§2 三角形中的几何计算
学 习 目 标
核 心 素 养
1.进一步理解正、余弦定理中所蕴含的边角之间的关系．(易混点)
2．掌握通过正、余弦定理进行边角转化的方法，以及解决有关三角形中的几何度量问题．(重点)
3．深刻体会数形结合思想、方程思想以及转化与化归思想在三角形度量问题中的应用．(难点)
4．了解正弦定理与余弦定理在三角形中的重要作用，培养学生灵活运用知识的能力.
1.通过三角形中的几何计算培养数学运算素养．
2．通过三角形中的几何计算培养逻辑推理素养.
三角形中的几何计算
阅读教材P54～P55“练习”以上部分完成下列问题．
(1)三角形中的几何计算主要涉及长度、角度、面积问题．
(2)在△ABC中，有以下常用结论：
①a＋b＞c，b＋c＞a，c＋a＞b；
②a＞b?A＞B?sin_A＞sin_B；
③A＋B＋C＝π，＝－；
④sin(A＋B)＝sin_C，cos(A＋B)＝－cos_C，sin＝cos，cos＝sin.
思考：(1)若角A是三角形ABC中最大的角，则角A的范围是什么？
[提示] ≤A＜π.
(2)在△ABC中，若A＝，则角B的取值范围是什么？
[提示] 0＜B＜.
1．在△ABC中，a＝2，A＝30°，则△ABC外接圆的半径为( )
A．4 B．2
C．2 D．
B [由正弦定理得2R＝＝＝4，故R＝2.]
2．在△ABC中，若a＝7，b＝3，c＝8，则△ABC的面积等于( )
A．12 B．
C．28 D．6
D [由余弦定理可得cos A＝，A＝60°，所以S△ABC＝bcsin A＝6.]
3．已知△ABC的面积为，且b＝2，c＝，则( )
A．A＝30° B．A＝60°
C．A＝30°或150° D．A＝60°或120°
D [由S△ABC＝bcsin A＝，
得sin A＝，sin A＝，
由0°
4．在△ABC中，三边a，b，c与面积S的关系式为a2＋4S＝b2＋c2，则角A为________．
45° [因为a2＝b2＋c2－2bccos A，又已知a2＋4S＝b2＋c2，故S＝bccos A＝bcsin A，从而sin A＝cos A，tan A＝1，A＝45°.]
计算线段的长度和角度
【例1】 在△ABC中，已知B＝30°，D是BC边上的一点，AD＝10，AC＝14，DC＝6.
(1)求∠ADC的大小；
(2)求AB的长．
[解] (1)在△ADC中，AD＝10，AC＝14，DC＝6，由余弦定理得
cos∠ADC＝＝＝－，
∴∠ADC＝120°.
(2)由(1)知∠ADB＝60°，在△ABD中，
AD＝10，B＝30°，∠ADB＝60°，
由正弦定理得＝，
∴AB＝＝＝＝10.
求线段的长度与角度的方法
(1)求线段的长度往往归结为求三角形的边长，解决此类问题要恰当地选择或构造三角形，利用正、余弦定理求解；
(2)求角度时，把所求的角看作某个三角形的内角，利用正、余弦定理求解，或利用A＋B＋C＝π求解．
1．如图所示，在四边形ABCD中，AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求BC的长．
[解] 在△ABD中，由余弦定理，得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos∠ADB，
设BD＝x，则有142＝102＋x2－2×10xcos 60°，
∴x2－10x－96＝0，
∴x1＝16，x2＝－6(舍去)，∴BD＝16.在△BCD中，由正弦定理知＝，
∴BC＝·sin 30°＝8.
三角形中与面积
有关的问题
【例2】 △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋cos A＝0，a＝2，b＝2.
(1)求c；
(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．
[解](1)由已知可得tan A＝－，所以A＝.
在△ABC中，由余弦定理得28＝4＋c2－4ccos，
即c2＋2c－24＝0.
解得c＝－6(舍去)，c＝4.
(2)由题设可得∠CAD＝，所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝.
故△ABD面积与△ACD面积的比值为
＝1.
又△ABC的面积为×4×2sin∠BAC＝2，
所以△ABD的面积为.
三角形面积公式的应用
(1)三角形面积公式的选取取决于三角形中哪个角已知或可求，或三角形中哪个角的正弦值可求．
(2)在解决三角形问题时，面积公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A最常用，因为公式中既有角又有边，容易和正弦定理、余弦定理联系起来应用．
2．在△ABC中，A，B，C是三角形的三内角，a，b，c是三内角对应的三边，已知b2＋c2－a2＝bc．若a＝，且△ABC的面积为3，求b＋c的值．
[解] cos A＝＝＝，
又A为三角形内角，所以A＝.
由面积公式得：
bcsin＝3，即bc＝12.
因为a＝，由余弦定理得：
b2＋c2－2bccos＝13，即b2＋c2－bc＝13，
则b2＋c2＝25，所以(b＋c)2＝49，故b＋c＝7.
正、余弦定理与三角恒
等变换的综合应用
[探究问题]
1．在△ABC中有哪些常用的结论？(三条即可)
[提示] (1)sin(A＋B)＝sin C；(2)sin＝cos；(3)cos(A＋B)＝－cos C．
2．在△ABC中，如何用sin A，cos A，sin B，cos B表示sin C?
[提示] sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B．
【例3】 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且＋＝.
(1)证明：sin Asin B＝sin C；
(2)若b2＋c2－a2＝bc，求tan B．
[解] (1)证明 根据正弦定理，可设
＝＝＝k(k＞0)，
则a＝ksin A，b＝ksin B，c＝ksin C，
代入＋＝中，有
＋＝，变形可得
sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B＝sin(A＋B)．
在△ABC中，由A＋B＋C＝π，有sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C．所以sin Asin B＝sin C．
(2)由已知，b2＋c2－a2＝bc，根据余弦定理，有
cos A＝＝.
所以sin A＝＝.
由(1)知，sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B，
所以sin B＝cos B＋sin B．
故tan B＝＝4.
1．(变结论)在例3中，若a＝2，求△ABC的面积．
[解]由例3(2)解答可知sin B＝cos B＋sin B，
即cos B＝sin B，又sin2B＋cos2B＝1，解得sin B＝，
由正弦定理得b＝＝，
则S△ABC＝absin C＝absin Asin B＝×2×××＝.
2．(变条件)把例3的条件变为“cos 2C－cos 2A＝2sin·sin”，
(1)求角A的值；
(2)若a＝且b≥a，求2b－c的取值范围．
[解] (1)由已知得2sin2A－2sin2C＝
2，
化简得sin A＝±，因为A为△ABC的内角，
所以sin A＝，故A＝或.
(2)因为b≥a，所以A＝.
由正弦定理得＝＝＝2，
得b＝2sin B，c＝2sin C，
故2b－c＝4sin B－2sin C
＝4sin B－2sin＝3sin B－cos B＝2sin.
因为b≥a，所以≤B＜，则≤B－＜，
所以2b－c＝2sin∈[，2)．
正、余弦定理综合应用技巧
(1)理清题目所给条件，利用正、余弦定理沟通三角形中的边与角之间的数量关系；
(2)紧紧抓住正、余弦定理，依托三角恒等变换和代数恒等变换，将复杂的三角式或代数式转化为简单问题来计算或证明．
1．正弦定理、余弦定理主要用来解决三角形问题，有些平面几何问题通过转化变为解三角形问题，便需要用正弦定理、余弦定理解决．解决时抓住两点：①合理的运用题目中的三角形资源，②尽量将所有的条件集中到某个三角形之中，会使问题更容易解决．
2．三角形面积计算的解题思路
对于此类问题，一般要用公式S＝absin C＝bcsin A＝acsin B进行求解，可分为以下两种情况：
(1)若所求面积为不规则图形，可通过作辅助线或其他途径构造三角形，转化为求三角形的面积．
(2)若所给条件为边角关系，则需要运用正弦、余弦定理求出某两边及夹角，再利用三角形面积公式进行求解．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若△ABC的外接圆半径为R，其三边长为a，b，c，则△ABC的面积S＝.( )
(2)存在△ABC，使sin A＋sin B＜sin C．( )
(3)在△ABC中，cos C＝2sin2－1.( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√
[提示] (1)，(3)正确，(2)错误．因为a＋b＞c，由正弦定理可得sin A＋sin B＞sin C．
2．在△ABC中，周长为7.5 cm，且sin A∶sin B∶sin C＝4∶5∶6，下列结论：
①a∶b∶c＝4∶5∶6；②a∶b∶c＝2∶∶；
③a＝2 cm，b＝2.5 cm，c＝3 cm；④A∶B∶C＝4∶5∶6.
其中成立的个数是( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
C [由正弦定理知a∶b∶c＝4∶5∶6，故①对，②错，④错；结合a＋b＋c＝7.5，知a＝2，b＝2.5，c＝3，∴③对，∴选C．]
3．△ABC的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为，则其外接圆的半径为
( )
A． B．
C． D．9
C [设a＝2，b＝3，cos C＝，则c2＝a2＋b2－2abcos C＝4＋9－2×2×3×＝9，即c＝3，又由cos C＝得sin C＝，则2R＝＝＝，R＝.]
4．如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝2，点D在BC边上，∠ADC＝45°，求AD的长度．
[解] 在△ABC中，由余弦定理，有
cos C＝
＝＝，
则C＝30°.
在△ACD中，由正弦定理，有
＝，
∴AD＝＝＝，
即AD的长度等于.
课件40张PPT。第二章 解三角形§2 三角形中的几何计算234长度 角度 面积 A＞B sin A＞sin B 5sin C －cos C 6789101112计算线段的长度和角度 1314151617三角形中与面积有关的问题 1819202122正、余弦定理与三角恒等变换的综合应用 2324252627282930313233343536373839点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十三)
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．在△ABC中，sin 2A·sin 2B＝1，则△ABC是( )
A．等腰三角形 B．等腰直角三角形
C．等边三角形 D．直角三角形
B [在△ABC中，由sin 2A·sin 2B＝1，知又A、B为△ABC的内角，
∴A＝B＝45°.∴△ABC为等腰直角三角形，故选B.]
2．在△ABC中，sin2A＝sin2B＋sin Bsin C＋sin2C，则A等于( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
C [由正弦定理，可知a2＝b2＋c2＋bc，由余弦定理，可知A＝120°.]
3．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a＝1，B＝45°，S△ABC＝2，则△ABC的外接圆的直径是( )
A．4 B．5
C．5 D．6
C [∵S△ABC＝acsin B＝2，∴c＝4.
又b2＝a2＋c2－2ac·cos B＝1＋32－2×1×4×＝25，∴b＝5，∴2R＝＝5.]
4．在△ABC中，AB＝3，BC＝，AC＝4，则AC边上的高为( )
A． B．
C． D．3
B [由余弦定理可知13＝9＋16－2×3×4×cos A，得cos A＝，又A为三角形的内角，∴A＝，∴h＝AB·sin A＝.]
5．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且2S＝(a＋b)2－c2，则tan C等于( )
A． B．
C．－ D．－
C [由2S＝(a＋b)2－c2得2×absin C＝a2＋b2－c2＋2ab，得absin C＝2abcos C＋2ab，sin C－2cos C＝2，∴sin2C＋4cos2C－4sin Ccos C＝4，∴＝4，
∴tan C＝－或0(舍去)，故选C.]
二、填空题
6．在△ABC中，若m＝(sin A，cos A)，n＝(cos B，sin B)，m·n＝sin 2C，则角C＝________.
[∵m·n＝sin Acos B＋cos Asin B＝sin 2C，得cos C＝，又C为△ABC的内角，∴C＝.]
7．在△ABC中，AB＝，点D是BC的中点，且AD＝1，∠BAD＝30°，则△ABC的面积为________．
[∵D为BC的中点，∴S△ABC＝2S△ABD
＝2××|AB||AD|·sin∠BAD＝2×××1×sin 30°＝.]
8．如图所示，已知圆内接四边形ABCD中AB＝3，AD＝5，BD＝7，∠BDC＝45°，则BC＝________.
[cos A＝＝－，
∴A＝120°，
∴C＝60°.从而＝，
∴BC＝＝＝.]
三、解答题
9．已知四边形ABCD中，AB＝2，BC＝CD＝4，DA＝6，且D＝60°，试求四边形ABCD的面积．
[解] 连接AC，在△ACD中，由AD＝6，CD＝4，D＝60°，可得
AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos D
＝62＋42－2×4×6cos 60°＝28，
在△ABC中，
由AB＝2，BC＝4，
AC2＝28，
可得cos B
＝
＝＝－.
又0°所以四边形ABCD的面积
S＝S△ACD＋S△ABC
＝AD·CDsin D＋AB·BCsin B
＝×4×6sin 60°＋×2×4sin 120°＝8.
10．如图所示，在四边形ABCD中，∠D＝2∠B，且AD＝1，CD＝3，cos B＝.
(1)求△ACD的面积；
(2)若BC＝2，求AB的长．
[解] (1)因为∠D＝2∠B，
cos B＝，
所以cos D＝cos 2B＝2cos2B－1＝－，
因为∠D∈(0，π)，所以sin D＝＝.
因为AD＝1，CD＝3，所以△ACD的面积S＝AD·CD·sin D＝×1×3×＝.
(2)在△ACD中，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cos D＝12，
所以AC＝2，
因为BC＝2，＝，
所以＝＝＝＝，
所以AB＝4.
[能力提升练]
1．在△ABC中，A＝60°，且最大边的长和最小边的长是方程x2－7x＋11＝0的两根，则第三边的长为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
C [设最大的边长为x，最小的边长为y.由根与系数的关系得，A＝60°，
∴y≤a≤x，由余弦定理，得a2＝x2＋y2－2xycos 60°＝(x＋y)2－3xy＝49－33＝16，故a＝4.]
2．在△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于( )
A． B．
C． D．
B [设AB＝c，在△ABC中，由余弦定理知
AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B，
即7＝c2＋4－2×2×c×cos 60°，c2－2c－3＝0，
即(c－3)(c＋1)＝0，又c＞0，
∴c＝3.
设BC边上的高等于h，由三角形面积公式
S△ABC＝AB·BC·sin B＝BC·h，知
×3×2×sin 60°＝×2×h，
∴h＝.]
3．如图所示，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE＝1，连接EC，ED，则sin∠CED＝________.
[易知，在△ECD中，ED＝，EC＝，CD＝1，由余弦定理得：cos∠CED＝＝，所以sin∠CED＝.]
4．如图所示，四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝120°，AB＝4，BC＝CD＝2，则该四边形的面积等于________．
5 [连接BD，在△BCD中，
BD＝
＝＝2.
∵∠CBD＝(180°－∠BCD)＝30°，
∴∠ABD＝90°，
∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝
AB·BD＋BC·CDsin∠BCD＝×4×2＋×2×2×sin 120°＝5.]
5．已知锐角△ABC中，bsin B－asin A＝(b－c)sin C，其中a、b、c分别为内角A、B、C的对边．
(1)求角A的大小；
(2)求cos C－sin B的取值范围．
[解] (1)由正弦定理得b2－a2＝(b－c)·c．
即b2＋c2－a2＝bc．
∴cos A＝＝＝.
又∵A为三角形内角，∴A＝.
(2)∵B＋C＝π，∴C＝π－B．∵△ABC为锐角三角形，∴∴又∵cos C－sin B＝cos－sin B
＝－cos B＋sin B＝sin，
∵∴－∴－