§2 圆与圆的方程
2．1 圆的标准方程
学 习 目 标
核 心 素 养
1.掌握圆的标准方程，会根据不同条件求圆的标准方程．(重点)
2.能根据圆的标准方程求它的圆心和半径．(重点)
3.掌握圆的标准方程在求最值和实际问题中的应用．(难点)
1.通过学习圆的标准方程，培养数学抽象素养.
2.通过求圆的标准方程及标准方程的应用培养数学运算素养.
1．圆的标准方程
圆的图示
圆的几何特征
圆上任一点到圆心的距离等于定长
圆的标准方程
圆心为(a，b)，半径是r的圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.特别地，当圆心在坐标原点时，有a＝b＝0，那么圆的方程为x2＋y2＝r2
思考：确定圆的关键是什么？
提示：确定圆的关键点有两个，即位置(圆心)与大小(半径)．
2．点与圆的位置关系
(1)中点坐标公式：A(x1，y1)，B(x2，y2)的中点坐标为.
(2)点与圆的位置关系：已知圆O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则
点P在圆O外?d>r；
点P在圆O上?d＝r；
点P在圆O内?d1．圆(x－2)2＋(y＋3)2＝2的圆心和半径分别是( )
A．(－2,3)，1 B．(2，－3)，3
C．(－2,3), D．(2，－3),
D [由圆的标准方程可得圆心坐标为(2，－3)，半径为.]
2．圆心为(1，－2)，半径为3的圆的方程是( )
A．(x＋1)2＋(y－2)2＝9
B．(x－1)2＋(y＋2)2＝3
C．(x＋1)2＋(y－2)2＝3
D．(x－1)2＋(y＋2)2＝9
D [由圆的标准方程可得，所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9.]
3．点(1,1)在圆(x－1)2＋(y＋1)2＝r2上，则圆的半径r＝______.
2 [由于点(1,1)在圆上，所以(1－1)2＋(1＋1)2＝r2，即r＝2.]
4．圆心是点(3,4)且过点(0,0)的圆的方程是________．
[答案] (x－3)2＋(y－4)2＝25
直接法求圆的标准方程
【例1】 求满足下列条件的圆的标准方程．
(1)圆心为(2，－2)，且过点(6,3)；
(2)过点A(－4，－5)，B(6，－1)且以线段AB为直径；
(3)圆心在直线x＝2上且与y轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2)．
[解] (1)由两点间距离公式得
r＝＝，
∴所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝41.
(2)圆心即为线段AB的中点，为(1，－3)．
又|AB|＝＝2，
∴半径r＝，
∴所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋3)2＝29.
(3)由圆的几何意义知圆心坐标(2，－3)，
半径r＝＝，
∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5.
直接法求圆的标准方程，就是根据题设条件，直接求圆心坐标和圆的半径这两个几何要素，然后将其代入标准方程.
1．(1)若圆C的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为________．
(2)以圆(x＋1)2＋(y－3)2＝9的圆心为圆心，且过原点的圆的标准方程为____________．
(1)x2＋(y－1)2＝1 (2)(x＋1)2＋(y－3)2＝10 [(1)因为圆C的圆心与点(1,0)关于直线y＝x对称，即圆心坐标为(0,1)，而圆的半径不变，故所求圆C的标准方程为x2＋(y－1)2＝1.
(2)法一：由题意可知，圆(x＋1)2＋(y－3)2＝9的圆心坐标为(－1,3)，
所以所求圆的半径r＝＝，
即所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－3)2＝10.
法二：由题意可设所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－3)2＝r2.
又该圆过点(0,0)．
故(0＋1)2＋(0－3)2＝r2，即r2＝10，
所以所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－3)2＝10.]
点与圆的位置关系
【例2】 判断点P(2,0)与圆(x－2)2＋(y＋1)2＝3的位置关系.
[思路探究] 解答本题可以利用点P(2,0)到圆心的距离与半径比较大小，也可直接代入(x－2)2＋(y＋1)2与3比较大小．
[解] 法一：∵P(2,0)与圆心(2，－1)的距离
d＝＝1，
圆的半径r＝，
∴d＜r，
∴点P在圆的内部．
法二：∵点P(2,0)满足(2－2)2＋(0＋1)2＝1＜3，∴点P在圆的内部．
判断点P?x0，y0?与圆?x－a?2＋?y－b?2＝r2的位置关系有几何法与代数法两种.对于几何法，主要是利用点与圆心的距离与半径比较大小；对于代数法，主要是把点的坐标直接代入圆的标准方程.,具体判断方法如下：
①当?x0－a?2＋?y0－b?2＜r2时，点在圆内；
②当?x0－a?2＋?y0－b?2＝r2时，点在圆上；
③当?x0－a?2＋?y0－b?2＞r2时，点在圆外.
1．(1)点M(a，a＋1)与圆C：(x－1)2＋y2＝1的关系是( )
A．M在C外 B．M在C上
C．M在C内 D．不确定与a的取值有关
(2)若点P(－2,4)在圆(x＋1)2＋(y－2)2＝m的外部，则实数m的取值范围为________．
(1)A (2)(0,5) [(1)因为圆心C(1,0)，|MC|＝＝≥＞1，故选A.
(2)由于点P(－2,4)在圆的外部，所以有(－2＋1)2＋(4－2)2＞m，解得m＜5.又方程表示圆，所以有m＞0.
因此实数m的取值范围是0＜m＜5.]
用待定系数法求圆的标准方程
[探究问题]
1．已知直线l与圆C相交于点P(1,0)和点Q(0,1)，你能求出圆心所在的直线方程吗？
提示：PQ的方程为x＋y－1＝0，
PQ中点M，kPQ＝－1，
所以圆心所在的直线方程为y＝x.
2．上述问题中，若圆C的半径为1，请求出圆C的方程．
提示：由条件设圆的方程为：
(x－a)2＋(y－b)2＝1.
由圆过P，Q点得
解得或
所以圆C方程为：x2＋y2＝1或(x－1)2＋(y－1)2＝1.
【例3】 已知圆过两点A(3,1)，B(－1,3)，且它的圆心在直线3x－y－2＝0上，求此圆的方程．
[思路探究] 解答本题可以由所给条件确定圆心和半径，再写出方程，也可以设出方程用待定系数法求解．
[解] 法一：直线AB的斜率为k＝＝－，
可知AB垂直平分线m的斜率为2.
AB中点的横坐标和纵坐标分别为
x＝＝1，y＝＝2，
因此m的方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.
又圆心在直线3x－y－2＝0上，所以圆心在这两条直线的交点上，联立方程组
所以圆心坐标为C(2,4)．又半径r＝|CA|＝，
则所求圆的方程是(x－2)2＋(y－4)2＝10.
法二：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，依题意，
即解得
所以所求圆的方程是(x－2)2＋(y－4)2＝10.
1．本例中若把直线方程改为x－y＝0，其它条件不变，试求圆的标准方程．
[解] 因为所求圆圆心在直线x－y＝0上，故设圆心坐标为(a，a)，
则圆的方程为(x－a)2＋(y－a)2＝r2.
又∵圆过点A(3,1)，B(－1,3)．
∴解得
∴所求圆的方程为x2＋y2＝10.
2．本例中，若将“圆心在3x－y－2＝0上”改为“圆心在y轴上，”试求圆的标准方程．
[解] 设AB中点为M，则M(1,2)，又kAB＝＝－，
∴线段AB中垂线l的斜率为kl＝2，
∴线段AB中垂线l的方程为y－2＝2(x－1)，即y＝2x，
令x＝0得y＝0.
∴圆心坐标为(0,0)，半径r＝|OA|＝.
∴所求圆的方程为x2＋y2＝10.
1．用待定系数法求圆的标准方程的一般步骤：
(1)设出圆的标准方程．
(2)根据条件得关于a，b，r的方程组，并解方程组得a，b，r的值．
(3)代入标准方程，得出结果．
2．求圆的标准方程时，要注意平面几何知识的应用，如已知一个圆经过两个点时，其圆心一定在这两点的中垂线上．
1．确定圆的方程主要方法是待定系数法，即列出关于a，b，r的方程组求a，b，r或直接求出圆心(a，b)和半径r.另外依据题意适时运用圆的几何性质解题可以化繁为简，提高解题效率．
2．讨论点与圆的位置关系可以从代数特征(点的坐标是否满足圆的方程)或几何特征(点到圆心的距离与半径的关系)去考虑，其中利用几何特征较为直观、快捷．
1．思考辨析
(1)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆． ( )
(2)确定一个圆的几何要素是圆心和半径． ( )
(3)若(x0－a)2＋(y－b)2>r2，则说明点M(x0，y0)在圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的外部． ( )
(4)圆心定圆的位置，半径定圆的大小． ( )
[解析] (1)×，不一定，当m＝0时表示点(a，b)，当m≠0时，表示圆．
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√
2．已知一圆的圆心为点(2，－3)，一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上，则此圆的方程是( )
A．(x－2)2＋(y＋3)2＝13
B．(x＋2)2＋(y－3)2＝13
C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52
D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52
A [设直径两端点为A(x,0)，B(0，y)，
则圆心(2，－3)为直径中点，
∴即∴A(4,0)，B(0，－6)，
∴r＝|AB|＝×＝，
∴圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝13.]
3．若点P(－1, )在圆x2＋y2＝m2上，则实数m＝______.
±2 [∵P点在圆x2＋y2＝m2上，
∴(－1)2＋()2＝4＝m2，
∴m＝±2.]
4．△ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1)，B(7，－3)，C(2，－8)，求它的外接圆的方程．
[解] 设所求圆的方程是
(x－a)2＋(y－b)2＝r2，①
因为A(5,1)，B(7，－3)，C(2，－8)都在圆上，∴它们的坐标都满足方程①.于是
解此方程组得
∴△ABC的外接圆的方程是
(x－2)2＋(y＋3)2＝25.
课件47张PPT。第二章 解析几何初步§2 圆与圆的方程
2．1 圆的标准方程圆心－b)2＝r2(x－a)2＋(yd>rd(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．已知点P(3,2)和圆的方程(x－2)2＋(y－3)2＝4，则它们的位置关系为( )
A．在圆心 B．在圆上
C．在圆内 D．在圆外
C [∵(3－2)2＋(2－3)2＝2<4，
∴点P在圆内．]
2．圆C：(x＋4)2＋(y－3)2＝9的圆心C到直线4x＋3y－1＝0的距离等于( )
A. B.
C. D.
B [C(－4,3)，则d＝＝.]
3．圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点(0,0)对称的圆的方程为( )
A．(x－2)2＋y2＝5
B．x2＋(y－2)2＝5
C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝5
D．x2＋(y＋2)2＝5
A [(x＋2)2＋y2＝5的圆心为(－2,0)，圆心关于原点的对称点为(2,0)，即为对称圆的圆心，所以关于原点的对称圆的方程为(x－2)2＋y2＝5.]
4．已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程是( )
A．x＋y－2＝0 B．x－y＋2＝0
C．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝0
D [圆x2＋(y－3)2＝4的圆心为点(0,3)，
又因为直线l与直线x＋y＋1＝0垂直，
所以直线l的斜率k＝1.
由点斜式得直线l：y－3＝x－0，化简得x－y＋3＝0.]
5．过点C(－1,1)和点D(1,3)，且圆心在x轴上的圆的方程是( )
A．x2＋(y－2)2＝10 B．x2＋(y＋2)2＝10
C．(x＋2)2＋y2＝10 D．(x－2)2＋y2＝10
D [∵圆心在x轴上，
∴可设方程为(x－a)2＋y2＝r2.
由条件知解得
故方程为(x－2)2＋y2＝10.]
二、填空题
6．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为______．
x2＋(y－2)2＝1 [设圆心坐标为(0，b)，则由题意知＝1，解得b＝2，故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.]
7．点(a，a)在圆(x－1)2＋(y＋2)2＝2a2的内部，则a的取值范围为________．
[由(a－1)2＋(a＋2)2＜2a2得a＜－.]
8．以A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)为顶点的三角形的外接圆的标准方程是________．
(x－4)2＋(y－1)2＝5 [设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则有解得
即△ABC的外接圆的标准方程为(x－4)2＋(y－1)2＝5.]
三、解答题
9．已知圆N的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a＞0)．
(1)若点M(6,9)在圆上，求半径a；
(2)若点P(3,3)与Q(5,3)有一点在圆内，另一点在圆外，求a的范围．
[解] (1)因为点M(6,9)在圆上，
所以(6－5)2＋(9－6)2＝a2，
即a2＝10.
又a＞0，所以a＝.
(2)因为|PN|＝＝，
|QN|＝＝3，
所以|PN|＞|QN|，故点P在圆外，
点Q在圆内，所以3＜a＜.
10．已知圆心在直线2x－y－7＝0上的圆C与y轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2)，求圆C的标准方程．
[解] 法一：由圆心在直线2x－y－7＝0上，
可设圆心坐标为(a,2a－7)，
由题意得圆心到两点A，B的距离相等，
即a2＋(2a－3)2＝a2＋(2a－5)2，解得a＝2，
所以圆心坐标为(2，－3)，
圆的半径长r＝＝，
所以所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5.
法二：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则由条件可得
解得
所以所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5.
[等级过关练]
1．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，为半径的圆的方程为( )
A．(x－1)2＋(y＋2)2＝5
B．(x＋1)2＋(y＋2)2＝5
C．(x＋1)2＋(y－2)2＝5
D．(x－1)2＋(y－2)2＝5
C [直线方程变为(x＋1)a－x－y＋1＝0.由得∴C(－1,2)，∴所求圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5.]
2．圆心在直线2x－y＝3上，且与两坐标轴相切的圆的标准方程为( )
A．(x－3)2＋(y－3)2＝9
B．(x－1)2＋(y＋1)2＝1
C．(x－3)2＋(y－3)2＝9或(x－1)2＋(y＋1)2＝1
D．不存在
C [设圆心为C(a，b)，则|a|＝|b|，∵圆心在2x－y＝3上，∴当a＝b时，代入得a＝b＝3，圆的方程为(x－3)2＋(y－3)2＝9.
当a＝－b时，同理得a＝1，b＝－1，圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝1.]
3．圆心为直线x－y＋2＝0与直线2x＋y－8＝0的交点，且过原点的圆的标准方程是________．
(x－2)2＋(y－4)2＝20 [由可得x＝2，y＝4，即圆心为(2,4)，从而r＝＝2，故圆的标准方程为(x－2)2＋(y－4)2＝20.]
4．圆(x－1)2＋(y－1)2＝1上的点到直线x－y＝2的距离的最大值是________．
1＋ [圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的圆心为(1,1)．
圆心到直线x－y＝2的距离为d＝＝.
所以圆心到直线x－y＝2的距离的最大值为d＋r＝1＋.]
5．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0)，AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，点T(－1,1)在AD边所在直线上．
(1)求AD边所在直线的方程；
(2)求矩形ABCD外接圆的标准方程．
[解] (1)因为AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，且AD与AB垂直，所以AD边所在直线的斜率为－3.
又点T(－1,1)在AD边所在直线上，所以AD边所在直线的方程为y－1＝－3(x＋1)，即3x＋y＋2＝0.
(2)由解得点A的坐标为(0，－2)．
因为矩形ABCD的两条对角线的交点为M(2,0)，
所以M为矩形ABCD外接圆的圆心．
又r＝|AM|＝＝2，所以矩形ABCD外接圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝8.
