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《13.3.2等边三角形（2）》导学案
课题 等边三角形（2） 学科 数学 年级 八年级上册
知识目标 1.探索含30°角的直角三角形的性质．2.理解含30°角的直角三角形的性质，并会应用它进行有关的证明和计算．
重点难点 重点：探索并理解含30°角的直角三角形的性质.难点：探索含30°角的直角三角形的性质．并会应用它进行有关的证明和计算．
教学过程
知识链接 等边三角形是轴对称图形，是特殊的等腰三角形，有_________条对称轴，若沿着其中一条对称轴折叠能产生_____________
合作探究 学生操作：用两个一样的含30°角的直角三角形按图拼成一个等边三角形。提出问题：同学们能否根据等边△ABD找到Rt△ACD 的直角边CD与斜边AD之间的数量关系?证明你的结论：已知：如图，在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°. 求证：___________ 方法一、证明： 方法二、证明： 你能用一句话来描述你的结论吗？结论：在直角三角形中,如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的____。几何语言： ∵⊿ABC是直角三角形，∠A=300∴_____________例、下图是屋架设计图的一部分,点D是斜梁AB的中点,立柱BC、DE垂直于横梁AC,AB＝7.4m,∠A＝30°立柱BC、DE要多长?
自主尝试 1．△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，则BC∶AB等于( )A．2∶1 B．1∶2 C．1∶3 D．2∶3 2．Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B＝30°，AD＝2 cm，则AB的长度是( )A．2 cm B．4 cm C．8 cm D．16 cm 3．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝10，则BC＝________． 4．等腰三角形一底角是30°，底边上的高为9 cm，则其腰长为________，顶角为________． 5．如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC，DE⊥AB，若AB＝8 cm，BD＝________，BE＝________．
当堂检测 1．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，DE垂直平分AB，交BC于点E，BE＝6 cm，则AC等于( )A．6 cm B．5 cm C．4 cm D．3 cm 2.如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM＝( )A．3 B．4 C．5 D．6 3.等腰三角形的底角为15°，腰长是2 cm，则腰上的高为________．4.如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F. (1)求∠F的度数； (2)若CD＝2，求DF的长． 5.如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，PQ＝3，PE＝1. (1)求证：AD＝BE；(2)求AD的长
小结反思 （1）本节课学习了哪些内容？（2）在应用含30°角的直角三角形的性质时，能解决哪些问题？需要注意哪些问题？
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《13.3.2等边三角形（2）》导学案
课题 等边三角形（2） 学科 数学 年级 八年级上册
知识目标 1.探索含30°角的直角三角形的性质．2.理解含30°角的直角三角形的性质，并会应用它进行有关的证明和计算．
重点难点 重点：探索并理解含30°角的直角三角形的性质.难点：探索含30°角的直角三角形的性质．并会应用它进行有关的证明和计算．
教学过程
知识链接 等边三角形是轴对称图形，是特殊的等腰三角形，有_________条对称轴，若沿着其中一条对称轴折叠能产生_____________ 这个特殊的直角三角形相比一般的直角三角形有什么不同之处，它有什么特殊性质？ 本节课我们一起来学习这个内容。
合作探究 学生操作：用两个一样的含30°角的直角三角形按图拼成一个等边三角形。 老师以提问的形式复习等边三角形的性质。老师提出问题：同学们能否根据等边△ABD找到Rt△ACD 的直角边CD与斜边AD之间的数量关系？老师对学生的回答进行整理并且总结出含30°角的直角三角形的性质，让学生对文字形式的性质改写成几何证明术语.已知：如图，在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°. 求证： 方法一、证明：延长BC 到D，使BD =AB，连接AD. 在△ABC 中，∵ ∠C =90°，∠A =30°, ∴ ∠B =60°．∴△ABD 是等边三角形． 又∵AC⊥BD, ∴∴●归纳：证明方法：倍长法即：倍长法就是延长得到的线段是原线段的正整数倍，即1倍、2倍……方法二、证明： 在BA上截取BE=BC，连接EC. ∵ ∠B= 60° ，BE=BC. ∴ △BCE是等边三角形， ∴ ∠BEC= 60°，BE=EC. ∵ ∠A= 30°， ∴ ∠ECA=∠BEC–∠A=60°–30° = 30°. ∴ AE=EC， ∴ AE=BE=BC， ∴ AB=AE+BE=2BC.∴●归纳：证明方法：截半法即：在证明中，在较长的线段上截取一条线段等于较短的线段就是截半法.你能用一句话来描述你的结论吗？结论：在直角三角形中,如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。几何语言： ∵⊿ABC是直角三角形，∠A=300∴这是一个判定两条线段成倍半关系的根据之一. 注意：使用的前提是在直角三角形中 例、下图是屋架设计图的一部分,点D是斜梁AB的中点,立柱BC、DE垂直于横梁AC,AB＝7.4m,∠A＝30°立柱BC、DE要多长? 解:∵DE⊥AC, ∠A＝30°∴ AD ＝ 2DE （在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半） 同理可得： AB ＝ 2BC, ∵ AB=7.4m∴BC＝×7.4＝3.7m 又 ∵ D是AB的中点∴ AD＝AB=3.7m ∴DE＝AD＝×3.7＝1.85m 答:立柱BC的长是3.7m,DE的长是1.85m. 归纳总结：含30°角的直角三角形的性质是表示线段倍分关系的一个重要的依据，如果问题中出现探究线段倍分关系的结论时，要联想此性质．
自主尝试 1．△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，则BC∶AB等于( )BA．2∶1 B．1∶2 C．1∶3 D．2∶3 2．Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B＝30°，AD＝2 cm，则AB的长度是( )CA．2 cm B．4 cm C．8 cm D．16 cm 3．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝10，则BC＝________．答案：5 4．等腰三角形一底角是30°，底边上的高为9 cm，则其腰长为________，顶角为________．答案：18cm、1200 5．如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC，DE⊥AB，若AB＝8 cm，BD＝________，BE＝________．答案：4cm、2cm
当堂检测 1．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，DE垂直平分AB，交BC于点E，BE＝6 cm，则AC等于( )DA．6 cm B．5 cm C．4 cm D．3 cm 2.如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM＝( )CA．3 B．4 C．5 D．6 3.等腰三角形的底角为15°，腰长是2 cm，则腰上的高为________．答案：1cm4.如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F. (1)求∠F的度数； (2)若CD＝2，求DF的长．解：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝60°. ∵DE∥AB， ∴∠EDC＝∠B＝60°. ∵EF⊥DE,∴∠DEF＝90°. ∴∠F＝90°－∠EDC＝30°.（2）∵∠ACB＝60°，∠EDC＝60°， ∴△EDC是等边三角形． ∴ED＝DC＝2. 又∵∠DEF＝90°，∠F＝30°， ∴DF＝2DE＝4. 5.如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，PQ＝3，PE＝1. (1)求证：AD＝BE；(2)求AD的长 证明：（1）∵△ABC为等边三角形， ∴∠BAC＝∠C＝60°，AB＝AC. 又∵AE＝CD， ∴△ABE≌△CAD(SAS)． ∴∠ABE＝∠CAD，BE＝AD.（2）∵∠BPQ＝∠BAP＋∠ABE＝∠BAP＋∠PAE＝∠BAC＝60°， 又∵BQ⊥PQ， ∴∠PBQ＝30°. ∴PB＝2PQ＝6. ∴BE＝PB＋PE＝7. ∴AD＝BE＝7.
小结反思 （1）本节课学习了哪些内容？（2）在应用含30°角的直角三角形的性质时，能解决哪些问题？需要注意哪些问题？
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(共20张PPT)
13.3.2等边三角形（2）
人教版 八年级上
新知导入
等边三角形是轴对称图形，是特殊的等腰三角形，有_________条对称轴，若沿着其中一条对称轴折叠能产生_____________
这个特殊的直角三角形相比一般的直角三角形有什么不同之处，它有什么特殊性质？
3条
300的直角三角形
将两个含有板有30°的三角尺如图摆放在
一起你能借助这个图形,找到Rt△ABC的直
角边BC与斜边AB之间的数量关系吗?
新知讲解
你会用学过的方法证明吗?
分离
拼接
A
C
B
新知讲解
证明：延长BC 到D，使BD =AB，连接AD.
在△ABC 中，∵ ∠C =90°，∠A =30°,
∴ ∠B =60°．∴△ABD 是等边三角形．
又∵AC⊥BD,
方法一：
证明方法：倍长法即：倍长法就是延长得到的线段是原线段的正整数倍，即1倍、2倍……
新知讲解
证明： 在BA上截取BE=BC，连接EC.
∵ ∠B= 60° ，BE=BC.
∴ △BCE是等边三角形，
∴ ∠BEC= 60°，BE=EC.
∵ ∠A= 30°，
∴ ∠ECA=∠BEC–∠A=60°–30° = 30°.
∴ AE=EC， ∴ AE=BE=BC，
∴ AB=AE+BE=2BC.
方法二：
证明方法：截半法即：在证明中，在较长的线段上截取一条线段等于较短的线段就是截半法.
新知讲解
你能用一句话来描述你的结论吗？
在直角三角形中,如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
这是一个判定两条线段成倍半关系的根据之一.
注意：使用的前提是在直角三角形中
巩固练习
1．△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，则BC∶AB等于( )
A．2∶1 B．1∶2
C．1∶3 D．2∶3
2．Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B＝30°，AD＝2 cm，则AB的长度是( )
A．2 cm B．4 cm
C．8 cm D．16 cm
B
C
巩固练习
3．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝10，则BC＝________．
4．等腰三角形一底角是30°，底边上的高为9 cm，则其腰长为________，顶角为________．
5．如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC，DE⊥AB，若AB＝8 cm，BD＝________，BE＝________．
5
18 cm
120°
4 cm
2 cm
例题讲解
例、下图是屋架设计图的一部分,点D是斜梁AB的中点,立柱BC、DE垂直于横梁AC,AB＝7.4m,∠A＝30°立柱BC、DE要多长?
新知讲解
含30°角的直角三角形的性质是表示线段倍分关系的一个重要的依据，如果问题中出现探究线段倍分关系的结论时，要联想此性质．
拓展提高
1．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，DE垂直平分AB，交BC于点E，BE＝6 cm，则AC等于( )
A．6 cm B．5 cm
C．4 cm D．3 cm
D
拓展提高
2.如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM＝( )
A．3 B．4
C．5 D．6
3.等腰三角形的底角为15°，腰长是2 cm，则腰上的高为________．
C
1 cm
拓展提高
4.如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.
(1)求∠F的度数；
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°.
∵DE∥AB，
∴∠EDC＝∠B＝60°.
∵EF⊥DE,∴∠DEF＝90°.
∴∠F＝90°－∠EDC＝30°.
拓展提高
(2)若CD＝2，求DF的长．
∵∠ACB＝60°，∠EDC＝60°，
∴△EDC是等边三角形．
∴ED＝DC＝2.
又∵∠DEF＝90°，∠F＝30°，
∴DF＝2DE＝4.
4.如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.
拓展提高
5.如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，PQ＝3，PE＝1.
(1)求证：AD＝BE；
证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝∠C＝60°，AB＝AC.
又∵AE＝CD，
∴△ABE≌△CAD(SAS)．
∴∠ABE＝∠CAD，BE＝AD.
拓展提高
(2)求AD的长．
∵∠BPQ＝∠BAP＋∠ABE＝∠BAP＋∠PAE＝∠BAC＝60°，
又∵BQ⊥PQ，
∴∠PBQ＝30°.
∴PB＝2PQ＝6.
∴BE＝PB＋PE＝7.
∴AD＝BE＝7.
5.如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，PQ＝3，PE＝1.
课堂总结
内容
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
使用要点
含30°角的直角三角形的性质
①分清30 °的角所在的直角边.
②作辅助线，构造直角三角形.
注意
前提条件：直角三角形中
证题方法
倍长法
截半法
作业布置
教材85页15题
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