2.2 等差数列的前n项和
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解并掌握等差数列的前n项和公式及其推导过程，体会等差数列的前n项和公式与二次函数的关系．(重点、难点)
2．熟练掌握等差数列的五个基本量a1，d，n，an，Sn之间的联系，能够由其中的任意三个求出其余的两个．(重点)
3．能够应用等差数列的前n项和公式解决有关等差数列的实际问题．(易混点)
1.通过等差数列前n项和公式的推导过程培养逻辑推理素养．
2．通过等差数列的前n项和公式的应用提升数学运算素养.
等差数列的前n项和公式
阅读教材P15～P16“例7”以上部分，完成下列问题：
(1)等差数列的前n项和公式
已知量
首项、末项与项数
首项、公差与项数
求和公式
Sn＝
Sn＝na1＋d
(2)等差数列前n项和公式的推导
对于公差为d的等差数列，
Sn＝a1＋(a1＋d)＋(a1＋2d)＋…＋[a1＋(n－1)d]，①
Sn＝an＋(an－d)＋(an－2d)＋…＋[an－(n－1)d]，②
由①＋②得
2Sn＝(a1＋an)＋(a1＋an)＋…＋(a1＋an)
n个
＝n(a1＋an)，
由此得等差数列前n项和公式
Sn＝，
代入通项公式an＝a1＋(n－1)d得
Sn＝na1＋d.
(3)等差数列的前n项和公式与二次函数的关系
将等差数列前n项和公式Sn＝na1＋d整理成关于n的函数可得Sn＝n2＋n.
思考：(1)等差数列的前n项和一定是n的二次函数吗？
[提示] 不一定，当公差d≠0时，前n项和是n的二次函数，当公差d＝0时，前n项和是n的一次函数，它们的常数项都为0.
(2)求等差数列的前n项和时，如何根据已知条件选择等差数列的前n项和公式？
[提示] 求等差数列的前n项和时，若已知首项、末项和项数，则选用第一个公式；若已知首项、公差和项数，则选用第二个公式．
1．已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d＝－2，则前n项和S10＝( )
A．－20 B．－40
C．－60 D．－80
D [由公式Sn＝na1＋×d得S10＝10×1＋×(－2)＝－80.]
2．Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝________.
[由题知等差数列的首项a1＝1，末项an＝n.由前n项和公式得Sn＝.]
3．已知等差数列{an}中，a1＝2，a17＝8，则S17＝________.
85 [S17＝×17×(2＋8)＝85.]
4．已知等差数列{an}中，a1＝1，S8＝64，则d＝________.
2 [S8＝8×1＋×8×7×d＝64，解得d＝2.]
与Sn有关的基本量的运算
【例1】 在等差数列{an}中，
(1)已知a3＝16，S20＝20.求S10；
(2)已知a1＝，d＝－，Sn＝－15，求n及a12；
(3)已知a1＋a2＋a3＋a4＝40，an－3＋an－2＋an－1＋an＝80，Sn＝210，求项数n.
[解] (1)设等差数列{an}的公差为d，则有，解得所以S10＝10×20＋＝200－90＝110.
(2)因为Sn＝n·＋·＝－15，
整理得n2－7n－60＝0，
解得n＝12或n＝－5(舍去)，
所以a12＝＋(12－1)×＝－4.
(3)因为a1＋a2＋a3＋a4＝40，an－3＋an－2＋an－1＋an＝80，
所以4(a1＋an)＝40＋80，即a1＋an＝30.
又因为Sn＝＝210，
所以n＝＝14.
等差数列中基本量计算的两个技巧
(1)利用基本量求值．等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想．
(2)利用等差数列的性质解题．等差数列的常用性质：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，则am＋an＝ap＋aq，常与求和公式Sn＝结合使用．
1．等差数列中：
(1)a1＝105，an＝994，d＝7，求Sn；
(2)an＝8n＋2，d＝8，求S20；
(3)d＝，n＝37，Sn＝629，求a1及an.
[解] (1)由an＝a1＋(n－1)d且a1＝105，d＝7，
得994＝105＋(n－1)×7，解得n＝128，
∴Sn＝＝＝70 336.
(2)∵an＝8n＋2，∴a1＝10，又d＝8，
∴S20＝20a1＋×8＝20×10＋10×19×8＝1 720.
(3)将d＝，n＝37，Sn＝629代入an＝a1＋(n－1)d，
Sn＝，得解得
等差数列前n项和公
式在实际中的应用
【例2】 某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线．经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时．从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑成第二道防线？
[解] 从第一辆车投入工作算起各车工作时间(单位：小时)依次设为a1，a2，…，a25.由题意可知，此数列为等差数列，且a1＝24，公差d＝－.
25辆翻斗车完成的工作量为：a1＋a2＋…＋a25＝25×24＋25×12×＝500，而需要完成的工作量为24×20＝480.∵500>480，∴在24小时内能构筑成第二道防线．
应用等差数列解决实际问题的一般思路
2．(1)甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动，甲第1分钟走2 m，以后每分钟比前1分钟多走1 m，乙每分钟走5 m，则甲、乙开始运动后________分钟相遇．
(2)为了参加5 000 m长跑比赛，李强给自己制订了10天的训练计划；第1天跑5 000 m，以后每天比前一天多跑400 m，李强10天一共跑了多少m?
(1)7 [设n分钟后相遇，依题意，有2n＋＋5n＝70，
整理得n2＋13n－140＝0.解之得n＝7，n＝－20(舍去)．所以相遇是在开始运动后7分钟．]
(2)[解] 将李强每一天跑的路程记为数列{an}，由题意知，{an}是等差数列，则a1＝5 000 m，公差d＝400 m.
所以S10＝10a1＋d，
＝10×5 000＋45×400＝68 000(m)，
故李强10天一共跑了68 000 m.
等差数列前n项和的性质
【例3】 (1)已知等差数列前3项的和为30，前6项的和为100，则它的前9项的和为( )
A．130 B．170
C．210 D．260
(2)已知数列{an}，{bn}均为等差数列，其前n项和分别为Sn，Tn，且＝，则＝________.
(1)C (2) [(1)利用等差数列的性质：S3，S6－S3，S9－S6成等差数列．
所以S3＋(S9－S6)＝2(S6－S3)，
即30＋(S9－100)＝2(100－30)，
解得S9＝210.
(2)由等差数列的性质，知
＝＝＝＝＝.]
巧妙应用等差数列前n项和的性质
(1)“片段和”性质．
若{an}为等差数列，前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…构成公差为n2d的等差数列．
(2)项数(下标)的“等和”性质．
Sn＝＝.
(3)项的个数的“奇偶”性质．
{an}为等差数列，公差为d.
①若共有2n项，则S2n＝n(an＋an＋1)；
S偶－S奇＝nd；＝.
②若共有2n＋1项，则S2n＋1＝(2n＋1)an＋1；S偶－S奇＝－an＋1；＝.
(4)等差数列{an}中，若Sn＝m，Sm＝n(m≠n)，
则Sm＋n＝－(m＋n)．
(5)等差数列{an}中，若Sn＝Sm(m≠n)，则Sm＋n＝0.
3．(1)在等差数列{an}中，若S4＝1，S8＝4，则a17＋a18＋a19＋a20的值为( )
A．9 B．12
C．16 D．17
(2)等差数列{an}的通项公式是an＝2n＋1，其前n项和为Sn，则数列的前10项和为________．
(1)A (2)75 [(1)由等差数列的性质知S4，S8－S4，S12－S8，…也构成等差数列，不妨设为{bn}，且b1＝S4＝1，b2＝S8－S4＝3，于是求得b3＝5，b4＝7，b5＝9，即a17＋a18＋a19＋a20＝b5＝9.
(2)因为an＝2n＋1，所以a1＝3，
所以Sn＝＝n2＋2n，
所以＝n＋2，
所以是公差为1，首项为3的等差数列，所以数列的前10项和为3×10＋×1＝75.]
等差数列前n项和的最值
[探究问题]
1．(1)等差数列{an}的前n项和Sn＝n2－4n，求Sn的最小值；
(2)等差数列{an}的前n项和Sn＝n2－3n，求Sn的最小值．
[提示] (1)Sn＝n2－4n＝(n－2)2－4，所以当n＝2时，Sn的最小值为－4.
(2)Sn＝n2－3n＝2－，因为n∈N＋，所以当n＝2或n＝1时，Sn的最小值为S2＝S1＝－2.
2．(1)在等差数列{an}中，若a5＞0，a6＜0，则其前多少项的和最大？
(2)在等差数列{an}中，若a5＜0，a6＝0，其前n项和有最大值还是有最小值？并表示出这个最大值或最小值．
[提示] (1)前5项的和S5最大．
(2)因为a5＜0，a6＝0，故其公差d＞0，所以前n项和有最小值，其最小值为S5＝S6.
3．在等差数列{an}中，若d＜0，S10＝0，则其前多少项的和最大？
[提示] S10＝×10×(a1＋a10)＝5(a1＋a10)＝0，故a1＋a10＝a5＋a6＝0，因为d＜0，所以a5＞0，a6＜0，所以S5最大．
【例4】 在等差数列{an}中，a10＝18，前5项的和S5＝－15.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{an}的前n项和的最小值，并指出何时取最小值．
思路探究：(1)直接根据等差数列的通项公式和前n项和公式列关于首项a1和公差d的方程，求得a1和d，进而得解；
(2)可先求出前n项和公式，再利用二次函数求最值的方法求解，也可以利用通项公式，根据等差数列的单调性求解．
[解] (1)由题意得
得a1＝－9，d＝3，∴an＝3n－12.
(2)法一：Sn＝＝(3n2－21n)
＝2－，
∴当n＝3或4时，
前n项的和取得最小值S3＝S4＝－18.
法二：设Sn最小，则即解得3≤n≤4，
又n∈N＋，∴当n＝3或4时，前n项和的最小值S3＝S4＝－18.
1．(变条件)把例4中的条件“S15＝－15”改为“S5＝125”，其余不变，则数列{an}的前n项和有最大值还是有最小值？并求出这个最大值或最小值．
[解] S5＝×5×(a1＋a5)＝×5×2a3＝5a3＝125，故a3＝25，a10－a3＝7d，即d＝－1＜0，故Sn有最大值，
an＝a3＋(n－3)d＝28－n.
设Sn最大，则解得27≤n≤28，即S27和S28最大，又a1＝27，故S27＝S28＝378.
2．(变结论)在例4中，根据第(2)题的结果，若Sn＝0，求n.
[解] 法一：因为S3＝S4＝－18为Sn的最小值，由二次函数的图像可知，其对称轴为x＝，所以当x＝0或x＝7时，图像与x轴的交点为(0,0)，(7,0)，又n∈N＋，所以S7＝0，所以n＝7.
法二：因为S3＝S4，所以a4＝S4－S3＝0，故S7＝×7×(a1＋a7)＝7a4＝0，所以n＝7.
等差数列前n项和的最值问题的三种解法
(1)利用an：当a1＞0，d＜0时，前n项和有最大值，可由an≥0且an＋1≤0，求得n的值；当a1＜0，d＞0，前n项和有最小值，可由an≤0且an＋1≥0，求得n的值．
(2)利用Sn：由Sn＝n2＋n(d≠0)，利用二次函数配方法求取得最值时n的值．
(3)利用二次函数的图像的对称性．
1．等差数列的两个求和公式中，一共涉及a1，an，Sn，n，d五个量，通常已知其中三个量，可求另外两个量．
在求等差数列的和时，一般地，若已知首项a1及末项an，用公式Sn＝较好，若已知首项a1及公差d，用公式Sn＝na1＋d较好．
2．数列{an}的前n项和为Sn，则an＝
3．求等差数列前n项和的最值
(1)二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前n项和的最值，但要注意n∈N＋，结合二次函数图像的对称性来确定n的值，更加直观．
(2)通项法：当a1>0，d<0，时，Sn取得最大值；当a1<0，d>0，时，Sn取得最小值．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)公差为零的等差数列不能应用等差数列前n项和公式求和．( )
(2)数列{n2}可以用等差数列的前n项和公式求其前n项和．( )
(3)若数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋2n＋1，则数列{an}一定不是等差数列．( )
[答案] (1)× (2)× (3)√
[提示] (1)不正确，不管公差是不是零，都可应用公式求和；(2)不正确，因为数列{n2}不是等差数列，故不能用等差数列的前n项和公式求和；(3)正确．
2．在等差数列{an}中，若S10＝120，则a1＋a10的值是( )
A．12 B．24
C．36 D．48
B [S10＝×10×(a1＋a10)＝5(a1＋a10)＝120，故a1＋a10＝24.]
3．在等差数列{an}中，S10＝120，且在这10项中，＝，则公差d＝________.
2 [由得所以S偶－S奇＝5d＝10，所以d＝2.]
4．在等差数列{an}中，
(1)已知a5＋a10＝58，a4＋a9＝50，求S10；
(2)已知S7＝42，Sn＝510，an－3＝45，求n.
[解] (1)由已知条件得
解得
S10＝10a1＋×d＝10×3＋45×4＝210.
(2)S7＝＝7a4＝42，所以a4＝6.
所以Sn＝＝＝＝510，
所以n＝20.
课件50张PPT。第一章 数列§2 等差数列
2.2 等差数列的前n项和与Sn有关的基本量的运算等差数列前n项和公式在实际中的应用等差数列前n项和的性质等差数列前n项和的最值点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(五)
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．记等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝20，S2＝4，则公差d为( )
A．2 B．3
C．6 D．7
B [由得解得]
2．已知数列{an}为等差数列，a10＝10，数列前10项和S10＝70，则公差d＝( )
A．－ B．－
C． D．
D [由S10＝，得70＝5(a1＋10)，解得a1＝4，所以d＝＝＝，故选D.]
3．在等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，则此数列前20项和等于( )
A．160 B．180
C．200 D．220
B [(a1＋a2＋a3)＋(a18＋a19＋a20)＝(－24)＋78＝54，又a1＋a20＝a2＋a19＝a3＋a18，则3(a1＋a20)＝54，所以a1＋a20＝18.则S20＝＝10×18＝180.]
4．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则等于( )
A. B.
C. D.
A [由题意S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等差数列．
∵＝.不妨设S3＝1，S6＝3，则S6－S3＝2，所以S9－S6＝3，故S9＝6，∴S12－S9＝4，故S12＝10，
∴＝.]
5．在等差数列{an}中，a1＝29，S10＝S20，则数列{an}的前n项和Sn的最大值为( )
A．S15 B．S16
C．S15或S16 D．S17
A [∵a1＝29，S10＝S20，
∴10a1＋d＝20a1＋d，解得d＝－2.
∴Sn＝29n＋×(－2)＝－n2＋30n＝－(n－15)2＋225.
∴当n＝15时，Sn取得最大值．]
二、填空题
6．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且6S5－5S3＝5，则a4＝________.
[设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由6S5－5S3＝5，得3(a1＋3d)＝1，所以a4＝.]
7．已知等差数列{an}，Sn是其前n项和，S4＝8，S12＝20，则S8＝________.
[因为S4，S8－S4，S12－S8成等差数列，
所以2(S8－S4)＝S4＋S12－S8，即2(S8－8)＝8＋20－S8，解得S8＝.]
8．某渔业公司年初购进一艘渔船用于捕捞，第一年需要维修费12万元，从第二年起维修费比上一年增加4万元，则前10年维修费总和为________万元．
300 [由题意，从第二年起维修费比上一年增加4万元，即每年的维修费成等差数列．
设从第二年起，每年的维修费构成的等差数列为{an}，
则an＝12＋4(n－1)＝4n＋8，
S10＝10×12＋×10×9×4＝300(万元)．]
三、解答题
9．在等差数列{an}中．
(1)a1＝105，an＝994，d＝7，求Sn；
(2)d＝2，an＝11，Sn＝35，求a1和n.
[解] (1)d＝＝＝＝7，解得n＝128.
∴Sn＝＝＝70 336.
(2)由
得
解方程组得或
10.某仓库有同一型号的圆钢600根，堆放成如图所示的形状，从第二层开始，每一层比下面一层少放一根，而第一层至少要比第二层少一根，要使堆垛的占地面积最小(即最下面一层根数最少)，则最下面一层放几根？共堆了多少层？
[解] 设最下面一层放n根，则最多可堆n层，则1＋2＋3＋…＋n＝≥600，
所以n2＋n－1 200≥0，
记?(n)＝n2＋n－1 200，
因为当n∈N＋时，?(n)单调递增，
而?(35)＝60>0，?(34)＝－10<0，
所以n≥35，因此最下面一层最少放35根．
因为1＋2＋3＋…＋35＝630，
所以最多可堆放630根，必须去掉上面30根，去掉顶上7层，共1＋2＋3＋…＋7＝28根，再去掉顶上第8层的2根，剩下的600根共堆了28层．
[能力提升练]
1．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则等于( )
A．1 B．－1
C．2 D．
A [＝＝＝＝·＝1.]
2．等差数列{an}的前四项之和为124，后四项之和为156，各项和为210，则此数列的项数为( )
A．5 B．6
C．7 D．8
B [由题意知a1＋a2＋a3＋a4＝124，
an＋an－1＋an－2＋an－3＝156，
∴4(a1＋an)＝280，∴a1＋an＝70.
又S＝＝×70＝210，∴n＝6.]
3．一个等差数列前12项的和为354，前12项中偶数的项的和与奇数的项的和之比为32∶27，则公差d＝________.
5 [∵S12＝354，
∴S奇＝354×＝162，S偶＝354×＝192，
∴S偶－S奇＝30＝6d，∴d＝5.]
4．等差数列{an}前9项的和等于前4项的和．若a1＝1，ak＋a4＝0，则k＝________.
10 [法一：S9＝S4，
即＝，
所以9a5＝2(a1＋a4)，
即9(1＋4d)＝2(2＋3d)，
所以d＝－，
由1－(k－1)＋1＋3×＝0，
得k＝10.
法二：S9＝S4，
所以a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝0，
所以a7＝0，从而a4＋a10＝2a7＝0，
所以k＝10.]
5．设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，Tn为数列的前n项和，求Tn.
[解] 设等差数列{an}的公差为d，则Sn＝na1＋n(n－1)d.
由S7＝7，S15＝75，
得即
解得∴＝a1＋(n－1)d＝－2＋(n－1)．
∵－＝－＝，
∴数列是首项为－2，公差为的等差数列．
根据题意得Tn＝－2n＋n(n－1)×＝n2－n.
即Tn＝n2－n.
