§1 数列
§11.1 数列的概念
学 习 目 标
核 心 素 养
1．了解数列通项公式的概念．
2．能根据通项公式确定数列的某一项．(重点)
3．能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式．(重点、难点)
1．通过数列基本概念的学习培养数学抽象的素养．
2．通过数列通项公式的概念培养逻辑推理的数学素养．
1．数列的基本概念
阅读教材P3～P4，完成下列问题
(1)数列的有关概念
数列
按一定次序排列的一列数叫作数列
项
数列中的每一个数叫作这个数列的项
首项
数列的第1项常称为首项
通项
数列中的第n项an叫数列的通项
(2)数列的表示
①一般形式：a1，a2，a3，…，an，…；
②字母表示：上面数列也可记为{an}．
③数列的分类
分类标准
名称
含义
举例
按项的
个数
有穷数列
项数有限的数列
1,2,3,4，…，n
无穷数列
项数无限的数列
1,4,9，…，n2，…
思考：(1)数列1,2,3,4,5和数列5,4,3,2,1是同一个数列吗？
[提示] 数列1,2,3,4,5和数列5,4,3,2,1不是同一个数列，因为二者的项的排列次序不同．
(2)数列的项和项数有何区别？
[提示] 数列的项是指数列中的某一个确定的数，而项数是指这个数在数列中的位置序号，如数列1,2,3,4,5中第1项为a1＝1，其项数是1.
2．通项公式
阅读教材P5“抽象概括”以下至“例1”以上的内容，完成下列问题．
(1)如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子表示成an＝f(n)，那么这个式子就叫作这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式．
(2)数列可以看作是定义域为正整数集N＋(或它的有限子集)的函数，当自变量从小到大依次取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列．
思考：(1)若an＝2n－1，则a2＋a3的值是什么？
[提示] 因为an＝2n－1，所以a2＝2×2－1＝3，a3＝2×3－1＝5，则a2＋a3＝3＋5＝8.
(2)数列的通项公式an＝f(n)与函数解析式y＝f(x)有什么异同？
[提示] 数列可以看成以正整数集N＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n})为定义域的函数an＝f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．不同之处是定义域：数列中的n必须是从1开始且连续的正整数，函数的定义域可以是任意非空数集．
1．已知数列{an}的通项公式是an＝n2＋1，则122是该数列的( )
A．第9项 B．第10项
C．第11项 D．第12项
C [由n2＋1＝122得n2＝121，∴n＝11.故选C．]
2．若数列{an}的通项公式为an＝2n2－3n，则a2＝________.
2 [a2＝2×22－3×2＝2.]
3．数列1,2,3,4,5，…的通项公式为________．
an＝n(n∈N＋) [观察知数列的通项公式为an＝n(n∈N＋)．]
4．已知数列{an}的通项公式为an＝(－1)n，n∈N＋，则它的第8项是________，第9项是________．
1 －1 [当n＝8时，a8＝(－1)8＝1.
当n＝9时，a9＝(－1)9＝－1.]
数列的概念
【例1】 (1)下列说法错误的是( )
A．数列4,7,3,4的首项是4
B．数列{an}中，若a1＝3，则从第2项起，各项均不等于3
C．数列1,2,3，…就是数列{n}
D．数列中的项不能是三角形
(2)下列各组元素能构成数列吗？如果能，构成的数列是有穷数列，还是无穷数列？并说明理由．
①8,8,8,8；
②－3，－1,1，x,5,7，y,11；
③当n取1,2,3,4，…时，(－1)n的值排成的一列数．
(1)B [根据数列的相关概念，数列4,7,3,4的第1项就是首项，即4，故A正确；同一个数在数列中可以重复出现，故B错误；根据数列的相关概念可知C正确；数列中的项必须是数，不能是其他形式，故D正确．]
(2)[解] ①能构成数列，且构成的是有穷数列．
②当x，y代表数时是数列，此时构成的是有穷数列；当x，y中有一个不代表数时，便不能构成数列，这是因为数列必须是由一列数按一定的顺序排列组成的．
③能构成数列，且构成的是无穷数列．所构成的数列是－1,1，－1,1，….
数列及其分类的判定方法
(1)判断所给的对象是否为数列，关键看它们是不是按一定次序排列的数；
(2)判断所给的数列是有穷数列还是无穷数列，只需观察数列含有限项还是无限项，若数列含有限项，则是有穷数列，否则是无穷数列．
1．下列说法正确的是( )
A．1,2,3,4，…，n是无穷数列
B．数列3,5,7与数列7,5,3是相同数列
C．同一个数在数列中不能重复出现
D．数列{2n＋1}的第6项是13
D [A错误，数列1,2，…，n，共n项，是有穷数列．
B错误，数列是有次序的．
C错误，数列中的数可以重复出现．
D正确，当n＝6时，2×6＋1＝13.]
根据数列的前n项写
出数列的通项公式
【例2】 根据以下数列的前几项，写出数列的一个通项公式．
(1)，，，，…；(2)，2，，8，，…；
(3)－1,2，－3,4，…；(4)2,22,222,2 222，….
[解] (1)分子均为偶数，分母分别为1×3,3×5,5×7,7×9，…是两个相邻奇数的乘积．
故an＝.
(2)将分母统一成2，则数列变为，，，，，…，其各项的分子为n2.
∴an＝.
(3)该数列的前4项的绝对值与序号相同，且奇数项为负，偶数项为正，故an＝(－1)n·n.
(4)通过观察分析可知所求通项公式为an＝(10n－1)．
由数列的前几项求通项公式的思路
(1)通过观察、分析、联想、比较，去发现项与序号之间的关系．
(2)如果关系不明显，可将各项同时加上或减去一个数，或分解、还原等，将规律呈现，便于找通项公式．
(3)要借助一些基本数列的通项，如正整数数列、正整数的平方数列、奇数列、偶数列等．
(4)符号用(－1)n或(－1)n＋1来调整．
(5)分式的分子、分母分别找通项，还要充分借助分子、分母的关系．
2．(1)数列1，，，，，…的一个通项公式an＝( )
A． B．
C． D．
(2)根据以下数列的前4项写出数列的一个通项公式．
①，，，，…；
②－3,7，－15,31，…；
③2,6,2,6，….
(1)B [由已知得，数列可写成，，，，，…，故通项公式为.]
(2)[解] ①均是分式且分子均为1，分母均是两因数的积，第一个因数是项数加上1，第二个因数比第一个因数大2，
所以an＝.
②正负相间，且负号在奇数项，故可用(－1)n来表示符号，各项的绝对值恰是2的整数(项数加1)次幂减1，
所以an＝(－1)n(2n＋1－1)．
③此数列为摆动数列，一般求两数的平均数＝4，而2＝4－2,6＝4＋2，中间符号用(－1)n来表示．
所以an＝4＋(－1)n·2或an＝
通项公式的应用
[探究问题]
1．已知数列{an}的通项公式，如何求数列的某一项？
[提示] 把n的值代入通项公式进行计算即可，相当于函数中，已知函数的解析式和自变量的值求函数值．
2．已知数列{an}的通项公式，如何判断某一个数是否为该数列中的项？
[提示] 假定这个数是数列中的第n项，由通项公式可得方程，解方程求得n，若n是正整数，则该数是数列中的项；若方程无解或n不是正整数，则该数不是数列中的项．
【例3】 数列{an}的通项公式是an＝(n∈N＋)．
(1)0和1是不是数列{an}中的项？如果是，那么是第几项？
(2)数列{an}中是否存在连续且相等的两项？若存在，分别是第几项？
思路探究：(1)??
(2)???
[解] (1)若0是{an}中的第n项，则＝0，
因为n∈N＋，所以n＝21.所以0是{an}中的第21项．
若1是{an}中的第n项，则＝1，
所以n2－21n＝2，即n2－21n－2＝0.
因为方程n2－21n－2＝0不存在正整数解，
所以1不是{an}中的项．
(2)假设{an}中存在第m项与第m＋1项相等，即am＝am＋1，解得m＝10.
所以数列{an}中存在连续的两项，即第10项与第11项相等．
1．(变条件)在例3中，把“an＝”改为“an＝n2－3n”，解答(1)(2)两题．
[解] (1)若0是{an}中的第n项，则n2－3n＝0，因为n∈N＋，所以n＝3，故0是{an}中的第3项．
若1是{an}中的第n项，则n2－3n＝1，即n2－3n－1＝0，因为方程n2－3n－1＝0不存在正整数解，所以1不是{an}中的项．
(2)假设{an}中存在第m项与第m＋1项相等，即am＝am＋1，所以m2－3m＝(m＋1)2－3(m＋1)，解得m＝1.
所以数列{an}中存在连续的两项，第1项与第2项相等．
2．(变结论)例3的条件不变，求a3＋a4的值和a2n.
[解] a3＋a4＝＋＝－61，a2n＝＝2n2－21n.
1．由通项公式写出数列的指定项，主要是对n进行取值，然后代入通项公式，相当于函数中，已知函数解析式和自变量的值求函数值．
2．判断一个数是否为该数列中的项，其方法是可由通项公式等于这个数求方程的根，根据方程有无正整数根便可确定这个数是否为数列中的项．
1．观察法写通项公式的注意事项
据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征．并对此进行联想、转化、归纳．
2．并非每一个数列均有通项公式，如的不同近似值，依不同的近似值，可得数列1,1.4,1.41,1.414，…，便无通项公式，有些数列通项公式也不唯一．
3．通项公式的应用．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)数列中的项不能相等．( )
(2)数列1,2,3,4，…，n－1，只有n－1项．( )
(3)数列1,2,3,4，…，n2是无穷数列．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)×
[提示] 数列中的项可以相等，故(1)错；数列1,2,3,4，…，n2共n2项，是有穷数列，故(3)错．
2．在数列－1,0，，，…，，…中0.08是它的( )
A．第100项 B．第12项
C．第10项 D．第8项
C [由题意知，an＝.
令an＝0.08，即＝，
所以n＝10，n＝(舍去)，故选C．]
3．若数列{an}的通项公式是an＝3－2n，则a2n＝________，＝________.
3－4n [根据通项公式我们可以求出这个数列的
任意一项．
因为an＝3－2n，
所以a2n＝3－22n＝3－4n，
＝＝.]
4．已知数列{an}的通项公式为an＝.
(1)写出数列的前三项；
(2)和是不是数列{an}中的项？如果是，是第几项？
[解] (1)数列的前三项：a1＝＝1，
a2＝＝＝，
a3＝＝＝.
(2)令＝，则n2＋3n－40＝0，
解得n＝5或n＝－8，
注意到n∈N＋，故n＝－8舍去．
所以是数列{an}的第5项．
令＝，则4n2＋12n－27＝0，
解得n＝或n＝－，
注意到n∈N＋，所以不是数列{an}中的项．
课件44张PPT。第一章 数列§1 数列
1.1 数列的概念一定次序 每一个数 第1项 第n项an {an} 从小到大 an＝f(n) N＋(或它的有限子集) 数列的概念 根据数列的前n项写出数列的通项公式 通项公式的应用 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(一)
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．下列说法：
①如果已知数列的通项公式，可求出数列中的任何一项；
②数列1，－1,1，－1，…与数列－1,1，－1,1，…是同一数列；
③所有的数列都有通项公式，且只有一个；
④数列1,2,3，…，n是无穷数列．
其中正确说法的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
A [①正确；②不正确，数列1，－1,1，－1，…与数列－1,1，－1,1，…不是同一数列；③不正确，有的数列没有通项公式，有的数列的通项公式不止一个；④不正确，数列1,2,3，…，n是有穷数列，共n项，故选A.]
2．已知数列{an}的通项公式是an＝n2＋2，则其第3,4项分别是( )
A．11,3 B．11,15
C．11,18 D．13,18
C [a3＝32＋2＝11，a4＝42＋2＝18.]
3．已知数列{an}的通项公式为an＝25－2n，下列数中不是数列{an}的项的是( )
A．1 B．－1
C．2 D．3
C [由an＝25－2n，知a11＝3，a12＝1，a13＝－1，所以2不是数列{an}中的项．]
4．已知数列的通项公式是an＝则该数列的前两项分别是
( )
A．2,4 B．2,2
C．2,0 D．1,2
B [当n＝1时，a1＝2；当n＝2时，a2＝22－2＝2.]
5.如图，各图形中的点的个数构成一个数列，该数列的一个通项公式是( )
A．an＝n2－n＋1 B．an＝
C．an＝ D．an＝
C [法一：将各图形中点的个数代入四个选项便可得到正确结果．图形中，点的个数依次为1,3,6,10，代入验证可知正确答案为C.
法二：观察各个图中点的个数，寻找相邻图形中点个数之间的关系，然后归纳一个通项公式．观察点的个数的增加趋势可以发现，a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，所以猜想an＝，故选C.]
二、填空题
6．数列，，，，…的一个通项公式为________．
an＝(n∈N＋) [因为2＝12＋1,5＝22＋1,10＝32＋1,17＝42＋1，故an＝(n∈N＋)．]
7．已知数列{an}的通项公式为an＝kn2－1，且a2＝3，则a8＝________.
63 [a2＝4k－1＝3，故k＝1，an＝n2－1，所以a8＝82－1＝63.]
8．数列{an}的通项公式为an＝，则－3是此数列的第________项．
9 [令an＝＝－3，解得n＝9.]
三、解答题
9．已知数列{n(n＋2)}：
(1)写出这个数列的第8项和第20项；
(2)323是不是这个数列中的项？如果是，是第几项？
[解] (1)an＝n(n＋2)＝n2＋2n，所以a8＝80，a20＝440.
(2)由an＝n2＋2n＝323，解得n＝17.
所以323是数列{n(n＋2)}中的项，是第17项．
10．已知数列{an}中，a1＝2，a17＝66，通项公式是项数n的一次函数．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)88是否是数列{an}中的项？
[解] (1)设an＝an＋b.∴a1＝a＋b＝2， ①
a17＝17a＋b＝66. ②
②－①，得16a＝64，∴a＝4，b＝－2.
∴an＝4n－2(n∈N＋)．
(2)令4n－2＝88?4n＝90，n＝?N＋.
∴88不是数列{an}中的项．
[能力提升练]
1．数列，，，，…的第10项是( )
A. B.
C. D.
C [由数列的前四项，观察可知其通项公式为an＝，则a10＝＝.]
2．在数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…中第25项为( )
A．6 B．7
C．8 D．9
B [数字共有n个，当数字n＝6时，有1＋2＋3＋4＋5＋6＝21项，故第22项起数字为7至28项为止，故第25项为7.]
3．已知数列{an}的通项公式为an＝sin nθ，0<θ<，若a3＝，则a15＝________.
[a3＝sin 3θ＝，又0<θ<，所以0<3θ<，所以3θ＝，所以a15＝sin 15θ＝sinπ＝.]
4．如图1是第七届国际数学教育大会(简称ICME-7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，…，OAn，…的长度构成数列{an}，则此数列的通项公式为an＝________(n∈N＋)．
图1 图2
[因为OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，
∴OA1＝1，OA2＝，OA3＝，…，OAn＝，
即a1＝1，a2＝，a3＝，…，an＝.]
5．已知无穷数列，，，，…
(1)求出这个数列的一个通项公式；
(2)该数列在区间内有没有项？若有，有几项？若没有，请说明理由．
[解] (1)因为数列的分子依次为4,9,16,25，…可看成与项数n的关系式为(n＋1)2，而每一项的分母恰好比分子大1，所以通项公式的分母可以为(n＋1)2＋1.所以数列的一个通项公式为an＝(n＝1,2，…)．
(2)当≤an≤时，可得≤≤.
由≥，解得(n＋1)2≥9，可得n≥2.
由≤，解得(n＋1)2≤36，可得n≤5.
所以2≤n≤5.
综上所述，该数列在内有项，并且有4项.
