4.2 简单线性规划
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解目标函数、约束条件、二元线性规划问题、可行解、可行域、最优解等基本概念．(重点)
2．掌握二元线性规划问题的求解过程，特别是确定最优解的方法．(重点、难点)
1.通过学习与线性规划有关的概念培养数学抽象素养．
2．通过研究最优解的方法提升数学运算能力.
简单线性规划
阅读教材P100～P101“例6”以上部分，完成下列问题
(1)线性规划中的基本概念
名称
意义
约束条件
关于变量x，y的一次不等式(组)
线性约束条件
关于x，y的一次不等式(组)
目标函数
欲求最大值或最小值的关于变量x，y的函数解析式
线性目标函数
关于变量x，y的一次解析式
可行解
满足线性约束条件的解(x，y)
可行域
由所有可行解组成的集合
最优解
使目标函数取得最大值或最小值的可行解
线性规
划问题
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题
(2)线性规划问题
①目标函数的最值
线性目标函数z＝ax＋by(b≠0)对应的斜截式直线方程是y＝－x＋，在y轴上的截距是，当z变化时，方程表示一组互相平行的直线．
当b＞0，截距最大时，z取得最大值，截距最小时，z取得最小值；
当b＜0，截距最大时，z取得最小值，截距最小时，z取得最大值．
②解决简单线性规划问题的一般步骤
在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，解决简单线性规划问题的步骤可以概括为：“画、移、求、答”四步，即，
(ⅰ)画：根据线性约束条件，在平面直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出来，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域．
(ⅱ)移：运用数形结合的思想，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点(或边界)便是最优解．
(ⅲ)求：解方程组求最优解，进而求出目标函数的最大值或最小值．
(ⅳ)答：写出答案．
思考：(1)在线性约束条件下，最优解唯一吗？
[提示] 可能唯一，也可能不唯一．
(2)若将目标函数z＝3x＋y看成直线方程时，z具有怎样的几何意义？
[提示] 由z＝3x＋y得y＝－3x＋z，z是直线在y轴上的截距．
1．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x－y的最大值为( )
A．－4 B．0
C． D．4
D [作出可行域，如图所示．
联立解得
当目标函数z＝3x－y移到(2,2)时，z＝3x－y有最大值4.]
2．若实数x，y满足，则s＝x＋y的最小值为________．
2 [如图所示阴影部分为可行域，由s＝x＋y得y＝－x＋s，由图可知，
当直线y＝－x＋s与直线x＋y－2＝0重合时，s最小，即x＝4，y＝－2时，s的最小值为4－2＝2.]
3．如图，点(x，y)在四边形ABCD的内部和边界上运动，那么z＝2x－y的最小值为________．
1 [法一：目标函数z＝2x－y可变形为y＝2x－z，所以当直线y＝2x－z在y轴上的截距最大时，z的值最小．移动直线2x－y＝0，当直线移动到经过点A时，直线在y轴上的截距最大，即z的值最小，为2×1－1＝1.
法二：将点A，B，C，D的坐标分别代入目标函数，求出相应的z值，比较大小，得在A点处取得最小值为1.]
4．已知点P(x，y)的坐标满足条件点O为坐标原点，那么|PO|的最小值等于________，最大值等于________．
[画出约束条件对应的可行域，如图阴影部分所示，因为|PO|表示可行域上的点到原点的距离，从而使|PO|取得最小值的最优解为点A(1,1)；使|PO|取得最大值的最优解为点B(1,3)，所以|PO|min＝，|PO|max＝.
]
线性目标函数
的最值问题
【例1】 若x，y满足约束条件
则z＝x＋y的最大值为________．
[由题意画出可行域(如图所示)，
其中A(－2，－1)，B，C(0,1)，由z＝x＋y知y＝－x＋z，当直线y＝－x＋z经过B时，z取最大值.
]
用图解法解决线性规划问题的关键和注意点
图解法是解决线性规划问题的有效方法．其关键在于平移目标函数对应的直线ax＋by＝0，看它经过哪个点(或哪些点)时最先接触可行域和最后离开可行域，则这样的点即为最优解，再注意到它的几何意义，从而确定是取最大值还是最小值．
1．若x，y满足约束条件则z＝x－2y的最小值为________．
－5 [画出可行域，数形结合可知目标函数的最小值在直线x＝3与直线x－y＋1＝0的交点(3,4)处取得，代入目标函数z＝x－2y得到－5.]
线性规划问题
中的参数问题
【例2】 已知变量x，y满足的约束条件为若目标函数z＝ax＋y(其中a＞0)仅在点(3,0)处取得最大值，求a的取值范围．
[解] 依据约束条件，画出可行域．
∵直线x＋2y－3＝0的斜率k1＝－，
目标函数z＝ax＋y(a＞0)对应直线的斜率k2＝－a，
若符合题意，则需k1＞k2.即－＞－a，得a＞.
含参数的线性目标函数问题的求解策略
(1)约束条件中含有参数：此时可行域是可变的，应分情况作出可行域，结合条件求出不同情况下的参数值．
(2)目标函数中含有参数：此时目标函数对应的直线是可变的，如果斜率一定，则对直线作平移变换；如果斜率可变，则要利用斜率与倾斜角间的大小关系分情况确定最优解的位置，从而求出参数的值．
2．(1)已知x，y满足约束条件若z＝ax＋y的最大值为4，则a＝( )
A．3 B．2
C．－2 D．－3
(2)已知x，y满足约束条件若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为( )
A．或1 B．2或
C．2或1 D．2或－1
(1)B (2)D [(1)画出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示．
因为目标函数z＝ax＋y的最大值为4，即目标函数对应直线与可行域有公共点时，在y轴上的截距的最大值为4，作出过点D(0,4)的直线，由图可知，目标函数在点B(2,0)处取得最大值，故有2a＋0＝4，解得a＝2.
(2)作出可行域，如图中阴影部分所示．
由y＝ax＋z知z的几何意义是直线在y轴上的截距，故当a>0时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则a＝2；当a<0时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则a＝－1.]
非线性目标函
数的最值问题
[探究问题]
1．(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离是什么？
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1≠x2，直线AB的斜率是什么？
[提示] (1)|AB|＝.
(2)kAB＝.
2．(1)代数式的几何意义是什么？
(2)代数式的几何意义是什么？
[提示] (1)点(x，y)与(－2,0)间的距离．
(2)点(x，y)与(2，－3)连线的斜率．
【例3】 设实数x，y满足约束条件求
(1)x2＋y2的最小值；
(2)的最大值．
[解] 如图，画出不等式组表示的平面区域ABC，
(1)令u＝x2＋y2，其几何意义是可行域ABC内任一点(x，y)与原点的距离的平方．
过原点向直线x＋2y－4＝0作垂线y＝2x，则垂足为的解，即，
又由得C，所以垂足在线段AC的延长线上，故可行域内的点到原点的距离的最小值为|OC|＝＝，所以，x2＋y2的最小值为.
(2)令v＝，其几何意义是可行域ABC内任一点(x，y)与原点相连的直线l的斜率为v，即v＝.
由图形可知，当直线l经过可行域内点C时，v最大，由(1)知C，
所以vmax＝，所以的最大值为.
1．(变结论)例3的条件不变，求x2＋(y＋1)2的最大值．
[解] 令z＝x2＋(y＋1)2，其几何意义是可行域ABC内任一点(x，y)与(0，－1)的距离的平方，由解得点B的坐标为，由例3的解答可知，点B与(0，－1)间的距离的平方最大，zmax＝2＋2＝.
2．(变条件)把例3的线性约束条件换为求z＝x2＋y2的最小值．
[解] 实数x，y满足的可行域如图中阴影部分所示，则z的最小值为原点到直线AB的距离的平方，故zmin＝2＝.
非线性目标函数的最值的求解策略
(1)z＝(x－a)2＋(y－b)2型的目标函数可转化为点(x，y)与点(a，b)距离的平方；特别地，z＝x2＋y2型的目标函数表示可行域内的点到原点的距离的平方．
(2)z＝型的目标函数可转化为点(x，y)与点(a，b)连线的斜率．
(3)z＝|Ax＋By＋C|可转化为点(x，y)到直线Ax＋By＋C＝0的距离的倍．
1．用图解法求线性目标函数的最值时，要清楚z的含义，z一般与直线在y轴上的截距有关．
2．作不等式组表示的可行域时，注意标出相应的直线方程，平移直线时，要注意线性目标函数的斜率与可行域中边界直线的斜率进行比较，确定最优解．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)只有当可行域是封闭的图形时，目标函数才有最优解．( )
(2)最优解指的是使目标函数取得最大值的变量x或y的值．( )
(3)目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．( )
[答案] (1)× (2)× (3)×
[提示] (1)错误，可行域不是封闭的图形，目标函数也有最优解；
(2)错误，最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解；
(3)错误，由ax＋by－z＝0得y＝－x＋，知z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上截距的b倍．
2．目标函数z＝－3x＋5y，将其看成直线方程时，z的意义是( )
A．该直线在y轴上的截距
B．该直线在y轴上的截距的5倍
C．该直线在x轴上的截距
D．该直线在x轴上的截距的5倍
B [将目标函数z＝－3x＋5y变形得y＝x＋，所以z的意义是该直线在y轴上的截距的5倍，故选B．]
3．若实数x，y满足则z＝3x＋2y的最小值是________．
1 [不等式组表示的可行域如图阴影部分所示，
设t＝x＋2y，
则y＝－x＋，
当x＝0，y＝0时，t最小＝0.
z＝3x＋2y的最小值为1.]
4．若实数x，y满足不等式组且x＋y的最大值为9，求实数m的值．
[解] 作出满足题设条件的可行域如图所示(阴影部分)，设x＋y＝9，
显然只有在x＋y＝9与直线2x－y－3＝0的交点处满足要求．
联立方程组解得
即点A(4,5)在直线x－my＋1＝0上，
所以4－5m＋1＝0，得m＝1.
课件50张PPT。第三章 不等式§4 简单线性规划
4.2 简单线性规划234一次不等式(组) 5线性约束条件 可行解 最大值或最小值 线性约束 6互相平行 7大 小 小 大 89101112131415161718]1920线性目标函数的最值问题 2122232425线性规划问题中的参数问题 26272829303132非线性目标函数的最值问题 3334353637383940414243444546474849点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(二十一)
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．不等式组表示的平面区域是( )
A．矩形 B．三角形
C．直角梯形 D．等腰梯形
B [不等式组?或那么利用不等式表示的区域可知，得到的区域为三角形，故选B.]
2．若x，y∈R，且则z＝x＋2y的最小值等于( )
A．2 B．3
C．5 D．9
B [可行域如图阴影部分所示，则当直线x＋2y－z＝0经过点M(1,1)时，z＝x＋2y取得最小值，为1＋2＝3.
]
3．在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组
所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为
( )
A．2 B．1
C．－ D．－
C [如图所示，
所表示的平面区域为图中的阴影部分．
由
得A(3，－1)．
当M点与A重合时，OM的斜率最小，kOM＝－.]
4．在平面直角坐标系中，若不等式组表示一个三角形区域，则实数k的取值范围是( )
A．(－∞，－1)
B．(－1,2)
C．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
D．(2，＋∞)
A [作出不等组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，注意到直线y＝k(x－1)－1恒过点A(1，－1)，要使题中不等式组表示的区域为三角形区域，首先必须使k<0(因为若k≥0，则不可能得到三角形区域)，然后考虑两临界状态，即图中的直线l1与l2，易得k的取值范围是(－∞，－1)．]
5．实数x，y满足不等式组则W＝的取值范围是( )
A． B．
C． D．
D [画出题中不等式组所表示的可行域如图所示，目标函数W＝表示阴影部分的点与定点A(－1,1)的连线的斜率，由图可知点A(－1,1)与点(1,0)连线的斜率为最小值，最大值趋近于1，但永远达不到1，故－≤W<1.]
二、填空题
6.如图中阴影部分的点满足不等式组在这些点中，使目标函数z＝6x＋8y取得最大值的点的坐标是________．
(0,5) [首先作出直线6x＋8y＝0，然后平移直线，当直线经过平面区域内的点(0,5)时截距最大，此时z最大．]
7．设x，y满足约束条件则z＝2x＋3y－5的最小值为________．
－10 [作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由图知当z＝2x＋3y－5经过点A(－1，－1)时，z取得最小值，zmin＝2×(－1)＋3×(－1)－5＝－10.
]
8．已知实数x，y满足则x2＋y2的取值范围是________．
[不等式组所表示的平面区域是以点(0,2)，(1,0)，(2,3)为顶点的三角形及其内部，如图所示．因为原点到直线2x＋y－2＝0的距离为，所以(x2＋y2)min＝，又当(x，y)取点(2,3)时，x2＋y2取得最大值13，故x2＋y2的取值范围是.
]
三、解答题
9．已知f(x)＝(3a－1)x＋b－a，x∈[0,1]，若f(x)≤1恒成立，求a＋b的最大值．
[解] 因为f(x)≤1在[0,1]上恒成立，
所以
即将a，b对应为平面aOb上的点(a，b)，则其表示的平面区域如图所示，其中A，求a＋b的最大值转化为在约束条件下，目标函数z＝a＋b的最值的线性规划问题，作直线a＋b＝0，并且平移使它通过可行域内的A点，此时z＝a＋b取得的最大值为.
10．设变量x，y满足约束条件求z＝2＋y2的取值范围．
[解] 由作出可行域，如图阴影部分所示．
z＝2＋y2表示可行域内的任意一点与点距离的平方．
因此2＋y2的最小值为点到直线x＋2y－1＝0距离的平方，则zmin＝＝；
z的最大值为点到点A、点B、点D距离平方中的最大值，则zmax＝.
综上，z的取值范围是.
[能力提升练]
1．已知x，y满足目标函数z＝2x＋y的最大值为7，最小值为1，则b，c的值分别为( )
A．－1,4 B．－1，－3
C．－2，－1 D．－1，－2
D [由题意知，直线x＋by＋c＝0经过直线2x＋y＝7与直线x＋y＝4的交点，且经过直线2x＋y＝1和直线x＝1的交点，即经过点(3,1)和点(1，－1)，
∴解得]
2．已知x，y满足约束条件使z＝x＋ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则a的值为( )
A．－3 B．3
C．－1 D．1
D [如图，作出可行域，作直线l：x＋ay＝0，要使目标函数z＝x＋ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将l向右上方平移后与直线x＋y＝5重合，故a＝1，选D.]
3．已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定．若M(x，y)为D上的动点，点A的坐标为(，1)，则z＝·的最大值为________．
4 [由线性约束条件
画出可行域如图中阴影部分所示，
目标函数z＝·＝x＋y，将其化为y＝－x＋z，结合图形可知，目标函数的图像过点(，2)时，z最大，将点(，2)代入z＝x＋y，得z的最大值为4.
]
4．满足|x|＋|y|≤2的点(x，y)中整点(横纵坐标都是整数)有________个．
13 [|x|＋|y|≤2可化为
作出可行域为如图正方形内部(包括边界)，
容易得到整点个数为13个．]
5．若实数x，y满足且x2＋y2的最大值为34，求正实数a的值．
[解] 在平面直角坐标系中画出约束条件所表示的可行域如图(形状不定)．
其中直线ax－y－a＝0的位置不确定，但它经过点A(1,0)，斜率为a.
又由于x2＋y2＝()2.
且x2＋y2的最大值等于34，
所以可行域中的点与原点的最大距离等于.
解方程组得M的坐标为.
解方程组得P的坐标为.
又M.|OM|＝＜.
∴点P到原点的距离最大．∴2＋9＝34，解得a＝.
