4 [由题设a2＋b2＝c2，m2＋n2表示直线l：ax＋by＋2c＝0上的点P(m，n)到原点O的距离的平方，故当PO⊥l时，m2＋n2取最小值d，所以d＝2＝＝4.]
5．在△ABC中，A(3,3)，B(2，－2)，C(－7,1)，求∠A的平分线AD所在直线的方程．
[解] 设M(x，y)为∠A的平分线AD上任意一点，由已知可求得AC边所在直线的方程为x－5y＋12＝0，AB边所在直线的方程为5x－y－12＝0.
由角平分线的性质，得
＝，
所以x－5y＋12＝5x－y－12，或x－5y＋12＝y－5x＋12，
即y＝－x＋6或y＝x.
结合图形(图略)可知kAC＜kAD＜kAB，即＜kAD＜5，
所以y＝－x＋6不合题意，舍去．
故∠A的平分线AD所在直线的方程为y＝x.
