等差、等比数列的判定
【例1】 已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0.
(1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式；
(2)若S5＝，求λ.
[解] (1)由题意得a1＝S1＝1＋λa1，故λ≠1，a1＝，a1≠0.
由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1得an＋1＝λan＋1－λan，即an＋1(λ－1)＝λan.由a1≠0，λ≠0且λ≠1得an≠0，
所以＝.
因此{an}是首项为，公比为的等比数列，于是an＝
n－1.
(2)由(1)得Sn＝1－n.由S5＝得1－5＝，即5＝.
解得λ＝－1.
判定一个数列是等差或等比数列的方法
定义法
an＋1－an＝d(常数)?{an}是等差数列
＝q(非零常数)?{an}是等比数列
中项公
式法
2an＋1＝an＋an＋2(n∈N＋)?{an}是等差数列
a＝anan＋2(an＋1anan＋2≠0)?{an}是等比数列
通项
公式法
an＝pn＋q(p，q为常数)?{an}是等差数列
an＝cqn(c，q均为非零常数)?{an}是等比数列
前n项
和公式
Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)?{an}是等差数列
Sn＝kqn－k(k为常数，且q≠0，k≠0，q≠1)?{an}是等比数列
[提醒] 在解答题中证明一个数列是等比(或等差)数列通常用定义法和中项公式法，通项公式法和前n项和公式法常在小题或分析题意时应用．
1．设Sn为数列{an}的前n项和，对任意的n∈N*，都有Sn＝2－an，数列{bn}满足b1＝2a1，bn＝(n≥2，n∈N*)．
(1)求证：数列{an}是等比数列，并求{an}的通项公式；
(2)判断数列是等差数列还是等比数列，并求数列{bn}的通项公式．
[解] (1)当n＝1时，a1＝S1＝2－a1，解得a1＝1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an－1－an，即＝(n≥2，n∈N*)．
所以数列{an}是首项为1，公比为的等比数列，
故数列{an}的通项公式为an＝n－1.
(2)因为a1＝1，所以b1＝2a1＝2.
因为bn＝，所以＝＋1，
即－＝1(n≥2)．
所以数列是首项为，
公差为1的等差数列．
所以＝＋(n－1)·1＝，故数列{bn}的通项公式为bn＝.
数列通项公式的求法
【例2】 (1)若数列{an}是正项数列，且＋＋…＋＝n2＋3n(n∈N*)，则an＝________.
(2)已知在数列{an}中，an＋1＝an(n∈N＋)，且a1＝4，则数列{an}的通项公式an＝________.
(1)4(n＋1)2 (2) [(1)因为＋＋…＋＝n2＋3n(n∈N*)，①
所以＋＋…＋＝(n－1)2＋3(n－1)(n≥2)，②
①－②，得＝n2＋3n－[(n－1)2＋3(n－1)]＝2(n＋1)，
所以an＝4(n＋1)2(n≥2)．
又＝12＋3×1＝4，故a1＝16，
也满足式子an＝4(n＋1)2，故an＝4(n＋1)2.
(2)由an＋1＝an，得＝，
故＝，＝，…，＝(n≥2)，
以上式子累乘得，＝··…···＝，
因为a1＝4，所以an＝(n≥2)，
因为a1＝4满足上式，所以an＝.]
数列通项公式的求法
(1)定义法，即直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适用于已知数列类型的题目．
(2)已知Sn求an.若已知数列的前n项和Sn与an的关系，求数列{an}的通项an可用公式
an＝求解．
(3)由递推式求数列通项法．
对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列．
(4)待定系数法(构造法)．
求数列通项公式方法灵活多样，特别是对于给定的递推关系求通项公式，观察、分析、推理能力要求较高．通常可对递推式变换，转化成特殊数列(等差或等比数列)来求解，这种方法体现了数学中化未知为已知的化归思想，而运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法．
2．(1)已知数列{an}满足a1＝2，an－an－1＝n(n≥2，n∈N＋)，则an＝________.
(2)已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝a(an＞0，n∈N＋)，则an＝________.
(1)(n2＋n＋2) (2) 22n－1 [(1)由题意可知，a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n(n≥2)，
以上式子累加得，an－a1＝2＋3＋…＋n.
因为a1＝2，
所以an＝2＋(2＋3＋…＋n)
＝2＋
＝(n≥2)．
因为a1＝2满足上式，所以an＝.
(2)因为数列{an}满足a1＝2，an＋1＝a(an＞0，n∈N＋)，
所以log2an＋1＝2log2an，即＝2，又a1＝2，
所以log2a1＝1，故数列{log2an}是首项为1，公比为2的等比数列，所以log2an＝2n－1，即an＝22n－1.]
数列求和的常用方法
【例3】 Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1＝1，S7＝28.记bn＝[lg an]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[lg 99]＝1.
(1)求b1，b11，b101；
(2)求数列{bn}的前1 000项和．
[解] (1)设{an}的公差为d，据已知有7＋21d＝28，解得d＝1.
所以{an}的通项公式为an＝n.
b1＝[lg 1]＝0，b11＝[lg 11]＝1，b101＝[lg 101]＝2.
(2)因为bn＝
所以数列{bn}的前1 000项和为1×90＋2×900＋3×1＝1 893.
数列求和的常用方法
(1)公式法．
(2)分组求和法．
(3)倒序求和法．
(4)错位相减法．
(5)裂项相消法．把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．
(6)并项求和法．一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．
3．设Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S3＝a7，a8－2a3＝3.
(1)求an；
(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
[解] (1)设数列{an}的公差为d，
由题意得
解得a1＝3，d＝2，
∴an＝a1＋(n－1)d＝2n＋1.
(2)由(1)得Sn＝na1＋d＝n(n＋2)，
∴bn＝＝.
∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn－1＋bn
＝＋＋…＋＋
＝
＝－.
用函数思想解决数列问题
[探究问题]
1．若函数f(x)＝x2＋λx在[1，＋∞)上单调递增，则λ的取值范围是什么？
[解] 由于f(x)＝x2＋λx是图像开口向上的二次函数，要使其在[1，＋∞)上单调递增，则需－λ≤1.
即λ≥－2，故λ的取值范围是[－2，＋∞)．
2．当x为何值时，函数f(x)＝2＋有最小值？
[解] 当x＝时，f(x)的最小值为f＝.
3．数列与其对应的函数有什么区别？
[解] 与数列对应的函数是一种定义域为正整数集(或它的前几个组成的有限子集)的函数，它是一种自变量“等距离”地离散取值的函数．
【例4】 (1)若数列{an}的通项公式为an＝n2＋λn，且{an}是递增数列，则实数λ的取值范围是________．
(2)设数列{an}，{bn}满足a1＝b1＝6，a2＝b2＝4，a3＝b3＝3，若{an＋1－an}是等差数列，{bn＋1－bn}是等比数列．
①分别求出数列{an}，{bn}的通项公式；
②求数列{an}中最小项及最小项的值．
思路探究：(1)利用an＋1＞an求解，或利用函数y＝x2＋λx的图像求解；
(2)根据等差、等比数列的通项公式求{an}，{bn}的通项公式，然后利用函数的思想求{an}的最小项及最小项的值．
(1)(－3，＋∞) [法一：an＋1－an＝(n＋1)2＋λ(n＋1)－(n2＋λn)＝2n＋1＋λ，由于{an}是递增数列，故2n＋1＋λ＞0恒成立，
即λ＞－2n－1，又n∈N＋，－2n－1≤－3，故λ＞－3.
法二：由于函数y＝x2＋λx在上单调递增，结合其图像可知，若数列{an}是递增数列，则a2＞a1，即22＋2λ＞1＋λ，即λ＞－3.]
(2)[解] ①a2－a1＝－2，a3－a2＝－1，
由{an＋1－an}成等差数列知其公差为1，
故an＋1－an＝－2＋(n－1)·1＝n－3；
b2－b1＝－2，b3－b2＝－1，
由{bn＋1－bn}成等比数列知，其公比为，
故bn＋1－bn＝－2·n－1，
an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋(an－2－an－3)＋…＋(a2－a1)＋a1
＝(n－1)·(－2)＋·1＋6
＝－2n＋8
＝，
bn＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋(bn－2－bn－3)＋…＋(b2－b1)＋b1
＝＋6
＝2＋23－n.
②因为an＝＝2＋，
所以n＝3或n＝4时，an取到最小值，a3＝a4＝3.
1．(变条件)把例4(2)中的数列{an}换为an＝，求其最小项和最大项．
[解] an＝＝1＋，
当n＜9时，an＝1＋递减且小于1；
当n≥9时，an＝1＋递减且大于1，
所以a8最小，a9最大，且a8＝，a9＝.
2．(变结论)例4(2)的条件不变，求数列{bn}中最大项及最大项的值．
[解]由例4(2)的解析可知bn＝2＋23－n，易知数列{bn}是递减数列，所以当n＝1时，an取到最大值，a1＝2＋23－1＝6.
函数思想在数列问题中的应用
数列可以看作是定义域为正整数集(或其有限子集{1,2,3，…，n})的特殊函数．运用函数思想去研究数列，就是要借助于函数的单调性、图像和最值等知识解决与数列相关的问题．等差数列与一次函数、等比数列与指数函数有着密切的关系，等差数列有n项和公式与二次函数有密切关系，故可用函数的思想来解决数列问题．
课件35张PPT。第一章 数列章末复习课等差、等比数列的判定 数列通项公式的求法 数列求和的常用方法 用函数思想解决数列问题 Thank you for watching !章末综合测评(一)
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知数列1，，，，…，，…则3是它的( )
A．第22项 B．第23项
C．第24项 D．第28项
B [令＝3，解得n＝23.]
2．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝3，且a2017＋a2018＝0，则S101＝( )
A．3 B．－3
C．303 D．－303
B [设等比数列{an}的公比为q，则q＝＝－1，又a2＝3，所以a1＝－3，S101＝＝－3.]
3．已知等差数列{an}中首项a1＝2，公差d＝1，则a5＝( )
A．5 B．6
C．7 D．8
B [因为等差数列{an}中首项a1＝2，公差d＝1，所以a5＝2＋4×1＝6.]
4．在等差数列{an}中，a1＝1，d＝3，an＝298，则n的值为( )
A．96 B．99
C．100 D．101
C [由已知得an＝a1＋(n－1)d＝1＋3(n－1)＝3n－2，
令3n－2＝298，得n＝100.]
5．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，下列选项中不可能是{Sn}的图像的是( )
D [因为Sn是等差数列{an}的前n项和，所以设Sn＝an2＋bn(a，b为常数，n∈N＋)，则其对应函数y＝ax2＋bx的图像是过原点的一条曲线．当a＝0时，该曲线是过原点的直线，如选项C；当a≠0时，该曲线是过原点的抛物线，如选项A，B；选项D中的曲线不过原点，不符合题意．选D．]
6．数列{an}中，an＝(n∈N＋)是递增数列，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，2) B．(－∞，－2)
C．(－2，＋∞) D．(2，＋∞)
C [由已知an＋1－an＝－＝＞0，所以2＋a＞0，解得a＞－2.]
7．已知等比数列{an}的各项均为正数，且a＝9a2a6，则数列{an}的公比q为( )
A．± B．
C．－ D．±
B [由a＝9a2a6，得a＝9a，所以q2＝，由条件可知q＞0，故q＝，选B．]
8．已知等差数列{an}的前10项和为30，前30项和为210，则前20项和为
( )
A．100 B．120
C．390 D．540
A [因为等差数列{an}的前10项和为30，前30项和为210，由等差数列前n项和的性质得S10，S20－S10，S30－S20成等差数列，所以2(S20－30)＝30＋(210－S20)，
解得S20＝100.故选A．]
9．若两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且＝(n∈N*)，则等于( )
A．2 B．
C． D．
C [因为＝(n∈N*)，
所以＝＝＝＝＝＝.故选C．]
10．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a10＋a11＝10，则＝( )
A．1 B．2
C．－1 D．－2
D [在等差数列{an}中，S20＝＝10(a1＋a20)＝10(a10＋a11)＝100，
所以＝＝－＝－2.故选D．]
11．设数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列，{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，则ab1＋ab2＋…＋ab10等于( )
A．1 033 B．1 034
C．2 057 D．2 058
A [由已知可得an＝n＋1，bn＝2n－1，
于是abn＝bn＋1，
因此ab1＋ab2＋…＋ab10＝(b1＋1)＋(b2＋1)＋…＋(b10＋1)＝b1＋b2＋…＋b10＋10＝20＋21＋…＋29＋10＝＋10＝1 033.]
12．设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝( )
A．n B．－n
C．－ D．
C [因为an＋1＝Sn＋1－Sn，
an＋1＝SnSn＋1，
所以Sn＋1－Sn＝SnSn＋1.
因为Sn≠0，所以－＝1，即－＝－1.
又＝－1，所以是首项为－1，公差为－1的等差数列．所以＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，
所以Sn＝－.]
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)
13．在等差数列{an}中，a4＋a17＝2，则a8＋a13＝________.
2 [a8＋a13＝a4＋a17＝2.]
14．若数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝2an(n∈N＋)，则a5＝________；前8项的和S8＝________(用数字作答)．
16 255 [由a1＝1，an＋1＝2an(n∈N＋)知{an}是以1为首项，以2为公比的等比数列，由通项公式及前n项和公式知a5＝a1q4＝16，S8＝＝＝255.]
15．数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，则a6＝________.
768 [由an＋1＝3Sn，得Sn＋1－Sn＝3Sn，即Sn＋1＝4Sn，
所以数列{Sn}是首项为1，公比为4的等比数列，
所以Sn＝4n－1，
所以a6＝S6－S5＝45－44＝3×44＝768.]
16．已知等差数列{an}中，a3＝7，a6＝16，将此等差数列的各项排成如图所示的三角形数阵：
a1
a2 a3
a4 a5 a6
a7 a8 a9 a10
… … … … …
则此数阵中第20行从左到右的第10个数是________．
598 [第1行有1项，第2行有2项，第3行有3项，故前19行共有19×1＋×1＝190(项)，第20行第10项为数列{an}中的第200项．又a3＝7，a6＝16，∴d＝＝＝3，∴an＝a3＋(n－3)·d＝7＋3(n－3)＝3n－2，∴a200＝3×200－2＝598.]
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知等差数列{an}中，a3a7＝－16，a4＋a6＝0，求{an}的前n项和Sn.
[解] 设{an}的公差为d，则
即
解得或
因此Sn＝－8n＋×2＝n2－9n，或Sn＝8n＋×(－2)＝－n2＋9n.
18．(本小题满分12分)已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{2an}的前n项和Sn.
[解] (1)由题设，知公差d≠0，
由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列得
＝，
解得d＝1，或d＝0(舍去)．
故{an}的通项an＝1＋(n－1)×1＝n.
(2)由(1)知2an＝2n，由等比数列前n项和公式，得
Sn＝2＋22＋23＋…＋2n＝＝2n＋1－2.
19．(本小题满分12分)已知数列{an}是等差数列，且a1，a2(a1＜a2)分别为方程x2－6x＋5＝0的两个实根．
(1)求数列{an}的前n项和Sn；
(2)在(1)中，设bn＝，求证：当c＝－时，数列{bn}是等差数列．
[解] (1)∵a1，a2(a1＜a2)分别为方程x2－6x＋5＝0的两个实根，
∴a1＝1，a2＝5，∴等差数列{an}的公差为4，
∴Sn＝n·1＋·4＝2n2－n.
(2)当c＝－时，bn＝＝＝2n，
∴bn＋1－bn＝2(n＋1)－2n＝2，b1＝2.
∴数列{bn}是以2为首项，2为公差的等差数列．
20．(本小题满分12分)已知{an}是等比数列，{bn}是等差数列，且a1＝b1＝1，a1＋a2＝b4，b1＋b2＝a2.
(1)求{an}与{bn}的通项公式．
(2)记数列{an＋bn}的前n项和为Tn，求Tn.
[解] (1)设等比数列{an}的公比为q，等差数列{bn}的公差为d，
由a1＝b1＝1得，an＝1×qn－1，bn＝1＋(n－1)d，
由a1＋a2＝b4，b1＋b2＝a2得，
解得d＝1，q＝3，
所以an＝3n－1，bn＝n.
(2)由(1)得，an＋bn＝n＋3n－1，
所以Tn＝(1＋30)＋(2＋31)＋…＋(n＋3n－1)
＝(1＋2＋…＋n)＋(30＋31＋…＋3n－1)
＝＋＝(3n＋n2＋n－1)．
21．(本小题满分12分)已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝2an－1，数列{bn}是等差数列，且b1＝a1，b4＝a3.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)若cn＝－，求数列{cn}的前n项和Tn.
[解] (1)∵Sn＝2an－1，∴Sn＋1＝2an＋1－1，两式相减，得Sn＋1－Sn＝2an＋1－2an，
∴an＋1＝2an.又当n＝1时，S1＝a1＝2a1－1，∴a1＝1.∴数列{an}是以1为首项，2为公比的等比数列，∴an＝2n－1，∴b1＝a1＝1，b4＝a3＝4.∵数列{bn}为等差数列，∴bn＝n.
(2)∵an＝2n－1，bn＝n，∴cn＝－＝2·n－1－＝2·n－1－，
∴Tn＝－＝
4－－.
22．(本小题满分12分)某企业的资金每一年都比上一年分红后的资金增加一倍，并且每年年底固定给股东们分红500万元．该企业2012年年底分红后的资金为1 000万元．
(1)求该企业2016年年底分红后的资金；
(2)求该企业从哪一年开始年底分红后的资金超过32 500万元．
[解] 设an为(2012＋n)年年底分红后的资金，其中n∈N＋，则a1＝2×1 000－500＝1 500，
a2＝2×1 500－500＝2 500，…，an＝2an－1－500(n≥2)．
所以an－500＝2(an－1－500)(n≥2)，
即数列{an－500}是首项为a1－500＝1 000，公比为2的等比数列．
所以an－500＝1 000×2n－1，
所以an＝1 000×2n－1＋500.
(1)a4＝1 000×24－1＋500＝8 500，
所以该企业2016年年底分红后的资金为8 500万元．
(2)由an＞32 500，即2n－1＞32，得n＞6，
所以该企业从2019年开始年底分红后的资金超过32 500万元．
