§1 正弦定理与余弦定理
1.1 正弦定理
学 习 目 标
核 心 素 养
1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法．(重点)
2．能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的三角形问题．(重点、难点)
1.通过正弦定理的推导提升逻辑推理的素养．
2．通过利用正弦定理解三角形，培养数学运算的素养.
1．正弦定理
阅读教材P45～P46例1以上部分，完成下列问题．
语言表述
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等
符号表示
＝＝
比值的
含义
＝＝＝2R
(其中R为△ABC的外接圆半径)
变形
(1)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C
(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝
(3)a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C
作用
揭示了三角形边、角之间的数量关系
正弦定理的推导：
当△ABC是锐角三角形时，设边AB的高是CD．根据三角函数的定义，
CD＝asinB，
CD＝bsinA，
所以asinB＝bsinA，
得到＝.
同理，在△ABC中＝.
从以上的讨论和探究可得
＝＝.
思考：(1)在△ABC中，若已知角A和角B，边b，能求△ABC的其它的角和边吗？
[提示] 能求，由C＝π－(A＋B)可求角C，由a＝，c＝，可求边a和c．
(2)在△ABC中，若已知a＞b，能否利用正弦定理得到sin A＞sin B?
[提示] 能得到，由a＞b，且a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，可得2Rsin A＞2Rsin B，即sin A＞sin B．
2．三角形面积公式
阅读教材P47～P48问题3，完成下列问题．
三角形ABC的面积：S＝absin C＝acsin B＝bcsin A．
思考：(1)在△ABC中，若已知边a，b和角B，能否确定△ABC的面积？
[提示] 不能，因为由条件不能得到角C，故不能求其面积．
(2)若已知△ABC的边a，c和角B，选择哪个公式求△ABC的面积？
[提示] S＝acsin B．
1．在△ABC中，若角A，B，C的对边分别是a，b，c，则下列各式一定成立的是( )
A．＝ B．＝
C．asinB＝bcosA D．acosB＝bsinA
B [在△ABC中，由正弦定理＝，得＝.]
2．在△ABC中，若＝，则B的值为________．
45° [根据正弦定理知＝，结合已知条件可得sin B＝cos B，又0°
3．在△ABC中，若a＝2，b＝3，B＝60°，则sin A＝________.
[由正弦定理得sin A＝＝＝.]
利用正弦定理解三角形
【例1】 在△ABC中，
(1)若A＝45°，B＝30°，a＝2，求b，c与C；
(2)若B＝30°，b＝5，c＝5，求A、C与a．
[解] (1)由三角形内角和定理，得：
C＝180°－(A＋B)＝180°－(45°＋30°)＝105°.
由正弦定理＝＝，得b＝＝＝＝，
sin 105°＝sin(60°＋45°)＝，
c＝＝＝＝＋1.
(2)∵b＝5，c＝5，B＝30°，∴c·sin B∴△ABC有两解，
由正弦定理得：sin C＝＝，∴C＝60°或120°.
当C＝60°时，A＝90°，易得a＝10；
当C＝120°时，A＝30°，此时a＝b＝5.
1．正弦定理的应用范围
(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角；
(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角．
2．已知△ABC的两边a，b和角A，判断三角形解的个数，有以下三种方法
法一：作图判断．
作出已知角A，边长b，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，与射线AB的公共点(除去顶点A)的个数即为三角形解的个数．
法二：根据三角函数的性质来判断．
由正弦定理，得sin B＝，当＞1时，无解；当＝1时，有一解；当＜1时，如果a≥b，即A≥B，则B一定为锐角，有一解；如果a＜b，即A＜B，有两解．
法三：应用三角形中“大边对大角”的性质及正弦函数的值域判断解的个数．
1．(1)在△ABC中，A＝，BC＝3，AB＝，则角C等于( )
A．或 B．
C． D．
(2)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝，sin B＝，a＝1，则b＝________.
(1)C (2) [(1)由正弦定理，得sin C＝＝.
因为BC>AB，所以A>C，则0(2)因为A为△ABC的内角，且cos A＝，所以sin A＝，又a＝1，sin B＝，由正弦定理得b＝＝＝×＝.]
判断三角形的形状
【例2】 在△ABC中，已知acos B＝bcos A，试判断△ABC的形状．
[解] 由正弦定理，
得sin A cos B＝sin Bcos A，
即sin A cos B－cos A sin B＝0，sin(A－B)＝0，
因为A，B为△ABC的内角，
故A－B＝0，A＝B，
即△ABC为等腰三角形．
判断三角形形状的方法
(1)判断三角形的形状，可以从考察三边的关系入手，也可以从三个内角的关系入手，从条件出发，利用正弦定理进行代换、转化，呈现出边与边的关系或角与角的关系，从而进行判断．
(2)判断三角形的形状，主要看其是否为正三角形、等腰三角形、直角三角形、纯角三角形、锐角三角形等，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰或直角三角形”的区别．
2．在△ABC中，已知a2tan B＝b2tan A，试判断三角形的形状．
[解] 由已知得＝，
由正弦定理a＝2Rsin A，b＝2Rsin B(R为△ABC的外接圆半径)，得
＝，sin Acos A＝sin Bcos B，∴sin 2A＝sin 2B．
∴2A＋2B＝π或2A＝2B．∴A＋B＝或A－B＝0.
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.
三角形的面积
[探究问题]
1．已知△ABC中的边a和b，角B，能否确定△ABC的面积？
[提示] 不一定，因为△ABC可能有一解或两解，也可能无解．
2．已知△ABC的边a和b，角C，能否确定△ABC的面积．
[提示] 能，可由公式S△ABC＝absin C求得．
3．已知在△ABC中，cos∠BAC＝，AB＝2，AC＝3，求△ABC的面积．
[提示] 由cos∠BAC＝得sin∠BAC＝，则△ABC的面积为S＝×AB×AC×sin∠BAC＝×2×3×＝1.
【例3】 在△ABC中，若a＝2，C＝，cos＝，求△ABC的面积S.
思路探究：cos＝?sin B?sin A?求边c?△ABC的面积．
[解] ∵cos＝，
∴cos B＝2cos2－1＝.
∴B∈，∴sin B＝.
∵C＝，
∴sin A＝sin(B＋C)
＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝.
∵＝，
∴c＝＝×＝.
∴S＝acsin B＝×2××＝.
1．(变条件)在例3中，把条件换为“已知b＝1，B＝30°，c＝”，求△ABC的面积．
[解] 由正弦定理＝得sin C＝＝，
故C＝60°或120°，
当C＝60°时，A＝180°－30°－60°＝90°，所以S△ABC＝bcsin A＝×1××1＝；
当C＝120°时，A＝180°－30°－120°＝30°，所以S△ABC＝bcsin A＝×1××＝.
综上所述△ABC的面积为或.
2．(变结论)在例3中，若已知D是△ABC的边AC上一点，且CD＝，求△ABD的面积．
[解] 法一：由例3的解答可知sin B＝，sin A＝，c＝，
由正弦定理b＝＝＝，
又CD＝，所以AD＝－＝，
所以S△ABD＝×AB×AD×sin A＝×××＝.
法二：由例3的解答可知S△ABC＝，
又S△BCD＝×CB×CD×sin C＝×2××＝1，
所以S△ABD＝S△ABC－S△BCD＝－1＝.
1．求三角形的面积是在已知两边及其夹角的情况下求得的，所以在解题中要有目的的为具备两边及其夹角的条件作准备．
2．三角形面积计算公式．
(1)S＝a·ha＝b·hb＝c·hc(ha、hb、hc分别表示a，b，c边上的高)．
(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A＝.
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．
1．利用正弦定理可以解决两类有关三角形的问题：
(1)已知两角和任一边，求另外两边和一角；
(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角．
2．利用正弦定理可以实现三角形中边角关系的相互转化：
一方面可以化边为角，转化为三角函数问题来解决；另一方面，也可以化角为边，转化为代数问题来解决．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在△ABC中，若a＝2bcos C，则这个三角形一定是等腰直角三角形．( )
(2)在△ABC中，若sin A＝，则A＝.( )
(3)在△ABC中，a≥bsin A一定成立．( )
[答案] (1)× (2)× (3)√
[提示] (1)错误，由正弦定理，a＝2bcos C可化为sin A＝2sin Bcos C，
所以sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bcos C，
所以sin(B－C)＝0，
得B＝C，故△ABC是等腰三角形．
(2)错误，由sin A＝得A＝或.
(3)正确．
2．在△ABC中，A＝60°，B＝45°，b＝2，则a等于( )
A． B．
C． D．3
C [由正弦定理得a＝＝＝.]
3．在△ABC中，A＝60°，b＝2，c＝3，则△ABC的面积等于________．
[S△ABC＝bcsin A＝×2×3×＝.]
4．在△ABC中，已知sin2A＋sin2B＝sin2C．
求证：△ABC为直角三角形．
[证明] 由正弦定理得＝＝.
设＝k，
sin2 A＝，sin2 B＝，sin2C＝.
∵sin2 A＋sin2 B＝sin2 C，∴＋＝，即a2＋b2＝c2.
∴△ABC为直角三角形．
课件42张PPT。第二章 解三角形§1 正弦定理与余弦定理
1.1 正弦定理它所对角的正弦 外接圆半径 利用正弦定理解三角形 判断三角形的形状 三角形的面积 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十一)
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．在△ABC中，若a＝2bsin A，则B＝( )
A． B．
C．或 D．或
C [由正弦定理，得sin A＝2sin Bsin A，所以sin A(2sin B－)＝0.因为02．已知△ABC的三个内角之比为A∶B∶C＝3∶2∶1，那么，对应的三边之比a∶b∶c等于( )
A．3∶2∶1 B．∶2∶1
C．∶∶1 D．2∶∶1
D [因为A∶B∶C＝3∶2∶1，A＋B＋C＝180°，所以A＝90°，B＝60°，C＝30°，
所以a∶b∶c＝sin 90°∶sin 60°∶sin 30°＝1∶∶＝2∶∶1.]
3．符合下列条件的△ABC有且只有一个的是( )
A．a＝1，b＝，A＝30°
B．a＝1，b＝2，c＝3
C．b＝c＝1，B＝45°
D．a＝1，b＝2，A＝100°
C [对于A，由正弦定理得＝，所以sin B＝.又a4．已知△ABC中，·＜0，S△ABC＝，||＝3，||＝5，则∠BAC＝( )
A．30° B．120°
C．150° D．30°或150°
C [由S△ABC＝，得×3×5sin ∠BAC＝，
∴sin∠BAC＝，
又由·<0，得∠BAC>90°，∴∠BAC＝150°.]
5．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且acos B＋acos C＝b＋c，则△ABC的形状是( )
A．等边三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．直角三角形
D [∵acos B＋acos C＝b＋c，故由正弦定理得，
sin Acos B＋sin Acos C＝sin B＋sin C＝sin(A＋C)＋sin(A＋B)，
化简得：cos A(sin B＋sin C)＝0，又sin B＋sin C＞0，
∴cos A＝0，即A＝，∴△ABC为直角三角形．]
二、填空题
6．在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a＝4bsin A，则cos B＝________.
[由a＝4bsin A得＝4b，故sin B＝，又△ABC是锐角三角形，故cos B＝.]
7．在△ABC中，B＝45°，C＝60°，c＝1，则最短边的边长等于________．
[由三角形内角和定理知：A＝75°，由边角关系知B所对的边b为最小边，由正弦定理＝得b＝＝＝.]
8．若△ABC的面积为，BC＝2，C＝60°，则边AB的长度等于________．
2 [由于S△ABC＝，BC＝2，C＝60°，
∴＝×2·AC·，
∴AC＝2，∴△ABC为正三角形，∴AB＝2.]
三、解答题
9．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，C．若a＝，sin B＝，C＝，求b.
[解] 在△ABC中，∵sin B＝，0＜B＜π，
∴B＝或B＝.
又∵B＋C＜π，C＝，∴B＝，∴A＝.
∵＝，∴b＝＝1.
10．在△ABC中，已知a＝10，B＝75°，C＝60°，试求c及△ABC的外接圆半径R.
[解] ∵A＋B＋C＝180°，∴A＝180°－75°－60°＝45°.由正弦定理，得＝＝2R，∴c＝＝＝5，∴2R＝＝＝10，∴R＝5.
[能力提升练]
1．在△ABC中，AB＝，A＝45°，C＝75°，则BC＝( )
A．3－ B．
C．2 D．3＋
A [∵AB＝，A＝45°，C＝75°，由正弦定理得：＝?
＝＝，∴BC＝3－.]
2．在△ABC中，若A＝60°，a＝2，则等于( )
A．1 B．2
C．4 D．4
C [＝＝＝＝4，
所以a＝4 sin A，b＝4sin B，c＝4 sin C，
所以
＝＝4.故选C．]
3．已知△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°，若三角形有两解，则x的取值范围是________．
(2,2) [要使三角形有两解，则asin B即
所以24．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A＝2B，C为钝角，则的取值范围是________．
(2,3) [由题意知90°C＝180°－(A＋B)＝180°－3B，
由正弦定理＝，
得＝＝
＝
＝
＝
＝2cos2B＋cos 2B
＝4cos2B－1，
因为所以2<4cos2B－1<3，
即2<<3.]
5．在△ABC中，sin(C－A)＝1，sin B＝.
(1)求sin A的值；
(2)设AC＝，求△ABC的面积．
[解] (1)由C－A＝和A＋B＋C＝π，得2A＝－B,0＜A＜.
故cos 2A＝sin B，即1－2sin2A＝，sin A＝.
(2)由(1)得cos A＝.
又由正弦定理，得＝，BC＝AC
＝3，又C＝＋A，∴sin C＝cos A＝.
所以S△ABC＝AC·BC·sin C＝AC·BC·cos A＝3.
