2．3 直线与圆、圆与圆的位置关系
第1课时 直线与圆的位置关系
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解并掌握直线与圆的位置关系：相切、相交、相离．(重点)
2.会用几何法和代数法判断直线与圆的位置关系．(难点)
3.会求简单的弦长及圆的切线方程等问题．(重点)
1.通过学习几何法、代数法判断直线与圆的位置关系培养直观想象素养.
2.通过求简单的弦长及圆的切线方程等问题提升数学运算素养.
直线与圆的位置关系
直线l：Ax＋By＋C＝0和圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的位置关系的判断方法：
位置关系
图示
几何法
代数法
相离
d>r
Δ<0
相切
d＝r
Δ＝0
相交
dΔ>0
其中Δ是由消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程的判别式．
思考：用“代数法”与“几何法”判断直线与圆的位置关系各有什么特点？
提示：用“代数法”与“几何法”判断直线与圆的位置关系，是从不同的方面、不同的思路来判断的．“几何法”侧重于“形”，很好地结合了图形的几何性质；“代数法”侧重于“数”，它倾向于“坐标”与“方程”．
1．直线3x＋4y＋12＝0与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝9的位置关系是( )
A．过圆心 B．相切
C．相离 D．相交
D [圆心为(1，－1)，圆心距d＝＝＜3＝r，所以直线与圆相交．]
2．当直线x＋y－a＝0与圆x2＋(y－1)2＝2相离时，a的取值范围是________．
(－∞，－1)∪(3，＋∞) [圆x2＋(y－1)2＝2的圆心为(0,1)，半径为r＝，圆心(0,1)到直线x＋y－a＝0的距离d＝，依题意，>，解得a<－1或a>3.]
3．直线x－2y＋5＝0与圆x2＋y2＝8相交于A，B两点，则|AB|＝________.
2 [d＝＝，
所以|AB|＝2＝2＝2.]
直线与圆位置关系的判断
【例1】 已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，圆与直线：
有两个公共点；只有一个公共点；没有公共点．
[解] 法一：将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程化简整理得，
(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0.
∵Δ＝4m(3m＋4)，
∴当Δ>0时，即m>0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；
当Δ＝0时，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；
当Δ<0时，即－法二：已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，
即圆心为C(2,1)，半径r＝2.
圆心C(2,1)到直线mx－y－m－1＝0的距离d＝＝.
当d<2时，即m>0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；
当d＝2时，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；
当d>2时，即－直线与圆位置关系判断的三种方法：
(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断．
(2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．
(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过对定点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．
1．直线x－ky＋1＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是( )
A．相交 B．相离
C．相交或相切 D．相切
C [直线x－ky＋1＝0恒过定点(－1,0)，而点(－1,0)恰在圆x2＋y2＝1上，故直线与圆至少有一个公共点，故选C.]
直线与圆相切问题
【例2】 (1)过圆x2＋y2－2x－4y＝0上一点P(3,3)的切线方程为( )
A．2x－y＋9＝0 B．2x＋y－9＝0
C．2x＋y＋9＝0 D．2x－y－9＝0
(2)由直线y＝x＋1上任一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则该切线长的最小值为( )
A．1 B．2
C. D．3
(3)求过点P(2,3)且与圆(x－1)2＋(y－2)2＝1相切的直线的方程．
(1)B (2)C [(1)由题意得，圆心(1,2)，切点P(3,3)，则切线斜率为－2.所以切线方程为y－3＝－2(x－3)，即：2x＋y－9＝0.
(2)由题意得，圆心(3,0)到直线y＝x＋1的距离d＝＝2，圆的半径为1，故切线长的最小值为＝＝.]
(3)解：易知点P(2,3)在圆外，当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝2，符合要求；当直线的斜率存在时，可设直线的方程为y－3＝k(x－2)，根据圆心到直线的距离等于半径，得d＝＝1，解得k＝0，所以直线的方程为x＝2或y＝3.]
过圆外一点作圆的切线一定有两条.其求法有两种方法：
?1?几何法：
设切线方程为y－y0＝k?x－x0?，即kx－y－kx0＋y0＝0，由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，进而求出切线方程.
?2?代数法：
设切线方程为y－y0＝k?x－x0?，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0求得k，切线方程即可求出.,另外：要注意过圆外一点的切线必有两条，无论用几何法还是代数法.当求得k值是一个时，则另一条切线的斜率一定不存在.
2．求过点M(3,1)，并且与圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4相切的直线方程．
[解] ∵(3－1)2＋(1－2)2＝5＞4，∴点M在圆C外部．
当过点M的直线斜率不存在时，直线方程为x＝3，即x－3＝0.
又点C(1,2)到直线x－3＝0的距离d＝3－1＝2＝r，
即此时满足题意，所以直线x＝3是圆的切线．
当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0，则圆心C到切线的距离d＝＝r＝2，解得k＝.
∴切线方程为y－1＝(x－3)，即3x－4y－5＝0.
弦长问题
[探究问题]
1．如图，直线l与圆O相交于A，B两点，结合图形思考下列问题：
若弦AB的长记为L，结合图形请写出L，d，r之间的关系式．
提示：L＝2.
2．设直线y＝kx＋b与圆相交于A，B两点，A(x1，y1)，
B(x2，y2)．则|AB|的长为多少？
提示：|AB|＝
＝
＝|x1－x2|
＝.
【例3】 求直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长．
[思路探究] 本题可以考虑利用弦心距，半弦长和半径构成的直角三角形求解，若交点坐标易求，则可以联立解方程组，求出交点坐标，利用两点间的距离公式求解．
[解] 法一：圆C：x2＋y2－2y－4＝0可化为x2＋(y－1)2＝5，
其圆心坐标为(0,1)，半径r＝.
点(0,1)到直线l的距离为d＝＝，t＝2＝，所以截得的弦长为.
法二：设直线l与圆C交于A、B两点．
由得交点A(1,3)，B(2,0)，
所以弦AB的长为|AB|＝＝.
1．若本例改为“过点(2,0)的直线被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长为，求该直线方程”，又如何求解．
[解] 由例题知，圆心C(0,1)，半径r＝，又弦长为.
所以圆心到直线的距离d＝＝＝.
又直线过点(2,0)，知直线斜率一定存在．
可设直线斜率为k，则直线方程为y＝k(x－2)，
所以d＝＝，解得k＝－3或k＝，
所以直线方程为y＝－3(x－2)或y＝(x－2)，
即3x＋y－6＝0或x－3y－2＝0.
2．本例若改为“求过点M(1,2)且被圆C：x2＋y2－2y－4＝0所截弦长最短时，直线的方程”，又如何求解？
[解] 由例题知圆心C(0,1)，圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝5.
因为12＋(2－1)2<5，故点M(1,2)在圆内．
则当CM与直线垂直时弦长最短，又kCM＝1，
所以所求直线的斜率为－1，又过点M(1,2)，
所以直线方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.
线与圆相交弦长的求法：,?1?几何法：求圆心到直线的距离d，再利用公式l＝.
?2?代数法：直线方程与圆的方程联立，消去x?或y?，利用公式
求解?也可以直接求出两点坐标，利用两点间距离公式求得?.求直线被图截得的弦长时，通常用几何法，其求解过程转为简捷.
1．判断直线与圆位置关系的途径主要有两个：一是圆心到直线的距离与圆的半径进行大小比较；二是直线与圆的方程组成的方程组解的个数．两者相比较，前者较形象、直观，便于运算．
2．与圆有关的弦长、切线问题常利用几何法求解，但注意验证所求直线的斜率不存在的情形，避免漏解．
1．思考辨析
(1)直线与圆最多有两个公共点． ( )
(2)如果一条直线被圆截得的弦长最长，则此直线过圆心．
( )
(3)若A、B是圆O外两点，则直线AB与圆O相离． ( )
(4)若C为圆O内一点，则过点C的直线与圆O相交． ( )
[解析] (3)×，AB与圆O可相交、相切、也可相离．
[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√
2．直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝m(m>0)相切，则m的值为________．
2 [由圆心到直线的距离d＝＝，解得m＝2.]
3．由点P(1,3)引圆x2＋y2＝9的切线，其切线长是________．
1 [点P到原点O的距离为|PO|＝，∵r＝3，∴切线长为＝1.]
4．已知过点M(－3，－3)的直线l被圆x2＋y2＋4y－21＝0所截得的弦长为4，求直线l的方程．
[解] 将圆的方程写成标准形式，得x2＋(y＋2)2＝25，所以，圆心的坐标是(0，－2)，半径长r＝5.
因为直线被圆截得的弦长为4，
所以，弦心距为＝，
设过点M的直线方程为y＋3＝k(x＋3)，
即kx－y＋3k－3＝0.
由弦心距为，得＝，解得k＝－或k＝2，所以，所求直线有两条，它们的方程分别为x＋2y＋9＝0或2x－y＋3＝0.
课件45张PPT。第二章 解析几何初步2．3 直线与圆、圆与圆的位置关系
第1课时 直线与圆的位置关系d>r Δ＝0d学 习 目 标
核 心 素 养
1.能根据两个圆的方程，判断两个圆的位置关系．(重点)
2.能根据两圆的位置关系，求有关直线或圆的方程．(难点)
1.通过判断两圆的位置关系，提升直观想象素养.
2.由两圆的位置关系求有关直线方程或圆的方程，培养数学运算素养.
两圆之间的位置关系
已知两圆：C1：(x－x1)2＋(y－y1)2＝r，
C2：(x－x2)2＋(y－y2)2＝r，
则圆心分别为C1(x1，y1)，C2(x2，y2)，半径分别为r1，r2，圆心距d＝|C1C2|＝.
则两圆C1，C2有以下位置关系：
位置关系
圆心距与半径之间的关系
图示
两圆相离
d>r1＋r2
两圆外切
d＝r1＋r2
两圆相交
|r1－r2|< d两圆内切
d＝|r1－r2|
两圆内含
d<|r1－r2|
思考：若两圆只有一个公共点，两圆一定外切吗？
提示：不一定，也可能相内切．
1．圆C1：(x－1)2＋(y－2)2＝4与圆C2：(x＋2)2＋(y＋2)2＝9的位置关系是( )
A．相离 B．外切
C．相交 D．内切
B [圆心距d＝＝5，两圆半径的和r1＋r2＝2＋3＝5，则d＝r1＋r2，即两圆外切．]
2．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2－2ax＋a2－1＝0相内切，则a＝________.
±1 [圆x2＋y2－2ax＋a2－1＝0，
配方得(x－a)2＋y2＝1，
两圆的连心线长为＝|a|＝2－1，
解得a＝±1.]
3．圆x2＋y2＝1与圆(x－1)2＋y2＝1的公共弦所在的直线方程为________．
x＝ [设两圆相交于A，B两点，则A，B两点满足两式相减得－2x＋1＝0，即x＝.]
两圆位置关系的判断
【例1】 已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，则m为何值时：
(1)圆C1与圆C2外切？
(2)圆C1与圆C2内切？
[解] 圆C1，圆C2的方程经配方后为
C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9；C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4.其中C1(m，－2)，C2(－1，m)，r1＝3，r2＝2.
(1)如果C1与C2外切，则有＝3＋2，即(m＋1)2＋(m＋2)2＝25，
∴m2＋3m－10＝0，解得m＝－5或m＝2.
(2)如果C1与C2内切，则有＝3－2，即(m＋1)2＋(m＋2)2＝1，
∴m2＋3m＋2＝0，解得m＝－2或m＝－1.
综上，当m＝－5或m＝2时，圆C1与圆C2外切；
当m＝－2或m＝－1时，圆C1与圆C2内切．
判定两圆位置关系的步骤：
?1?将圆的方程化为标准式，求出圆心和半径；
?2?计算圆心距，半径和，半径差的绝对值；
?3?利用圆心距，半径和，半径差的绝对值判定两圆的位置关系.
1．已知圆x2＋y2＝m与圆x2＋y2＋6x－8y－11＝0相交，则实数m的取值范围为______．
(1,121) [圆x2＋y2＝m的圆心坐标为(0,0)，半径为r1＝，圆x2＋y2＋6x－8y－11＝0的圆心坐标为(－3,4)，半径r2＝6，
圆心距：d＝＝5，若两圆相交，则圆心距|r1－r2|＜d＜r1＋r2，所以|6－|＜5＜6＋，即|6－|＜5，
解得1＜m＜121.]
两圆公共弦的问题
【例2】 已知两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0.
(1)试判断两圆的位置关系；
(2)求公共弦所在的直线方程；
(3)求公共弦的长度．
[思路探究] 先把两圆方程化为标准方程，判断两圆的位置关系，作差求公共弦所在直线方程，求公共弦的长度．
[解] (1)将两圆方程配方化为标准方程，
C1：(x－1)2＋(y＋5)2＝50，C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝10.
则圆C1的圆心为(1，－5)，半径r1＝5；
圆C2的圆心为(－1，－1)，半径r2＝.
又|C1C2|＝2，r1＋r2＝5＋，r1－r2＝5－，
∴r1－r2＜|C1C2|＜r1＋r2，∴两圆相交．
(2)将两圆方程相减，得公共弦所在直线方程为x－2y＋4＝0.
(3)法一：两方程联立，得方程组
两式相减得x＝2y－4，③
把③代入②得y2－2y＝0，∴y1＝0，y2＝2.
∴或
所以交点坐标为(－4,0)和(0,2)．
∴两圆的公共弦长为＝2.
法二：两方程联立，得方程组
两式相减 得x－2y＋4＝0，即为两圆相交弦所在直线的方程．
由x2＋y2－2x＋10y－24＝0，得(x－1)2＋(y＋5)2＝50，
其圆心为C1(1，－5)，半径r1＝5.
圆心C1到直线x－2y＋4＝0的距离
d＝＝3，
设公共弦长为2l，由勾股定理r2＝d2＋l2，得50＝45＋l2，解得l＝，所以公共弦长2l＝2.
1．求圆的弦长，一般运用垂径定理构造直角三角形，利用半径、弦心距先求半弦长，即得弦长．
2．求两圆的公共弦长及公共弦所在直线方程一般不用求交点的方法，常用如下方法：
2．(1)若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦的长为2，则a＝________.
(2)已知圆C的圆心为(2,1)，若圆C与圆x2＋y2－3x＝0的公共弦所在直线过点(5，－2)，求圆C的方程．
(1)1 [两圆公共弦所在直线方程ay＝1，
再由圆心(0,0)到直线ay＝1的距离等于1且a＞0，得a＝1.]
(2)解：设圆C的半径长为r，则圆C的方程为
(x－2)2＋(y－1)2＝r2，即x2＋y2－4x－2y＋5＝r2，
两圆的方程相减得公共弦所在直线的方程为
x＋2y－5＋r2＝0，
因为该直线过点(5，－2)，所以r2＝4，
则圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.
两圆位置关系的应用
【例3】 求过两圆x2＋y2－4＝0和x2－4x＋y2＝0的交点，且圆心在直线x－y－6＝0上的圆的方程．
[思路探究] 求出交点，再求圆心和半径得圆的方程．
[解] 法一：由
得或
因为点(1，)和(1，－)都在直线x＝1上，
故过这两个点的圆的圆心在x轴上．
又圆心在直线x－y－6＝0上，
∴圆心为(6,0)，半径r＝＝.
∴圆的方程为(x－6)2＋y2＝28.
法二：设所求圆的方程为
x2＋y2－4＋λ(x2＋y2－4x)＝0(λ≠－1)．
整理得x2＋y2－x－＝0.
∵圆心在直线x－y－6＝0上，
∴－6＝0.
解得λ＝－.
∴所求圆的方程为x2＋y2－12x＋8＝0.
常见的圆系方程有：
①设两相交圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，则C3：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ?x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2?＝0?λ≠－1?表示过两相交圆交点的圆?不包括C2?；当λ＝－1时，?D1－D2?x＋?E1－E2?y＋F1－F2＝0表示两圆的公共弦所在直线的方程.,②方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ?ax＋by＋c?＝0，表示过圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0与直线ax＋by＋c＝0交点的圆.
3．求与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋y＝0相切于点(3，－)的圆的方程．
[解] 设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，
将x2＋y2－2x＝0化为标准方程，得(x－1)2＋y2＝1，
由题意可得
解得或
故所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4)2＝36.
1．判断两圆的位置关系的方法
(1)由两圆的方程组成的方程组有几个实数解确定，这种方法计算量比较大，一般不用．
(2)依据圆心距与两圆半径的和或两半径的差的绝对值的大小关系．
2．当两圆相交时，把两圆的方程作差消去x2和y2就得到两圆的公共弦所在的直线方程．
3．求弦长时，常利用圆心到弦所在的直线的距离求弦心距，再结合勾股定理求弦长．
1．思考辨析
(1)两圆方程联立，若有两个解，则两圆相交． ( )
(2)两圆方程联立，若无解，则两圆外离． ( )
(3)若两圆有公共点，则|r1－r2|≤d≤r1＋r2. ( )
[解析] (2)×，两圆方程联立，若无解，则两圆无交点，相离或内含．
[答案] (1)√ (2)× (3)√
2．两圆x2＋y2－1＝0和x2＋y2－4x＋2y－4＝0的位置关系是( )
A．内切 B．相交
C．外切 D．相离
B [圆x2＋y2－1＝0的圆心C1(0,0)，半径r1＝1，圆x2＋y2－4x＋2y－4＝0的圆心C2(2，－1)，半径r2＝3，两圆心距离d＝|C1C2|＝＝，又r2－r1＝2，r1＋r2＝4，所以r2－r13．若圆C1：x2＋y2＝16与圆C2：(x－a)2＋y2＝1相切，则a的值为( )
A．±3 B．±5
C．3或5 D．±3或±5
D [圆C1与圆C2的圆心距d＝＝|a|.当两圆外切时，有|a|＝4＋1＝5，∴a＝±5，当两圆内切时，有|a|＝4－1＝3，∴a＝±3.]
4．求与圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4相切于点A(4，－1)且半径长为1的圆的方程．
[解] 设所求圆的圆心为P(a，b)，
则＝1.①
(1)若两圆外切，则有＝1＋2＝3，②
联立①②，解得a＝5，b＝－1，
所以所求圆的方程为(x－5)2＋(y＋1)2＝1；
(2)若两圆内切，则有＝|2－1|＝1，③
联立①③，解得a＝3，b＝－1，
所以所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝1.
综上所述，所求圆的方程为(x－5)2＋(y＋1)2＝1或(x－3)2＋(y＋1)2＝1.
课件45张PPT。第二章 解析几何初步2．3 直线与圆、圆与圆的位置关系
第2课时 圆与圆的位置关系d>r1＋r2|r1－r2|< d(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．直线2x－y＋3＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
A [圆C：x2＋(y－1)2＝5的圆心C为(0,1)，半径为.由圆心(0,1)到直线2x－y＋3＝0的距离
d＝＝<，
∴直线和圆相交．]
2．已知圆x2＋y2－2kx－2y＝0与直线x＋y＝2k相切，则k等于( )
A．2 B．－2
C．1 D．－1
D [圆的方程可化为(x－k)2＋(y－1)2＝1＋k2，由＝得k＝－1.故选D.]
3．若PQ是圆x2＋y2＝9的弦，且PQ的中点是(1,2)，则|PQ|＝( )
A．2 B．4 C．8 D．10
B [设PQ的中点A(1,2)，圆心O(0,0)，连接OA(图略)，则OA⊥PQ，在Rt△OAP中，PA＝＝＝2，∴PQ＝2×2＝4.]
4．已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a的值为( )
A．－2 B．－4
C．－6 D．－8
B [由圆的方程x2＋y2＋2x－2y＋a＝0可得，
圆心为(－1,1)，半径r＝.
圆心到直线x＋y＋2＝0的距离为d＝＝.
由r2＝d2＋2得2－a＝2＋4，
所以a＝－4.]
5．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是( )
A．[－3，－1] B．[－1,3]
C．[－3,1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
C [圆的圆心为(a,0)，半径为，
所以≤，即|a＋1|≤2，
∴－2≤a＋1≤2，∴－3≤a≤1.]
二、填空题
6．直线ax＋by＋b－a＝0与圆x2＋y2－x－3＝0的位置关系是________．
相交 [直线方程化为a(x－1)＋b(y＋1)＝0，过定点(1，－1)，代入圆的方程，左侧小于0，则定点在圆内，所以直线与圆总相交．]
7．直线y＝kx＋3与圆(x－1)2＋(y－2)2＝4相交于M，N两点，|MN|≥2，则k的取值范围是________．
(－∞，0] [因为|MN|≥2，所以圆心(1,2)到直线y＝kx＋3的距离不大于＝1，即≤1，
解得k≤0.]
8．已知圆C与直线x－y＝0及x－y＝4都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为____________．
(x－1)2＋(y＋1)2＝2 [设圆心为点C(a，－a)，由点到直线的距离公式得＝，解得a＝1，所以圆心为(1，－1)，半径为，圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.]
三、解答题
9．求实数m的取值范围，使直线x－my＋3＝0与圆x2＋y2－6x＋5＝0分别满足：
(1)相交；(2)相切；(3)相离．
[解] 圆的方程化为标准式为(x－3)2＋y2＝4，
故圆心(3,0)到直线x－my＋3＝0的距离d＝，圆的半径r＝2.
(1)若相交，则d所以m<－2或m>2；
(2)若相切，则d＝r，即＝2，
所以m＝±2；
(3)若相离，则d>r，即>2，
所以－210．已知圆C和y轴相切，圆心C在直线x－3y＝0上，且被直线y＝x截得的弦长为2，求圆C的方程．
[解] 设圆心坐标为(3m，m)．
∵圆C和y轴相切，得圆的半径为3|m|，
∴圆心到直线y＝x的距离为＝|m|.由半径、弦心距、半弦长的关系，得9m2＝7＋2m2，∴m＝±1，
∴所求圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.
[等级过关练]
1．若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交，则点P(a，b)的位置是( )
A．在圆上 B．在圆外
C．在圆内 D．以上都不对
B [由直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交知，<1，即a2＋b2>1，可知点P(a，b)在圆外，故选B.]
2．已知圆x2＋y2－4x＋2y＋c＝0与y轴交于A，B两点，圆心为P，若∠APB＝90°，则c的值为( )
A．－3 B．3
C．8 D．－2
A [配方得(x－2)2＋(y＋1)2＝5－c，圆心是点P(2，－1)，半径r＝，点P到y轴的距离为2.当∠APB＝90°时，弦心距、半径和半弦长构成等腰直角三角形，所以＝，得c＝－3.]
3．直线x＋y＋a＝0(a＞0)与圆x2＋y2＝4交于A，B两点，且S△OAB＝，则a＝________.
或 [∵圆心到直线x＋y＋a＝0的距离d＝，|AB|＝2× ，
∴S△OAB＝×2× ×＝，
解得a2＝6或a2＝2.
又a＞0，∴a＝或.]
4．直线l1：y＝x＋a和l2：y＝x＋b将单位圆C：x2＋y2＝1分成长度相等的四段弧，则a2＋b2＝________.
2 [依题意，不妨设直线y＝x＋a与单位圆相交于A，B两点，则∠AOB＝90°.如图所示，此时a＝1，b＝－1，满足题意，所以a2＋b2＝2.]
5．已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)．
(1)求证不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点；
(2)求直线被圆C截得的弦长最小时的l的方程．
[解] (1)证明：因为l的方程为(x＋y－4)＋m(2x＋y－7)＝0(m∈R)，所以解得
即l恒过定点A(3,1)．
因为圆心为C(1,2)，|AC|＝<5(半径)，
所以点A在圆C内，从而直线l与圆C恒交于两点．
(2)由题意可知弦长最小时，l⊥AC.
因为kAC＝－，所以l的斜率为2.
又l过点A(3,1)，所以l的方程为2x－y－5＝0.
课时分层作业(二十二) 圆与圆的位置关系
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．圆O1：x2＋y2＋2x＋4y＋3＝0与圆O2：x2＋y2－4x－2y－3＝0的位置关系是( )
A．内切 B．外切
C．相交 D．相离
B [圆O1：(x＋1)2＋(y＋2)2＝2，圆O2：(x－2)2＋(y－1)2＝8，∴|O1O2|＝＝3＝r1＋r2.]
2．已知圆C1，C2相切，圆心距为10，其中圆C1的半径为4，则圆C2的半径为( )
A．6或14 B．10
C．14 D．不确定
A [由题意知，r＋4＝10或10＝|r－4|，∴r＝6或r＝14.]
3．与两圆x2＋y2＋4x－4y＋7＝0和x2＋y2－4x－10y＋13＝0都相切的直线有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
C [两圆的圆心距离为5，两圆半径和为5，故两圆外切．因此有两条外公切线和一条内公切线共3条，故选C.]
4．圆x2＋y2－2x－5＝0和圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A、B，则线段AB的垂直平分线的方程为( )
A．x＋y－1＝0 B．2x－y＋1＝0
C．x－2y＋1＝0 D．x－y＋1＝0
A [圆x2＋y2－2x－5＝0化为标准方程是(x－1)2＋y2＝6，其圆心是(1,0)；圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0化为标准方程是(x＋1)2＋(y－2)2＝9，其圆心是(－1,2)．线段AB的垂直平分线就是过两圆圆心的直线，验证可得A正确．]
5．圆x2＋y2＝50与圆x2＋y2－12x－6y＋40＝0公共弦长为( )
A. B. C．2 D．2
C [x2＋y2＝50与x2＋y2－12x－6y＋40＝0作差，得两圆公共弦所在的直线方程为2x＋y－15＝0，圆x2＋y2＝50的圆心(0,0)到2x＋y－15＝0的距离d＝3，因此，公共弦长为2＝2.]
二、填空题
6．圆x2＋y2＝1与圆x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0的交点坐标为________．
(－1,0)和(0，－1) [由
得或]
7．已知两圆相交于两点A(1,3)和B(m,1)，且两圆的圆心都在直线x－y＋＝0上，则m＋c的值是________．
3 [由条件知，两点A(1,3)和B(m,1)的垂直平分线方程就是直线x－y＋＝0，
∴AB的中点在直线x－y＋＝0上，
即－2＋＝0，
即m＋c＝3.]
8．已知圆O的方程是x2＋y2－2＝0，圆O′的方程是x2＋y2－8x＋10＝0.由动点P向⊙O和⊙O′所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程是________．
x＝ [圆O的圆心为O(0,0)，半径r＝；⊙O′的圆心为O′(4,0)，半径r′＝.设点P(x，y)，由切线长(用勾股定理表示切线长)相等得x2＋y2－2＝(x－4)2＋y2－6，即x＝，这就是动点P的轨迹方程．]
三、解答题
9．求圆心为(2,1)且与已知圆x2＋y2－3x＝0的公共弦所在直线经过点(5，－2)的圆的方程．
[解] 设所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r2，
即x2＋y2－4x－2y＋5－r2＝0，①
已知圆的方程为x2＋y2－3x＝0，②
②－①得公共弦所在直线的方程为x＋2y－5＋r2＝0，又此直线经过点(5，－2)，∴5－4－5＋r2＝0，∴r2＝4，故所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.
10．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0.设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程．
[解] 圆M的标准方程为(x－6)2＋(y－7)2＝25，圆心为M(6,7)，半径长为5.由圆心N在直线x＝6上，可设N(6，y0)．因为圆N与x轴相切，与圆M外切，于是圆N的半径长为y0，从而7－y0＝5＋y0，解得y0＝1.
所以圆N的标准方程为(x－6)2＋(y－1)2＝1.
[等级过关练]
1．半径长为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程为( )
A．(x－4)2＋(y－6)2＝6
B．(x±4)2＋(y－6)2＝6
C．(x－4)2＋(y－6)2＝36
D．(x±4)2＋(y－6)2＝36
D [设圆心坐标为(a，b)，∵半径长为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，结合图形(图略)可得b＝6，又两圆内切，则两圆圆心的距离为半径之差，＝5解得a＝±4，故所求圆的方程为(x±4)2＋(y－6)2＝36.]
2．点P在圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，则|PQ|的最小值是( )
A．5 B．1
C．3－5 D．3＋5
C [圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0，即(x－4)2＋(y－2)2＝9，圆心为C1(4,2)；圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0，即(x＋2)2＋(y＋1)2＝4，圆心为C2(－2，－1)，两圆相离，|PQ|的最小值为|C1C2|－(r1＋r2)＝3－5.]
3．已知圆(x－7)2＋(y＋4)2＝16与圆(x＋5)2＋(y－6)2＝16关于直线l对称，则直线l的方程是________．
6x－5y－1＝0 [由题意得，两圆的圆心A(7，－4)和B(－5,6)关于直线l对称，AB的垂直平分线就是直线l，
AB的中点为(1,1)，kAB＝－，∴l的方程是y－1＝(x－1)，即6x－5y－1＝0.]
4．若圆O1：x2＋y2＝5与圆O2：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是________．
4 [由题意知O1(0,0)，O2(m,0)，且<|m|<3，又O2A⊥AO1，
所以有m2＝()2＋(2)2＝25?m＝±5，
所以|AB|＝2×＝4.]
5．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝4.
(1)若直线l1过定点A(1,0)，且与圆C相切，求l1的方程；
(2)若圆D的半径为3，圆心在直线l2：x＋y－2＝0上，且与圆C外切，求圆D的方程．
[解] (1)①若直线l1的斜率不存在，即直线是x＝1，符合题意；
②若直线l1的斜率存在，
设直线l1为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0.
由题意知，圆心(3,4)到已知直线l1的距离等于半径2，即＝2，解得k＝，即直线是3x－4y－3＝0.
综上，所求直线l1的方程为x＝1或3x－4y－3＝0.
(2)依题意，设D(a,2－a)，
又已知圆C的圆心(3,4)，r＝2，
由两圆外切，可知|CD|＝5，
∴ ＝5，
解得a＝3或a＝－2，∴D(3，－1)或D(－2,4)，
∴所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝9或(x＋2)2＋(y－4)2＝9.
