§2 等差数列
2.1 等差数列
第1课时 等差数列的概念及其通项公式
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解等差数列的概念．(难点)
2．掌握等差数列的判定方法．(重点)
3．会求等差数列的通项公式及利用通项公式求特定的项．(重点、难点)
1.通过等差数列概念的学习培养学生的数学抽象素养．
2．借助于等差数列的通项公式提升学生的数学运算素养.
1．等差数列的概念
阅读教材P10～P11例1以上部分，完成下列问题．
文字
语言
从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这样的数列就叫作等差数列．这个常数称为等差数列的公差，通常用字母d表示
符号
语言
若an－an－1＝d(n≥2)，则数列{an}为等差数列
思考：(1)数列{an}的各项为：n,2n,3n,4n，…，数列{an}是等差数列吗？
[提示] 不是，该数每一项与其前一项的差都是n，不是常数，所以不是等差数列．
(2)若一个数列从第二项起每一项与它前一项的差都是常数，这个数列一定是等差数列吗？
[提示] 不一定，当一个数列从第二项起每一项与它前一项的差都是同一个常数时，这个数列才是等差数列．
如数列：1,2,3,5,7,9，就不是等差数列．
2．等差数列的通项公式
如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式为an＝a1＋(n－1)d．
思考：(1)若已知等差数列{an}的首项a1和第二项a2，可以求其通项公式吗？
[提示] 可以，可利用a2－a1＝d求出d，即可求出通项公式．
(2)等差数列的通项公式一定是n的一次函数吗？
[提示] 不一定，当公差为0时，等差数列的通项公式不是n的一次函数，而是常数函数．
3．等差数列通项公式的推导
如果等差数列{an}的首项是a1，公差是d，根据等差数列的定义得到a2－a1＝d，a3－a2＝d，a4－a3＝d，…
所以a2＝a1＋d，
a3＝a2＋d＝a1＋d＋d＝a1＋2d，
a4＝a3＋d＝a1＋2d＋d＝a1＋3d，
……
由此归纳出等差数列的通项公式为an＝a1＋(n－1)d．
1．等差数列{an}中a1＝2，公差d＝3，则an＝( )
A．2n＋1 B．3n＋1
C．2n－1 D．3n－1
D [an＝a1＋(n－1)d＝2＋3(n－1)＝3n－1.]
2．在等差数列{an}中，a1＝0，a3＝4，则公差d＝( )
A．4 B．2
C．－4 D．－2
B [a3－a1＝4－0＝2d，故d＝2.]
3．等差数列，－，－，…的第10项为( )
A．－ B．－
C． D．
B [由a1＝，d＝－－＝－2，得
an＝＋(n－1)(－2)＝－2n＋.
所以a10＝－2×10＋＝－.]
4．已知等差数列{an}中，d＝－，a7＝8，则a1＝________.
10 [由a7＝a1＋6d＝8且d＝－代入解得a1＝8－6d＝8＋2＝10.]
等差数列的判定
【例1】 判断下列数列是否为等差数列：
(1)an＝3－2n；(2)an＝n2－n.
[解] (1)因为an＋1－an＝[3－2(n＋1)]－(3－2n)＝－2，是常数，所以数列{an}是等差数列．
(2)因为an＋1－an＝[(n＋1)2－(n＋1)]－(n2－n)＝2n，不是常数，所以数列{an}不是等差数列．
等差数列的判断方法——定义法
等差数列的定义是判断一个数列是否为等差数列的重要依据，要证明一个数列是等差数列，可用an＋1－an＝d(常数)或an－an－1＝d(d为常数且n≥2)．但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可．
[提醒] 当d＞0时，等差数列{an}是递增数列；
当d＜0时，等差数列{an}是递减数列；
当d＝0时，等差数列{an}是常数列．
1．若数列{an}满足an＋1＝，a1＝1，求证：数列是等差数列．
[证明] 由an＋1＝得＝＝2＋，
即－＝2，所以数列是首项为1，公差为2的等差数列．
等差数列的通项公式及应用
【例2】 (1)求等差数列8,5,2，…的第20项；
(2)在等差数列{an}中，已知a6＝12，a18＝36，求通项公式an.
[解] (1)由a1＝8，a2＝5，得d＝a2－a1＝5－8＝－3，
故an＝8－3(n－1)＝11－3n，
则a20＝11－3×20＝－49.
(2)由题意可得解得d＝2，a1＝2，
故an＝2n.
等差数列通项公式的四个应用
(1)已知an，a1，n，d中的任意三个量，可以求出第四个量．
(2)由等差数列的通项公式可以求出该数列中的任意项，也可以判断某一个数是不是该数列中的项．
(3)根据等差数列的两个已知条件建立关于“基本量”a1和d的方程组，求出a1和d，从而确定通项公式，求出待求项．
(4)若数列{an}的通项公式是关于n的一次函数或常数函数，则可判断数列{an}是等差数列．
2．(1)等差数列{an}中，a2＝4，公差d＝3，an＝22，求n；
(2)判断－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项，如果是，是第几项？
[解] (1)由条件知解得a1＝1，n＝8；
(2)由a1＝－5，d＝－9－(－5)＝－4，
得这个数列的通项公式为an＝－5＋(n－1)×(－4)＝－4n－1.
由题意，令－401＝－4n－1，得n＝100，
即－401是这个数列的第100项．
等差数列的实际应用
[探究问题]
1．一种游戏软件的租金，第一天5元，以后每一天比前一天多1元，那么第n(n≥2)天的租金怎样表示？每天的租金数有什么特点？
[提示] 每天的租金构成以5为首项，以1为公差的等差数列，an＝5＋(n－1)×1＝n＋4(n≥2)．
2．直角三角形三边长成等差数列，你能求出三边的比吗？
[提示] 设直角三角形的三边长分别为a，a＋d，a＋2d(a＞0，d＞0)，则(a＋2d)2＝a2＋(a＋d)2，即a2－2ad－3d2＝0，
解得a＝3d，则三边长分别为3d,4d,5d，
故三边长的比为3∶4∶5.
【例3】 某市出租车的计价标准为1.2 元/km，起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费10元，如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，那么需要支付多少车费？
思路探究：某人需支付的车费构成等差数列，运用等差数列的知识去解决．
[解] 根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要支付1.2元．
所以，可以建立一个等差数列{an}来计算车费．
令a1＝11.2，表示4 km处的车费，公差d＝1.2，
那么当出租车行至14 km处时，n＝11，
此时需要支付车费a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元)．即需要支付车费23.2元．
1．(变条件)在例3中，若某人乘坐该市的出租车去往18.5 km(不足1 km，按1 km计费)，且一路畅通，等候时间为0，那么，需支付多少车费？
[解] 由题意知，当出租车行至18.5 km处时，n＝16，此时需支付车费a16＝11.2＋(16－1)×1.2＝29.2(元)．
2．(变结论)在例3中，若某人乘坐该市的出租车去往n km(n∈
N＋)处的目的地，求其需支付的车费an.
[解] 当n∈{1,2,3}时，an＝10，
当n∈N＋，且n≥4时，an＝11.2＋(n－4)×1.2＝1.2n＋6.4.
所以an＝
应用等差数列解决实际问题的步骤
(1)审题，读懂题意，把握已知条件与求解问题．
(2)将实际问题抽象为等差数列模型．
(3)利用等差数列解决问题．
(4)验证答案是否符合实际问题的意义．
1．等差数列的通项公式为an＝a1＋(n－1)d，已知a1，n，d，an这四个量中的三个，可以求得另一个量．
2．等差数列的判定关键是看an＋1－an(或an－an－1(n≥2))是否为一个与n无关的常数．
3．对于通项公式的理解．
an＝a1＋(n－1)d?an＝nd＋(a1－d)，所以，当d≠0时，an是关于n的一次函数，一次项系数就是等差数列的公差，当d＝0时，等差数列{an}为常数列：a1，a1，a1，…，a1，…
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)常数列是等差数列．( )
(2)－1，－2，－3，－4，－5不是等差数列．( )
(3)若数列{an}是等差数列，则其公差d＝a7－a8.( )
[答案] (1)√ (2)× (3)×
[提示] (1)正确，(2)不正确，数列－1，－2，－3，－4，－5是公差为－1的等差数列；(3)不正确，公差d＝a8－a7.
2．下列数列是等差数列的是( )
A．，，， B．1，，，
C．1，－1,1，－1 D．0,0,0,0
D [由等差数列的定义知：0,0,0,0是等差数列，选D．]
3．在等差数列{an}中，a2＝4，a8＝a6＋3，则a1＝________.
[由已知得解得a1＝.]
4．在等差数列{an}中，a5＝10，a12＝31，求a20，an.
[解] 由a5＝10，a12＝31，
得7d＝a12－a5＝21，
所以d＝3，a1＝a5－4d＝10－4×3＝－2.
所以a20＝a1＋19d＝－2＋19×3＝55，
an＝a1＋(n－1)d＝－2＋3(n－1)＝3n－5(n∈N＋)．
课件34张PPT。第一章 数列§2 等差数列
2.1 等差数列
第1课时 等差数列的概念及其通项公式2 差 同一个常数 公差 d d d d 3d 等差数列的判定 等差数列的通项公式及应用 等差数列的实际应用 点击右图进入…Thank you for watching !第2课时 等差数列的性质
学 习 目 标
核 心 素 养
1.掌握等差中项的概念及其应用．
2．掌握等差数列的项与序号的性质．(重点)
3．理解等差数列的项的对称性．(重点)
4．能够熟练应用等差数列的性质解决有关实际问题．(难点)
1.通过对等差数列性质的研究培养逻辑推理的素养．
2．通过学习等差中项的概念提升数学运算的素养.
1．等差数列的单调性与图像
阅读教材P13“练习1”以下“例5”以上部分，完成下列问题
(1)等差数列的图像
由an＝dn＋(a1－d)，可知其图像是直线y＝dx＋(a1－d)上的一些等间隔的点，其中公差d是该直线的斜率．
(2)从函数角度研究等差数列的性质与图像
由an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，可知其图像是直线y＝dx＋(a1－d)上的一些等间隔的点，这些点的横坐标是正整数，其中公差d是该直线的斜率，即自变量每增加1，函数值增加d.
当d＞0时，{an}为递增数列，如图(甲)所示．
当d＜0时，{an}为递减数列，如图(乙)所示．
当d＝0时，{an}为常数列，如图(丙)所示．
甲 乙 丙
思考：(1)等差数列{an}中，a3＝4，a4＝2，则数列{an}是递增数列，还是递减数列？
[提示] 因为公差d＝a4－a3＝－2＜0，所以数列{an}是递减数列．
(2)等差数列的公差与直线的斜率之间有什么关系？
[提示] 等差数列的公差相当于图像法表示数时直线的斜率．
2．等差中项
如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫作a与b的等差中项．
思考：(1)若A是a与b的等差中项，如何用a和b表示A?
[提示] A＝.
(2)若数列{an}中，an是an－1和an＋1的等差中项，那么数列{an}是等差数列吗？为什么？
[提示] 是．因为an是an－1和an＋1的等差中项，所以an－1，an，an＋1成等差数列，故an－an－1＝an＋1－an，由等差数列的定义知数列{an}是等差数列．
1．等差数列a1，a2，a3，…，an的公差为d，则数列5a1,5a2,5a3，…，5an是( )
A．公差为d的等差数列
B．公差为5d的等差数列
C．非等差数列
D．以上都不对
B [由等差数列的定义知an－an－1＝d，
所以5an－5an－1＝5(an－an－1)＝5d，故选B．]
2．等差数列{an}中，a2＝3，a7＝18，则公差为( )
A．3 B．
C．－3 D．－
A [a7－a2＝5d，即5d＝15，d＝3.]
3．＋1和－1的等差中项为________．
[＝.]
4．等差数列{an}中，a3＝1，则a2＋a3＋a4＝________.
3 [a2＋a3＋a4＝(a2＋a4)＋a3＝2a3＋a3＝3a3＝3.]
等差数列的性质
【例1】 (1)已知等差数列{an}中，a2＋a6＋a10＝1，求a4＋a8；
(2)设{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，求a11＋a12＋a13的值．
[解] (1)法一：(通项公式法)根据等差数列的通项公式，得
a2＋a6＋a10＝(a1＋d)＋(a1＋5d)＋(a1＋9d)＝3a1＋15d.
由题意知，3a1＋15d＝1，即a1＋5d＝.
∴a4＋a8＝2a1＋10d＝2(a1＋5d)＝.
法二：(等差数列性质法)根据等差数列性质
a2＋a10＝a4＋a8＝2a6.
由a2＋a6＋a10＝1，得3a6＝1，解得a6＝，
∴a4＋a8＝2a6＝.
(2){an}是公差为正数的等差数列，设公差为d(d>0)，
∵a1＋a3＝2a2，∴a1＋a2＋a3＝15＝3a2，
∴a2＝5，又a1a2a3＝80，
∴a1a3＝(5－d)(5＋d)＝16?d＝3或d＝－3(舍去)，
∴a12＝a2＋10d＝35，a11＋a12＋a13＝3a12＝105.
等差数列性质的应用
解决本类问题一般有两种方法：一是运用等差数列{an}的性质：若m＋n＝p＋q＝2ω，则am＋an＝ap＋aq＝2aω(m，n，p，q，ω都是正整数)；二是利用通项公式转化为数列的首项与公差的结构完成运算，属于通性通法，两种方法都运用了整体代换与方程的思想．
1．在公差为d的等差数列{an}中．
(1)已知a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13；
(2)已知a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，求d.
[解] 法一：(1)化成a1和d的方程如下：
(a1＋d)＋(a1＋2d)＋(a1＋22d)＋(a1＋23d)＝48，
即4(a1＋12d)＝48.∴4a13＝48.∴a13＝12.
(2)化成a1和d的方程组如下：
解得或
∴d＝3或－3.
法二：(1)由等差数列性质知a2＋a24＝a3＋a23，又a2＋a3＋a23＋a24＝48，
∴a3＋a23＝24＝2a13，∴a13＝12.
(2)由等差数列性质知，a2＋a5＝a3＋a4，又a2＋a3＋a4＋a5＝34，
∴a2＋a5＝17.又∵a2·a5＝52，
∴或
∴d＝＝3或d＝＝－3.
等差中项及其应用
【例2】 已知a，b，c成等差数列，求证：b＋c，c＋a，a＋b也成等差数列．
[证明] 因为a，b，c成等差数列，
所以2b＝a＋c，
所以(b＋c)＋(a＋b)＝a＋2b＋c＝a＋(a＋c)＋c＝2(a＋c)，
所以b＋c，c＋a，a＋b成等差数列．
判断一个数列是等差数列的方法
(1)定义法：an－an－1＝d(常数)(n≥2且n∈N＋)?{an}是等差数列．
(2)通项法：an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N＋)?{an}是等差数列．
(3)等差中项法：2an＝an－1＋an＋1(n≥2且n∈N＋)?{an}是等差数列．
2．已知，，成等差数列，求证：，，也成等差数列．
[证明] 因为，，成等差数列，
所以＝＋，
即2ac＝b(a＋c)．
因为＋＝
＝＝＝＝，
所以，，成等差数列．
等差数列性质的综合应用
[探究问题]
1．若数列{an}是公差为d的等差数列，am和an分别是数列的第m项和第n项，怎样用am，an表示公差d？在等差数列中，d的几何意义是什么？
[提示] d＝，d的几何意义是等差数列所在图像的斜率．
2．等差数列{an}中，若m＋n＝p，是否有am＋an＝ap成立？
[提示] am＋an＝a1＋(m－1)d＋a1＋(n－1)d＝2a1＋(m＋n－2)d，
ap＝a1＋(p－1)d＝a1＋(m＋n－1)d，∴am＋an≠ap.
3．若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列{λan＋b}(λ，b是常数)是等差数列吗？若是，公差是多少？
[提示] (λan＋1＋b)－(λan＋b)＝λ(an＋1－an)＝λd(与n无关的常数)，故{λan＋b}为等差数列，公差为λd.
【例3】 在等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝84，a9＝73，求数列{an}的通项公式．
思路探究：法一：由条件列出关于a1和d的方程组，求出a1和d，可得an；
法二：利用等差数列的性质求d，利用an＝am＋(n－m)d，求an.
[解] 法一(方程组法)：由a3＋a4＋a5＝84，a9＝73，得
解得d＝9，a1＝1，故an＝1＋9(n－1)＝9n－8.
法二(等差数列性质法)：因为a3＋a4＋a5＝3a4，a3＋a4＋a5＝84，故3a4＝84，得a4＝28，又a9－a4＝5d＝45，解得d＝9.
所以an＝a4＋(n－4)d＝28＋9(n－4)＝9n－8.
1．(变条件)在例3中，若条件“a3＋a4＋a5＝84”改为“a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝100”，其余不变，求an.
[解] 因为a2＋a10＝a4＋a8＝2a6，故5a6＝100，a6＝20，又a9＝73，故a9－a6＝53＝3d，故d＝.
所以an＝a6＋(n－6)d＝20＋(n－6)＝n－86.
2．(变结论)例3的条件不变，若数列{bn}是等差数列，其公差为3，那么数列{2an＋3bn}是等差数列吗？若是，求出其公差．
[解] (2an＋1＋3bn＋1)－(2an＋3bn)＝2(an＋1－an)＋3(bn＋1－bn)
＝2×9＋3×3＝27，所以数列{2an＋3bn}是等差数列，其公差为27.
等差数列的性质
若数列{an}是公差为d的等差数列，则有下列性质：
(1)在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，则am＋an＝ap＋aq.
(2)若给出等差数列的第m项am和第n项an(n＞m)，则an＝am＋(n－m)d或d＝.
(3){an}是有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和相等，且等于首末两项之和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ai＋an－i＋1＝….
(4)若数列{an}为等差数列，则数列{λan＋b}(λ，b是常数)是公差为λd的等差数列．
(5)若数列{an}为等差数列，则下标成等差数列且公差为m的项ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N＋)组成公差为md的等差数列．
(6)若数列{an}与{bn}均为等差数列，则{Aan＋Bbn}(A，B是常数)也是等差数列．
1．等差数列{an}的公差本质上是相应直线的斜率，所以等差数列的单调性仅与公差d的正负有关．特别地，如果已知等差数列{an}的任意两项an，am，由an＝am＋(n－m)d，类比直线方程的斜率公式，得d＝(m≠n)．
2．在等差数列{an}中，每隔相同数目的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列．
3．在等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可根据a1，d的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)等差数列的图像要么是上升的、要么是下降的．( )
(2)等差数列{an}中，a3＋a4＝a2＋a5.( )
(3)任何两个数都有等差中项．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√
[提示] (1)不正确，当公差d＝0时，其图像的连线平行于x轴；(2)(3)正确．
2．已知在等差数列{an}中，a1＋a2＋…＋a10＝30，则a5＋a6＝
( )
A．3 B．6
C．9 D．36
B [因为数列{an}是等差数列，
所以a1＋a2＋…＋a10＝5(a5＋a6)＝30，
所以a5＋a6＝6.]
3．在等差数列{an}中，若a4和a10的等差中项是3，又a2＝2，则an＝________.
n＋ [因为a4＋a10＝2a7，故a7＝3，又a2＝2，所以d＝，an＝a2＋(n－2)d＝2＋(n－2)＝n＋.]
4．已知三个数成等差数列且是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数．
[解] 依题意，设这三个数为
a－d，a，a＋d(d＞0)，则
(a－d)＋a＋(a＋d)＝3a＝18，①
(a－d)2＋a2＋(a＋d)2＝3a2＋2d2＝116，②
由①②得a＝6，d＝2.
所以所求三个数为4,6,8.
课件41张PPT。第一章 数列§2 等差数列
2.1 等差数列
第2课时 等差数列的性质等间隔的点 公差d 等间隔的点 斜率 d＞0 递增数列 d＜0 递减数列 d＝0 常数列 A a与b 等差数列的性质 等差中项及其应用 等差数列性质的综合应用 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(三)
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．数列{an}的通项公式为an＝2n＋5，则此数列为( )
A．是公差为2的等差数列
B．是公差为5的等差数列
C．是首项为5的等差数列
D．是公差为n的等差数列
A [an＋1－an＝[2(n＋1)＋5]－(2n＋5)＝2，a1＝7，故{an}是公差为2的等差数列，选A.]
2．下列数列不是等差数列的是( )
A．9,7,5,3，…，－2n＋11，…
B．1,2,1,2，…
C．－1,11,23,35，…，12n－13，…
D．a，a，a，a，…
B [由等差数列的定义知选B.]
3．在等差数列{an}中，a2＝－5，a6＝a4＋6，则a1＝( )
A．－9 B．－8
C．－7 D．－4
B [由a6＝a4＋6，得公差d＝3，
所以a1＝a2－d＝－5－3＝－8.]
4．在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7等于( )
A．10 B．18
C．20 D．28
C [设公差为d，则a3＋a8＝a1＋2d＋a1＋7d＝2a1＋9d＝10.
∴3a5＋a7＝3(a1＋4d)＋(a1＋6d)＝4a1＋18d＝20.]
5．已知数列{an}中，a3＝2，a5＝1，若是等差数列，则a11等于( )
A.0 B.
C. D.
A [∵＝，＝，∴＝，＝－×2＝，
∴＝＋(n－1)·，∴＝＋＝＝1，∴a11＝0.]
二、填空题
6．在等差数列{an}中，a3＝0，a7－2a4＝－1，则数列{an}的公差d＝________.
－ [因为a3＝0，a7－2a4＝－1，
即4d－2d＝－1，得d＝－.]
7．若x≠y，数列x，a1，a2，y和x，b1，b2，b3，y各自成等差数列，则＝________.
[∵数列x，a1，a2，y成等差数列，
∴y－x＝3(a2－a1)，∴a2－a1＝(y－x)，
∵x，b1，b2，b3，y成等差数列，
∴y－x＝4(b2－b1)?b2－b1＝(y－x)，
∴＝＝.]
8．已知等差数列{an}的公差d≠0且a3＋a9＝a10－a8，若an＝0.则n＝________.
5 [因为a3＋a9＝a10－a8，
所以a1＋2d＋a1＋8d＝a1＋9d－(a1＋7d)，
解得a1＝－4d，
所以an＝－4d＋(n－1)d＝(n－5)d，
令(n－5)d＝0(d≠0)，可解得n＝5.]
三、解答题
9．若数列{an}的通项公式为an＝10＋lg 2n，求证：数列{an}为等差数列．
[证明] 因为an＝10＋lg 2n＝10＋nlg 2，
所以an＋1－an＝[10＋(n＋1)lg 2]－(10＋nlg 2)＝lg 2.所以数列{an}为等差数列．
10．在通常情况下，从地面到10 km高空，高度每增加1 km，气温就下降某一个固定数值，如果1 km高度的气温是8.5 ℃，5 km高度的气温是－17.5 ℃，求2 km,4 km，8 km高度的气温．
[解] 用{an}表示自下而上各高度气温组成的等差数列，则a1＝8.5，a5＝－17.5，
由a5＝a1＋4d＝8.5＋4d＝－17.5，解得d＝－6.5，
∴an＝15－6.5n.∴a2＝2，a4＝－11，a8＝－37，
即2 km,4 km,8 km高度的气温分别为2 ℃，－11 ℃，－37 ℃.
[能力提升练]
1．数列{an}中，an＋1＝，a1＝2，则a4为( )
A. B.
C. D.
D [法一：a1＝2，a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝.
法二：取倒数得＝＋3，∴－＝3，
∴是以为首项，3为公差的等差数列．
∴＝＋(n－1)·3＝3n－＝，
∴an＝，∴a4＝.]
2．古代中国数学辉煌灿烂，在《张丘建算经》中记载：“今有十等人，大官甲等十人官赐金，以等次差降之．上三人先入，得金四斤持出；下四人后入，得金三斤持出；中央三人未到者，亦依等次更给．问：各得金几何及未到三人复应得金几何？”则该问题中未到三人共得金( )
A.斤 B.斤
C.2斤 D.斤
D [由题意可知等差数列{an}中
，即，
解得d＝－，所以a4＋a5＋a6＝(a1＋a2＋a3)＋9d＝.故选D.]
3．首项为－24的等差数列{an}，从第10项开始为正数，则公差d的取值范围是________．
[设等差数列的公差为d，则通项公式an
＝－24＋(n－1)d，由
解得即公差的取值范围是.]
4．已知数列{an}满足a＝a＋4，且a1＝1，an＞0，则an＝________.
(n∈N＋) [∵a－a＝4，∴{a}是等差数列，且首项a＝1，公差d＝4，∴a＝1＋(n－1)·4＝4n－3.又an＞0，∴an＝(n∈N＋)．]
5．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋2n＋1.
(1)求证：数列{an－2n}为等差数列；
(2)设数列{bn}满足bn＝2log2(an＋1－n)，求{bn}的通项公式．
[解] (1)证明：(an＋1－2n＋1)－(an－2n)＝an＋1－an－2n＝1(与n无关)，故数列{an－2n}为等差数列，且公差d＝1.
(2)由(1)可知，
an－2n＝(a1－2)＋(n－1)d＝n－1，
故an＝2n＋n－1，
所以bn＝2log2(an＋1－n)＝2n.
课时分层作业(四)
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．已知等差数列{an}中，a2＋a4＝6，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝( )
A．30 B．15
C．5 D．10
B [因为数列{an}为等差数列，
所以a2＋a4＝6＝2a3，得a3＝3，
所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝5a3＝15.]
2．等差数列{an}中，a2＋a5＋a8＝9，那么关于x的方程：x2＋(a4＋a6)x＋10＝0( )
A．无实根
B．有两个相等实根
C．有两个不等实根
D．不能确定有无实根
A [由于a4＋a6＝a2＋a8＝2a5，即3a5＝9，
所以a5＝3，方程为x2＋6x＋10＝0，无实数解．]
3．在等差数列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则2a10－a12的值为
( )
A．20 B．22
C．24 D．28
C [由a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝(a4＋a12)＋(a6＋a10)＋a8＝5a8＝120，
解得a8＝24，
且a8＋a12＝2a10,2a10－a12＝a8＝24.]
4．由公差d≠0的等差数列a1，a2，…，an组成一个新的数列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…，下列说法正确的是( )
A．新数列不是等差数列
B．新数列是公差为d的等差数列
C．新数列是公差为2d的等差数列
D．新数列是公差为3d的等差数列
C [∵(an＋1＋an＋3)－(an＋an＋2)＝(an＋1－an)＋(an＋3－an＋2)＝2d，
∴数列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…是公差为2d的等差数列．]
5．设{an}是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是( )
A．1 B．2
C．4 D．6
B [由题意得a1＋a2＋a3＝3a2＝12，故a2＝4，(a2－d)·a2·(a2＋d)＝4(4－d)(4＋d)＝48.因为d＞0，故d＝2，a1＝a2－d＝4－2＝2.]
二、填空题
6．在等差数列{an}中，a9＝8，a12≥23，则公差d的取值范围为________．
[5，＋∞) [由题意得a12＝a9＋3d，即8＋3d≥23，
解得d≥5.]
7．在等差数列{an}中，公差d＝2，a1＋a3＋a5＝27，a2＋a4＋a6＝________.
33 [根据数列{an}为等差数列，得a1＋a3＋a5＝3a3＝27，
所以a3＝9，又d＝2，所以a4＝11.
所以a2＋a4＋a6＝3a4＝3×11＝33.]
8．若数列{an}满足2an＝an＋1＋an－1，且a15＝8，a60＝20，则a75＝________.
24 [因为2an＝an＋1＋an－1，
所以数列{an}是等差数列，
故45d＝a60－a15＝12，即d＝，
a75＝a60＋15d＝20＋15×＝24.]
三、解答题
9．首项为a1，公差为d的正整数的等差数列{an}满足下列两个条件：(1)a3＋a5＋a7＝93；
(2)满足an>100的n的最小值是15，
试求公差d和首项a1的值．
[解] 因为a3＋a5＋a7＝93，
所以3a5＝93，所以a5＝31，
所以an＝a5＋(n－5)d>100，所以n>＋5.
因为n的最小值是15，所以14≤＋5<15，
所以6又d为正整数，所以d＝7，a1＝a5－4d＝3.
10．(1)已知{an}是等差数列，且a1－a4＋a8－a12＋a15＝2，求a3＋a13的值；
(2)已知在等差数列{an}中，若a49＝80，a59＝100，求a79.
[解] (1)∵{an}是等差数列，∴a1＋a15＝a4＋a12＝a3＋a13＝2a8.
又∵a1－a4＋a8－a12＋a15＝2，
∴a8＝2，即a3＋a13＝2a8＝2×2＝4.
(2)∵{an}是等差数列，可设公差为d.
由a59＝a49＋10d，知10d＝100－80，解得d＝2.
又∵a79＝a59＋20d，
∴a79＝100＋20×2＝140.
[能力提升练]
1．数列{an}满足3＋an＝an＋1且a2＋a4＋a6＝9，则log6(a5＋a7＋a9)的值是
( )
A．－2 B．－
C．2 D．
C [∵an＋1－an＝3，∴{an}为等差数列，且d＝3.
a2＋a4＋a6＝9＝3a4，∴a4＝3，
a5＋a7＋a9＝3a7＝3(a4＋3d)＝3(3＋3×3)＝36，
∴log6(a5＋a7＋a9)＝log636＝2.]
2．等差数列的前三项依次是x－1，x＋1,2x＋3，则其通项公式为( )
A．an＝2n－5 B．an＝2n－3
C．an＝2n－1 D．an＝2n＋1
B [∵x－1，x＋1,2x＋3是等差数列的前三项，
∴2(x＋1)＝x－1＋2x＋3，解得x＝0.∴a1＝x－1＝－1，a2＝1，a3＝3，∴d＝2，∴an＝－1＋(n－1)·2＝2n－3.]
3．数列{an}满足递推关系an＝3an－1＋3n－1(n∈N＋，n≥2)，a1＝5，则使得数列为等差数列的实数m的值为________．
－ [a1＝5，a2＝3×5＋32－1＝23，a3＝3×23＋33－1＝95，
依题意得，，成等差数列，
∴2·＝＋，∴m＝－.]
4．在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列．
第1列
第2列
第3列
…
第1行
1
2
3
…
第2行
2
4
6
…
第3行
3
6
9
…
…
…
…
…
…
那么位于表中的第n行第n＋1列的数是________．
n2＋n [观察可知，第n行的数构成以n为首项，n为公差的等差数列，所以第n行第n＋1列的数是n＋[(n＋1)－1]×n＝n2＋n.]
5．已知无穷等差数列{an}，首项a1＝3，公差d＝－5，依次取出项的序号被4除余3的项组成数列{bn}．
(1)求b1和b2；
(2)求数列{bn}的通项公式；
(3)数列{bn}中的第110项是数列{an}中的第几项？
[解] (1)由题意，等差数列{an}的通项公式为an＝3＋(n－1)(－5)＝8－5n，
设数列{bn}的第n项是数列{an}的第m项，则满足m＝4n－1，n∈N＋，
所以b1＝a3＝8－5×3＝－7，b2＝a7＝8－5×7＝－27.
(2)由(1)知bn＋1－bn＝a4(n＋1)－1－a4n－1＝4d＝－20，所以新数列{bn}也为等差数列，
且首项为b1＝－7，公差为d′＝－20，
所以bn＝b1＋(n－1)d′＝－7＋(n－1)×(－20)＝13－20n.
(3)因为m＝4n－1，n∈N＋，所以当n＝110时，
m＝4×110－1＝439，所以数列{bn}中的第110项是数列{an}中的第439项．
