3．3 空间两点间的距离公式
学 习 目 标
核 心 素 养
1.会推导和应用长方体对角线长公式．(重点)
2.会推导空间两点间的距离公式．(重点)
3.能用空间两点间的距离公式处理一些简单的问题．(难点)
1.通过推导长方体对角线公式及空间两点间的距离公式提升逻辑推理素养.
2.通过用两点间的距离公式解简单的问题培养数学运算素养.
1．长方体的对角线
(1)连线长方体两个顶点A，C′的线段AC′称为长方体的对角线．(如图)
(2)如果长方体的长、宽、高分别为a，b，c，那么对角线长d＝.
2．空间两点间的距离公式
(1)空间任意一点P(x0，y0，z0)与原点的距离
|OP|＝.
(2)空间两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)间的距离
|AB|＝.
思考：空间两点间的距离公式与平面两间点的距离公式的区别与联系？
提示：平面两点间的距离公式是空间两点间的距离公式的特例：①在平面直角坐标系xOy中，已知两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝；②在x轴上的两点A，B对应的实数分别是x1，x2，则|AB|＝|x2－x1|.
1．空间直角坐标系中，点A(－3,4,0)和点B(2，－1,6)的距离是( )
A．2 B．2 C．9 D.
D [|AB|＝＝.]
2．在空间直角坐标系中，设A(1,2，a)，B(2,3,4)，若|AB|＝，则实数a的值是( )
A．3或5 B．－3或－5
C．3或－5 D．－3或5
A [由题意得|AB|＝＝，解得a＝3或5，故选A.]
3．已知点A(4,5,6)，B(－5,0,10)，在z轴上有一点P，使|PA|＝|PB|，则点P的坐标是________．
(0,0,6) [设点P(0,0，z)，
则由|PA|＝|PB|，
得
＝，
解得z＝6，即点P的坐标是(0,0,6)．]
求空间两点间的距离
【例1】 已知△ABC的三个顶点A(1,5,2)，B(2,3,4)，C(3,1,5)．
(1)求△ABC中最短边的边长；
(2)求AC边上中线的长度．
[解] (1)由空间两点间距离公式得
|AB|＝＝3，
|BC|＝＝，
|AC|＝＝，
∴△ABC中最短边是|BC|，其长度为.
(2)由中点坐标公式得，AC的中点坐标为，
∴AC边上中线的长度为
＝.
1．求空间两点间的距离问题就是把点的坐标代入距离公式进行计算，其中确定点的坐标或合理设出点的坐标是关键．
2．若所给题目中未建立坐标系，需结合已知条件建立适当的坐标系，再利用空间两点间的距离公式计算．
1．如果点P在z轴上，且满足|PO|＝1(O是坐标原点)，则点P到点A(1,1,1)的距离是________．
或 [由题意得P(0,0,1)或P(0,0，－1)，
所以|PA|＝＝，
或|PA|＝＝.]
求空间点的坐标
【例2】 已知A(x,5－x,2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，求|AB|取最小值时A、B两点的坐标，并求此时的|AB|.
[思路探究] 解答本题可由空间两点间的距离公式建立关于x的函数，由函数的性质求x，再确定坐标．
[解] 由空间两点的距离公式得|AB|＝
＝
＝，
当x＝时，|AB|有最小值＝.
此时A，B.
解决这类问题的关键是根据点的坐标的特征，应用空间两点间的距离公式建立已知与未知的关系，结合已知条件确定点的坐标.
2．在空间直角坐标系中，已知A(3,0,1)，B(1,0，－3)．在y轴上是否存在点M，使△MAB为等边三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
[解] 假设在y轴上存在点M(0，y,0)，使△MAB为等边三角形．
由题意可知y轴上的所有点都能使|MA|＝|MB|成立，
所以只要再满足|MA|＝|AB|，就可以使△MAB为等边三角形．
因为|MA|＝＝，
|AB|＝2.
于是＝2，解得y＝±.
故y轴上存在点M，使△MAB为等边三角形，此时点M的坐标为(0，，0)或(0，－，0).
空间距离公式的应用
【例3】 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，以正方体的三条棱所在直线为轴建立空间直角坐标系O-xyz.
(1)若点P在线段BD1上，且满足3|BP|＝|BD1|，试写出点P的坐标，并写出P关于y轴的对称点P′的坐标；
(2)在线段C1D上找一点M，使得点M到点P的距离最小，求出点M的坐标．
[思路探究] (1)借助3|BP|＝|BD1|及平面几何的知识求点P的坐标，利用对称关系求点P′的坐标；
(2)利用空间两点间的距离公式建立点M到点P的距离的函数，并用函数的思想求其最小值，及此时的点M的坐标．
[解] (1)由题意知P的坐标为.
P关于y轴的对称点P′的坐标为.
(2)设线段C1D上一点M的坐标为(0，m，m)，则有
|MP|＝
＝
＝，
当m＝时|MP|取到最小值，
所以点M为.
与平面直角坐标系中类似，在空间直角坐标系中也常常需要设点的坐标，此时，若注意利用点的特殊性，往往能使求解过程简化，如本例?2?设M?0，m，m?便是如此.
3．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝3，M，N分别是AB，B1C1的中点，点P是DM上的点，DP＝a，当a为何值时，NP的长最小？
[解] 如图，以点D为原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．
则D(0,0,0)，B1(2,2,3)，C1(0,2,3)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，M(2,1,0)，N(1,2,3)，
设点P的坐标为(x，y,0)，
则x＝2y(0≤y≤1)．
|NP|＝
＝
＝
＝，
所以当y＝时，|NP|取最小值，
此时a＝
＝＝，
所以当a＝时，NP的长最小．
1．学会用类比联想的方法理解空间直角坐标系的建系原则，切实体会空间中点的坐标及两点间的距离公式同平面内点的坐标及两点间的距离公式的区别和联系．
2．在导出空间两点间的距离公式的过程中体会转化与化归思想的应用，突出化空间为平面的解题思想．
1．思考辨析
(1)空间两点间的距离公式与两点顺序有关． ( )
(2)点A(1,1,0)与点B(1,1,1)之间的距离是1. ( )
[解析] (1)×，空间两点间的距离公式与两点顺序无关．
[答案] (1)× (2)√
2．已知点A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状是( )
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
C [由距离公式得：
|AB|＝＝，
|AC|＝＝，
|BC|＝＝，
∴|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，∴△ABC为直角三角形．]
3．已知A(1，－2,1)，B(2,2,2)，点P在z轴上，且|PA|＝|PB|，则点P的坐标为________．
(0,0,3) [∵P在z轴上，可设P(0,0，z)，由|PA|＝|PB|，
∴＝
，解得z＝3.]
4．点A(1，t,0)和点B(1－t,2,1)的距离的最小值为______．
[|AB|＝＝，
∴当t＝1时，|AB|的最小值为.]
课件40张PPT。第二章 解析几何初步§3 空间直角坐标系
3．3 空间两点间的距离公式234长方体的对角线 56789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(二十四) 空间两点间的距离公式
(建议用时：45分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．若A(1,3，－2)，B(－2,3,2)，则A，B两点间的距离为( )
A. B．25 C．5 D.
C [|AB|＝＝5.]
2．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若D(0,0,0)、A(4,0,0)、B(4,2,0)、A1(4,0,3)，则对角线AC1的长为( )
A．9 B. C．5 D．2
B [由已知可得C1(0,2,3)，
∴|AC1|＝＝.]
3．如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1，A1C的中点E到AB的中点F的距离为( )
A.a B.a
C．a D.a
B [由题意得F，A1(a,0，a)，C(0，a,0)，
∴E，则|EF|＝
＝a.]
4．设点P在x轴上，它到P1(0, ，3)的距离为到点P2(0,1，－1)的距离的两倍，则点P的坐标为( )
A．(1,0,0) B．(－1,0,0)
C．(1,0,0)或(0，－1,0) D．(1,0,0)或(－1,0,0)
D [∵点P在x轴上，∴设点P的坐标为(x,0,0)，
由题意|PP1|＝2|PP2|，
∴＝
2，
解得x＝±1，∴所求点为(1,0,0)或(－1,0,0)．]
5．已知点A(1，a，－5)，B(2a，－7，－2)(a∈R)，则|AB|的最小值是( )
A．3 B．3 C．2 D．2
B [|AB|＝
＝≥＝3.]
二、填空题
6．点P(x，y，z)到点A(－1,2,3)，B(0,0,5)两点的距离相等，则x、y、z满足______．
2x－4y＋4z－11＝0 [由|PA|＝|PB|，可得
＝，
整理得2x－4y＋4z－11＝0.]
7．已知正方体不在同一表面上的两顶点A(－1,2，－1)，B(3，－2,3)，则正方体的体积是________．
64 [设正方体棱长为a，则＝|AB|＝，所以a＝4，V＝43＝64.]
8．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，A(2,1,1)，B(1,1,2)，C(x，0,1)，则x＝________.
2 [由距离公式|AB|＝
＝；
|AC|＝＝；
|BC|＝＝；
∵∠BAC＝90°，∴|BC|2＝|AB|2＋|AC|2，
∴(1－x)2＋2＝2＋(2－x)2＋1，解得x＝2.]
三、解答题
9．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD＝2，DC＝4，DD1＝3，利用空间两点间的距离公式，求对角线AD1，AB1和AC1的长．
[解] 以D为坐标原点，DA，DC和DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
则D(0,0,0)，A(2,0,0)，D1(0,0,3)，B1(2,4,3)，C1(0,4,3)，
∴|AD1|＝＝，
|AB1|＝
＝5，
|AC1|＝＝.
10．在xOy平面内的直线2x－y＝0上确定一点M，使它到点P(－3,4,5)的距离最小，并求出最小值．
[解] ∵点M在xOy平面内的直线2x－y＝0上，
∴点M的坐标为(a,2a,0)，
则|MP|＝＝
＝，
∴当a＝1时，|MP|取最小值3，此时M(1,2,0)．
即M坐标为(1,2,0)时，|PM|最小，最小值为3.
[等级过关练]
1．在空间直角坐标系中，与点A(3,1,2)，B(4，－2，－2)，C(0，5,1)等距离的点的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．无数
D [由两点间距离公式可得|AB|＝，|BC|＝，|AC|＝，易知A，B，C三点不共线，故可确定一个平面．在△ABC所在平面内可找到一点到A，B，C距离相
等，而过该点与平面ABC垂直的直线上的每一点到A、B、C距离均相等．]
2．点P(x，y，z)的坐标满足x2＋y2＋z2＝1，点A(－2,3，)，则|PA|的最小值是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
B [x2＋y2＋z2＝1在空间中表示以坐标原点O为球心、1为半径的球面，所以当O、P、A三点共线时，|PA|最小，此时|PA|＝|OA|－|OP|＝|OA|－1＝－1＝4－1＝3.]
