§3 空间直角坐标系
3．1 空间直角坐标系的建立
3．2 空间直角坐标系中点的坐标
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解空间直角坐标系的建立方法及有关概念.
2.会在空间直角坐标系中用三元有序数组刻画点的位置．(重点、难点)
1.通过空间直角坐标系的建立方法及有关概念培养数学抽象素养.
2.通过在空间直角坐标系中用三元有序数组，刻画点的位置提升直观想象素养.
1．空间直角坐标系
(1)空间直角坐标系建立的流程图：
↓
↓
(2)空间直角坐标系的建系原则——右手螺旋法则：
①伸出右手，让四指与大拇指垂直；
②四指先指向x轴正方向；
③让四指沿握拳方向旋转90°指向y轴正方向；
④大拇指的指向即为z轴正方向．
(3)有关名称：
如图所示，
①O叫作原点；
②x，y，z轴统称为坐标轴；
③由坐标轴确定的平面叫作坐标平面，
由x，y轴确定的平面记作xOy平面，
由y，z轴确定的平面记作yOz平面，
由x，z轴确定的平面记作xOz平面．
2．空间直角坐标系中点的坐标
(1)空间直角坐标系中任意一点P的位置，可用一个三元有序数组来刻画．
(2)空间任意一点P的坐标记为(x，y，z)，第一个是x轴坐标，第二个是y轴坐标，第三个是z轴坐标．
(3)空间直角坐标系中，点一一对应三元有序数组．
(4)对于空间中点P坐标的确定方法是：过点P分别向坐标轴作垂面，构造一个以O，P为顶点的长方体，如果长方体在三条坐标轴上的顶点P1，P2，P3的坐标分别为(x,0,0)，(0，y,0)，(0,0，z)，则点P的坐标为(x，y，z)．
思考：画空间直角坐标系时，任意两坐标轴的夹角是否都画成90°呢？
提示：不是，空间直角坐标系中，任意两坐标轴的夹角都是90°，但在画直观图时通常画为∠xOy＝135°，∠xOz＝135°.
1．点(2,0,3)在空间直角坐标系中的( )
A．y轴上 B．xOy平面上
C．xOz平面上 D．第一象限内
C [点(2,0,3)的y轴坐标为0，所以该点在xOz平面上．]
2．点P(a，b，c)到坐标平面xOy的距离是( )
A. B．|a|
C．|b| D．|c|
D [点P(a，b，c)到坐标平面的距离应为|c|.]
3．在空间直角坐标系中，自点P(－4，－2,3)引x轴的垂线，则垂足的坐标为________．
(－4,0,0) [∵点P(－4，－2,3)，
∴自点P引x轴的垂线，垂足坐标为(－4,0,0)．]
求空间点的坐标
【例1】 如图，棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是AB的中点，F是BB1的中点，G是AB1的中点，试建立适当的坐标系，并确定E，F，G三点的坐标．
[思路探究] 取D为空间坐标系的原点，过D点的三条棱所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，按定义确定E，F，G坐标．
[解] 如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系，E点在平面xDy中，且|EA|＝.
∴E点的坐标为.
∵B点和B1点的坐标分别为(1,1,0)和(1,1,1)，故F点坐标为.
同理可得G点坐标为.
1．空间中点的位置和点的坐标是相对的，建立空间直角坐标系，要力争尽可能简捷地将点的坐标表示出来．因此，要确定各点到xDy面、yDz面、xDz面的距离，同时中点坐标公式在空间直角坐标系中仍然适用．
2．设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，则P1P2中点P(x，y，z)坐标满足x＝，y＝，z＝.
1．(1)点M所在的位置是( )
A．x轴上 B．xOz平面上
C．xOy平面内 D．yOz平面内
(2)正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为1，且|BP|＝|BD′|，建立如图所示的空间直角坐标系，则P点的坐标为( )
A. B.
C. D.
(1)D (2)D [(1)∵M点的坐标为，x＝0，
∴点M在平面yOz内．
(2)如图所示，过P分别作平面xOy和z轴的垂线，垂足分别为E，H，过E分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为F，G，由于|BP|＝|BD′|，所以|DH|＝|DD′|＝，|DF|＝|DA|＝，|DG|＝|DG|＝，所以P点的坐标为，故选D.]
已知点的坐标确定点的位置
【例2】 在空间直角坐标系中，作出点M(2，－6,4)．
[解] 法一：先确定点M′(2，－6,0)在xOy平面上的位置，因为点M的竖坐标为4，
则|MM′|＝4，且点M和z轴的正半轴在xOy平面的同侧，这样就可确定点M的位置了(如图所示)．
法二：以O为一个顶点，构造三条棱长分别为2,6,4的长方体，使此长方体在点O处的三条棱分别在x轴正半轴、y轴负半轴、z轴正半轴上，则长方体中与顶点O相对的顶点即为所求的点(图略)．
由点的坐标确定点位置的方法
(1)先确定点(x0，y0,0)在xOy平面上的位置，再由竖坐标确定点(x0，y0，z0)在空间直角坐标系中的位置；
(2)以原点O为一个顶点，构造棱长分别为|x0|，|y0|，|z0|的长方体(三条棱的位置要与x0，y0，z0的符号一致)，则长方体中与O相对的顶点即为所求的点．
2．在空间直角坐标系中，作出点P(5,4,6)．
[解] 第一步从原点出发沿x轴正方向移动5个单位，第二步沿与y轴平行的方向向右移动4个单位，第三步沿与z轴平行的方向向上移动6个单位(如图所示)，即得点P.
求空间某对称点的坐标
[探究问题]
1．平面中，两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的中点坐标是什么？类比平面中两点的中点坐标，空间中两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)的中点坐标是什么？
提示：平面上两点P1，P2的中点坐标为；空间中两点P1，P2中点的坐标为.
2．在空间直角坐标系中，关于一个平面对称的点有什么特点？关于一条坐标轴对称的点有什么特点？
提示：关于哪个平面的对称点在这个平面上的坐标不变，另外的坐标变成原来的相反数．
关于一条坐标轴的对称点这个坐标不变，另两个坐标变为原来的相反数．
3．在空间直角坐标系中，关于原点对称的点的坐标有什么特点？
提示：三个坐标分别互为相反数．
【例3】 求点A(1,2，－1)关于坐标平面xOy及x轴对称的点的坐标．
[思路探究] 解答本题可先作出点A的坐标，然后借助于图形，分析其对称点的情况．
[解] 如图所示，过A作AM⊥xOy交平面于M，并延长到C，使|AM|＝|CM|，则A与C关于坐标平面xOy对称点C(1,2,1)．过A作AN⊥x轴于N，并延长到点B，使|AN|＝|NB|，则A与B关于x轴对称且B(1，－2,1)，∴A(1,2，－1)关于坐标平面xOy对称的点的坐标为(1,2,1)；A(1,2，－1)关于x轴对称的点的坐标为(1，－2,1).
点关于原点、坐标轴及坐标平面的对称点有如下特点：
?1?P?x，y，z?P1?－x，－y，－z?；
?2?P?x，y，z?P2?x，－y，－z?；
P?x，y，z?P3?－x，y，－z?；
P?x，y，z?P4?－x，－y，z?.
记忆口诀：“关于谁对称谁不变，其余相反”.
?3?P?x，y，z?P5?x，y，－z?；
P?x，y，z?P6?－x，y，z?；
P?x，y，z?P7?x，－y，z?.
3．写出点P(－2,1,4)关于y轴，z轴，yOz面，xOz面的对称点的坐标．
[解] (1)点P关于y轴的对称点坐标为P1(2,1，－4)，
(2)点P关于z轴的对称点坐标为P2(2，－1,4)，
(3)点P关于面yOz的对称点为P3(2,1,4)，
(4)点P关于面xOz对称的点为P4(－2，－1,4)．
1．空间直角坐标系的作图要求
(1)将空间直角坐标系Oxyz画在纸上时，x轴与y轴，x轴与z轴均画成135°，而z轴垂直于y轴．
(2)y轴和z轴的单位长度相同，x轴的单位长度为y轴(或z轴)单位长度的一半．
(3)每两条坐标轴确定的平面两两垂直．
2．空间直角坐标系中点与有序实数组(x，y，z)的关系
在空间直角坐标系中，空间任意一点A与有序实数组(x，y，z)之间是一种一一对应关系．
(1)过点A作三个平面分别垂直于x轴，y轴，z轴，它们与x轴，y轴，z轴分别交于P，Q，R，点P，Q，R在相应数轴上的坐标依次是x，y，z，这样对于空间任意一点A，就定义了一个有序数组(x，y，z)．
(2)反之，对任意一个有序数组(x，y，z)，按照上述作图的相反顺序，在坐标轴上分别作出点P，Q，R，使它们在x轴，y轴，z轴上的坐标分别是x，y，z，再分别过这些点作垂直于各自所在的坐标轴的平面，这三个平面的交点即为所求的点A.
1．思考辨析
(1)给定空间直角坐标系，空间任意一点与有序实数组(x，y，z)之间存在唯一的对应关系． ( )
(2)点P(1,0,2)在空间直角坐标系中的xOy坐标平面上． ( )
(3)空间直角坐标系中，y轴上的点的坐标为(0，y,0)． ( )
(4)在不同的空间直角坐标系中，同一点的坐标可能不同．
( )
[解析] (2)×，∵点P(1,0,2)的纵坐标为0，
∴点P(1,0,2)应在坐标平面xOz上．
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)√
2．在空间直角坐标系中，点M(－2,1,0)关于原点的对称点M′的坐标是( )
A．(2，－1,0) B．(－2，－1,0)
C．(2,1,0) D．(0，－2,1)
A [很明显点M和M′的中点是原点，所以点M′的坐标是(2，－1,0)．]
3．在空间直角坐标系中，已知点A(－1,2，－3)，则点A在yOz平面内射影的点的坐标是________．
(0,2，－3) [由空间直角坐标系中点的坐标的确定可知，点A在yOz平面内的射影的点的坐标是(0,2，－3)．]
4．如图，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(底面为正方形的直棱柱)中，AA1＝2AB＝4，点E在CC1上且C1E＝3EC.试建立适当的坐标系，写出点B，C，E，A1的坐标．
[解] 以点D为坐标原点，射线DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系．依题意知，B(2，2,0)，C(0,2,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,4)．
课件50张PPT。第二章 解析几何初步§3 空间直角坐标系
3．1 空间直角坐标系的建立
3．2 空间直角坐标系中点的坐标原点O垂直大拇指右 大拇指x轴握拳Ox，z轴y，z轴x，y轴坐标轴x，y，z轴组一一对应z轴y轴x轴(x，y，z)三元有序数垂面长方体点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(二十三) 空间直角坐标系的建立
空间直角坐标系中点的坐标
(建议用时：45分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．空间两点A，B的坐标分别为(x，－y，z)，(－x，－y，－z)，则A，B两点的位置关系是( )
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于z轴对称 D．关于原点对称
B [由A，B两点的坐标可知关于y轴对称．]
2．空间直角坐标系O-xyz中的点P(1,2,3)在xOy平面内的射影是点Q，则点Q的坐标为( )
A．(1,2,0) B．(0,0,3)
C．(1,0,3) D．(0,2,3)
A [因为空间直角坐标系O-xyz中，在xOy平面内的点的竖坐标是0，所以点Q的坐标为(1,2,0)．]
3．在空间直角坐标系中，点P(－2,1,4)关于xOy平面的对称点的坐标是( )
A．(－2,1，－4) B．(－2，－1，－4)
C．(2，－1,4) D．(2,1，－4)
A [过点P向xOy平面作垂线，垂足为N(图略)，则N就是点P与它关于xOy平面的对称点P′连线的中点，又N(－2,1,0)，所以对称点为P′(－2,1，－4)，故选A.]
4．以棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB，AD，AA1所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则正方形AA1B1B的对角线交点的坐标为( )
A. B.
C. D.
B [A(0,0,0)，B1(1,0,1)，所以AB1的中点为，即.]
5．设z为任一实数，则点(2,2，z)表示的图形是( )
A．z轴
B．与平面xOy平行的一直线
C．平面xOy
D．与平面xOy垂直的一直线
D [(2,2，z)表示过点(2,2,0)且与z轴平行的直线，即与平面xOy垂直的直线．]
二、填空题
6．在空间直角坐标系中，点(4，－1,2)关于原点的对称点的坐标是________．
(－4,1，－2) [空间直角坐标系中关于原点对称的点的坐标互为相反数，故点(4，－1,2)关于原点的对称点的坐标是(－4,1，－2)．]
7．在空间直角坐标系中，点M(－2,4，－3)在xOz平面上的射影为M′点，则M′关于原点对称的点的坐标是________．
(2,0,3) [点M在xOz上的射影为(－2,0，－3)，其关于原点对称的坐标为(2,0,3)．]
8．在空间直角坐标系中，点M(4，－3,5)到x轴的距离为m，到xOy平面的距离为n，则m2＋n＝________.
39 [由题意得m2＝(－3)2＋52＝34，n＝5，
∴m2＋n＝39.]
三、解答题
9．已知点A(－4,2,3)关于坐标原点的对称点为A1，A1关于xOz平面的对称点为A2，A2关于z轴的对称点为A3，求线段AA3的中点M的坐标．
[解] 因为点A(－4,2,3)关于坐标原点的对称点A1的坐标为(4，－2，－3)，点A1(4，－2，－3)关于xOz平面的对称点A2的坐标为(4,2，－3), 点A2(4,2，－3)关于z轴的对称点A3的坐标为(－4，－2，－3)，所以AA3中点M的坐标为(－4,0,0)．
10．如图所示，三棱柱ABC-A1B1C1中，所有的棱长均为2，侧棱AA1⊥底面ABC，建立适当的坐标系写出各顶点的坐标．
[解] 取AC的中点O和A1C1的中点O1，连接BO，可得BO⊥AC，分别以OB，OC，OO1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．
因为三棱柱各棱长均为2，
所以OA＝OC＝1，OB＝，
可得A(0，－1,0)，B(，0,0)，C(0，1,0)，A1(0，－1,2)，B1(，0,2)，C1(0,1,2)．
[等级过关练]
1．若点P(－4，－2,3)关于坐标平面xOy及y轴的对称点的坐标分别是(a，b，c)，(e，f，d)，则c与e的和为( )
A．7 B．－7 C．－1 D．1
D [点P关于坐标平面xOy的对称点坐标是(－4，－2，－3)，关于y轴的对称点坐标是(4，－2，－3)，从而知c＋e＝1.]
2．在如图所示的空间直角坐标系O-xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)．给出编号为①②③④的四个图，则该四面体的主视图和俯视图分别为( )
A．①和② B．③和①
C．④和③ D．④和②
D [由三视图及空间直角坐标系可知，该几何体的主视图显然是一个直角三角形且内有一条虚线(一锐角顶点与其所对直角边中点的连线)，故主视图是④；俯视图是一个钝角三角形，故俯视图是②.故选D.]
