2.2 圆的一般方程
学 习 目 标
核 心 素 养
1.掌握圆的一般方程．(重点)
2.了解二元二次方程表示圆的条件．(难点)
3.会求圆的一般方程以及简单的轨迹方程．(难点)
1.通过学习圆的一般方程及二元二次方程表示圆的条件提升数学抽象素养.
2.通过求圆的一般方程及与圆有关动点的轨迹方程，培养数学运算素养.
圆的一般方程
(1)圆的一般方程的定义：当D2＋E2－4F＞0时，称二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0为圆的一般方程．
(2)方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形：
方程
条件
方程的解的情况
图形
x2＋y2
＋Dx＋
Ey＋F
＝0
D2＋E2－
4F<0
没有实数解
不表示任何图形
D2＋E2－
4F＝0
只有一个实数解
表示一个点
D2＋E2－
4F>0
无数个解
表示以为圆心，以 为半径的圆
思考：若二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，需满足什么条件？
提示：若方程表示圆，则应满足三个条件：①A＝C≠0，②B＝0，③D2＋E2－4AF>0.
1．圆x2＋y2－4x－1＝0的圆心坐标及半径分别为( )
A．(2,0)，5 B．(2,0)，
C．(0,2)， D．(2,2)，5
B [x2＋y2－4x－1＝0可化为(x－2)2＋y2＝5，
∴圆心为(2,0)，半径r＝.]
2．如果x2＋y2－2x＋y＋k＝0是圆的方程，则实数k的取值范围是________．
[若方程x2＋y2－2x＋y＋k＝0表示圆，则(－2)2＋12－4k>0.
∴k<.]
3．圆C：x2＋y2－2x－4y＋4＝0的圆心到直线3x＋4y＋4＝0的距离d＝________.
3 [圆心(1,2)到直线3x＋4y＋4＝0的距离为＝3.]
二元二次方程与圆的关系
【例1】 判断方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0能否表示圆．若能表示圆，求出圆心和半径；若不能，请说明理由．
[解] 法一：由方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0，
可知D＝－4m，E＝2m，F＝20m－20，
∴D2＋E2－4F＝16m2＋4m2－80m＋80＝20(m－2)2，
因此，当m＝2时，它表示一个点；
当m≠2时，原方程表示圆的方程，
此时，圆的圆心为(2m，－m)，
半径为r＝＝|m－2|.
法二：原方程可化为(x－2m)2＋(y＋m)2＝5(m－2)2，
因此，当m＝2时，它表示一个点；
当m≠2时，表示圆的方程，
此时，圆的圆心为(2m，－m)，半径为r＝|m－2|.
解决这种类型的题目，一般要看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，即?1?x2与y2的系数是否相等；?2?不含xy项.当它具有圆的一般方程的特征时，再看D2＋E2－4F>0是否成立，也可以通过配方化成“标准”形式后，观察等号右边是否为正数.
1．若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求：
(1)实数m的取值范围；
(2)圆心坐标和半径．
[解] (1)据题意知D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)＞0，即4m2＋4－4m2－20m＞0，解得m＜，故m的取值范围为.
(2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m，
故圆心坐标为(－m,1)，半径r＝.
求圆的一般方程
【例2】 求圆心在直线y＝x上，且经过点A(－1,1)，B(3，－1)的圆的一般方程．
[思路探究] →→
[解] 设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心是，由题意知，
解得D＝E＝－4，F＝－2，
即所求圆的一般方程是x2＋y2－4x－4y－2＝0.
用待定系数法求圆的方程时一般方程和标准方程的选择：
?1?如果由已知条件容易求圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.
?2?如果已知条件和圆心或半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出参数D，E，F.
2．已知A(0,0)，B(1,1)，C(4,2)，求△ABC外接圆的方程．
[解] 设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
∵A(0,0)，B(1,1)，C(4,2)在圆上，∴它们的坐标是方程的解．
把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于D，E，F的三元一次方程组：
即
解此方程组，可得D＝－8，E＝6，F＝0，
∴△ABC外接圆的方程为x2＋y2－8x＋6y＝0.
与圆有关的动点轨迹问题
【例3】 已知△ABC的边AB长为2a，若BC的中线为定长m，求顶点C的轨迹方程．(轨迹方程是动点坐标所满足的方程)
[思路探究] 设出动点坐标(x，y)，根据已知找出动点(x，y)满足的条件，从而求出轨迹方程．
[解] 如图，以直线AB为x轴，线段AB的中垂线为y轴建立坐标系，则A(－a,0)，B(a,0)，
设C(x，y)，BC中点为D(x0，y0)，
则x0＝，y0＝，①
因为|AD|＝m，
所以(x0＋a)2＋y＝m2.②
将①式代入②式整理得(x＋3a)2＋y2＝4m2.
因为C不能在x轴上，
所以y≠0，故所求轨迹方程为(x＋3a)2＋y2＝4m2(y≠0)．
求与圆有关的轨迹问题常用的方法：
(1)直接法：根据题目的条件，建立适当的平面直角坐标系，设出动点坐标，并找出动点坐标所满足的关系式．
(2)定义法：当列出的关系式符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程．
(3)相关点法：若动点P(x，y)随着圆上的另一动点Q(x1，y1)运动而运动，且x1，y1可用x，y表示，则可将Q点的坐标代入已知圆的方程，即得动点P的轨迹方程．
3．已知线段AB的端点B的坐标是(5,3)，端点A在圆(x－1)2＋y2＝2上运动，求线段AB的中点M的轨迹．
[解] 设点M的坐标是(x，y)，点A的坐标是(x0，y0)，由于点B的坐标是(5,3)且M是AB的中点，
所以x＝，y＝，
所以x0＝2x－5，y0＝2y－3.①
因为点A在圆(x－1)2＋y2＝2上运动，
所以点A的坐标适合方程(x－1)2＋y2＝2，
即(x0－1)2＋y＝2.②
把①代入②，得(2x－5－1)2＋(2y－3)2＝2，
整理得(x－3)2＋2＝2.
所以M的轨迹是以为圆心，为半径的圆．
圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0是圆的另一种表示形式，其隐含着D2＋E2－4F＞0，同圆的标准方程类似，求圆的一般式方程也需要三个独立的条件．求轨迹的方法很多，注意合理选取，在求与圆有关的轨迹时，注意充分利用圆的性质．
1．思考辨析
(1)平面内任何一个圆的方程都是关于x，y的二元二次方程．
( )
(2)圆的一般方程和圆的标准方程可以互化． ( )
(3)形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的方程都表示圆． ( )
(4)若方程x2＋y2－2x＋Ey＋1＝0表示圆，则E≠0. ( )
[解析] (3)×，只有当D2＋E2－4F>0时才表示圆．
[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√
2．圆x2＋y2－2x＋4y＝0的圆心坐标为( )
A．(1,2) B．(1，－2)
C．(－1,2) D．(－1，－2)
B [将圆的方程化为标准方程(x－1)2＋(y＋2)2＝5，可知其圆心坐标是(1，－2)．]
3．方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示一个圆，则m的取值范围是( )
A．m≤2 B．m< C．m<2 D．m≤
B [由r＝>0，得(－1)2＋12－4m>0，即m<.]
4．已知圆x2＋y2＝4上一点为A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．
(1)求线段AP中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求PQ中点的轨迹方程．
[解] (1)设AP中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)．
∵P点在圆x2＋y2＝4上，∴(2x－2)2＋(2y)2＝4.故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.
(2)设PQ的中点N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，设O为坐标原点，连接ON(图略)，则ON⊥PQ，
所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，
所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.
故PQ中点N的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.
课件41张PPT。第二章 解析几何初步§2 圆与圆的方程
2.2 圆的一般方程2345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(二十) 圆的一般方程
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．圆的方程为(x－1)(x＋2)＋(y－2)(y＋4)＝0，则圆心坐标为( )
A．(1，－1) B.
C．(－1,2) D.
D [将圆的方程化为标准方程，得2＋(y＋1)2＝，所以圆心为.]
2．圆x2＋y2－2x＋6y＋8＝0的周长等于( )
A.π B．2π
C．2π D．4π
C [圆的方程配方后可化为(x－1)2＋(y＋3)2＝2，
∴圆的半径r＝，∴周长＝2πr＝2π.]
3．如果过A(2,1)的直线l将圆x2＋y2－2x－4y＝0平分，则l的方程为( )
A．x＋y－3＝0 B．x＋2y－4＝0
C．x－y－1＝0 D．x－2y＝0
A [由题意知直线l过圆心(1,2)，由两点式可得l的方程为＝，即x＋y－3＝0.]
4．圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的点到直线x－y＝2的距离的最小值是( )
A．2 B.－1
C．2＋ D．1＋2
B [圆的方程变为(x－1)2＋(y－1)2＝1，
∴圆心为(1,1)，半径为1，圆心到直线的距离d＝＝，
∴所求的最小值为－1.]
5．若Rt△ABC的斜边的两端点A，B的坐标分别为(－3,0)和(7,0)，则直角顶点C的轨迹方程为( )
A．x2＋y2＝25(y≠0) B．x2＋y2＝25
C．(x－2)2＋y2＝25(y≠0) D．(x－2)2＋y2＝25
C [线段AB的中点为(2,0)，因为△ABC为直角三角形，C为直角顶点，所以C到点(2,0)的距离为|AB|＝5，所以点C(x，y)满足＝5(y≠0)，即(x－2)2＋y2＝25(y≠0)．]
二、填空题
6．以点A(2,0)为圆心，且经过点B(－1,1)的圆的一般方程为______．
x2＋y2－4x－6＝0 [由题意知，圆的半径r＝|AB|＝＝，
∴圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝10，化为一般方程为x2＋y2－4x－6＝0.]
7．已知圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0关于直线y＝2x＋b成轴对称，则a－b的取值范围是________．
(－∞，1) [由题意知，直线y＝2x＋b过圆心，而圆心坐标为(－1,2)，代入直线方程，得b＝4，
圆的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5－a，所以a<5，由此，得a－b<1.]
8．点P(x0，y0)是圆x2＋y2＝16上的动点，点M是OP(O为原点)的中点，则动点M的轨迹方程是________．
x2＋y2＝4 [设M(x，y)，则即
又P(x0，y0)在圆上，
∴4x2＋4y2＝16，即x2＋y2＝4.]
三、解答题
9．若点A(1，－1)，B(1,4)，C(4，－2)，D(a,1)共圆，求a的值．
[解] 设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将A，B，C三点坐标代入，整理得方程组
解得D＝－7，E＝－3，F＝2，
∴圆的方程为x2＋y2－7x－3y＋2＝0.
又∵点D在圆上，∴a2＋1－7a－3＋2＝0，∴a＝0或a＝7.
10．等腰三角形的顶点A(4,2)，底边一个端点是B(3,5)，求另一端点C的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．
[解] 设底边另一个端点C的坐标是(x，y)，
依题意，得|AC|＝|AB|，由两点间距离公式得＝，
整理得(x－4)2＋(y－2)2＝10，
这是以点A(4,2)为圆心，以为半径的圆．
又因为A，B，C为三角形的三个顶点，
所以A，B，C三点不共线．即点B，C不能重合且不能为圆A的一条直径的两个端点，所以点C不能为(3,5)且≠4，≠2，即点C也不能为(5，－1)，故点C的轨迹方程为(x－4)2＋(y－2)2＝10(除去点(3,5)和(5，－1))，它的轨迹是以A(4,2)为圆心，为半径的圆，但除去(3,5)和(5，－1)两点．
[等级过关练]
1．如果圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)关于直线y＝x对称，则有( )
A．D＋E＝0 B．D＝E
C．D＝F D．E＝F
B [由圆的对称性知，圆心在直线y＝x上，故有－＝－，即D＝E.]
2．若圆x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0上所有点都在第二象限，则a的取值范围为( )
A．(－∞，2) B．(－∞，－1)
C．(1，＋∞) D．(2，＋∞)
D [由x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0得(x＋a)2＋(y－2a)2＝4，其圆心坐标为(－a,2a)，半径为2，由题意知解得a>2，故选D.]
3．若点(a＋1，a－1)在圆x2＋y2－2ay－4＝0的内部(不包括边界)，则a的取值范围是________．
(－∞，1) [∵点(a＋1，a－1)在圆x2＋y2－2ay－4＝0内部，
∴
即2a<2，a<1.]
4．已知M(0,4)，N(－6,0)，若动点P满足PM⊥PN，则动点P的轨迹方程是________．
(x＋3)2＋(y－2)2＝13(x≠0，且x≠－6) [由于PM⊥PN，所以动点P的轨迹是以线段MN为直径的圆(不包括端点M，N)，其圆心为线段MN的中点(－3,2)，直径|MN|＝＝2，于是半径等于，故轨迹方程为(x＋3)2＋(y－2)2＝13(x≠0，且x≠－6)．]
5．在平面直角坐标系xOy中，设二次函数f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)的图像与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C.
(1)求实数b的取值范围；
(2)求圆C的方程；
(3)问圆C是否经过某定点(其坐标与b无关)？请证明你的结论．
[解] (1)令x＝0，得抛物线与y轴交点是(0，b)；
令f(x)＝x2＋2x＋b＝0，由题意b≠0且Δ＞0，解得b＜1且b≠0.
(2)设所求圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，这与x2＋2x＋b＝0是同一个方程，故D＝2，F＝b.
令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，此方程有一个根为b，代入得出E＝－b－1.
所以圆C的方程为x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0.
(3)圆C必过定点(0,1)和(－2,1)．
证明如下：x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0可化为x2＋y2＋2x－y＋b(1－y)＝0，因为过定点，则与b无关，即y＝1代入上式，可得x＝0或x＝－2，所以圆C必过定点(0,1)，(－2,1)．
