第3课 圆的方程与空间直角坐标系
[题型探究]
求圆的方程
【例1】 有一圆与直线l：4x－3y＋6＝0相切于点A(3,6)，且经过点B(5,2)，求此圆的方程．
[解] 法一：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，圆心为C，由CA⊥l，A(3,6)，B(5,2)在圆上，
得解得
∴所求圆的方程为：x2＋y2－10x－9y＋39＝0.
法二：设圆心为C，则CA⊥l，又设AC与圆的另一交点为P，则CA方程为y－6＝－(x－3)，
即3x＋4y－33＝0.
又kAB＝＝－2，∴kBP＝，
∴直线BP的方程为x－2y－1＝0.
解方程组得
∴P(7,3)，∴圆心为AP中心，半径为|AC|＝，∴所求圆的方程为(x－5)2＋2＝.
求圆的方程主要是利用圆系方程、圆的标准方程和一般方程关系，利用待定系数法解题.采用待定系数法求圆的方程的一般步骤为：
?1?选择圆的方程的某一形式；?2?由题意得a，b，r?或D，E，F?的方程?组?；?3?解出a，b，r?或D，E，F?；?4?代入圆的方程.
1．已知圆经过点A(2，－1)，圆心在直线2x＋y＝0上且与直线x－y－1＝0相切，求圆的方程．
[解] 设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)．
∵圆心在直线y＝－2x上，∴b＝－2a，
即圆心为(a，－2a)．
又圆与直线x－y－1＝0相切，且过点(2，－1)，
∴＝r，(2－a)2＋(－1＋2a)2＝r2，
即(3a－1)2＝2(2－a)2＋2(－1＋2a)2，
解得a＝1或a＝9.
∴a＝1，b＝－2，r＝或a＝9，b＝－18，r＝，
故所求圆的方程为：(x－1)2＋(y＋2)2＝2，
或(x－9)2＋(y＋18)2＝338.
与圆有关的最值问题
【例2】 已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0
(1)求的最大值与最小值；
(2)求y－x的最大值与最小值；
(3)求x2＋y2的最大值与最小值．
[思路探究] 注意到，的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率；y－x可以看作直线y＝x＋b在y轴上的截距；x2＋y2是圆上一点与原点距离的平方，借助平面几何知识，利用数形结合求解．
[解] 原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以点(2,0)为圆心，为半径的圆．
(1)设＝k，即y＝kx.当直线y＝kx与圆(x－2)2＋y2＝3相切时，斜率k取得最大值与最小值，此时＝，解得k＝±.故的最大值为，最小值为－.
(2)设y－x＝b，即y＝x＋b，当直线y＝x＋b与圆相切时，直线在y轴上的截距b取得最大值与最小值，此时＝，解得b＝－2±，故y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－.
(3)x2＋y2表示圆上的点与原点的距离的平方，由平面几何知识知它在原点与圆心的连线上时与圆的两个交点处分别取得最大值和最小值，又圆心与原点的距离为2，故x2＋y2的最大值为(2＋)2＝7＋4，最小值为(2－)2＝7－4.
与圆有关的最值问题的转化
?1?形如μ＝f(y－b,x－a)的最值问题，可转化为动直线的斜率的最值问题.
?2?形如t＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题.
?3?形如m＝?x－a?2＋?y－b?2的最值问题，可转化为两点间的距离的平方的最值问题.
2．(1)圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离与最小距离的差是( )
A．36 B．18 C．6 D．5
(2)已知实数x，y满足x2＋y2＝1，求的取值范围．
(1)C [圆的方程可化为(x－2)2＋(y－2)2＝18，其圆心到直线x＋y－14＝0的距离d＝5.∵d＞r，∴直线与圆相离．
∴最大距离与最小距离的差是两个半径，即6.]
(2)解：如图所示，设P(x，y)是圆x2＋y2＝1上的点，
则表示过P(x，y)和Q(－1，－2)两点的直线PQ的斜率．
过点Q作圆的两条切线QA，QB，由图可知QB⊥x轴，kQB不存在，且kQP≥kQA.
设切线QA的斜率为k，则它的方程为y＋2＝k(x＋1)，
由圆心到QA的距离为1，得＝1，
解得k＝.
所以的取值范围是.
直线与圆的位置关系
【例3】 已知点M(3,1)，直线ax－y＋4＝0及圆(x－1)2＋(y－2)2＝4.
(1)求过M点的圆的切线方程；
(2)若直线ax－y＋4＝0与圆相切，求a的值；
(3)若直线ax－y＋4＝0与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为2，求a的值．
[解] (1)圆心C(1,2)，半径为r＝2.
①当直线的斜率不存在时，方程为x＝3.由圆心C(1,2)到直线x＝3的距离为d＝3－1＝2＝r知，此时直线与圆相切．
②当直线的斜率存在时，设方程为y－1＝k(x－3)，
即kx－y＋1－3k＝0.
由题意知，＝2，解得k＝.
∴方程为y－1＝(x－3)，即3x－4y－5＝0.
故过M点的圆的切线方程为x＝3或3x－4y－5＝0.
(2)由题意有＝2，解得a＝0或a＝.
(3)∵圆心到直线ax－y＋4＝0的距离为，
∴2＋2＝4，解得a＝－.
当直线与圆相交时，常涉及到弦长问题，弦长的计算有以下两种思路：
?1?代数方法：将直线和圆的方程联立得方程组，消元后得到一个一元二次方程，在判别式Δ>0的前提下，可利用根与系数的关系求弦长.
?2?几何方法：若弦心距为d，圆半径为r，则弦长为l＝.
解决直线与圆相交问题时，常利用几何方法，即构造直角三角形，利用勾股定理，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，圆心和切点的连线垂直于切线.
3．已知点P(0,5)及圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.
(1)若直线l过点P，且被圆C截得的线段长为4，求l的方程；
(2)求过P点的圆C弦的中点的轨迹方程．
[解] (1)如图所示．|AB|＝4，设D是线段AB的中点，则CD⊥AB，
∴|AD|＝2，|AC|＝4.
在Rt△ACD中，可得|CD|＝2.
设所求直线l的斜率为k，则直线l的方程为y－5＝kx，即kx－y＋5＝0.
由点C到直线AB的距离为
＝2，得k＝，
此时直线l的方程为3x－4y＋20＝0.
又∵当直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x＝0，
∴所求直线l的方程为x＝0或3x－4y＋20＝0.
(2)设过P点的圆C弦的中点为D(x，y)，
则CD⊥PD，所以kCD·kPD＝－1，
即·＝－1，
化简得所求轨迹方程为x2＋y2＋2x－11y＋30＝0.
圆与圆的位置关系
已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.
(1)m取何值时两圆外切？
(2)m取何值时两圆内切？
(3)当m＝45时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．
[解] 圆Q1：x2＋y2－2x－6y－1＝0
可化为(x－1)2＋(y－3)2＝11，
圆Q2化为(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，
两圆圆心距离
|Q1Q2|＝＝5.
(1)当两圆外切时，
|Q1Q2|＝＋，
即5＝＋.
解得m＝25＋10.
(2)当两圆内切时，
|Q1Q2|＝|－|，
因为<5，
所以|Q1Q2|＝－，
所以5＝－，
所以m＝25－10.
(3)当m＝45时，由两圆方程相减，得公共弦方程为
x2＋y2－2x－6y－1－x2－y2＋10x＋12y－m＝0，
即4x＋3y－23＝0.
圆心Q1到公共弦的距离为
d＝＝2，
所以公共弦长为2
＝2＝2.
解决圆与圆的位置关系的关键是抓住它们的几何特征，利用两圆圆心距与两圆半径的和、差的绝对值的大小来确定两圆的位置关系，以及充分利用它们的几何图形的形象直观性来分析问题.
4．已知两个圆C1：x2＋y2＝4，C2：x2＋y2－2x－4y＋4＝0，直线l：x＋2y＝0，求经过C1和C2的交点且和l相切的圆的方程．
[解] 将两圆的方程C1：x2＋y2＝4，C2：x2＋y2－2x－4y＋4＝0相减，得x＋2y－4＝0，将x＝4－2y代入C1：x2＋y2＝4，得5y2－16y＋12＝0，
解得y1＝2，y2＝，
得x1＝0，x2＝，
所以圆与圆的交点坐标分别为(0,2)，.
设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
依题意，得
由①②消去r2，得b＝2a，代入③式，得r＝a，代入①式?a＝，b＝1，r＝，所以圆的方程为2＋(y－1)2＝.
数形结合思想
当直线y＝k(x－2)＋4和曲线y＝1＋有交点时，实数k的取值范围是( )
A. B.
C. D.
D [先作出已知曲线y＝1＋的图形，再根据直线y＝k(x－2)＋4过定点(2,4)．
如图所示，曲线是以(0,1)为圆心，r＝2为半径的半圆，直线表示过定点(2,4)的动直线．由图形中关系可求得kPC＝＝2，
解得k＝，所求k的取值范围为.]
数形结合思想在解析几何中的应用极其广泛，利用数形结合的思想解题，能把抽象的数量关系与直观的几何图形建立起关系，从而使问题在解答过程中更加形象化、直观化，而本章的相关知识整体体现了这种思想，即把几何问题代数化，同时利用代数?方程?的思想反映几何问题.
5．圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离与最小距离的差是( )
A．36 B．18 C．6 D．5
C [因为圆心C(2,2)到直线x＋y－14＝0的距离d＝＝5>r＝3，故直线与圆相离．如图，作圆的两条切线且与直线x＋y－14＝0平行，则两切线l2、l1间的距离就是圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离与最小距离的差，它们的差是圆的直径6.]
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