3.2 基本不等式与最大(小)值
学 习 目 标
核 心 素 养
1.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．(重点)
2．会用基本不等式解决实际问题．(重点、难点)
1.通过利用基本不等式求解最值问题提升逻辑素养．
2．利用基本不等式解决实际问题提升数学建模素养.
不等式与最大(小)值
阅读教材P90～P91“例2”以上部分，完成下列问题．
x，y都为正数时，下面的命题成立
(1)若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值；
(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2.
思考：(1) 函数y＝x＋的最小值是2吗？
[提示] 不是，只有当x＞0时，才有x＋≥2，当x＜0时，没有最小值．
(2)设a＞0,2a＋取得最小值时，a的值是什么？
[提示] 2a＋≥2＝2，当且仅当2a＝，即a＝时，取得最小值．
1．下列函数中，最小值为4的函数是( )
A．y＝x＋ B．y＝sin x＋(0＜x＜π)
C．y＝ex＋4e－x D．y＝log3x＋logx81
C [A中x＝－1时，y＝－5＜4，B中y＝4时，sin x＝2，D中x与1的关系不确定，选C．]
2．当x＞0时，x＋的最小值为________．
6 [因为x＞0，所以x＋≥2＝6，当且仅当x＝，即x＝3时等号成立．]
3．当x∈(0,1)时，x(1－x)的最大值为________．
[因为x∈(0,1)，
所以1－x＞0，
故x(1－x)≤2＝，
当x＝1－x，
即x＝时等号成立．]
4．若点A(－2，－1)在直线mx＋ny＋1＝0上，其中mn>0，则＋的最小值为________．
8 [由已知点A在直线mx＋ny＋1＝0上
所以2m＋n＝1，
所以＋＝＋＝4＋≥8.]
利用基本不等式求最值
【例1】 (1)已知x>2，则y＝x＋的最小值为________．
(2)若0(1)6 (2) [(1)因为x>2，所以x－2>0，
所以y＝x＋＝x－2＋＋2
≥2＋2＝6，
当且仅当x－2＝，即x＝4时，等号成立．
所以y＝x＋的最小值为6.
(2)因为00，
所以y＝x·(1－2x)＝×2x×(1－2x)
≤2＝×＝，当且仅当2x＝1－2x，即当x＝时，ymax＝.]
在利用基本不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件．
1．(1)已知t>0，则函数y＝的最小值为________．
(2)设0(1)－2 (2)2 [(1)依题意得y＝t＋－4≥2－4＝－2，等号成立时t＝1，即函数y＝(t>0)的最小值是－2.
(2)因为00，
故?(x)＝
＝
＝·≤×＝2，
当且仅当2x＝8－2x，即x＝2时取等号，
所以当x＝2时，?(x)＝的最大值为2.]
利用基本不等式
解实际应用题
【例2】 如图，要设计一张矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目(如图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm2，四周空白的宽度为10 cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告牌的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告牌面积最小？
[解] 法一：设矩形广告牌的高为x cm，宽为y cm，则每栏的高和宽分别为(x－20) cm，cm，其中x>20，y>25，则两栏面积之和为2(x－20)×＝18 000，由此得y＝＋25，
所以广告牌的面积S＝xy＝
x＝＋25x，
整理得S＝＋25(x－20)＋18 500.
因为x－20>0，
所以S≥2＋18 500＝24 500.
当且仅当＝25(x－20)时等号成立，
此时有(x－20)2＝14 400，解得x＝140，
代入y＝＋25，得y＝175.
即当x＝140，y＝175时，S取得最小值24 500.
故当广告牌的高为140 cm，宽为175 cm时，可使矩形广告牌的面积最小．
法二：设矩形栏目的高为a cm，宽为b cm，则ab＝9 000，其中a>0，b>0.
易知广告牌的高为(a＋20) cm，宽为(2b＋25)cm.
广告牌的面积S＝(a＋20)(2b＋25)＝2ab＋40b＋25a＋500＝18 500＋25a＋40b≥18 500＋2＝24 500，当且仅当25a＝40b时等号成立，此时b＝a，
代入ab＝9 000得a＝120，b＝75.
即当a＝120，b＝75时，S取得最小值24 500.
故当广告牌的高为140 cm，宽为175 cm时，可使矩形广告牌的面积最小．
在应用基本不等式解决实际问题时，要注意以下四点：
(1)先理解题意，设变量时一般把要求最值的变量定为函数；
(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最值问题；
(3)在定义域内，求出函数的最值；
(4)写出正确答案．
2．(1)某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N＋)，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．
(2)用一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
(1)5 8 [每台机器运转x年的年平均利润为＝18－，且x>0，故≤18－2＝8，当且仅当x＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．]
(2)[解] 设矩形菜园的长为x m、宽为y m，则2(x＋y)＝36，x＋y＝18，矩形菜园的面积为xy m2.
由≤＝＝9，可得xy≤81，当且仅当x＝y，
即x＝y＝9时，等号成立．
因此，这个矩形的长、宽都为9 m时，菜园的面积最大，最大面积为81 m2.
基本不等式的综合应用
[探究问题]
1．(1)当x＞0时，有最大值，还是最小值？
(2)当x＞0时，有最大值，还是最小值？
[提示] (1)当x＞0时，＝x＋≥2＝2，
当x＝1时等号成立，即有最小值2.
(2)当x＞0时，＝，因为x＋≥2，所以≤，故有最大值.
2．(1)设a＞0，b＞0，(a＋b)的最小值是什么？
(2)设a＞0，b＞0，且a＋b＝1，＋的最小值是什么？
[提示] (1)(a＋b)＝3＋＋≥3＋2，当b＝a时等号成立；
(2)由于a＋b＝1，所以＋＝(a＋b)≥2＋3，
当b＝a，即a＝－1，b＝2－时，＋的最小值为3＋2.
【例3】 (1)若对任意的x＞0，≤a恒成立，求a的取值范围．
(2)设a＞0，b＞0，若是3a与3b的等比中项，求＋的最小值．
思路探究：(1)在中，分子、分母同时除以x，求得的最大值，可得a的范围．
(2)由条件求得a与b的关系式，可求＋的最小值．
[解] (1)设f(x)＝＝，∵x＞0，∴x＋≥2，∴f(x)≤，即f(x)max＝，∴a≥.
(2)由题意得，3a·3b＝()2，即a＋b＝1，
∴＋＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，
当且仅当＝，即a＝b＝时，等号成立．
1．(变条件)(1)在例3(2)中，若3是3a与3b的等比中项，求＋的最小值．
(2)在例3(2)中，把条件换为“和的等差中项是”，求2a＋b的最小值．
[解] (1)由3是3a与3b的等比中项，得3a＋b＝32，即a＋b＝2，故(a＋b)＝1，所以＋＝(a＋b)
＝≥＝2，
当a＝b＝1时等号成立．
(2)由于和的等差中项是，则＋＝1，
故2a＋b＝(2a＋b)＝5＋＋≥5＋2＝9.
当a＝b＝3时等号成立．
2．(变条件)把例3(2)的条件换为“a＞0，b＞0，且a＋b＋ab＝1”，求a＋b的最小值．
[解] a＋b＋ab＝1，得b＝＞0，故0＜a＜1，
故a＋b＝a＋＝a＋
＝a＋－1＝a＋1＋－2
≥2－2＝2－2，
当a＋1＝，即a＝－1时等号成立．
最值法解答恒成立问题
将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的处理方法，其一般类型有：
(1)f(x)＞a恒成立?a＜f(x)min.
(2)f(x)＜a恒成立?a＞f(x)max.
1．利用基本不等式求最值必须满足“一正、二定、三相等”三个条件，并且和为定值，积有最大值；积为定值，和有最小值．
2．使用基本不等式求最值时，若等号取不到，则考虑用函数单调性求解．
3．解决实际应用问题，关键在于弄清问题的各种数量关系，抽象出数学模型，利用基本不等式解应用题，既要注意条件是否具备，还要注意有关量的实际含义．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个正数的积为定值，它们的和一定能在两个数相等时取得最小值．( )
(2)函数y＝sin x＋的最小值为2.( )
(3)函数y＝＋的最小值为2.( )
[答案] (1)× (2)× (3)×
[提示] (1)错误，这两个数可能不相等，如当x∈(0，π)时，sin x与的积为定值，但sin x≠；
(2)错误，sin x＜0时，函数不存在最小值．
(3)错误，因为只有＝，即x2＋4＝1，x2＝－3时才能取到最小值，但x2＝－3不成立，故(3)错．
2．若x>0，y>0且2(x＋y)＝36，则的最大值为( )
A．9 B．18
C．36 D．81
A [由2(x＋y)＝36得x＋y＝18.
所以≤＝9，
当且仅当x＝y＝9时，等号成立．]
3．一批货物随17列货车从A市以v千米/时匀速直达B市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车的间距不得小于2千米，那么这批货物全部运到B市，最快需要________小时．
8 [设这批货物从A市全部运到B市的时间为t，则t＝＝＋≥2＝8(小时)，
当且仅当＝，即v＝100时，等号成立，此时t＝8小时．]
4．求函数f(x)＝的最大值．
[解] f(x)＝＝，
因为＋≥2＝2，当x＝1时等号成立，所以f(x)≤.
课件43张PPT。第三章 不等式§3 基本不等式
3.2 基本不等式与最大(小)值234大 小 567891011利用基本不等式求最值 121314151617利用基本不等式解实际应用题 181920212223242526基本不等式的综合应用 27282930313233343536373839404142点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十九)
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．设x>0，则y＝3－3x－的最大值是( )
A．3 B．3－2
C．3－2 D．－1
C [y＝3－3x－＝3－≤3－2 ＝3－2，
当且仅当3x＝，即x＝时取等号．]
2．函数y＝log2(x>1)的最小值为( )
A．－3 B．3
C．4 D．－4
B [因为x＋＋5
＝(x－1)＋＋6
≥2 ＋6＝8.
所以log2≥3，所以ymin＝3.
当且仅当x－1＝，即x＝2时，等号成立．]
3．已知x>0，y>0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为( )
A．16 B．25
C．9 D．36
B [(1＋x)(1＋y)≤2
＝2＝2＝25，因此当且仅当1＋x＝1＋y即x＝y＝4时，(1＋x)(1＋y)取最大值25，故选B.]
4．已有x>1，y>1且xy＝16，则log2x·log2y( )
A．有最大值2 B．等于4
C．有最小值3 D．有最大值4
D [因为x>1，y>1，
所以log2x>0，log2y>0.
所以log2x·log2y≤2
＝2＝4，
当且仅当x＝y＝4时取等号．
故选D.]
5．已知函数y＝x－4＋(x>－1)，当x＝a时，y取得最小值b，则a＋b＝( )
A．－3 B．2
C．3 D．8
C [y＝x－4＋＝(x＋1)＋－5，因为x>－1，所以x＋1>0，所以y≥2 －5＝2×3－5＝1.当且仅当x＋1＝，即x＝2时，等号成立，即a＝2，b＝1，所以a＋b＝3.]
二、填空题
6．函数f(x)＝x(4－2x)的最大值为________．
2 [①当x∈(0,2)时，x,4－2x＞0，f(x)＝x(4－2x)≤2＝2，当且仅当2x＝4－2x，即x＝1时，等号成立．
②当x≤0或x≥2时，f(x)≤0，故f(x)max＝2.]
7．周长为＋1的直角三角形面积的最大值为________．
[设直角三角形的两条直角边边长分别为a、b，则＋1＝a＋b＋≥2＋，解得ab≤，当且仅当a＝b＝时取“＝”，所以直角三角形面积S≤，即S的最大值为.]
8．若直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1,2)，则2a＋b的最小值为________．
8 [因为直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1,2)，所以＋＝1，因为a>0，b>0，所以2a＋b＝(2a＋b)＝4＋＋≥4＋2 ＝8，当且仅当＝，即a＝2，b＝4时等号成立，所以2a＋b的最小值为8.]
三、解答题
9．已知x，y＞0，且x＋2y＋xy＝30，求xy的范围．
[解] 因为x，y是正实数，故30＝x＋2y＋xy≥2＋xy，当且仅当x＝2y，
即x＝6，y＝3时，等号成立．
所以xy＋2－30≤0.
令＝t，则t＞0，得t2＋2t－30≤0，解得－5≤t≤3.
又t＞0，知0＜≤3，
即xy的范围是(0,18]．
10．已知正常数a，b和正变数x，y满足a＋b＝10，＋＝1，x＋y的最小值为18，求a，b的值．
[解] 因为x＋y＝(x＋y)·＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝(＋)2，
当且仅当＝，即＝时，等号成立，所以x＋y的最小值为(＋)2＝18，
又a＋b＝10，所以ab＝16.
所以a，b是方程x2－10x＋16＝0的两根，所以a＝2，b＝8或a＝8，b＝2.
[能力提升练]
1．已知a＝(x－1,2)，b＝(4，y)(x，y为正数)，若a⊥b，则xy的最大值是( )
A． B．－
C．1 D．－1
A [∵a⊥b则a·b＝0，∴4(x－1)＋2y＝0，
∴2x＋y＝2，
∴xy＝(2x)·y≤·2＝，当且仅当2x＝y时，等号成立．]
2．若直线2ax－by＋2＝0(a>0，b>0)被圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦长为4，则＋的最小值为( )
A． B．
C．2 D．4
D [圆方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，圆心为(－1,2)，半径为2，若直线被截得弦长为4，说明圆心在直线上，即－2a－2b＋2＝0，
∴a＋b＝1，
∴＋＝(a＋b)
＝2＋＋≥2＋2＝4，
当且仅当＝，即a＝b＝时，等号成立．]
3．设x>－1，则函数y＝的最小值是________．
9 [∵x>－1，∴x＋1>0，
设x＋1＝t>0，则x＝t－1，
于是有y＝＝＝t＋＋5
≥2 ＋5＝9，
当且仅当t＝，即t＝2时取“＝”，此时x＝1.
∴当x＝1时，函数y＝取得最小值9.]
4．某汽车运输公司购买一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆车营运的总利润y(单位：10万元)与营运年数x(x∈N*)为二次函数关系(二次函数的图像如图所示)，则每辆客车营运________年时，年平均利润最大．
5 [二次函数顶点为(6,11)，设为y＝a(x－6)2＋11，代入(4,7)得a＝－1，
∴y＝－x2＋12x－25，年平均利润为＝＝－＋12≤－2＋12＝2，当且仅当x＝，即x＝5时，等号成立．]
5．某建筑公司用8 000万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少12层、每层4 000平方米的楼房．经初步估计得知，如果将楼房建为x(x≥12)层，则每平方米的平均建筑费用为Q(x)＝3 000＋50x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？每平方米的平均综合费用最小值是多少？
(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝)
[解] 设楼房每平方米的平均综合费用为f(x)元，依题意得，
f(x)＝Q(x)＋
＝50x＋＋3 000(x≥12，x∈N＋)，
f(x)＝50x＋＋3 000
≥2 ＋3 000＝5 000(元)．
当且仅当50x＝，即x＝20时，上式取“＝”．因此，当x＝20时，f(x)取得最小值5 000(元)．
所以为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为20层，每平方米的平均综合费用最小值为5 000元．
