1.2 数列的函数特性
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解递增数列、递减数列、常数列的概念．
2．掌握判断数列增减性的方法．(重点)
3．利用数列的增减性求最大值、最小值．(难点、易混点)
1.通过数列的函数性质的学习培养数学抽象的核心素养．
2．借助数列单调性的研究培养学生的逻辑推理的素养.
数列的单调性
阅读教材P6～P7“例3”以上部分，完成下列问题．
(1)数列的函数特性
数列是一类特殊的函数，由于一般函数有三种表示方法，数列也不例外，有列表法、图像法和解析法．
(2)数列的单调性
名称
定义
判断方法
递增数列
从第2项起，每一项都大于它前面的一项
an＋1＞an
递减数列
从第2项起，每一项都小于它前面的一项
an＋1＜an
常数列
各项都相等
an＋1＝an
思考：(1)若函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增，那么数列an＝f(n)也单调递增吗，反之成立吗？
[提示] 若函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增，则函数an＝f(n)也单调递增，但反之不成立，例如f(x)＝2，数列an＝f(n)单调递增，但f(x)＝2在[1，＋∞)上不是单调递增．
(2)如何判断数列的单调性？
[提示] 比较数列中相邻的两项an与an＋1的大小来确定其单调性．
1．数列an＝n＋1是( )
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D．不能确定
A [an＋1－an＝[(n＋1)＋1]－(n＋1)＝1＞0，故an＋1＞an，所以an＝n＋1是递增数列．]
2．若数列{an}为递增数列，其通项公式为an＝kn－2，则实数k的取值范围是________．
(0，＋∞) [由题意知an＋1－an＝[k(n＋1)－2]－(kn－2)＝k＞0，即实数k的取值范围是(0，＋∞)．]
3．下列数列：
①1,2,22,23，…；
②1,0.5,0.52,0.53，…；
③7,7,7,7，…；
④－2,2，－2,2，－2，….
递增数列是________，递减数列是________，摆动数列是________，常数列是________．(填序号)
[答案] ① ② ④ ③
数列的图像
【例1】 在数列{an}中，an＝n2－8n.
(1)画出{an}的图像；
(2)根据图像写出数列{an}的增减性．
[解] (1)列表
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
…
an
－7
－12
－15
－16
－15
－12
－7
0
9
…
描点：在平面直角坐标系中描出下列各点即得数列{an}的图像：(1，－7)，(2，－12)，(3，－15)，(4，－16)，(5，－15)，(6，－12)，(7，－7)，(8,0)，(9,9)，…
图像如图所示．
(2)数列{an}在[1,4]上是递减的，在[5，＋∞)上是递增的．
画数列的图像的方法
数列是一个特殊的函数，因此也可以用图像来表示，以位置序号n为横坐标，相应的项为纵坐标，即坐标为(n，an)描点画图，就可以得到数列的图像．因为它的定义域是正整数集N＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n})，所以其图像是一群孤立的点，这些点的个数可以是有限的，也可以是无限的．
1．已知数列{an}的通项公式为an＝，画出它的图像，并判断增、减性．
[解] 图像如图所示，该数列在{1,2,3,4}上是递减的，在{5,6，…}上也是递减的．
数列的单调性
【例2】 判断数列的增减性．
[解] ∵an＝，
∴an＋1＝＝.
法一：(作差法)an＋1－an＝－
＝
＝，
∵n∈N＋，∴an＋1－an>0，即an＋1>an，
∴数列为递增数列．
法二：(作商法)∵n∈N＋，∴an>0.
∵＝＝＝＝1＋>1，∴an＋1>an，∴数列为递增数列．
法三：(构造函数法)令?(x)＝(x≥1)，则
?(x)＝＝，
∴函数?(x)在[1，＋∞)上是增函数，
∴数列是递增数列．
判断数列增减性的方法
(1)作差比较法：
①若an＋1－an＞0恒成立，则数列{an}是递增数列；
②若an＋1－an＜0恒成立，则数列{an}是递减数列；
③若an＋1－an＝0恒成立，则数列{an}是常数列．
(2)作商比较法：
①若an＞0，则
当＞1时，数列{an}是递增数列；
当＜1时，数列{an}是递减数列；
当＝1时，数列{an}是常数列．
②若an＜0，则
当＜1时，数列{an}是递增数列；
当＞1，数列{an}是递减数列；
当＝1时，数列{an}是常数列．
2．(1)若数列{an}是递减数列，则其通项公式可能是( )
A．an＝2n B．an＝n2
C．an＝n D．an＝log2n
(2)若an＝n2＋bn是单调递增数列，则实数b的取值范围是________．
(1)C (2)(－3，＋∞) [(1)由于函数f(x)＝x是减函数，故数列an＝n是递减数列，选C．
(2)由题意知an＋1－an＝[(n＋1)2＋b(n＋1)]－(n2＋bn)＝2n＋1＋b＞0恒成立，即2n＋1＋b＞0，b＞－2n－1恒成立，而n∈N＋时，－2n－1的最大值为－3(n＝1时)，所以b＞－3，即b的取值范围为(－3，＋∞)．]
数列单调性的应用
[探究问题]
1．(1)数列{an}中，an＝1＋，试判断{an}的增减性；
(2)数列{an}中，an＝，试判断{an}的增减性．
[提示] (1)因为函数y＝1＋在(0，＋∞)上单调递减，所以数列an＝1＋是递减数列．
(2)由an＝＝1＋，由(1)可知，an＝是递减数列．
2．已知无穷数列{an}的通项公式为an＝(n∈N＋)，试判断数列{an}的增减性；数列{an}有最大项还是有最小项？作出判断并求出来．
[提示] an＝＝1＋，当n≤9时，an＜1，当n≥10时，an＞1，且随n的递增an递减，故数列{an}有最大项，其最大项为a10＝.
【例3】 在数列{an}中，an＝(n＋1)n(n∈N＋)．
(1)求证：数列{an}先递增后递减；
(2)求数列{an}的最大值．
思路探究：法一：先考虑数列{an}的单调性，然后利用单调性求最值．
法二：利用不等式组寻求最大值．
[解] 法一(单调性法)：(1)令＞1(n≥2)，
即＞1，整理得＞，解得n＜10.
令＞1，即＞1，
整理得＞，解得n＞9.
所以数列{an}从第1项到第9项递增，从第10项起递减，即数列{an}先增后减．
(2)由(1)知a9＝a10＝为最大值．
法二：(不等关系法)(1)假设数列{an}中存在最大项．
因为an＋1－an＝(n＋2)n＋1－(n＋1)n＝n·，
当n＜9时，an＋1－an＞0，即an＋1＞an；
当n＝9时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；
当n＞9时，an＋1－an＜0，即an＋1＜an，
故a1＜a2＜a3＜…＜a9＝a10＞a11＞a12＞…，
所以数列{an}从第1项到第9项递增，从第10项起递减．
(2)由(1)知a9＝a10＝为最大值．
1．(变条件)将例题中的“an＝(n＋1)n”换为“an＝－2n2＋9n＋3”如何求{an}中的最大项．
[解] 由an＝－2n2＋9n＋3＝－22＋.
∵n为正整数，
∴当n＝2时，an取得最大值，
a2＝－2×22＋9×2＋3＝13.
即数列{an}的最大项为a2＝13.
2．(变结论)在例3中，若n的取值范围是n∈N＋，且n≤10，求数列{an}的最小项．
[解] 由例3知数列{an}从第1项到第9项递增，从第10项起递减，所以a1最小，a1＝.
数列中最大项与最小项的两种求法
(1)若求最大项an，则an应满足若求最小项an，则an应满足
(2)将数列看作一个特殊的函数，通过函数的最值来解决数列的最值问题，但此时应注意n∈N＋这一条件．
1．判断一个数列的增减性，可利用数列图像变化趋势进行判断，也可以利用递增数列、递减数列、常数列的定义进行判断，即通过判断一个数列{an}的任意相邻两项之间的大小关系来确定数列的增减性．
2．有关数列的最大、最小项问题均可借助数列的增减性来解决，也常转化为函数的最值问题．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)数列，，，，…的通项公式是an＝.( )
(2)数列的图像是一群孤立的点．( )
(3)数列1,0,1,0，…与数列0,1,0,1，…是同一数列．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)×
2．已知an＋1－an－3＝0，则数列{an}是( )
A．递增数列 B．递减数列
C．摆动数列 D．常数列
A [因为an＋1－an－3＝0，即an＋1－an＝3>0，所以数列是递增数列．]
3．下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是( )
A．1，，，，… B．－1,2，－3,4，…
C．－1，－，－，－，… D ．1，，，…，
C [由递增数列的知识，可知属于递增数列的是选项C、D；由无穷数列的知识，可知属于无穷数列的是选项A，B，C(用省略号)．故既是无穷数列又是递增数列的是选项C．]
4．已知数列{an}中，an＝n2－kn(n∈N＋)且{an}递增，求实数k的取值范围．
[解] 因为an＋1＝(n＋1)2－k(n＋1)，
an＝n2－kn，所以an＋1－an＝(n＋1)2－k(n＋1)－n2＋kn＝2n＋1－k.
由于数列{an}递增，故应有an＋1－an>0，
即2n＋1－k>0，n∈N＋恒成立，分离变量得k<2n＋1，
故需k<3即可，
所以k的取值范围为(－∞，3)．
课件40张PPT。第一章 数列§1 数列
1.2 数列的函数特性234列表法 图像法 解析法 5大于 小于 相等 67891011数列的图像 12131415数列的单调性 1617181920212223数列单调性的应用 24252627282930313233343536373839点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(二)
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．已知an＝3n－2，n∈N＋，则数列{an}的图像是( )
A．一条直线 B．一条抛物线
C．一个圆 D．一群孤立的点
D [∵an＝3n－2，n∈N＋，∴数列{an}的图像是一群孤立的点．]
2．已知数列{an}满足a1＞0,2an＋1＝an，则数列{an}是( )
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D．以上都不对
B [∵a1＞0，an＋1＝an，∴an＞0，∴＝＜1，∴an＋1＜an.]
3．在递减数列{an}中，an＝kn(k为常数)，则实数k的取值范围是( )
A．R B．(0，＋∞)
C．(－∞，0) D．(－∞，0]
C [∵{an}是递减数列，∴an＋1－an＝k(n＋1)－kn＝k<0.]
4．设an＝－n2＋10n＋11，则数列{an}中第几项最大( )
A．第6项 B．第7项
C．第6项或第7项 D．第5项
D [an＝－n2＋10n＋11＝－(n2－10n＋25)＋36
＝－(n－5)2＋36，所以当n＝5时，an最大．]
5．一给定函数y＝f(x)的图像在下列图中，并且对任意a0∈(0,1)，由关系式an＋1＝f(an)得到的数列{an}满足an＋1＞an，则该函数的图像是( )
A [由an＋1＝f(an)，an＋1＞an，得f(an)＞an，即f(x)＞x，结合图像知A正确．]
二、填空题
6．若数列{an}为递减数列，则{an}的通项公式可能为______(填序号)．
①an＝－2n＋1；②an＝－n2＋3n＋1；③an＝；④an＝(－1)n.
①③ [可以通过画函数的图像一一判断．②中第一、二项相等，④是摆动数列．]
7．已知数列{an}的通项公式为an＝(n＋2)n.
则当an取最大值时，n等于________．
5或6 [由题意知解得
所以n＝5或6.]
8．已知数列{an}为单调递增数列，通项公式为an＝n＋，则λ的取值范围是________．
(－∞，2) [由于数列{an}为单调递增数列，an＝n＋，所以an＋1－an＝－＝1－>0，即λ
三、解答题
9．已知数列{an}中，an＝(n∈N＋)．
(1)求a2＋a3；(2)证明{an}是递增数列．
[解] (1)由已知得a2＋a3＝＋＝.
(2)证明：当n≥2时，
an－an－1＝－＝>0.
所以{an}是递增数列．
10．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4，
(1)数列中有多少项为负数？
(2)n为何值时，an有最小值？并求此最小值．
[解] (1)由n2－5n＋4<0得1(2)因为an＝n2－5n＋4＝2－，
又因为n∈N＋，
所以n＝2或3时，an有最小值－2.
[能力提升练]
1．在数列{an}中，已知an＝(c∈R)，则对于任意正整数n有( )
A．anB．an与an＋1的大小关系和c有关
C．an>an＋1
D．an与an＋1的大小关系和n有关
B [因为an＝＝1＋，n＋1≥2，
所以当c－1>0，
即c>1时，?(n)＝an单调递减，
an＋1当c－1＝0，即c＝1时，an＝1，an＋1＝an＝1，
当c－1<0，即c<1时，?(n)＝an单调递增，an＋1>an，
所以an＋1与an的大小关系和c有关，和n无关，故选B.]
2．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝则其前6项之和是( )
A．16 B．20
C．33 D．120
C [a1＝1，a2＝2a1＝2，a3＝a2＋1＝3，
a4＝2a3＝6，a5＝a4＋1＝7，
a6＝2a5＝14，
∴前6项之和为33.]
3．数列{an}中，a1＝2，an＝2an－1(n∈N＋，2≤n≤10)，则数列{an}的最大项为________．
1 024 [∵a1＝2，an＝2an－1，∴an≠0，∴＝2＞1，∴an＞an－1，即数列{an}单调递增，∴{an}的最大项为a10＝2a9＝4a8＝…＝29·a1＝29·2＝210＝1 024.]
4．已知数列{an}满足an＝(n∈N＋)，则数列{an}中的最小项是第________项．
5 [an＝＝
＝＋，
令3n－16<0，得n<.
又数列{an}在上单调递减，且n∈N＋，
所以当n＝5时，an取最小值．]
5．数列{an}的通项公式为an＝n2＋kn＋2.
(1)若a2＝a7，求数列{an}的最小项；
(2)若不等式an≥a4恒成立，求实数k的取值范围．
[解] (1)由a2＝a7得k＝－9，即an＝n2－9n＋2＝2－.
因为n∈N＋，所以当n＝4或5时，{an}的最小项为a4＝a5＝－18.
(2)an＝n2＋kn＋2＝2＋2－，
因为不等式an≥a4恒成立，所以3.5≤－≤4.5，
解得－9≤k≤－7.
