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《13.3.2等边三角形（1）》导学案
课题 等边三角形（1） 学科 数学 年级 八年级上册
知识目标 1.了解等边三角形是特殊的等腰三角形，等边三角形是轴对称图形．2.等边三角形判定定理的探究与证明，并灵活的运用等边三角形的性质与判定方法解决相关问题.
重点难点 重点： 等边三角形的性质和判定方法。难点： 等边三角形的性质的应用
教学过程
知识链接 1、前面我们学习三角形的分类，从边的角度来分，可以怎样分？
合作探究 ●等边三角形的定义像△ABC这样三边相等的三角形，我们把它叫做等边三角形等腰三角形与等边三角形有什么区别和联系？联系：区别：●等边三角形的性质把等腰三角形的性质用于等边三角形，能得到什么结论？一个三角形的三个内角满足什么条件才是等边三角形？类比等腰三角形的学习，你能填出等边三角形对应的结论吗？ 性质1等边三角形的三个内角相等，并且每一个角都等于___________。 用数学语言表示：∵△ABC是等边三角形 ∴∠A=∠B=∠C=____________请证明这一结论.已知：△ABC是等边三角形求证：________________证明： 问题：等边三角形除了用定义（即三边都相等的三角形是等边三角形。）来判定以外，能否利用角来判定呢？思考1：一个三角形的三个内角满足什么条件是等边三角形？思考2：一个等腰三角形满足什么条件是等边三角形？归纳：方法2、判定定理1三个角都______的三角形是等边三角形.符号语言：在△ABC 中， ∵ ∠A ____∠B_____∠C ∴ △ABC 是等边三角形． 证明这一结论： 已知：∠A = ∠B= ∠C 求证：__________________证明： 方法3、判定定理2有一个角是_______的______三角形是等边三角形. 符号语言：在△ABC 中， ∵ BC _____AC，∠A =______， ∴ △ABC 是等边三角形． 证明这一结论： 已知： △ABC 是_______三角形，且∠A =_______ 求证：△ABC 是等边三角形． 证明： 例1、如图,在等边三角形ABC中，DE∥BC, 请问△ADE是等边三角形吗?试说明理由。
自主尝试 1．等边△ABC的两条角平分线BD和CE相交所夹锐角的度数为( )A．60° B．90° C．120° D．150° 2．如图，过等边△ABC的顶点A作射线，若∠1＝20°，则∠2的度数是( )A．100° B．80° C．60° D．40° 3．如图，△ABC是等边三角形，AD＝CD，则∠ADB＝________，∠CBD＝________．4．下列推理错误的是( )A．在△ABC中，∵∠A＝∠B＝∠C，∴△ABC为等边三角形 B．在△ABC中，∵AB＝AC，且∠B＝∠C，∴△ABC为等边三角形 C．在△ABC中，∵∠A＝60°，∠B＝60°，∴△ABC为等边三角形 D．在△ABC中，∵AB＝AC，∠B＝60°，∴△ABC为等边三角形 5．在△ABC中，AB＝BC，∠B＝∠C，则∠A的度数是________．6.如图所示，锐角△ABC中，∠A＝60°，它的两条高BD，CE相交于点O，且OB＝OC，求证：△ABC是等边三角形．
当堂检测 1．如图，△ABC是等边三角形，AD是角平分线，△ADE是等边三角形，下列结论：①AD⊥BC；②EF＝FD；③BE＝BD，其中正确结论的个数为( )A．3 B．2 C．1 D．0 2．如图，将边长为5 cm的等边△ABC，沿BC向右平移3 cm，得到△DEF，DE交AC于M，则△MEC是________三角形，DM＝________cm. 3．如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AB上，且BD＝AE，AD与CE交于点F.则∠DFC＝________°.4．如图，在等边△ABC的边BC上任取一点D，作∠ADE＝60°，DE交∠C的外角平分线于E，则△ADE是________三角形． 5．如图，等边△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，E为AD上一点，以BE为一边且在BE下方作等边△BEF，连接CF.(1)求证：AE＝CF；(2)求∠ACF的度数．
小结反思 这节课学到了什么？
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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《13.3.2等边三角形（1）》导学案
课题 等边三角形（1） 学科 数学 年级 八年级上册
知识目标 1.了解等边三角形是特殊的等腰三角形，等边三角形是轴对称图形．2.等边三角形判定定理的探究与证明，并灵活的运用等边三角形的性质与判定方法解决相关问题.
重点难点 重点： 等边三角形的性质和判定方法。难点： 等边三角形的性质的应用
教学过程
知识链接 1、前面我们学习三角形的分类，从边的角度来分，可以怎样分？ 我们知道等边三角形是特殊的等腰三角形，并且我们上节课学习了等腰三角形的相关性质和判定，那么等边三角形是否也具有这样特殊的性质呢？本节课我们一起来学习。
合作探究 ●等边三角形的定义像△ABC这样三边相等的三角形，我们把它叫做等边三角形追问：等腰三角形与等边三角形有什么区别和联系？联系：等边三角形是特殊的等腰三角形；区别：等边三角形有三条相等的边，而等腰三角形只有两条.●等边三角形的性质把等腰三角形的性质用于等边三角形，能得到什么结论？一个三角形的三个内角满足什么条件才是等边三角形？类比等腰三角形的学习，你能填出等边三角形对应的结论吗？ 性质1等边三角形的三个内角相等，并且每一个角都等于60°。 用数学语言表示：∵△ABC是等边三角形 ∴∠A=∠B=∠C=60°请证明这一结论.已知：△ABC是等边三角形求证：∠A=∠B=∠C=60° 证明：∵ △ABC 是等边三角形， ∴ BC =AC，BC =AB． ∴ ∠A =∠B，∠A =∠C ． ∴ ∠A =∠B =∠C ． ∵ ∠A +∠B +∠C =180°， ∴ ∠A =60°． ∴ ∠A =∠B =∠C =60°．问题：等边三角形除了用定义（即三边都相等的三角形是等边三角形。）来判定以外，能否利用角来判定呢？思考1：一个三角形的三个内角满足什么条件是等边三角形？思考2：一个等腰三角形满足什么条件是等边三角形？归纳：方法2、判定定理1三个角都相等的三角形是等边三角形.符号语言：在△ABC 中， ∵ ∠A = ∠B= ∠C ∴ △ABC 是等边三角形． 证明这一结论： 已知：∠A = ∠B= ∠C 求证：△ABC 是等边三角形． 证明：∵∠A = ∠B，∴AC=BC ∵∠C = ∠B，∴AC=AB ∴AC=BC=AC ∴△ABC 是等边三角形．方法3、判定定理2有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 符号语言：在△ABC 中， ∵ BC =AC，∠A =60°，∴ △ABC 是等边三角形． 证明这一结论： 已知： △ABC 是等腰三角形，且∠A = 60° 求证：△ABC 是等边三角形． 证明：∵△ABC 是等腰三角形 ∴AC=AB,∠C = ∠B ∵ ∠A = 60° , ∠A +∠B+∠C=180° ∴∠C = ∠B=60° ∴△ABC 是等边三角形． 例1、如图,在等边三角形ABC中，DE∥BC, 请问△ADE是等边三角形吗?试说明理由。 证明：∵△ABC是等边三角形 ∴∠A=∠B=∠C=600 又∵DE∥BC ∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C ∴∠ADE=∠A=∠AED ∴△ADE是等边三角形。
自主尝试 1．等边△ABC的两条角平分线BD和CE相交所夹锐角的度数为( )AA．60° B．90° C．120° D．150° 2．如图，过等边△ABC的顶点A作射线，若∠1＝20°，则∠2的度数是( )AA．100° B．80° C．60° D．40° 3．如图，△ABC是等边三角形，AD＝CD，则∠ADB＝________，∠CBD＝________．答案：900,6004．下列推理错误的是( )BA．在△ABC中，∵∠A＝∠B＝∠C，∴△ABC为等边三角形 B．在△ABC中，∵AB＝AC，且∠B＝∠C，∴△ABC为等边三角形 C．在△ABC中，∵∠A＝60°，∠B＝60°，∴△ABC为等边三角形 D．在△ABC中，∵AB＝AC，∠B＝60°，∴△ABC为等边三角形 5．在△ABC中，AB＝BC，∠B＝∠C，则∠A的度数是________．答案：60°6.如图所示，锐角△ABC中，∠A＝60°，它的两条高BD，CE相交于点O，且OB＝OC，求证：△ABC是等边三角形． 证明：∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB. ∵锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，∴∠BEC＝∠BDC＝90°. 又∵∠BOE＝∠COD， ∴∠EBO＝∠DCO. ∴∠ABC＝∠ACB.∴AB＝AC. ∴△ABC是等腰三角形． ∵∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形．
当堂检测 1．如图，△ABC是等边三角形，AD是角平分线，△ADE是等边三角形，下列结论：①AD⊥BC；②EF＝FD；③BE＝BD，其中正确结论的个数为( )AA．3 B．2 C．1 D．0 2．如图，将边长为5 cm的等边△ABC，沿BC向右平移3 cm，得到△DEF，DE交AC于M，则△MEC是________三角形，DM＝________cm.答案：等边、3 3．如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AB上，且BD＝AE，AD与CE交于点F.则∠DFC＝________°.答案：604．如图，在等边△ABC的边BC上任取一点D，作∠ADE＝60°，DE交∠C的外角平分线于E，则△ADE是________三角形．答案：等边 5．如图，等边△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，E为AD上一点，以BE为一边且在BE下方作等边△BEF，连接CF.(1)求证：AE＝CF；(2)求∠ACF的度数．（1）证明：∵△ABC、△BEF都是等边三角形，
∴AB=BC=AC，BE=EF=BF，∠BAC=∠ABC=∠ACB=∠EBF=∠BEF=∠BFE=60°，
∴∠ABC-∠EBD=∠EBF-∠EBD，
∴∠ABE=∠CBF，
在△BAE和△BCF中
AB＝BC∠ABE＝∠CBFBE＝BF，
∴△BAE≌△BCF，∴AE=CF； （2）∵等边△ABC中，AD是∠BAC的角平分线， ∴∠BAE＝30°，∠ACB＝60°. ∵△ABE≌△CBF， ∴∠BCF＝∠BAE＝30°. ∴∠ACF＝∠BCF＋∠ACB＝30°＋60°＝90°.
小结反思 这节课学到了什么？
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(共23张PPT)
13.3.2等边三角形（1）
人教版 八年级上
新知导入
等腰三角形
等边三角形
一般
三角形
一般三角形
等腰
三角形
等边三角形
底≠腰
底＝腰
有两条边相等
｛
1、前面我们学习三角形的分类，从边的角度来分，可以怎样分？
它具有哪些性质，又该怎样来判定呢？
新知讲解
想一想
联系：等边三角形是特殊的等腰三角形；
区别：等边三角形有三条相等的边，而等腰三角形只有两条。
等边三角形与等腰三角形有什么关系？
定义：像△ABC这样三边相等的三角形，我们把它叫做等边三角形
A
B
C
新知讲解
等边三角形的性质
把等腰三角形的性质用于等边三角形，能得到什么结论？
一个三角形的三个内角满足什么条件才是等边三角形？
新知讲解
两条边相等
等腰三角形
类比探究
等边三角形
三条边相等
两个底角相等
三个角都相等且等于60°
底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合
每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合
轴对称图形（1条）
轴对称图形（3条）
新知讲解
等边三角形的三个内角相等，并且每一个角都等于60°。
数学语言：
∵△ABC是等边三角形
∴∠A=∠B=∠C=60°
等边三角形的性质
你能证明这个性质吗？
A
B
C
60°
60°
60°
新知讲解
已知：
△ABC是等边三角形
求证：
∠A=∠B=∠C=60°
证明：∵ △ABC 是等边三角形，
∴ BC =AC，BC =AB．
∴ ∠A =∠B，∠A =∠C ．
∴ ∠A =∠B =∠C ．
∵ ∠A +∠B +∠C =180°，
∴ ∠A =60°．
∴ ∠A =∠B =∠C =60°．
巩固练习
1．等边△ABC的两条角平分线BD和CE相交所夹锐角的度数为( )
A．60° B．90° C．120° D．150°
2．如图，过等边△ABC的顶点A作射线，若∠1＝20°，则∠2的度数是( )
A．100° B．80° C．60° D．40°
A
A
3．如图，△ABC是等边三角形，AD＝CD，则∠ADB＝________，∠CBD＝________．
90°
30°
新知讲解
等边三角形三种判定方法
三边都相等的三角形是等边三角形。
符号语言：
在△ABC 中，
∵ AB=BC =AC ，
∴ △ABC 是等边三角形．
新知讲解
三个角都相等的三角形是等边三角形.
符号语言：
在△ABC 中，
∵ ∠A = ∠B= ∠C
∴ △ABC 是等边三角形．
已知：∠A = ∠B= ∠C
求证：△ABC 是等边三角形．
证明：∵∠A = ∠B，∴AC=BC
∵∠C = ∠B，∴AC=AB
∴AC=BC=AC
∴△ABC 是等边三角形．
A
B
C
新知讲解
有一个角是60°的等腰三
角形是等边三角形.
符号语言：
在△ABC 中，
∵ BC =AC，∠A =60°，
∴ △ABC 是等边三角形．
已知： △ABC 是等腰三角形，
且∠A = 60°
求证：△ABC 是等边三角形．
证明：∵△ABC 是等腰三角形
∴AC=AB,∠C = ∠B
∵ ∠A = 60° , ∠A +∠B+∠C=180°
∴∠C = ∠B=60°
∴△ABC 是等边三角形．
A
B
C
巩固练习
4．下列推理错误的是( )
A．在△ABC中，∵∠A＝∠B＝∠C，∴△ABC为等边三角形
B．在△ABC中，∵AB＝AC，且∠B＝∠C，∴△ABC为等边三角形
C．在△ABC中，∵∠A＝60°，∠B＝60°，∴△ABC为等边三角形
D．在△ABC中，∵AB＝AC，∠B＝60°，∴△ABC为等边三角形
B
5．在△ABC中，AB＝BC，∠B＝∠C，则∠A的度数是________．
60°
巩固练习
6.如图所示，锐角△ABC中，∠A＝60°，它的两条高BD，CE相交于点O，且OB＝OC，求证：△ABC是等边三角形．
证明：∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.
∵锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，∴∠BEC＝∠BDC＝90°.
又∵∠BOE＝∠COD，
∴∠EBO＝∠DCO.
∴∠ABC＝∠ACB.∴AB＝AC.
∴△ABC是等腰三角形．
∵∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形．
例题讲解
例1、如图,在等边三角形ABC中，DE∥BC, 请问△ADE是等边三角形吗?试说明理由。
证明：∵△ABC是等边三角形
∴∠A=∠B=∠C=600
又∵DE∥BC
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C
∴∠ADE=∠A=∠AED
∴△ADE是等边三角形。
拓展提高
1．如图，△ABC是等边三角形，AD是角平分线，△ADE是等边三角形，下列结论：①AD⊥BC；②EF＝FD；③BE＝BD，其中正确结论的个数为( )
A．3 B．2
C．1 D．0
2．如图，将边长为5 cm的等边△ABC，沿BC向右平移3 cm，得到△DEF，DE交AC于M，则△MEC是________三角形，DM＝________cm.
A
等边
3
拓展提高
3．如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AB上，且BD＝AE，AD与CE交于点F.则∠DFC＝________°.
4．如图，在等边△ABC的边BC上任取一点D，作∠ADE＝60°，DE交∠C的外角平分线于E，则△ADE是________三角形．
60
等边
拓展提高
5．如图，等边△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，E为AD上一点，以BE为一边且在BE下方作等边△BEF，连接CF.(1)求证：AE＝CF；
拓展提高
5．如图，等边△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，E为AD上一点，以BE为一边且在BE下方作等边△BEF，连接CF.(2)求∠ACF的度数．
∵等边△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，
∴∠BAE＝30°，∠ACB＝60°.
∵△ABE≌△CBF，
∴∠BCF＝∠BAE＝30°.
∴∠ACF＝∠BCF＋∠ACB＝30°＋60°＝90°.
拓展提高
6．如图，已知△ABC是边长为6 cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC匀速运动，其中点P运动的速度是1 cm/s，点Q运动的速度是2 cm/s，当点Q到达点C时，P，Q两点都停止运动，设运动时间为t(s)，当t＝2 s 时，判断△BPQ的形状，并说明理由．
解：△BPQ是等边三角形．
理由：当t＝2 s时，AP＝2×1＝2(cm)，BQ＝2×2＝4(cm)．∴BP＝AB－AP＝6－2＝4(cm)．∴BQ＝BP.又∵∠B＝60°，∴△BPQ是等边三角形．
课堂总结
(1).等边三角形的性质.
1.等边三角形的内角都相等,且都等于60 °
2.等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴.
3.等边三角形各边上中线,高和所对角的平分线都三线合一.
(2) 等边三角形的判定:
1.三边相等的三角形是等边三角形.
2.三个内角都等于60 °的三角形是等边三角形.
3.有一个内角等于60 °的等腰三角形是等边三角形.
作业布置
教材80页练习1、2题
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