三个二次间的关系
【例1】 设关于x的一元二次方程ax2＋x＋1＝0(a>0)有两个实根x1，x2，求证：x1<－1且x2<－1.
[证明] 令f(x)＝ax2＋x＋1(a>0)，
由Δ＝1－4a≥0，得0<2a≤，∴－≤－2<－1，
∴抛物线f(x)的对称轴x＝－在直线x＝－1的左侧，
∴函数f(x)的图像与x轴交点中左侧的一个在直线x＝－1的左侧．又f(－1)＝a－1＋1＝a>0，
∴交点中右侧的那个也在直线x＝－1的左侧．
而函数f(x)与x轴交点的横坐标分别为方程ax2＋x＋1＝0的两根x1，x2，∴x1<－1且x2<－1.
对于一元二次不等式的求解，要善于联想两个方面的问题：①相应的二次函数图像及与x轴的交点，②相应的一元二次方程的实根；反之，对于二次函数(二次方程)的问题的求解，也要善于联想相应的一元二次不等式的解与相应的一元二次方程的实根(相应的二次函数的图像及与x轴的交点)．
1．若关于x的不等式ax2－6x＋a2<0的解集是(1，m)，则m＝________.
2 [因为ax2－6x2＋a2<0的解集是(1，m)，所以1，m是方程ax2－6x＋a2＝0的根，
且m>1??]
不等式的恒成立问题
【例2】 已知不等式mx2－mx－1<0.
(1)若x∈R时不等式恒成立，求实数m的取值范围；
(2)若x∈[1,3]时不等式恒成立，求实数m的取值范围；
(3)若满足|m|≤2的一切m的值能使不等式恒成立，求实数x的取值范围．
[解] (1)①若m＝0，原不等式可化为－1<0，显然恒成立；
②若m≠0，则不等式mx2－mx－1<0 恒成立?解得－4
综上可知，实数m的取值范围是(－4,0]．
(2)令f(x)＝mx2－mx－1，
①当m＝0时，f(x)＝－1<0显然恒成立；
②当m>0时，若对于x∈[1,3]不等式恒成立，只需即可，∴解得m<，∴0③当m<0时，函数f(x)的图象开口向下，对称轴为x＝，若x∈[1,3]时不等式恒成立，结合函数图象(图略)知只需f(1)<0即可，解得m∈R，∴m<0符合题意．
综上所述，实数m的取值范围是.
(3)令g(m)＝mx2－mx－1＝(x2－x)m－1，
若对满足|m|≤2的一切m的值不等式恒成立，则只需 即解得∴实数x的取值范围是.
对于不等式恒成立求参数范围问题常见类型及解法有以下几种
(1)变更主元法：
根据实际情况的需要确定合适的主元，一般知道取值范围的变量要看作主元．
(2)分离参数法：
若f(a)若f(a)>g(x)恒成立，则f(a)>g(x)max.
(3)数形结合法：
利用不等式与函数的关系将恒成立问题通过函数图像直观化．
2．(1)已知f(x)＝不等式f(x＋a)>f(2a－x)在[a，a＋1]上恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－2) B．(－∞，0)
C．(0,2) D．(－2,0)
A [因为f(x)为R上的减函数，故f(x＋a)>f(2a－x)?x＋a<2a－x，从而2x(2)若函数f(x)＝的定义域为R，则实数k的取值范围是________．
[0,1] [由题意知，
kx2－6kx＋(k＋8)≥0的解集为R.
①当k＝0时，8≥0成立．
②当k≠0时，上述不等式成立的充要条件是
解得0综上，k的取值范围是[0,1]．]
简单线性规划问题
【例3】 两类药片有效成分如下表所示，若要求至少提供12毫克阿司匹林，70毫克小苏打，28毫克可待因，问两类药片最小总数是多少？怎样搭配价格最低？
成分
种类
阿司匹林
小苏打
可待因
每片价格(元)
A(毫克/片)
2
5
1
0.1
B(毫克/片)
1
7
6
0.2
[解] 设A，B两种药品分别为x片和y片(x，y∈N)，
则有两类药片的总数为z＝x＋y，两类药片的价格和为k＝0.1x＋0.2y.
如图所示，作直线l：x＋y＝0，
将直线l向右上方平移至l1位置时，直线经过可行域上一点A，且与原点最近．
解方程组
得交点A坐标.
由于A不是整点，因此不是z的最优解，结合图形可知，经过可行域内整点且与原点距离最近的直线是x＋y＝11，经过的整点是(1,10)，(2,9)，(3,8)，因此z的最小值为11.药片最小总数为11片．同理可得，当x＝3，y＝8时，k取最小值1.9，因此当A类药品3片、B类药品8片时，药品价格最低．
解线性规划问题的一般步骤
(1)列：设出未知数，列出约束条件，确定目标函数．
(2)画：画出线性约束条件所表示的可行域．
(3)移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线．
(4)求：通过解方程组求出最优解．
(5)答：作出答案．
3．已知－1≤x＋y≤4且2≤x－y≤3，则z＝2x－3y的取值范围是________(答案用区间表示)．
[3,8] [作出不等式组
表示的可行域，如图中阴影部分所示．
在可行域内平移直线2x－3y＝0，
当直线经过x－y＝2与x＋y＝4的交点A(3,1)时，目标函数有最小值zmin＝2×3－3×1＝3；
当直线经过x＋y＝－1与x－y＝3的交点B(1，－2)时，目标函数有最大值zmax＝2×1＋3×2＝8，所以z∈[3,8]．]
利用基本不等式求最值
[探究问题]
1．利用不等式≥的条件是什么？
[提示] 一正：即a＞0，b＞0；二定：a＋b为定值，ab有最大值；ab为定值，a＋b有最小值；三相等．当且仅当a＝b时等号成立，三者缺一不可．
2．设x＞0，y＞0，x＋y＝1，求xy的最大值，你有几种思路解决这个问题？
[提示] 法一(直接应用不等式)：xy≤2＝，
当x＝y＝时等号成立．
法二(消元法)：由x＋y＝1得y＝1－x，
则xy＝x(1－x)≤2＝，当x＝时等号成立．
法三(函数法)：由x＋y＝1得y＝1－x，
则xy＝x(1－x)＝－x2＋x＝－2＋≥，
当x＝时等号成立．
【例4】 已知x＞0，y＞0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是( )
A．3 B．4
C． D．
思路探究：法一：通过分解因式，配凑出含x＋1与2y＋1的积的定值，利用基本不等式求解．
法二：利用条件，用x表示y代入x＋2y，配凑出积的定值，利用基本不等式求解．
法三：在条件x＋2y＋2xy＝8中配凑出双变量x与2y，利用基本不等式消去2xy，然后解二次不等式可解．
B [法一：依题意得，x＋1＞1,2y＋1＞1，易知(x＋1)·(2y＋1)＝9，则(x＋1)＋(2y＋1)≥2＝2＝6，当且仅当x＋1＝2y＋1＝3，即x＝2，y＝1时，等号成立，因此有x＋2y≥4，所以x＋2y的最小值为4.
法二：由题意得，x＝＝＝－1＋，
∴x＋2y＝－1＋＋2y＝－1＋＋2y＋1－1≥2－2＝4，
当且仅当2y＋1＝3，
即y＝1时，等号成立．
法三：由x＋2y＋2xy＝8得x＋2y＋(x＋2y)2≥x＋2y＋2xy＝8，即(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0，
所以[(x＋2y)＋8][(x＋2y－4)]≥0，
因为x＞0，y＞0，
所以x＋2y－4≥0，即x＋2y≥4，当且仅当x＝2，y＝1时等号成立．]
1．(变结论)例4的条件不变，求xy的最大值．
[解] 因为x＋2y≥2，且x＋2y＋2xy＝8，
所以2＋2xy≤8，即()2＋－4≤0
故(＋2)(－)≤0，又＞0，故－≤0.
所以xy≤2，当且仅当x＝2y，即x＝2，y＝1时等号成立．即xy的最大值为2.
2．(变条件)例4的条件变为：已知x＞0，y＞0，x＋2y－xy＝0，求x＋2y的最小值．
[解] 由x＋2y－xy＝0得x＋2y＝xy，＋＝1，
故x＋2y＝(x＋2y)＝4＋＋≥4＋2＝8，
当且仅当＝，即x＝4，y＝2时等号成立．
利用基本不等式求最值的方法
(1)知和求积的最值：“和为定值，积有最大值”．但应注意以下两点：①具备条件——正数；②验证等号成立．
(2)知积求和的最值：“积为定值，和有最小值”，直接应用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的条件．
(3)构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1”的替换，构造不等式求解．
课件32张PPT。第三章 不等式章末复习课23三个二次间的关系 4567不等式的恒成立问题 891011121314简单线性规划问题 15161718192021利用基本不等式求最值 22232425262728293031Thank you for watching !章末综合测评(三)
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若<<0，则下列不等式：①a＋b|b|；③a2中正确的是( )
A．①② B．②③
C．①④ D．③④
C [由<<0，得b∴②③均不成立，a＋b<0，ab>0，∴①成立．
而＋－2＝>0，
∴＋>2，④成立．故选C.]
2．如果a，b，c满足cA．ab>ac B．c(b－a)>0
C．cb2C [c0，c<0.
对于A：?ab>ac，A正确．
对于B：?c(b－a)>0，B正确；
对于C：?cb2≤ab2即C不一定成立，C错．
对于D：ac<0，a－c>0?ac(a－c)<0，D正确．]
3．直线3x＋2y＋5＝0把平面分成两个区域，下列各点与原点位于同一区域的是( )
A．(－3,4) B．(－4,3)
C．(0，－3) D．(－3,2)
A [当x＝y＝0时，3x＋2y＋5＝5>0，则原点一侧对应的不等式是3x＋2y＋5>0，
可以验证仅有点(－3,4)满足3x＋2y＋5>0.]
4．已知不等式x2＋ax＋4＜0的解集为空集，则a的取值范围是 ( )
A．－4≤a≤4 B．－4＜a＜4
C．a≤－4或a≥4 D．a＜－4或a＞4
A [由Δ≤0，知a2－16≤0，∴－4≤a≤4.]
5．若集合A＝{x|x2＋x－6<0}，B＝，则A∩B等于( )
A．(－3,3) B．[－2,2)
C．(－2,2) D．[－2,3)
B [A＝{x|－3∴A∩B＝[－2,2)．]
6．已知x，y满足约束条件则z＝－2x＋y的最大值是( )
A．－1 B．－2
C．－5 D．1
A [根据题意作出约束条件确定的可行域，如下图．
令z＝－2x＋y，则y＝2x＋z，可知在图中A(1,1)处，z＝－2x＋y取到最大值－1，故选A.]
7．已知a>0，x，y满足约束条件若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝( )
A． B．
C．1 D．2
B [作出线性约束条件的可行域．
因为y＝a(x－3)过定点(3,0)，故应如图所示，当过点C(1，－2a)时，z＝2x＋y有最小值，
∴2×1－2a＝1，∴a＝.]
8．已知a>b，b>0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是( )
A． B．4
C． D．5
C [∵a＋b＝2，∴＋＝1，∴y＝＋＝＝＋＋，
∵a>0，b>0，∴＋≥2 ＝2，当且仅当＝，
且a＋b＝2，即a＝，b＝时取得等号，
∴y的最小值是，选C.]
9．已知函数f(x)＝则不等式f(x)≥x2的解集是( )
A．[－1,1] B．[－2,2]
C．[－2,1] D．[－1,2]
A [f(x)≥x2?或?或
?或?－1≤x≤0或010．若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4＜0对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是( )
A．(－∞，2] B．(－2,2)
C．(－2,2] D．(－∞，－2)
C [当a－2＝0，即a＝2时，原不等式化为－4＜0对一切x∈R恒成立．当a－2≠0时，即a≠2时，由题意，得
解得－2＜a＜2.
综上所述，a的取值范围为－2＜a≤2，故选C.]
11．已知实数x，y满足2x＋y－5＝0，那么的最小值为( )
A． B．
C．2 D．2
A [∵y＝5－2x，∴＝＝＝，
∴当x＝2时，的最小值为.]
12．若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＋kx＋my－4＝0交于M、N两点，且M、N关于直线x－y＝0对称，动点P(a，b)在不等式组表示的平面区域内部及边界上运动，则ω＝的取值范围是( )
A．[2，＋∞) B．(－∞，－2]
C．[－2,2] D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
D [由题意分析直线y＝kx＋1与直线x－y＝0垂直，所以k＝－1，即直线y＝－x＋1.
又圆心C在直线x－y＝0上，
可求得m＝－1.
则不等式组为所表示的平面区域如图，ω＝的几何意义是点Q(1,2)与平面区域上点P(a，b)连线斜率的取值范围．
kOQ＝2，kAQ＝－2，
故ω的取值范围为(－∞，－2]∪[2，＋∞)．]
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)
13．不等式2x2＋2x－4≤的解集为________．
[－3,1] [不等式2x2＋2x－4≤化为2x2＋2x－4≤2－1，
∴x2＋2x－4≤－1，∴x2＋2x－3≤0，
∴－3≤x≤1，
∴原不等式的解集为[－3,1]．]
14．若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是________．
[由x2＋y2＋xy＝1得1＝(x＋y)2－xy.
∴(x＋y)2＝1＋xy≤1＋2，解得
－≤x＋y≤，∴x＋y的最大值为.]
15．要挖一个面积为432 m2的矩形鱼池，周围两侧分别留出宽分别为3 m、4 m的堤堰，要想使占地总面积最小，此时鱼池的长为________、宽为________．
24 m 18 m [设鱼池的长宽分别为x m，y m，
∴xy＝432，∴(x＋6)(y＋8)＝xy＋6y＋8x＋48＝480＋6y＋8x≥480＋2＝768，当且仅当6y＝8x，即x＝18，y＝24时，等号成立．]
16．已知a，b∈R＋且a＋b＝1，那么下列不等式：①ab≤；②ab＋≥；③＋≤；④＋≥2中，正确的序号是________．
①②③ [∵a，b∈R＋，a＋b＝1，∴ab≤2＝，ab＋≥，(＋)2＝a＋b＋2≤a＋b＋a＋b＝2，
∴＋≤.故①②③正确，∵＋＝＋＝＋＋≥＋2＝＋，(当且仅当a2＝2b2时等号成立)．④不正确．]
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)若函数f(x)＝lg(8＋2x－x2)的定义域为M，函数g(x)＝的定义域为N，求集合M，N，M∩N.
[解] 由8＋2x－x2>0，即x2－2x－8<0，
∴(x－4)(x＋2)<0，
∴－2∴M＝{x|－2由1－≥0，得≥0，
∴x≥3或x<1.
∴N＝{x|x<1或x≥3}．
∴M∩N＝{x|－218．(本小题满分12分)当x>3时，求函数y＝的值域．
[解] ∵x>3，∴x－3>0，
∴y＝＝
＝2(x－3)＋＋12
≥2 ＋12＝24.
当且仅当2(x－3)＝，
即x＝6时，上式等号成立，
∴函数y＝的值域为[24，＋∞)．
19．(本小题满分12分)不等式kx2－2x＋6k<0(k≠0)
(1)若不等式的解集是{x|x<－3或x>－2}，求k的值．
(2)若不等式的解集为R，求k的取值范围．
[解] (1)因为不等式的解集是{x|x<－3或x>－2}，
所以，－3，－2是方程kx2－2x＋6k＝0的两根，且k<0，
∴
即k＝－.
(2)若不等式的解集为R，
则
即
解得：k<－.
20．(本小题满分12分)某厂准备生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3千元，2千元．甲、乙产品都需要在A，B两种设备上加工，在每台A，B上加工一件甲产品所需工时分别为1时、2时，加工一件乙产品所需工时分别为2时、1时，A、B两种设备每月有效使用工时分别为400时和500时．如何安排生产可使月收入最大？
[解] 设甲、乙两种产品的产量分别为x，y件，约束条件是目标函数是f＝3x＋2y，要求出适当的x，y使f＝3x＋2y取得最大值．
作出可行域，如图．
设3x＋2y＝a，a是参数，将它变形为y＝－x＋，
这是斜率为－，随a变化的一组直线．当直线与可行域相交且截距最大时，目标函数f取得最大值．由
得
因此，甲、乙两种产品的每月产量分别为200,100件时，可得最大收入800千元．
21．(本小题满分12分)甲厂以x千克/小时的速度运输生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得利润是100元．
(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于 3 000元，求x的取值范围；
(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润．
[解] (1)根据题意，200≥3 000?5x－14－≥0，又1≤x≤10，可解得3≤x≤10.
(2)设利润为y元，则y＝·100＝9×104，
故x＝6时，ymax＝457 500元．
22．(本小题满分12分)已知不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}，
(1)求a，b的值；
(2)解不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0.
[解] (1)由题意知，1和b是方程ax2－3x＋2＝0的两根，则，解得.
(2)不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0，即为x2－(c＋2)x＋2c<0，即(x－2)(x－c)<0.
①当c>2时，2②当c<2时，c③当c＝2时，原不等式无解．
综上知，当c>2时，原不等式的解集为{x|2当c<2时，原不等式的解集为{x|c当c＝2时，原不等式的解集为?.
