§6 距离的计算
学习目标：1.理解点到直线的距离、点到平面的距离的概念．(难点) 掌握点到直线的距离公式、点到平面的距离公式．(重点) 通过转化，会利用空间向量解决距离问题，从而培养准确的运算能力．(难点)
1．利用向量求点A到直线l的距离步骤：
(1)找到直线l的方向向量s，并求s0＝；
(2)在直线l上任取一点P；
(3)计算点P到点A的距离||；
(4)计算在向量s上的投影·s0；
(5)计算点A到直线l的距离
d＝.
2．利用向量求点A到平面π的距离步骤：
(1)找到平面π的法向量n；
(2)在平面π内任取一点P；
(3)计算在向量n上的投影·n0；
(4)计算点A到平面π的距离d＝|·n0|.
思考：如图，P是平面α外一点，PO⊥α于O，PA，PB是α的两条斜线段.与在上的投影大小相等吗？如果相等都等于什么？
[提示] 相等，都等于||，即P到平面α的距离．
1.判断正误
(1)平面α外一点A到平面α的距离，就是点A与平面内一点B所成向量的长度． ( )
(2)直线l∥平面α，则直线l到平面α的距离就是直线l上的点到平面α的距离． ( )
(3)若平面α∥β，则两平面α，β的距离可转化为平面α内某条直线到平面β的距离，也可转化为平面α内某点到平面β的距离． ( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√
2．已知直线l过定点A(2，3，1)，且方向向量为n＝(0，1，1)，则点P(4，3，2)到l的距离为( )
A. B.
C. D.
A [＝(－2，0，－1)，||＝，·＝，则点P到直线l的距离d＝＝＝.]
3．已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2，1)，点A(－1，3，0)在α内，则P(－2，1，4)到α的距离为( )
A．10 B．3
C. D.
D [∵A(－1，3，0)，P(－2，1，4)，∴＝(－1，－2，4)，∵n＝(－2，－2，1)，∴n0＝＝，
∴d＝|·n0|＝＝.]
4．已知直线AB∥平面α，平面α的法向量n＝(1，0，1)，平面α内一点C的坐标为(0，0，1)，直线AB上点A的坐标为(1，2，1)，则直线AB到平面α的距离为________．
[ ＝(1，2，0)，
直线AB到平面α的距离d＝|·n0|＝.]
点到直线的距离
【例1】 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝3，BC＝4，AA1＝5，求点A1到下列直线的距离：
(1)直线AC；
(2)直线BD.
[解] (1)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，
显然AA1⊥AC，
所以AA1＝5即为所求点A1到直线AC的距离．
(2)如图建立空间直角坐标系，
则有B(4，3，0)，A1(4，0，5)．
＝(4，3，0)，＝(4，0，5)，
＝，
设点A1到直线BD的距离为d.所以
d＝＝＝.
1．本题(1)利用基本定义直接求解距离．
2．点到直线的距离的算法框图
空间一点A到直线l的距离的算法框图，如图．
1．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，点E是A1B1的中点，则点A到直线BE的距离是( )
A. B.
C. D.
B [如图所示，＝(2，0，0)，＝(1，0，2)，
＝.
A到直线BE的距离
d＝＝＝.]
点到平面的距离
【例2】 如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱AA1＝，底面△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝1，求点B1到平面A1BC的距离．
[解] 如图建立空间直角坐标系，
由已知得直棱柱各顶点坐标如下：A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，0)，A1(1，0，)，B1(0，1，)，C1(0，0，)．
∴＝(－1，1，－) ＝(－1，0，－)，＝(1，－1，0)．
设平面A1BC的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则??即n＝(－，0，1)，
所以，点B1到平面A1BC的距离d＝|·|＝.
空间一点A到平面π的距离的算法框图，如图所示．
2．已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E，F分别是AB，AD的中点，CG垂直于正方形ABCD所在的平面，且CG＝2，求点B到平面EFG的距离．
[解] 建立如图所示的空间直角坐标系.
由题意可知G(0，0，2)，E(4，－2，0)，F(2，－4，0)，B(4，0，0)，
∴＝(4，－2，－2)，＝(2，－4，－2)，
＝(0，－2，0)．
设平面EFG的一个法向量为n＝(x，y，z)．
由得∴
令y＝1，则n＝(－1，1，－3)，
故点B到平面EFG的距离为
d＝|·|＝＝.
求线面距与面面距
[探究问题]
1． 线面距、面面距可转化为点到平面的距离吗？为什么？
[提示] 可以．直线与平面平行时，直线上的点到平面的距离均相等；平面与平面平行时，一个平面上的点到另一个平面的距离均相等，故可将线面距、面面距等转化为点面距．
2． 你能给出用向量法求面面距的基本思路吗？
[提示] 求两平行平面之间的距离，通常也是转化为点面距求解，其基本思路是：设点A为平面α内任意一点，B为平面β内的任意一点，n为平面α或β的法向量，若α∥β，则平面α与β间的距离为d＝|·|＝|·n0|.
【例3】 已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，点E、F分别在A1B、B1D1上，且A1E＝A1B，B1F＝B1D1.
(1)求证：EF∥平面ABC1D1；
(2)求EF与平面ABC1D1的距离d.
[思路探究] (1)建系，写出相应点的坐标，求出平面平面ABC1D1的法向量n，利用·n＝0证明；(2)直接转化为点E与平面ABC1D1的距离．
[解] (1)证明：建立如图空间直角坐标系B－xyz，
易得E，F，
故＝，＝(a，0，0)，＝(0，a，a)．
设n＝(x，y，z)是平面ABC1D1的法向量．
由得
令z＝1，得n＝(0，－1，1)．
∵·n＝·(0，－1，1)＝0，
∴⊥n，由于EF平面ABC1D1，
故EF∥平面ABC1D1.
(2)由(1)得＝，
＝，
∴d＝|·|＝a.
1.(变条件)若正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，求平面A1BD与平面B1CD1间的距离．
[解] 以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(1，0，1)、B(1，1，0)、D1(0，0，1)，
＝(0，1，－1)，＝(－1，0，－1)，＝(－1，0，0)．
设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，
则?
令z＝1，得y＝1，x＝－1，∴n＝(－1，1，1)．
∴点D1到平面A1BD的距离d＝|·|＝＝.
∵平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离，
∴平面A1BD与平面B1CD1间的距离为.
2.(变条件)若棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是BC、CD的中点，则BD到平面EFD1B1的距离为________．
[以D为原点，直线DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)，易求平面EFD1B1的法向量n＝，又＝(0，，0)，
∴d＝＝.]
1．求直线与平面的距离，往往转化为点到平面的距离求解，且这个点要适当选取，以求解最为简单为准则，求直线到平面的距离的题目不多，因线面距可用点面距求解，但在求点到平面的距离时有时用直线到平面的距离过渡．
2．求两个平行平面间的距离也可以转化为求直线与平面间的距离或点到平面的距离．
1．已知△ABC的顶点A(1，－1，2)、B(5，－6，2)、C(1，3，－1)，则AC边上的高BD的长等于( )
A．3 B．4
C．5 D．6
C [＝(4，－5，0)，＝(0，4，－3)，
∴||＝5，∴||＝＝＝4，
∴高BD＝＝＝5.]
2．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离是( )
A. B.
C. D.
B [以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则有
D1(0，0，1)，D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，A1(1，0，1)，C1(0，1，1)．因O为A1C1的中点，所以O，＝，＝(0，1，0)，＝(－1，0，1)，
设平面ABC1D1的法向量为n＝(x，y，z)，
则有即
取x＝1，则n＝(1，0，1)，
∴O到平面ABC1D1的距离为d＝＝＝.]
3．单位正方体ABCD－A1B1C1D1中，点B1到直线AC的距离为________．
[建立坐标系如图，
B1(1，1，1)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，
∴＝(－1，1，0)，＝(0，1，1)，＝，
∴点B1到直线AC的距离为
d＝＝＝.]
4．在直三棱柱ABC－A′B′C′中，底面ABC是等腰直角三角形，且AB＝AC＝1，AA′＝2，求A′到直线BC′的距离为________．
[由题意，可知AB、AC、AA′两两垂直，故以A为坐标原点，建立如图所示的坐标系，则A′(0，0，2)，B(1，0，0)，C′(0，1，2)，所以点A′到直线BC′的距离为d＝＝＝]
5．在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AA1的中点，求点A1到平面MBD的距离．
[解] 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系(图略)．
则A(a，0，0)，B(a，a，0) M，A1(a，0，a)．
设平面MBD的一个法向量为(x，y，1)，
则则
∴A1到平面MBD的距离为
＝＝a.
课件49张PPT。第二章 空间向量与立体几何§6 距离的计算点到直线的距离 点到平面的距离 求线面距与面面距点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十三)
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．已知平面α的法向量为n＝(－2，－2，1)，点A(x，3，0)在平面α内，则点P(－2，1，4)到平面α的距离为，则x＝( )
A．－1 B．－11
C．－1或－11 D．－21
C [＝(x＋2，2，－4)，而d＝＝，
即＝，解得x＝－1或－11.]
2．已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，棱A1A＝5，AB＝12，那么直线B1C1到平面A1BCD1的距离是( )
A．5 B.
C. D．8
C [以D为原点，、、的方向为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，则C(0，12，0)，D1(0，0，5)，设B(x，12，0)，B1(x，12，5)(x≠0)，设平面A1BCD1的法向量n＝(a，b，c)，由n⊥，n⊥得
n·＝(a，b，c)·(－x，0，0)＝－ax＝0，∴a＝0，
n·＝(a，b，c)·(0，－12，5)＝－12b＋5c＝0，
∴b＝c，∴可取n＝(0，5，12)，＝(0，0，－5)，
∴B1到平面A1BCD1的距离d＝＝.]
3．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是线段BB1、B1C1的中点，则直线MN和平面ACD1的距离是( )
A. B.
C. D.
D [法一：如图，建立空间直角坐标系，则A(1，0，0)，D1(0，0，1)，M(1，1，)，N(，1，1)，C(0，1，0)．
所以＝(－1，0，1)，
＝(－，0，)．
所以＝.
又直线AD1与MN不重合，
所以∥.又MN平面ACD1，
所以MN∥平面ACD1.
因为＝(－1，0，1)，＝(0，1，－1)，＝(－1，1，0)．
设平面ACD1的法向量n＝(x，y，z)，
则所以
所以x＝y＝z.令x＝1，则n＝(1，1，1)．
又因为＝(1，1，)－(1，0，0)＝(0，1，)，
所以||＝＝.
所以点M到平面ACD1的距离为
＝＝.
法二：延长NM交CB的延长线于H，连AH、D1H，MH∥平面ACD1，∴M到平面ACD的距离即为H到平面ACD1的距离．则VD1－AHC＝×＝＝VH－ACD1＝×h.∴h＝.]
4．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长是1，则直线DA1与AC间的距离为( )
A. B.
C. D.
C [建系如图A(1，0，0)，A1(1，0，1)，C(0，1，0)，＝(－1，1，0)，＝(1，0，1)，
设n＝(x，y，z)，令
∴令x＝1则n＝(1，1，－1)
＝(1，0，0)，与AC的距离d＝＝.]
5．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离为( )
A. B.
C. D.
C [如图，建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(2，0，0)，A1(2，0，4)，B1(2，2，4)，D1(0，0，4)．
∴＝(2，2，0)，＝(2，0，－4)，＝(0，0，4)，
设n＝(x，y，z)是平面AB1D1的一个法向量，
则n⊥，n⊥，∴
令z＝1，则平面AB1D1的一个法向量为n＝(2，－2，1)．∴由在n上射影可得A1到平面AB1D1的距离为d＝＝.]
二、填空题
6．如图所示，在直二面角D-AB-E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，△AEB是等腰直角三角形，其中∠AEB＝90°，则点D到平面ACE的距离为________．
[建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，－1，0)，E(1，0，0)，D(0，－1，2)，C(0，1，2).＝(0，0，2)，＝(1，1，0)，＝(0，2，2)，
设平面ACE的法向量n＝(x，y，z)，则
即令y＝1，∴n＝(－1，1，－1)．
故点D到平面ACE的距离
d＝＝＝.]
7．设A(2，3，1)，B(4，1，2)，C(6，3，7)，D(－5，－4，8)，则点D到平面ABC的距离为________．
[设平面ABC的法向量n＝(x，y，z)，∵n·＝0，n·＝0，∴即?令z＝－2，则n＝(3，2，－2)．又＝(－7，－7，7)，∴点D到平面ABC的距离为d＝＝
＝＝.]
8．如图所示，正方体的棱长为1，E，F，M，N分别是棱的中点，则平面A1EF与平面B1NMD1的距离为________．
[建立如图所示的空间直角坐标系，
则A1(1，0，0)，B1(1，1，0)，E，F，D1(0，0，0)，M，N.
∵E，F，M，N分别是棱的中点，
∴MN∥EF，A1E∥B1N.
∴平面A1EF∥平面B1NMD1.
∴平面A1EF与平面B1NMD1的距离即为A1到平面B1NMD1的距离．
设平面B1NMD1的法向量为n＝(x，y，z)，
∴n·＝0，且n·＝0.
即(x，y，z)·(1，1，0)＝0，且(x，y，z)·＝0.
∴x＋y＝0，且－x＋z＝0，
令x＝2，则y＝－2，z＝1.
∴n＝(2，－2，1)，n0＝.
∴A1到平面B1NMD1的距离为d＝|·n0|
＝＝.]
三、解答题
9．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，CC1＝2.
(1)求证：直线CD1∥平面A1BC1；
(2)求直线CD1与平面A1BC1间的距离．
[解] (1)证明：建系如图，
则C(0，4，0)，D1(0，0，2)，B(3，4，0)，A1(3，0，2)，C1(0，4，2)，所以＝(0，－4，2)，＝(0，－4，2)，＝(－3，0，2)，＝(－3，0，0)．∵＝，∴CD1∥BA1，又因为CD1平面A1BC1，所以CD1∥平面A1BC1.
(2)设平面A1BC1的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
∴取z＝6，则x＝4，y＝3，
∴n＝(4，3，6)，则·n＝(－3，0，0)·(4，3，6)＝－12，|n|＝.所以点C到平面A1BC1的距离即直线CD1到平面A1BC1的距离，
即d＝＝＝.
10．如图，已知△ABC是以∠B为直角的直角三角形，SA⊥平面ABC，SA＝BC＝2，AB＝4，N，D分别是AB，BC的中点，求点A到平面SND的距离．
[解] 建立如图所示的空间直角坐标系，则N(0，2，0)，
S(0，0，2) D(－1，4，0)，∴＝(0，－2，2)，＝(－1，4，－2)．
设平面SND的法向量为n＝(x，y，1)．
∴n·＝0，n·＝0，
∴∴
∴n＝(2，1，1)．∵＝(0，0，2)．
∴点A到平面SND的距离为＝＝.
[能力提升练]
1．若正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60°角，则A1C1到底面ABCD的距离为( )
A. B．1
C. D.
D [如图所示，直线AB1与底面ABCD所成的角为∠B1AB，而A1C1到底面ABCD的距离为AA1，在Rt△ABB1中，B1B＝AB·tan 60°＝.所以AA1＝BB1＝.]
2．如图，P-ABCD是正四棱锥，ABCD-A1B1C1D1是正方体，其中AB＝2，PA＝，则B1到平面PAD的距离为( )
A．6 B.
C. D.
C [以A1B1为x轴，A1D1为y轴，A1A为z轴建立空间直角坐标系，设平面PAD的法向量是n＝(x，y，z)，
∵＝(0，2，0)，＝(1，1，2)，∴·n＝0，且·n＝0.
∴y＝0，x＋y＋2z＝0，取z＝1，得n＝(－2，0，1)．
∵＝(－2，0，2)，∴B1到平面PAD的距离d＝＝.]
3．已知过点P(1，0，0)的两条直线l1与l2，l1平行于向量s1＝(0，1，－1)，l2平行于向量s2＝(1，1，0)，则点P1(0，1，0)到直线l1与l2确定的平面π的距离为________．
[设平面π的法向量n＝(x，y，z)，
由s1·n＝s2·n＝0得
取x＝1，则y＝－1，z＝－1，所以n＝(1，－1，－1)．
又因＝(－1，1，0)，
所以点P1到平面π的距离为
＝＝.]
4．已知四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为正方形，SD⊥面ABCD，且SD＝AD＝1，则异面直线SB与AC的距离为________．
[以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，0)，C(0，1，0)，S(0，0，1)，B(1，1，0)，＝(－1，1，0)，＝(1，1，－1)．
设向量n＝(x，y，z)满足，
即即
令y＝1，可得n＝(1，1，2)．
在AC上取点A，在SB上取点B，＝(0，1，0)，
所以异面直线SB与AC的距离d＝＝.]
5．已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点．
(1)求点D到平面PEF的距离；
(2)求直线AC到平面PEF的距离．
[解] (1)建立以D为坐标原点，DA，DC，DP分别为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系，如图所示．
则P(0，0，1)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，
E，F，＝，＝，设平面PEF的法向量n＝(x，y，z)，
则n·＝0且n·＝0，
所以
令x＝2，则y＝2，z＝3，所以n＝(2，2，3)，
所以点D到平面PEF的距离为
d＝＝＝，
因此，点D到平面PEF的距离为.
(2)因为＝，所以点A到平面PEF的距离为d＝＝＝，
因为E，F分别为AB，BC中点，所以EF∥AC，
又因为AC平面PEF，所以AC∥平面PEF，
所以AC到平面PEF的距离为.
