§3 等比数列
3.1 等比数列
第1课时 等比数列的概念及其通项公式
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解等比数列的定义．(重点)
2．掌握等比数列的通项公式及其应用．(重点、难点)
3．熟练掌握等比数列的判定方法．(重点)
1.通过等比数列概念的学习培养学生的抽象素养．
2．借助于等比数列通项公式的学习提升学生的数学运算素养.
1．等比数列的定义
阅读教材P21～P22“例1”以上部分，完成下列问题．
文字语言
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一常数，那么这个数列就叫作等比数列．这个常数叫作等比数列的公比，公比常用字母q表示(q≠0)
符号语言
若＝q(n≥2，q≠0)，则数列{an}为等比数列
思考：(1)如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于一个常数，这个数列一定是等比数列吗？
[提示] 不一定，只有比值是同一个常数才是等比数列，如数列：2,2,3,3,4,4，就不是等比数列．
(2)0可以作为等比数列中的一项吗？
[提示] 不可以，由于等比数列每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此公比q也不能为0.
2．等比数列的通项公式
阅读教材P22“例1”以下至P23“例2”以上部分，完成下列问题．
(1)等比数列通项公式
首项为a1，公比是q的等比数列的通项公式是an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)．
(2)用函数的观点看等比数列的通项
等比数列{an}的图像是函数y＝·qx的图像上的一群孤立的点．
思考：(1)等比数列的通项公式一定是指数函数吗？
[提示] 不一定．只有当a1＝1，q＞0且q≠1时，其通项公式才是指数函数．
(2)若数列{an}的通项公式为an＝2n，那么{an}是等比数列吗？
[提示] 因为＝＝2，所以数列{an}是等比数列．
1．下面各数列成等比数列的是( )
①－1，－2，－4，－8，…；②1，－，3，－3，…；③x，x，x，x，…；④，，，，….
A．①②③ B．①②
C．①②④ D．①②③④
C [由等比数列的定义可知，对于③中的x，若x＝0，则不是等比数列．]
2．已知数列{an}为等比数列，若a1＝3，a5＝12，则公比q＝( )
A． B．±
C． D．±
D [由{an}为等比数列得a5＝a1·q4＝12，∴3×q4＝12，∴q＝±.故选D．]
3．已知{an}为等比数列，a1＝12，a2＝24，则a3＝( )
A．36 B．48
C．60 D．72
B [由a1＝12，a2＝24得q＝＝2.
∴a3＝a2q＝24×2＝48.故选B．]
4．等比数列{an}的首项为2，公比为5，则数列{an}的通项公式为________．
an＝2×5n－1(n∈N＋) [数列{an}的通项公式为an＝2×5n－1
(n∈N＋)．]
等比数列的通项公式及应用
【例1】 在等比数列{an}中．
(1)已知a2＝4，a5＝－，求an；
(2)已知a3＋a6＝36，a4＋a7＝18，an＝，求n.
[解] (1)法一：设等比数列的公比为q，则解得
∴an＝a1qn－1＝(－8)×n－1＝n－4.
法二：设等比数列的公比为q，则＝q3，
即q3＝－，q＝－.
∴an＝a5qn－5＝·n－5＝n－4.
(2)法一：设等比数列的公比为q，则
解得从而a1＝＝128.
由a1qn－1＝，即n－1＝8，得n＝9.
法二：设等比数列{an}的公比为q.
∵a4＋a7＝a3q＋a6q＝(a3＋a6)q，∴q＝＝.
∵a4＋a7＝18，∴a4(1＋q3)＝18.
∴a4＝16，an＝a4·qn－4＝16·n－4.
由16·n－4＝，得n－4＝5，∴n＝9.
等比数列通项公式的应用技巧
(1)a1和q是等比数列的基本元素，只要求出这两个基本元素，其余的元素便可求出．
(2)等比数列的通项公式涉及四个量a1，an，n，q，知任意三个就可以求出另一个．
(3)在等比数列的计算问题中，经常使用方程的思想和整体代换的思想．
1．在等比数列{an}中．
(1)已知a3＝2，a5＝8，求a7；
(2)已知a3＋a1＝5，a5－a1＝15，求通项公式an.
[解] (1)因为a3＝2，a5＝8，所以q2＝＝＝4，
所以a7＝a5·q2＝8×4＝32.
(2)由a3＋a1＝5，a5－a1＝15，得
②÷①得q2－1＝3，q2＝4，a1＝1，
所以q＝2或－2，
当q＝2时，an＝2n－1，
当q＝－2时，an＝(－2)n－1.
等比数列的实际应用
【例2】 某人买了一辆价值10万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值．
(1)用一个式子表示第n(n∈N＋)年这辆车的价值；
(2)如果他打算用满3年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？
[解] (1)从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为：a1，a2，a3，…，an，
由题意，得a1＝10，a2＝10×(1－10%)，
a3＝10(1－10%)2，….
由等比数列定义，知数列{an}是等比数列，首项a1＝10，公比q＝1－10%＝0.9，
所以an＝a1·qn－1＝10×0.9n－1.
所以第n年车的价值为an＝10×0.9n－1万元．
(2)当他用满3年时，车的价值为a4＝10×0.94－1
＝7.29(万元)．
所以用满3年卖掉时，他大概能得7.29万元．
1．等比数列应用题的两种常见类型
(1)数学应用问题：解答数学应用题的核心是建立数学模型，如有关平均增长率、利率(复利)以及数值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型．
(2)增长率问题：需要构建的是等比数列模型，利用等比数列的通项公式解决．
2．解决应用题的步骤是：
→→→→→
2．一种专门占据内存的计算机病毒开始时占据内存2 KB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后________分钟，该病毒占据内存64 MB(1 MB＝210 KB)．
45 [由题意可得每3分钟病毒占据的内存容量构成一个等比数列，令病毒占据64 MB时自身复制了n次，即2×2n＝64×210＝216，解得n＝15，从而复制的时间为15×3＝45分钟．]
等比数列的判定与证明
[探究问题]
1．数列{an}的前n项和Sn，an，Sn－1有何关系？
[提示] 当n＝1时，a1＝S1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1.
2．若数列{an}满足an＋2－1＝2(an＋1－1)，能够证明数列{an－1}是等比数列吗？
[提示] 不能，首先an＋2－1＝2(an＋1－1)只能说明a3－1＝2(a2－1)，a4－1＝2(a3－1)，…，即从第3项起，每一项与它前一项的比是同一个常数，所以还要看是不是有a2－1＝2(a1－1)成立；其次，a1－1≠0，a2－1≠0，即a1≠1，a2≠1，{an－1}才可能是等比数列．
【例3】 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且Sn＋2＝
2an＋1.
(1)求a2，a3的值；
(2)求证：数列{an}是等比数列．
思路探究：利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)消去Sn，得到关于an的递推式，证明为常数即可．
[解] (1)因为a1＝1，且Sn＋2＝2an＋1，
所以a2＝，S2＝，a3＝.
(2)证明：当n≥2时，Sn－1＋2＝2an，
所以an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－2an，
所以＝(n≥2)，
又＝，所以＝，
故数列{an}是以1为首项，为公比的等比数列．
1．(变条件)把例3中的条件“a1＝1，且Sn＋2＝2an＋1”换为“Sn＝2n－1”，证明数列{an}是等比数列．
[证明] 因为数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，
所以，当n＝1时，a1＝S1＝21－1＝1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n－1)－(2n－1－1)＝2n－1，综上所述，an＝2n－1.
所以an＋1＝2n，＝＝2(常数)，
所以{an}是首项为1，公比为2的等比数列．
2．(变结论)在例3的条件下，证明数列{Sn＋2}为等比数列．
[证明] 因为an＋1＝Sn＋1－Sn，Sn＋2＝2an＋1，所以Sn＋2＝
2(Sn＋1－Sn)，即Sn＋1＝Sn＋1，
所以＝＝＝，
又S1＋2＝a1＋2＝3，
所以数列{Sn＋2}是首项为3，公比为的等比数列．
判断一个数列{an}是等比数列的方法
(1)定义法：若数列{an}满足＝q(q为常数且不为零)或＝q(n≥2，q为常数且不为零)，则数列{an}是等比数列．
(2)通项公式法：若数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)，则数列{an}是等比数列．
(3)构造法：在条件中出现an＋1＝kan＋b关系时，往往构造数列，方法是把an＋1＋x＝k(an＋x)与an＋1＝kan＋b对照，求出x即可．
[提醒] 应用定义法判断或证明一个数列是等比数列，应特别注意应用＝q与＝q对n的取值要求不同．
1．等比数列定义的理解
(1)由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不能为零，因此q也不可能为零．
(2)均为同一常数，由此体现了公比的意义，同时应注意分子、分母次序不能颠倒．
(3)如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起每一项与它的前一项之比是同一个常数，那么这个数列不是等比数列．
2．由等比数列的概念可知，要判定一个数列是否为等比数列，只需看的值是否为不为零的常数即可．
3．等比数列的通项公式an＝a1qn－1共涉及a1，q，n，an四个量，已知其中三个量可求得第四个量．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)数列a，a2，a3，…，an，…是等比数列．( )
(2)常数列既是等差数列，又是等比数列．( )
(3)若数列{an}是等比数列，则{2an}也是等比数列．( )
[答案] (1)× (2)× (3)√
[提示] (1)不正确，当a＝0时不是等比数列；(2)不正确，常数列0,0,0,0，…是等差数列，但不是等比数列；(3)正确．
2．若等比数列的首项为，末项为，公比为，则这个数列的项数为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
B [因为·n－1＝，所以n－1＝＝3，所以n＝4.]
3．等比数列{an}中，a1＋a2＝1，a2＋a3＝2，则a1＝________.
[由a1＋a2＝1，a2＋a3＝2，得a1(1＋q)＝1，a1q(1＋q)＝2，解得a1＝.]
4．已知等比数列{an}中，a1＝，a7＝27，求an.
[解] 由a7＝a1q6，得27＝·q6，
所以q6＝272＝36，
所以q＝±3.
当q＝3时，an＝a1qn－1＝×3n－1＝3n－4；
当q＝－3时，an＝a1qn－1＝×(－3)n－1＝－(－3)－3·(－3)n－1＝－(－3)n－4.
故an＝3n－4或an＝－(－3)n－4.
课件40张PPT。第一章 数列§3 等比数列
3.1 等比数列
第1课时 等比数列的概念及其通项公式2342 比 同一常数 公比 公比 56孤立的点 78910111213等比数列的通项公式及应用 14151617181920等比数列的实际应用 21222324等比数列的判定与证明 252627282930313233343536373839点击右图进入…Thank you for watching !第2课时 等比数列的性质
学 习 目 标
核 心 素 养
1.结合等差数列的性质，了解等比数列的性质和由来．
2．理解等比数列的性质及应用．(重点)
3．掌握等比数列与等差数列的综合应用．(难点)
1.通过等比数列性质的研究，培养逻辑推理的数学素养．
2．通过学习等比中项的概念．提升数学运算的素养.
1．等比数列的单调性
阅读教材P23思考交流以下P24例3以上部分，完成下列问题．
对于等比数列{an}，通项公式an＝a1·qn－1＝·qn.根据指数函数的单调性，可分析当q＞0时的单调性如下表：
a1
a1＞0
a1＜0
q的范围
0＜q＜1
q＝1
q＞1
0＜q＜1
q＝1
q＞1
{an}的
单调性
递减
数列
常
数列
递增
数列
递增
数列
常数列
递减
数列
思考：(1)若等比数列{an}中，a1＝，q＝，则数列{an}的单调性如何？
[提示] 递减数列．
(2)等比数列{an}中，若公比q＜0，则数列{an}的单调性如何？
[提示] 数列{an}不具有单调性，是摆动数列．
2．等比中项
阅读教材P25练习2以上最后两段部分，完成下列问题．
(1)前提：在a与b中间插入一个数G，使得a，G，b成等比数列．
(2)结论：G叫作a，b的等比中项．
(3)满足关系式：G2＝ab．
思考：(1)任意两个数都有等差中项，任意两个数都有等比中项吗？
[提示] 不是，两个同号的实数必有等比中项，它们互为相反数，两个异号的实数无等比中项．
(2)两个数的等差中项是唯一的，若两个数a，b存在等比中项，唯一吗？
[提示] 不唯一，如2和8的等比中项是4或－4.
1．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则公比q等于( )
A．－ B．－2
C．2 D．
D [由a5＝a2q3，得q3＝＝＝，所以q＝，故选D．]
2．将公比为q的等比数列{an}依次取相邻两项的乘积组成新的数列a1a2，a2a3，a3a4，…，则此数列是( )
A．公比为q的等比数列
B．公比为q2的等比数列
C．公比为q3的等比数列
D．不一定是等比数列
B [由于＝×＝q·q＝q2，n≥2且n∈N＋，所以
{anan＋1}是以q2为公比的等比数列，故选B．]
3．等比数列{an}中，若a1＝2，且{an}是递增数列，则数列{an}的公比q的取值范围是________．
(1，＋∞) [因为a1＝2＞0，要使{an}是递增数列，则需公比q＞1.]
4．4－2与4＋2的等比中项是________．
2或－2 [由题意知4－2与4＋2的等比中项为
±＝±＝±2.]
等比中项及应用
【例1】 (1)设x,2x＋2,3x＋3成等比数列，则x＝_____________.
(2)设a，b，c是实数，若a，b，c成等比数列，且，，成等差数列，则＋的值为________．
(1)－4 (2)2 [(1)由题意得(2x＋2)2＝x(3x＋3)，
x2＋5x＋4＝0，解得x＝－1或x＝－4，
当x＝－1时，2x＋2＝0，不符合题意，舍去，
所以x＝－4.
(2)由a，b，c成等比数列，，，成等差数列，得
即＝2，故(a－c)2＝0，
则a＝c，所以＋＝1＋1＝2.]
应用等比中项解题的两个注意点
(1)要证三数a，G，b成等比数列，只需证明G2＝ab，其中a，b，G均不为零．
(2)已知等比数列中的相邻三项an－1，an，an＋1，则an是an－1与
an＋1的等比中项，即a＝an－1·an＋1，运用等比中项解决问题，会大大减少运算过程．
1．(1)已知1既是a2与b2的等比中项，又是与的等差中项，则的值是( )
A．1或 B．1或－
C．1或 D．1或－
(2)已知等比数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，则an＝________.
(1)D (2)4×n－1 [(1)由题意得，a2b2＝(ab)2＝1，＋＝2，
所以或
因此的值为1或－.
(2)由已知可得(a＋1)2＝(a－1)(a＋4)，
解得a＝5，所以a1＝4，a2＝6，
所以q＝＝＝，
所以an＝4×n－1.]
等比数列的设法与求解
【例2】 已知四个实数，前三个数依次成等比数列，它们的积是－8，后三个数依次成等差数列，它们的积是－80，则这四个数为________．
1，－2,4,10或－，－2，－5，－8 [由题意设此四个数分别为，b，bq，a，则b3＝－8，解得b＝－2，q与a可通过解方程组求出，
即为或
所以此四个数为1，－2,4,10或－，－2，－5，－8.]
灵活设项求解等比数列的技巧
(1)三个数成等比数列设为，a，aq.
(2)四个符号相同的数成等比数列设为，，aq，aq3.
(3)四个数成等比数列，不能确定它们的符号相同时，可设为：a，aq，aq2，aq3.
2．已知三个数成等比数列，其积为1，第2项与第3项之和为－，则这三个数依次为________．
－，1，－ [设这三个数分别为，a，aq，
则解得a＝1，q＝－，
所以这三个数依次为－，1，－.]
等比数列的性质及应用
[探究问题]
1．在等差数列{an}中，an＝am＋(n－m)d，类比等差数列中通项公式的推广，你能得出等比数列通项公式推广的结论吗？
[提示] an＝am·qn－m.
2．在等差数列{an}中，由2a2＝a1＋a3,2a3＝a2＋a4，…我们推广得到若2p＝m＋n，则2ap＝am＋an，若{an}是等比数列，我们能得到什么类似的结论．
[提示] 若2p＝m＋n，则a＝am·an.
3．在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq，类比这个性质，若{an}是等比数列，有哪个结论成立？
[提示] 若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq.
【例3】 (1)在等比数列{an}中，an＞0，若a3·a5＝4，则a1a2a3a4a5a6a7＝________.
(2)设{an}为公比q＞1的等比数列，若a2 018和a2 019是方程4x2－8x＋3＝0的两根，则a2 030＋a2 031＝________.
(3)在等比数列{an}中，已知a4a7＝－512，a3＋a8＝124，且公比q为整数，则an＝________.
思路探究：利用等比数列的性质求解．
(1)128 (2)2·312 (3)－(－2)n－1 [(1)a3a5＝a＝4，又an＞0，所以a4＝2，
a1a2a3a4a5a6a7＝(a1·a7)·(a2·a6)·(a3·a5)·a4
＝a·a·a·a4＝a＝27＝128.
(2)解方程4x2－8x＋3＝0得x1＝，x2＝，因为q＞1，故a2 019＝，a2 018＝，故q＝3，
∴a2 030＋a2 031＝a2 018q12＋a2 019·q12＝(a2 018＋a2 019)q12
＝2·312.
(3)在等比数列{an}中，由a4a7＝－512得a3a8＝－512，
又a3＋a8＝124，解得a3＝－4，a8＝128或a3＝128，a8＝－4，
因为公比q为整数，所以q＝＝－＝－2，
故an＝－4×(－2)n－3＝－(－2)n－1.]
1．(变条件)将例3(3)中等比数列满足的条件改为“a4＋a7＝2，a5a6＝－8”，求a1＋a10.
[解] 因为{an}是等比数列，所以a5a6＝a4a7＝－8，
又a4＋a7＝2，解得a4＝4，a7＝－2或a4＝－2，a7＝4，
当a4＝4，a7＝－2时，q3＝－，a1＋a10＝＋a7q3＝－7，
当a4＝－2，a7＝4时，q3＝－2，a1＋a10＝＋a7q3＝－7.
故a1＋a10＝－7.
2．(变结论)例3(3)题的条件不变，求log4|a2|＋log4|a3|＋log4|a8|＋log4|a9|.
[解] 因为a4a7＝－512，所以a2a9＝a3a8＝－512，
故log4|a2|＋log4|a3|＋log4|a8|＋log4|a9|
＝log4(|a2a9|·|a3a8|)＝log45122＝log229
＝9.
等比数列的常用性质
性质1：通项公式的推广：an＝am·qn－m(m，n∈N＋)．
性质2：若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则ak·al＝am·an.特别的，若k＋φ＝2m(m，k，φ∈N＋)，则ak·aφ＝a.
性质3：若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λbn}，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列．
性质4：在等比数列{an}中，序号成等差数列的项仍成等比数列．
性质5：或?{an}递增；
或?{an}递减；q＝1?{an}为常数列；q＜0?{an}为摆动数列．
1．解题时，应该首先考虑通式通法，而不是花费大量时间找简便方法．
2．所谓通式通法，指应用通项公式，前n项和公式，等差中项，等比中项等列出方程(组)，求出基本量．
3．巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)数列－1，－2，－4，－8，－16是递减数列．( )
(2)等比数列{an}中，a1＞1，q＜0，则数列|a1|，|a2|，|a3|，…，|an|，…是递增数列．( )
(3)若G是a，b的等比中项，则G2＝ab，反之也成立．( )
[答案] (1)√ (2)× (3)×
[提示] (1)正确；(2)不正确，如a1＝2，q＝，则|an|＝2×＝是递减数列；(3)不正确，当G是a，b的等比中项时，G2＝ab成立，但当G2＝ab时，G不一定是a，b的等比中项，如G＝a＝b＝0.
2．在等比数列{an}中，a4＝6，则a2a6的值为( )
A．4 B．8
C．36 D．32
C [因为{an}是等比数列，所以a2a6＝a＝36.]
3．在等比数列{an}中，a888＝3，a891＝81，则公比q＝_____________.
3 [因为a891＝a888q891－888＝a888q3，
所以q3＝＝＝27.
所以q＝3.]
4．在等比数列{an}中，a3a4a5＝8，求a2a3a4a5a6的值．
[解] 在等比数列{an}中，由a3a4a5＝a＝8，得a4＝2，又因为a2a6＝a3a5＝a，
所以a2a3a4a5a6＝a＝25＝32.
课件41张PPT。第一章 数列§3 等比数列
3.1 等比数列
第2课时 等比数列的性质234递减数列 递增数列 递增数列 递减数列 56G ab 78910111213等比中项及应用 141516171819等比数列的设法与求解 20212223等比数列的性质及应用 2425262728293031323334353637383940点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(六)
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．在等比数列{an}中，满足2a4＝a6－a5，则公比是( )
A．1 B．1或－2
C．－1或2 D．－1或－2
C [法一：由已知得2a1·q3＝a1·q5－a1·q4，即2＝q2－q，∴q＝－1或q＝2.
法二：∵a5＝a4·q，a6＝a4·q2，∴由已知条件得2a4＝a4·q2－a4·q，即2＝q2－q，∴q＝－1或q＝2.]
2．下列数列为等比数列的是( )
A．2,22,222，…
B．，，，…
C．S－1，(S－1)2，(S－1)3，…
D．0,0,0…
B [A项中，≠，∴A不是；B是首项为，公比为的等比数列；C项，当S＝1时，数列为0,0,0，…，∴不是；D显然不是．]
3．已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7等于( )
A．64 B．81
C．128 D．243
A [q＝＝2代入a1＋a2＝a1(1＋q)＝3，得a1＝1，∴a7＝a1q6＝26＝64，故选A．]
4．设a1＝2，数列{1＋2an}是公比为2的等比数列，则a6等于( )
A．31.5 B．160
C．79.5 D．159.5
C [1＋2an＝(1＋2a1)·2n－1，
所以1＋2a6＝5·25.
所以a6＝＝79.5.]
5．对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是( )
A．a1，a3，a9成等比数列
B．a2，a3，a6成等比数列
C．a2，a4，a8成等比数列
D．a3，a6，a9成等比数列
D [设等比数列的公比为q，则a3＝a1q2，a6＝a1q5，a9＝a1q8，满足(a1q5)2＝a1q2·a1q8，
即(a6)2＝a3·a9.故D正确．]
二、填空题
6．数列{an}满足：a9＝1，an＋1＝2an(n∈N＋)，则a5＝________.
[由an＋1＝2an(n∈N＋)知数列{an}是公比q＝＝2的等比数列．
∴a5＝a1q4＝＝＝.]
7．等比数列{an}中，a4＝2，a5＝4，若bn＝lg an，则数列{bn}的通项公式为________．
bn＝(n－3)lg 2(n∈N＋) [q＝＝2，故a4＝a1·q3，得a1＝2－2，an＝2n－3，可得bn＝lg 2n－3＝(n－3)lg 2(n∈N＋)．]
8．已知某单位某年十二月份的产值是同年一月份产值的m倍，那么该单位此年的月平均增长率是________．
－1 [设一月份产值为1，此年的月平均增长率为x.
则(1＋x)11＝m，解得x＝－1.]
三、解答题
9．已知等比数列{an}中，a2＝3，a3＋a4＝，求数列{an}的通项公式．
[解] 设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，
则由a2＝3，a3＋a4＝得
解得或所以an＝n－1或an＝－n－1.
10．已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝(an＋1)(n∈N＋)．
(1)求a1，a2；
(2)求证：数列{an}是等比数列．
[解] (1)由S1＝(a1＋1)，得a1＝(a1＋1)，
∴a1＝.
又S2＝(a2＋1)，即a1＋a2＝(a2＋1)，
解得a2＝－.
(2)证明：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝(an＋1)－(an－1＋1)，
解得an＝－an－1，
即＝－，当n＝1时，a1＝，a2＝－，∴＝－，故{an}是以为首项，公比为－的等比数列．
[能力提升练]
1．在等比数列{an}中，a3＋a4＝4，a2＝2，则公比q等于( )
A．－2 B．1或－2
C．1 D．1或2
B [根据题意，代入公式
解得：或]
2．设等比数列{an}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2…an的最大值为( )
A．64 B．32
C．128 D．16
A [设{an}的公比为q，由a1＋a3＝10，
a2＋a4＝5得a1＝8，q＝，
则a2＝4，a3＝2，a4＝1，a5＝，
∴a1a2…an≤a1a2a3a4＝64.]
3．在数列{an}中，对任意n∈N＋，都有an＋1－2an＝0(an≠0)，则等于________．
[由an＋1－2an＝0得＝2.
所以数列{an}是公比为2的等比数列，
所以＝＝＝.]
4．已知数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，S2＝8，S4＝32，数列{bn}为等比数列，且b1＝a1，b2(a2－a1)＝b1，则数列{bn}的通项公式为bn＝________.
23－2n [设公差为d，公比为q，由已知得
所以
又因为b2(a2－a1)＝b1，
所以q＝＝＝＝.
又因为b1＝a1＝2，
所以bn＝2×n－1＝23－2n.]
5．数列{an}，{bn}满足下列条件，a1＝0，a2＝1，an＋2＝，bn＝an＋1－an.
(1)求证：{bn}是等比数列．
(2)求{bn}的通项公式．
[解] (1)证明：∵2an＋2＝an＋an＋1，∴＝＝＝－，∴{bn}是等比数列．
(2)∵b1＝a2－a1＝1，
公比q＝－，
∴bn＝1×n－1＝n－1.
课时分层作业(七)
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．等比数列{an}的公比q＝－，a1＝，则数列{an}是( )
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D．摆动数列
D [由于公比q＝－<0，所以数列{an}是摆动数列．]
2．等比数列{an}中，a2＝4，a7＝，则a3a6＋a4a5的值是( )
A．1 B．2
C． D．
C [a3a6＝a4a5＝a2a7＝4×＝，所以a3a6＋a4a5＝.]
3．在等比数列{an}中，已知a7·a12＝5，则a8·a9·a10·a11等于( )
A．10 B．25
C．50 D．75
B [法一：因为a7·a12＝a8·a11＝a9·a10＝5，
所以a8·a9·a10·a11＝52＝25.
法二：由已知得a1q6·a1q11＝aq17＝5，
所以a8·a9·a10·a11＝a1q7·a1q8·a1q9·a1q10＝a·q34＝(aq17)2＝25.]
4．在等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＝2，a4＋a5＋a6＝4，则a10＋a11＋a12等于( )
A．32 B．16
C．12 D．8
B [＝q3＝＝2，所以a10＋a11＋a12＝(a1＋a2＋a3)q9＝2·(23)＝24＝16.]
5．已知等比数列{an}中，a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且a7＝b7，则b5＋b9＝( )
A．8 B．4
C．16 D．12
A [因为a3a11＝4a7＝a，∴a7＝4(a7＝0不合题意，舍去)，故b7＝a7＝4＝(b5＋b9)，即b5＋b9＝8.]
二、填空题
6．在等比数列{an}中，各项均为正数，且a6a10＋a3a5＝41，a4a8＝5，则a4＋a8＝________.
[因为a6a10＝a，
a3a5＝a，
所以a＋a＝41.
又因为a4a8＝5，
an>0，
所以a4＋a8＝
＝＝.]
7．在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6，则成等比数列，则此未知数是________．
3或27 [设此三数为3，a，b，
则
解得或所以这个未知数为3或27.]
8．设x，y，z是实数，9x,12y,15z成等比数列．且，，成等差数列，则＋的值是________．
[由题意可得所以y＝，所以2＝135xz，化简得15x2＋15z2＝34xz，两边同时除以15xz可得＋＝.]
三、解答题
9．三个互不相等的数成等差数列，如果适当排列这三个数，又可成为等比数列，这三个数和为6，求这三个数．
[解] 由已知，可设这三个数为a－d，a，a＋d，则a－d＋a＋a＋d＝6，所以a＝2，
这三个数可表示为2－d,2,2＋d，
①若2－d为等比中项，则有(2－d)2＝2(2＋d)，
解之得d＝6，或d＝0(舍去)．
此时三个数为－4,2,8.
②若2＋d是等比中项，则有(2＋d)2＝2(2－d)，解之得d＝－6，或d＝0(舍去)．
此时三个数为8,2，－4.
③若2为等比中项，则22＝(2＋d)·(2－d)，
所以d＝0(舍去)．
综上可求得此三数为－4,2,8.
10．已知{an}为等比数列．
(1)若an＞0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5；
(2)若an＞0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．
[解] (1)a2a4＋2a3a5＋a4a6＝a＋2a3a5＋a＝(a3＋a5)2＝25，∵an＞0，
∴a3＋a5＞0，∴a3＋a5＝5.
(2)根据等比数列的性质a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，
∴a1a2…a9a10＝(a5a6)5＝95，∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a9a10)＝log395＝10.
[能力提升练]
1．在数列{an}中，a1＝2，当n为奇数时，an＋1＝an＋2；当n为偶数时，
an＋1＝2an－1，则a12等于( )
A．32 B．34
C．66 D．64
C [依题意，a1，a3，a5，a7，a9，a11构成以2为首项，2为公比的等比数列，故a11＝a1×25＝64，a12＝a11＋2＝66，故选C．]
2．已知方程(x2－mx＋2)(x2－nx＋2)＝0的四个根组成以为首项的等比数列，则等于( )
A． B．或
C． D．以上都不对
B [不妨设是x2－mx＋2＝0的根，则其另一根为4，∴m＝4＋＝，
对方程x2－nx＋2＝0，设其根为x1，x2(x1＜x2)，则x1x2＝2，
∴等比数列为，x1，x2，4，∴q3＝＝8，∴q＝2，
∴x1＝1，x2＝2，
∴n＝x1＋x2＝1＋2＝3，∴＝＝.
若设是x2－nx＋2＝0的根，同理得n＝，m＝3，则＝．]
3．已知等比数列{an}为递增数列，且a＝a10,2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的通项公式an＝________.
2n [∵{an}单调递增，∴q＞0，又a＝a10＞0，
∴an＞0，q＞1，
由条件得2＝5，即2＝5，∴q＝2或q＝(舍)，
由a＝a10得(a1q4)2＝a1q9，∴a1＝q＝2，故an＝2n.]
4．在等比数列{an}中，若a7＋a8＋a9＋a10＝，a8a9＝－，则＋＋＋＝________.
－ [因为＋＝，＋＝，又a8a9＝a7a10，所以＋＋＋＝＝＝－.]
5．等比数列{an}的各项均为正数，且2a1＋3a2＝1，a＝9a2a6.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列(n≥2，n∈N＋)的前n项和．
[解] (1)设等比数列{an}的公比为q，
因为a＝9a2a6＝9a，
所以q2＝＝，因为an>0，
所以q>0，
所以q＝，
因为2a1＋3a2＝2a1＋3a1q＝1，
所以3a1＝1，a1＝，
所以an＝n.
(2)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an
＝log3(a1·a2·…·an)
＝log31＋2＋3＋…＋n＝－.
设数列的前n项和为Sn，
则Sn＝－2
＝－2
＝－2＝－.
