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《13.4课题学习 最短路径问题》导学案
课题 最短路径问题 学科 数学 年级 八年级上册
知识目标 1.理解并掌握平面内一条直线同侧两个点到直线上的某一点距离之和为最小值时点的位置的确定； 2.能利用轴对称平移解决实际问题中路径最短的问题；
重点难点 重点： 利用轴对称解决两点之间最短路径问题难点： 如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题
教学过程
知识链接 完成下列填空：1、两点之间，_________最短。如图，第______条线路最短。 2、点到直线的距离，_________最短。o*m】
合作探究 知识1、将军饮马问题 问题一 有一位牧马人从A 地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到B 地。那么牧马人到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的 知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．【转化】：你能将实际问题抽象为数学问题吗？ 已知：直线L和同侧两点A、B求作：直线L上一点C，使C满足AC+BC的值最小。【展示】猜想，并画出图形。 【度量】：如何才能判断哪种猜想是正确的呢？（测量一下）分别度量出AC,BC的长度，并计算AC+BC。让学生观察数值如何变化。并反思各自的作法是否正确。 【猜想】完成作图: 作法： 证明AC +BC “最短”【证明】你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？ 【质疑】：证明AC +BC最短时，为什么要在直线l上任取一点（与点C但不重合）？ 知识2、造桥选址问题 问题二：如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直。)思维分析:1.如图假定任选位置造桥MN,连接AM和BN,从A到B的路径是AM+MN+BN,那么怎样确定什么情况下最短呢?2.利用线段公理解决问题:我们遇到了什么障碍呢?思维点拨:在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢?什么图形变换能帮助我们呢? 怎么证明如图作出来的位置M、N会是满足条件的点。 总结：利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为易解决的问题，从而作出最短路径的选择。
自主尝试 1. 如图，直线l是一条河，P、Q为河同侧的两地，欲在l上某处修建一个水泵站M，分别向P、Q两地供水，四种方案中铺设管道最短的是（ ）2. 如图，在直角三角形ABC中，∠A＝30度，角C为直角，且BC=1，MN为AC的垂直平分线，设P为直线MN上任一点，PB+PC的最小值为______________ 3.某中学八(2)班举行文艺晚会，桌子摆成如图所示两直排(图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短． 4.如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返回P 处，请画出旅游船的最短路径．
当堂检测 1.如图， AM⊥EF，BN⊥EF，垂足为M、N，MN＝12m，AM＝5m，BN＝4m， P是EF上任意一点，则PA＋PB的最小值______m． 如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，D为BC中点，AD＝5，P为AD上任意一点，E为AC上任意一点，则PC＋PE的最小值是_________．3.如图，在五边形ABCDE中，∠BAE＝136°，∠B＝∠E＝90°，在BC、DE上分别找一点M、N，使得△AMN的周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数为________． 4.P为∠AOB内一定点，M，N分别为射线OA，OB上一点，当△PMN周长最小时，∠MPN＝80°．（1）∠AOB＝_____°（2）求证：OP平分∠MPN
小结反思 本节课研究问题的基本过程是什么？
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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课题 最短路径问题 学科 数学 年级 八年级上册
知识目标 1.理解并掌握平面内一条直线同侧两个点到直线上的某一点距离之和为最小值时点的位置的确定； 2.能利用轴对称平移解决实际问题中路径最短的问题；
重点难点 重点： 利用轴对称解决两点之间最短路径问题难点： 如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题
教学过程
知识链接 完成下列填空：1、两点之间，_________最短。如图，第______条线路最短。 2、点到直线的距离，_________最短。前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中,线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短”等的问题,我们称它们为最短路径问题.现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题,本节将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”.
合作探究 知识1、将军饮马问题 问题一 有一位牧马人从A 地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到B 地。那么牧马人到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的 知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．【转化】：你能将实际问题抽象为数学问题吗？学生思考并回答，如何将实际问题转化为数学问题。 已知：直线L和同侧两点A、B求作：直线L上一点C，使C满足AC+BC的值最小。【展示】让学生猜想，并画出图形。巡视发现学生不同的作法（尽可能多），分别展示各小组的作法。给予学生一定的提示。【度量】：如何才能判断哪种猜想是正确的呢？（测量一下）分别度量出AC,BC的长度，并计算AC+BC。让学生观察数值如何变化。并反思各自的作法是否正确。让学生在反思的过程中，想到利用轴对称将同侧线段和最短转化为异侧线段和最短问题。借助轴对称，把折线转化为线段的长来求解。【猜想】师生共同完成作图，如下图. 作法：（1）作点B 关于直线l 的对称点B′；（2）连接AB′，与直线l 相交于点C．则点C 即为所求．证明AC +BC “最短”【证明】你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？师生活动：学生独立思考，相互交流，师生共同完成证明过程. 证明：如图，在直线l 上任取一点（与点C 不重合），连接AC′，BC′，．由轴对称的性质知，，．∴，????????? ? ．在△中，，∴ ．即AC +BC 最短． 【质疑】：证明AC +BC最短时，为什么要在直线l上任取一点（与点C但不重合）？师生活动：学生相互交流，教师适时点拨，最后达成共识：若直线l上任意一点（与点C不重合）与A，B两点的距离和都大于AC +BC，就说明AC +BC最小． 知识2、造桥选址问题 问题二：如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直。)思维分析:1.如图假定任选位置造桥MN,连接AM和BN,从A到B的路径是AM+MN+BN,那么怎样确定什么情况下最短呢? 2.利用线段公理解决问题:我们遇到了什么障碍呢?思维点拨:在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢?什么图形变换能帮助我们呢?(估计有以下方法) 1.把A平移到岸边. 2.把B平移到岸边. 3.把桥平移到和A相连. 4.把桥平移到和B相连.教师:上述方法都能做到使AM+MN+BN不变呢?请检验. 1、2两种方法改变了.怎样调整呢?把A或B分别向下或上平移一个桥长,那么怎样确定桥的位置呢?怎么证明如图作出来的位置M、N会是满足条件的点。证明:如图,平移A到A’,使AA’等于河宽,连接A’B交河岸于N.作桥MN,此时路径AM+MN+BN最短. 理由:另任作桥M’N’,连接AM’,BN’,A’N’. 由平移性质可知,AM=A’N,AA’=MN=M’N’,AM’=A’N’. AM+MN+BN转化为AA’+A’B,而AM’+M’N'+BN’ 转化为AA’+A’N’+BN’. 在△A’N’B中,由线段公理知A’N’+BN’>A’B.因此AM’+M’N’+BN’> AM+MN+BN,如图所示:总结：利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为易解决的问题，从而作出最短路径的选择。
自主尝试 1. 如图，直线l是一条河，P、Q为河同侧的两地，欲在l上某处修建一个水泵站M，分别向P、Q两地供水，四种方案中铺设管道最短的是（ ）D2. 如图，在直角三角形ABC中，∠A＝30度，角C为直角，且BC=1，MN为AC的垂直平分线，设P为直线MN上任一点，PB+PC的最小值为______________答案：2 3.某中学八(2)班举行文艺晚会，桌子摆成如图所示两直排(图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短． 解：如图．作法： ①作点C关于OA的对称点C1，点D关于OB的对称点D1；②连接C1D1，分别交OA，OB于点P，Q，连接CP，DQ，那么小明沿C→P→Q→D的路线行走，所走的总路程最短． 4.如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返回P 处，请画出旅游船的最短路径． 解答： （1）两点之间，线段最短，连接PQ； （2）作P关于BC的对称点P1，连接QP1，交BC于M，再连接MP． 最短路线P--Q--M--P．
当堂检测 1.如图， AM⊥EF，BN⊥EF，垂足为M、N，MN＝12m，AM＝5m，BN＝4m， P是EF上任意一点，则PA＋PB的最小值______m． 解：作点A关于EF的对称点A’，过点A’作A’C⊥BN的延长线于C．易知A’M＝AM＝NC＝5m，BC＝9m，A’C＝MN＝12m，在Rt△A’BC中，A’B＝15m，即PA＋PB的最小值是15m． 如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，D为BC中点，AD＝5，P为AD上任意一点，E为AC上任意一点，则PC＋PE的最小值是_________．答案：4.8解答：作BE⊥AC交于点E，交AD于点P，易知AD⊥BC，BD＝3，BC＝6， 则AD·BC＝BE·AC， 4×6＝BE·5，BE＝4.8 ∴最小：PC+PE=BP+PE=BE=4.8 3.如图，在五边形ABCDE中，∠BAE＝136°，∠B＝∠E＝90°，在BC、DE上分别找一点M、N，使得△AMN的周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数为________．答案：88° 解答： 如图，∵∠BAE＝136° ∴∠MA′A＋∠NA″A＝44° 由对称性知：∠MAA′＝∠MA′A，∠NAA″＝∠NA″A， ∠AMN＋∠ANM＝2∠MA′A＋2∠NA″A＝88° 4.P为∠AOB内一定点，M，N分别为射线OA，OB上一点，当△PMN周长最小时，∠MPN＝80°．（1）∠AOB＝_____°（2）求证：OP平分∠MPN 解答：（1） 易知OP’＝OP’’，∠7＋∠8＝∠5＋∠6＝80°，∠P’OP’’＝100°，由对称性知，∠9＝∠11，∠10＝∠12，∠AOB＝∠9＋∠10＝50° （2）由OP’＝OP’’，∠P’OP’’＝100°知，∠7＝∠8＝40°，∠5＝∠6＝40°，OP平分∠MPN．
小结反思 本节课研究问题的基本过程是什么？ 当我们遇到一个实际问题，首先，我们要将实际问题变成一个数学问题（群答），也就是抽象成一个数学模型，这样可以帮助我们进行实验观察，进而运用合情推理得到一个猜想，然后我们可以通过严谨的逻辑证明，验证猜想，从而得出结论，最后再将结论运用到实际问题里。
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(共27张PPT)
13.4课题学习
最短路径问题
人教版 八年级上
新知导入
两点之间，_________最短。如图，第______条线路最短。
点到直线的距离，_________最短。
类似这样的问题我们称为最短路径问题，如何利用轴对称解决实际生活中的最短路径问题？
线段
垂线段
②
新知讲解
问题一 有一位牧马人从A 地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到B 地。那么牧马人到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？
精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的 知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．
新知讲解
将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线．
想一想
如何将实际问题数学化呢？
新知讲解
现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最 短的直线l上的点．设C 为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C 在l的什么位置时，AC 与CB 的和最小（如图）
新知讲解
点A、B是分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到A、B两点的距离最短呢？
B
·
·
A
l
两点之间,线段最短
交点即为所求
依据：
新知讲解
如何将点B“移”到l的另一侧B′处，满足直线l 上的任意一点C，都保持CB 与CB′的长度相等？你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B′吗？
作法：
(1)作点B 关于直线l 的对称点B′；
(2)连接AB′，与直线l 交于点C.则点C 即为所求．
A
C
B＇
┓
B
新知讲解
证明：如图，在直线l上任取一点C′(与点C 不重合)，连接AC′，BC′，B′C′.由轴对称的性质知：
BC ＝B′C，BC′＝B′C′。
∴ AC ＋BC＝ AC ＋B′C ＝ AB′，
AC′＋BC′＝ AC′＋B′C′。 在△AB′C′中， AB′＜AC′＋B′C′
∴ AC ＋BC＜AC′＋BC′。
即 AC ＋BC 最短。
新知讲解
问题1 归纳
巩固练习
1. 如图，直线l是一条河，P、Q为河同侧的两地，欲在l上某处修建一个水泵站M，分别向P、Q两地供水，四种方案中铺设管道最短的是（ ）
D
巩固练习
2. 如图，在直角三角形ABC中，∠A＝30度，角C为直角，且BC=1，MN为AC的垂直平分线，设P为直线MN上任一点，PB+PC的最小值为______________
2
新知讲解
知识2、造桥选址问题
问题二：如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直。)
新知讲解
将实际问题转化为数学问题
将河的两岸看作两条平行线a、b，N为直线b上的一个动点，MN垂直于a，交a于N点。
当N在什么位置时，AM+MN+NB最小？
新知讲解
问题解决
A'
M
N
如图，平移A到A'，使ＡA'等于河宽，连接A'Ｂ交河岸于Ｎ作桥ＭＮ，此时路径ＡＭ＋ＭＮ＋ＢＮ最短.
Ｎ'
Ｍ'
新知讲解
另任意造桥M′N′，
连接AM′、BN′、A′N′.
由平移性质可知，
AM＝A′N，AM′＝A′N′，
AA′＝MN＝M′ N′.
∴AM+MN+BN＝AA′+A′B，
AM′+M′N′+BN′＝AA′+A′N′+BN′.
在△A′N′B中，由线段公理知A′N′+BN′ ＞A′B，
∴AM′ +M′N′ +BN′ ＞ AM+MN+BN.
证明：
a
b
新知讲解
问题2 归纳
利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为易解决的问题，从而作出最短路径的选择。
新知讲解
小结归纳
轴对称
变换
平移
变换
两点之间，线段最短.
巩固练习
3.某中学八(2)班举行文艺晚会，桌子摆成如图所示两直排(图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短．
解：如图．作法：
①作点C关于OA的对称点C1，点D关于OB的对称点D1；②连接C1D1，分别交OA，OB于点P，Q，连接CP，DQ，那么小明沿C→P→Q→D的路线行走，所走的总路程最短．
巩固练习
4.如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返回P 处，请画出旅游船的最短路径．
解答：
（1）两点之间，线段最短，连接PQ；
（2）作P关于BC的对称点P1，连接QP1，交BC于M，再连接MP．
最短路线P--Q--M--P．
1.如图， AM⊥EF，BN⊥EF，垂足为M、N，MN＝12m，AM＝5m，BN＝4m， P是EF上任意一点，则PA＋PB的最小值______m．
解：作点A关于EF的对称点A’，过点A’作A’C⊥BN的延长线于C．易知A’M＝AM＝NC＝5m，BC＝9m，A’C＝MN＝12m，在Rt△A’BC中，A’B＝15m，即PA＋PB的最小值是15m．
15
属于两定一动将军饮马型，根据常见的“定点定线作对称
拓展提高
拓展提高
2.如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，D为BC中点，AD＝5，P为AD上任意一点，E为AC上任意一点，则PC＋PE的最小值是_________．
解答：作BE⊥AC交于点E，交AD于点P，易知AD⊥BC，BD＝3，BC＝6，
则AD·BC＝BE·AC，
4×6＝BE·5，BE＝4.8
∴最小：PC+PE=BP+PE=BE=4.8
4.8
属于一定两动的将军饮马模型，我们习惯于“定点定线作对称”
3.如图，在五边形ABCDE中，∠BAE＝136°，∠B＝∠E＝90°，在BC、DE上分别找一点M、N，使得△AMN的周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数为________．
解答：
如图，∵∠BAE＝136°
∴∠MA′A＋∠NA″A＝44°
由对称性知：∠MAA′＝∠MA′A，∠NAA″＝∠NA″A，
∠AMN＋∠ANM＝2∠MA′A＋2∠NA″A＝88°
88°
拓展提高
4.P为∠AOB内一定点，M，N分别为射线OA，OB上一点，当△PMN周长最小时，∠MPN＝80°．
（1）∠AOB＝_____°（2）求证：OP平分∠MPN
解答：（1）
易知OP’＝OP’’，∠7＋∠8＝∠5＋∠6＝80°，∠P’OP’’＝100°，由对称性知，∠9＝∠11，∠10＝∠12，∠AOB＝∠9＋∠10＝50°
（2）由OP’＝OP’’，∠P’OP’’＝100°知，∠7＝∠8＝40°，∠5＝∠6＝40°，OP平分∠MPN．
拓展提高
50
课堂总结
课堂小结
作业布置
教材93页练习15题
谢谢
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