4.3 简单线性规划的应用
学 习 目 标
核 心 素 养
1.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．(重点)
2．培养学生应用线性规划的有关知识解决实际问题的意识．
3．能够找出实际问题的约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解．(难点)
1.通过解决简单线性划的应用题，提升数学建模素养．
2．通过求解实际问题的最优解，培养数学运算素养.
简单线性规划的实际应用
阅读教材P105～P107“练习”以上部分，完成下列问题．
(1)简单线性规划应用问题的求解步骤：
①设：设出变量x、y，写出约束条件及目标函数．
②作：作出可行域．
③移：作一条直线l，平移l，找最优解．
④解：联立方程组求最优解，并代入目标函数，求出最值．
⑤答：写出答案．
总之，求解线性规划问题的基本程序是作可行域，画平行线，解方程组，求最值．
(2)若实际问题要求的最优解是整数解，而我们利用图解法得到的解为非整数解时，应作适当的调整，其方法应以与线性目标函数的直线的距离为依据，在直线的附近寻求与此直线距离最近的整点．
思考：(1)线性规划的实际应用问题中，整点最优解是唯一的吗？
[提示] 不是唯一的，可能有多个整点最优解．
(2)解决线性规划实际应用问题最关键的是什么？
[提示] 最关键的是认真审题，列出约束条件，写出目标函数．
1．4枝玫瑰花与5枝茶花的价格之和不小于22元，而6枝玫瑰花与3枝茶花的价格之和不大于24元．设每枝玫瑰花的价格为x元，每枝茶花的价格为y元，则x，y满足的约束条件为( )
A． B．
C． D．
[答案] A
2．A，B两种规格的产品需要在甲、乙两台机器上各自加工一道工序才能成为成品．已知A产品需要在甲机器上加工3小时，在乙机器上加工1小时；B产品需要在甲机器上加工1小时，在乙机器上加工3小时．在一个工作日内，甲机器至多只能使用11小时，乙机器至多只能使用9小时．设生产A产品x件，生产B产品y件，列出满足生产条件的约束条件为________．
[由题意知]
3．某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y需满足约束条件则z＝10x＋10y的最大值是___________________．
90 [该不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分．由于x，y∈N*，计算区域内与最近的点为(5,4)，故当x＝5，y＝4时，z取得最大值为90.
]
与最大值有关的实际问题
【例1】 某公司计划同时出售电子琴和洗衣机，由于两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况(如资金、劳动力等)确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大，已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于两种产品的有关数据如下表
电于琴(架)
洗衣机(台)
月供应量
成本(百元)
30
20
300
劳动力
5
10
110
单位利润(百元)
6
8
/
试问：怎样确定两种货的供应量，才能使总利润最大，最大利润是多少？
[解] 设电子琴和洗衣机月供应量分别为x架、y台，总利润为z百元，则根据题意，
有
且z＝6x＋8y，作出不等式组所表示的平面区域，如图中所示的阴影部分．
令z＝0，作直线l0：6x＋8y＝0，即3x＋4y＝0.
当移动直线l0平移至过图中的A点时，z＝6x＋8y取得最大值．
解方程组得A(4,9)，
代入z＝6x＋8y得zmax＝6×4＋8×9＝96.
所以当供应量为电子琴4架、洗衣机9台时，公司可获得最大利润，最大利润是96百元．
解答线性规划应用题的一般步骤
(1)审题——仔细阅读，对关键部分进行“精读”，准确理解题意，明确有哪些限制条件，起关键作用的变量有哪些．由于线性规划应用题中的变量比较多，为了理顺题目中量与量之间的关系，有时可借助表格来理顺．
(2)转化——设元．写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为数学上的线性规划问题．
(3)求解——解这个纯数学的线性规划问题．
(4)作答——就应用题提出的问题作出回答．
1．某养鸡场有1万只鸡，用动物饲料和谷物饲料混合喂养．每天每只鸡平均吃混合饲料0.5 kg，其中动物饲料不能少于谷物饲料的.动物饲料每千克0.9元，谷物饲料每千克0.28元，饲料公司每周仅保证供应谷物饲料50 000 kg，问饲料怎样混合才使成本最低．
[解] 设每周需用谷物饲料x kg，动物饲料y kg，每周总的饲料费用为z元，
由题意得
而z＝0.28x＋0.9y.
如图所示，作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域，
作一组平行直线0.28x＋0.9y＝z，其中经过可行域内的点且和原点最近的直线经过直线x＋y＝35 000和直线y＝x的交点A，即x＝，y＝时，饲料费用最低．
所以，谷物饲料和动物饲料应按5∶1的比例混合，此时成本最低．
求最小值的实际应用
【例2】 某旅行社租用A、B两种型号的客车安排900名客人旅行，A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600 元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为多少？
[解] 设需A型车x辆，B型车y辆，则
?
由目标函数z＝1 600x＋2 400y，得y＝－x＋，表示直线在y轴上的截距，要z最小，则直线在y轴上的截距最小，画出可行域(如图)，
平移直线l：y＝－x到l0过点A(5,12)时，
zmin＝5×1 600＋2 400×12＝36 800.
故租金最少为36 800元．
解答线性规划应用题的技巧
(1)在线性规划问题的应用中，常常是题中的条件较多，因此认真审题非常重要．
(2)线性约束条件中有无等号要依据条件加以判断．
(3)结合实际问题，分析未知数x，y等是否有限制，如x，y为正整数、非负数等．
(4)分清线性约束条件和线性目标函数，线性约束条件一般是不等式，而线性目标函数却是一个等式．
2．某人承揽一项业务，需做文字标牌4个，绘画标牌5个．现有两种规格的原料，甲种规格每张3 m2，可做文字标牌1个，绘画标牌2个；乙种规格每张2 m2，可做文字标牌2个，绘画标牌1个，求两种规格的原料各用多少张，才能使得总用料面积最小．
[解] 设需要甲种原料x张，乙种原料y张，则可做文字标牌(x＋2y)个，绘画标牌(2x＋y)个，
由题意可得
所用原料的总面积为z＝3x＋2y，
作出可行域如图．
平移直线l0：3x＋2y＝0，经过可行域内的直线2x＋y＝5和直线x＋2y＝4的交点A(2,1)z最小，
∴最优解为x＝2，y＝1.
∴使用甲种规格原料2张，乙种规格原料1张，可使总的用料面积最小．
整数最优解问题
[探究问题]
1．采取什么方法能比较容易的从已知条件中列出线性约束条件？
[提示] 通过列表的方法把问题中的已知条件和各种数据进行整理．
2．怎样求线性规划中的最优整数解问题？
[提示] 先求非整点最优解及最优值，再借助不定方程知识调整最优值、最后筛选出最优解．
【例3】 某矿山车队有4辆载重量为10 t的甲型卡车和7辆载重量为6 t的乙型卡车，有9名驾驶员．此车队每天至少要运360 t矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，甲型卡车每辆每天的成本费为252元，乙型卡车每辆每天的成本费为160元．问每天派出甲型车与乙型车各多少辆，车队所花成本费最低？
思路探究：弄清题意，设出与运输成本有关的各型车的辆数，找出它们的约束条件，列出目标函数，用图解法求其整数最优解．
[解] 设每天派出甲型车x辆、乙型车y辆，车队所花成本费为z元，那么
目标函数z＝252x＋160y，
作出不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图．
作出直线l0：252x＋160y＝0，把直线l0向右上方平移，使其经过可行域上的整点，且使在y轴上的截距最小，观察图形，可见当直线252x＋160y＝t经过点(2,5)时，满足上述要求．此时，z＝252x＋160y取得最小值，即x＝2，y＝5时，zmin＝252×2＋160×5＝1 304(元)．
即每天派出甲型车2辆，乙型车5辆，车队所用成本费最低．
1．(变结论)例3的条件不变，问每天派出甲型车与乙型车各多少辆时，车队所花费成本最高？
[解] 由例3的解答，作出直线l0：252x＋160y＝0，把直线l0向上方平移，使其经过可行域上的整点，且在y轴上的截距最大，观察图形，可见当直线252x＋160y＝t经过点(4,5)时，满足上述要求，此时，z＝252x＋160y取得最大值，即x＝4，y＝5时，zmax＝252×4＋160×5＝1 808(元)，即每天派出甲型车4辆，乙型车5辆，车队所用成本费最高．
2．(变条件)把例3的条件换为下表所示：
数量
(单位：辆)
载重量
(单位：t)
每天可往
返次数
每辆每天的成本费(单位：元)
甲型卡车
8
6
4
320
乙型卡车
4
10
3
504
现有10名驾驶员，车队每天至少要运送180 t矿石至冶炼厂．
试确定每天派出甲型卡车与乙型卡车的数量，使车队所花费的成本费最低．
[解] 设矿山车队每天派出甲型卡车x辆，乙型卡车y辆，每天花费的成本是z元，则z＝320x＋504y，其中x，y满足约束条件
作可行域如图(阴影内的整点)所示．
作直线l0：320x＋504y＝0.
在可行域内的整点中，直线经过(8,0)时，zmin＝8×320＝2 560(元)．
所以每天派出甲型卡车8辆就能完成任务，且花费成本最低．
寻找整点最优解的三种方法
(1)平移找解法：先打网络，描整点，平移直线l，最先经过或最后经过的整点便是最优整点解，这种方法应充分利用非整点最优解的信息，结合精确的作图才行，当可行域是有限区域且整点个数又较少时，可逐个将整点坐标代入目标函数求值，经比较求最优解．
(2)小范围搜寻法：即在求出的非整点最优解附近的整点都求出来，代入目标函数，直接求出目标函数的最大(小)值．
(3)调整优值法：先求非整点最优解及最优值，再调整最优值，最后筛选出整点最优解．
1．画图对解决线性规划问题至关重要，关键步骤基本上是在图上完成的，所以作图应尽可能准确，图中操作尽可能规范．
2．解答线性规划实际应用题的步骤
(1)模型建立：正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言，进而建立数学模型，这需要在学习有关例题解答时，仔细体会范例给出的模型建立方法．
(2)模型求解：画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选定可行域中的特殊点作为最优解．
(3)模型应用：将求解出来的结论反馈到具体的实例中，设计出最佳的方案.
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)线性规划实际问题中的可行域可能是有界的，也可能是无界的．( )
(2)线性目标函数的最优整数解不唯一．( )
(3)线性目标函数的整点最优解是离非整点最优解最近的整点．( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
[提示] (1)(2)正确，(3)错误，二者不一定距离最近，要根据具体的题目条件确定．
2．有5辆6 t的汽车，4辆4 t的汽车，要运送最多的货物，完成这项运输任务的线性目标函数为( )
A．z＝6x＋4y B．z＝5x＋4y
C．z＝x＋y D．z＝4x＋5y
A [由题意可知z＝6x＋4y为目标函数．]
3．某学校用800元购买A、B两种教学用品，A种用品每件100元，B种用品每件160元，两种用品至少各买一件，要使剩下的钱最少，A、B两种用品应各买的件数为( )
A．2件，4件 B．3件，3件
C．4件，2件 D．不确定
B [设买A种用品x件，B种用品y件，剩下的钱为z元，则
求z＝800－100x－160y取得最小值时的整数解(x，y)，用图解法求得整数解为(3,3)．]
4．某厂用甲、乙两种原料生产A、B两种产品，已知生产1 t A产品，1 t B产品分别需要的甲、乙原料数，可获得的利润数及该厂现有原料数如下表所示．
产品
所需原料
原料
A产品
(1 t)
B产品
(1 t)
总原料(t)
甲原料(t)
2
5
10
乙原料(t)
6
3
18
利润(万元)
4
3
问：在现有原料下，A、B产品应各生产多少才能使利润总额最大？
[解] 设生产A、B两种产品分别为x t、y t，其利润总额为z万元，根据题意，可得约束条件为
目标函数z＝4x＋3y，作出可行域如图：
作直线l0：4x＋3y＝0，再作一组平行于l0的直线l：4x＋3y＝z，当直线l经过点P时z＝4x＋3y取得最大值，
由解得交点P.
所以有zmax＝4×＋3×1＝13(万元)．
所以生产A产品2.5 t，B产品1 t时，总利润最大，为13万元．
课件47张PPT。第三章 不等式§4 简单线性规划
4.3 简单线性规划的应用作出可行域 最优 最值 与最大值有关的实际问题 求最小值的实际应用 整数最优解问题 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(二十二)
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．车间有男工25人，女工20人，要组织甲、乙两种工作小组，甲组要求有5名男工，3名女工，乙组要求有4名男工，5名女工，并且要求甲种组数不少于乙组，乙种组数不少于1组，则最多各能组成工作小组为( )
A．甲4组、乙2组 B．甲2组、乙4组
C．甲、乙各3组 D．甲3组、乙2组
D [设甲、乙两种工作小组分别有x、y人，依题意有
作出可行域可知(3,2)符合题意，即甲3组，乙2组．]
2．某厂拟用集装箱托运甲、乙两种货物，集装箱的体积、质量、可获利润和托运能力限制数据列在下表中，那么为了获得最大利润，甲、乙两种货物应各托运的箱数为( )
体积(m3/箱)
质量(50 kg/箱)
利润(102元/箱)
甲
5
2
20
乙
4
5
10
托运能力
24
13
A．4,1 B．3,2
C．1,4 D．2,4
A [设托运货物甲x箱，托运货物乙y箱，由题意，得
利润为z＝20x＋10y.
由线性规划知识可得x＝4，y＝1时利润最大，
故选A.]
3．某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为( )
A．36万元 B．31.2万元
C．30.4万元 D．24万元
B [设投资甲项目x万元，投资乙项目y万元，可获得利润为z万元，则
z＝0.4x＋0.6y.
由图像知，目标函数z＝0.4x＋0.6y在A点取得最大值．
∴ymax＝0.4×24＋0.6×36＝31.2(万元)．]
4．某同学拿50元钱买纪念邮票，票面8角的每套5张，票面2元的每套4张，如果每种至少买2套，问共有买法种数为( )
A．14 B．15
C．16 D．17
C [设票面8角的买x套，票面2元的买y套，由题意得
即
由25－2x≥4y≥8，得2x≤17，所以2≤x≤8，x∈N＋.当y＝2时，2≤x≤8，共7种；当y＝3时，2≤x≤6，有5种；当y＝4时，2≤x≤4，共3种；当y＝5时，x＝2，有一种．
故共有7＋5＋3＋1＝16(种)不同的买法．]
5．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表
每亩年产量
每亩年种植成本
每吨售价
黄瓜
4吨
1.2万元
0.55万元
韭菜
6吨
0.9万元
0.3万元
为使一年的种植总利润(总利润＝总销售收入－总种植成本)最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位：亩)分别为( )
A．50,0 B．30,20
C．20,30 D．0,50
B [设黄瓜、韭菜的种植面积分别为x亩，y亩，则总利润z＝4×0.55x＋6×0.3y－1.2x－0.9y＝x＋0.9y.
此时x，y满足条件
画出可行域如图，得最优解为A(30,20)．
]
二、填空题
6．铁矿石A和B的含铁率为a，冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表：
a
b(万吨)
c(百万元)
A
50%
1
3
B
70%
0.5
6
某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁，若要求CO2的排放量不超过2(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为________(百万元)．
15 [设购买铁矿石A、B分别为x，y万吨，购买铁矿石的费用为z(百万元)，
则
目标函数z＝3x＋6y，
由
得
可行域如图中阴影部分所示．
记P(1,2)，画出可行域可知，当目标函数z＝3x＋6y过点P(1,2)时，z取得最小值15.]
7．如图，△ABC及其内部的点组成的集合记为D，P(x，y)为D中任意一点，则z＝2x＋3y的最大值为________．
7 [把z＝2x＋3y变形为y＝－x＋z，通过平移直线y＝－x知，
当过点A(2,1)时，
z＝2x＋3y取得最大值为zmax＝2×2＋3×1＝7.]
8．某企业拟用集装箱托运甲、乙两种产品，甲种产品每件体积为5 m3，重量为2吨，运出后，可获利润10万元；乙种产品每件体积为4 m3，重量为5吨，运出后，可获利润20万元，集装箱的容积为24 m3，最多载重13吨，装箱可获得最大利润是________．
60万元 [设甲种产品装x件，乙种产品装y件(x，y∈N)，总利润为z万元，
则且z＝10x＋20y.作出可行域，如图中的阴影部分所示．
作直线l0：10x＋20y＝0，即x＋2y＝0.当l0向右上方平移时z的值变大，平移到经过直线5x＋4y＝24与2x＋5y＝13的交点(4,1)时，zmax＝10×4＋20×1＝60(万元)，即甲种产品装4件、乙种产品装1件时总利润最大，最大利润为60万元．]
三、解答题
9．制造甲、乙两种烟花，甲种烟花每枚含A药品3 g、B药品4 g、C药品4 g，乙种烟花每枚含A药品2 g、B药品11 g、C药品6 g．已知每天原料的使用限额为A药品120 g、B药品400 g、C药品240 g．甲种烟花每枚可获利2元，乙种烟花每枚可获利1元，问每天应生产甲、乙两种烟花各多少枚才能获利最大．
[解] 设每天生产甲种烟花x枚，乙种烟花y枚，获利为z元，则目标函数为：z＝2x＋y.
线性约束条件为作出可行域如图所示．
作直线l：2x＋y＝0，将直线l向右上方平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点A时纵截距z最大，即z＝2x＋y取最大值．解方程组得
故每天生产甲、乙两种烟花各24枚才能使获利最大．
10．医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐．甲种原料每10 g含5单位蛋白质和10单位铁质，售价3元；乙种原料每10 g含7单位蛋白质和4单位铁质，售价2元．若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质．试问：应如何使用甲、乙原料，才能既满足营养，又使费用最省？
[解] 将已知数据列成下表：
原料/10 g
蛋白质/单位
铁质/单位
甲
5
10
乙
7
4
费用
3
2
设甲、乙两种原料分别用10x g和10y g，总费用为z，那么目标函数为z＝3x＋2y，作出可行域如图所示：
把z＝3x＋2y变形为y＝－x＋，得到斜率为－，在y轴上的截距为，随z变化的一簇平行直线．
由图可知，当直线y＝－x＋经过可行域上的点A时，截距最小，即z最小．
由得A，∴zmin＝3×＋2×3＝14.4.
∴甲种原料×10＝28(g)，乙种原料3×10＝30(g)，费用最省．
[能力提升练]
1．为支援灾区人民，某单位要将捐献的100台电视机运往灾区，现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装电视机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装电视机10台，若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为( )
A．2 800 元 B．2 400 元
C．2 200 元 D．2 000 元
C [设调用甲型货车x辆，乙型货车y辆，则0≤x≤4,0≤y≤8,20x＋10y≥100，即2x＋y≥10，设运输费用为t，则t＝400x＋300y，线性约束条件为
作出可行域如图，
则当直线y＝－x＋经过可行域内点A(4,2)时，t取最小值2 200，故选
C.]
2．某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品．甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时，可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元．乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时，可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元，甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为( )
A．甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱
B．甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱
C．甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱
D．甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱
B [设甲车间加工x箱原料，乙车间加工y箱原料，总获利为z，
则
目标函数z＝280x＋200y，
画出可行域，平移7x＋5y＝0，知z在点A处取得最大值，联立得
故计划甲车间15箱，乙车间55箱时，每天获利最大．]
3．某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A，产品B的利润之和的最大值为________元．
216 000 [设生产A产品x件，B产品y件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，得线性约束条件为目标函数z＝2 100x＋900y.
作出可行域为图中的四边形，包括边界，顶点为(60,100)，(0,200)，(0,0)，(90,0)，在(60,100)处取得最大值，zmax＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)．]
4．设函数f(θ)＝sin θ＋cos θ，其中角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P(x，y)，且0≤θ≤π.若点P(x，y)为平面区域Ω：上的一个动点，则函数f(θ)的最大值和最小值分别为__________．
2,1 [作出平面区域Ω(即三角形区域ABC)，如图中阴影部分所示，其中A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)，于是0≤θ≤.
又f(θ)＝sin θ＋cos θ＝2sin，且≤θ＋≤，故当θ＋＝，即θ＝时，f(θ)取得最大值，且最大值等于2；当θ＋＝，即θ＝0时，f(θ)取得最小值，且最小值等于1.]
5．某人有楼房一幢，室内面积共180 m2，拟分隔成两类房间作为旅游客房，大房间每间面积为18 m2，可住游客5名，每名游客每天住宿费为40元，小房间每间面积为15 m2，可住游客3名，每名游客每天住宿费为50元，装修大房间每间需要1 000元，装修小房间每间需要600元，如果此人只能筹8 000元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，能获最大利益？
[解] 设应隔出大房间x间和小房间y间，则
即
目标函数为z＝5×40x＋3×50y，
作出约束条件可行域：
根据目标函数z＝200x＋150y，
作出一组平行线200x＋150y＝t，
当此线经过直线18x＋15y＝180和直线1 000x＋600y＝8 000的交点C时，目标函数取最大值为，
由于不是整数，所以经过整点(3,8)时，才是它的最优解，同时经过整点(0,12)也是最优解，即应隔大房间3间，小房间8间，或者隔大房间0间，小房间12间，所获利益最大．如果考虑到不同客人的需要，应隔大房间3间，小房间8间．
