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资源详情
高中数学
北师大版
必修5
第二章解三角形
本章复习与测试
(新课标)北师大版数学必修5(课件8教案+练习)第2章 章末复习课
文档属性
名称
(新课标)北师大版数学必修5(课件8教案+练习)第2章 章末复习课
格式
zip
文件大小
2.9MB
资源类型
教案
版本资源
北师大版
科目
数学
更新时间
2019-10-01 23:42:25
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文档简介
利用正、余弦定
理解三角形
【例1】 在△ABC中,∠A=60°,c=a.
(1)求sin C的值;
(2)若a=7,求△ABC的面积.
[解] (1)在△ABC中,因为∠A=60°,c=a,
所以由正弦定理得sin C==×=.
(2)因为a=7,所以c=a=×7=3,
由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A得
72=b2+32-2b×3×,解得b=8或b=-5(舍去),
所以△ABC的面积S=bcsin A=×8×3×=6.
解三角形的四种类型
已知条件
应用定理
一般解法
一边和两角(如a,B,C)
正弦定理
由A+B+C=180°,求角A;由正弦定理求出b与c,在有解时只有一解.
两边和夹角(如a,b,C)
余弦定理、
正弦定理
由余弦定理求第三边c;由正弦定理求出一边所对的角;再由A+B+C=180°求出另一角,在有解时只有一解.
三边(a,b,c)
余弦定理
由余弦定理求出角A,B;再利用A+B+C=180°求出角C,在有解时只有一解.
两边和其中一边的对角(如a,b,A)
正弦定理、
余弦定理
由正弦定理求出角B;由A+B+C=180°求出角C;再利用正弦定理或余弦定理求c,可有两解、一解或无解.
1.(1)在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则cos A=( )
A. B.
C.- D.-
(2)在△ABC中,若三边的长为连续整数,且最大角是最小角的二倍,求三边长.
(1)C [设△ABC中角A,B,C的对边分别是a,b,c,由题意可得a=csin=c,则a=c.
在△ABC中,由余弦定理可得
b2=a2+c2-ac=c2+c2-3c2=c2,则b=C.
由余弦定理,可得cos A===-.]
(2)[解] 设最小内角为θ,三边长为n-1,n,n+1,
由正弦定理,得=,
所以n-1=,
所以cos θ=.
由余弦定理的变形公式,得
cos θ=,
所以=,解得n=5.
所以△ABC的三边分别为4,5,6.
判断三角形的形状
【例2】 在△ABC中,若=,试判断△ABC的形状.
[解] 由已知===得=,
以下可有两种解法:
法一:(利用正弦定理边化角)
由正弦定理得=,
∴=,
即sin Ccos C=sin Bcos B,即sin 2C=sin 2B,
∵B、C均为△ABC的内角,
∴2C=2B或2C+2B=180°.
∴B=C或B+C=90°,
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.
法二:(利用余弦定理角化边)
由余弦定理得=,
即a2(b2-c2)=(b2+c2)(b2-c2),
解得a2=b2+c2或b2=c2(即b=c),
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.
1.利用正弦定理、余弦定理判断三角形的形状的两种方法
法一:通过边之间的关系判断形状;
法二:通过角之间的关系判断形状.
利用正弦、余弦定理可以将已知条件中的边、角互化,把条件化为边的关系或化为角的关系.
2.判断三角形的形状时常用的结论
(1)在△ABC中,A>B?a>b?sin A>sin B?
cos A
(2)在△ABC中,A+B+C=π,A+B=π-C,
则cos(A+B)=-cos C,sin(A+B)=sin C.
(3)在△ABC中,a2+b2<c2?<C<π,a2+b2=c2?cos C=0?C=,a2+b2>c2?cos C>0?0
2.若△ABC的三个内角满足sinA∶sinB∶sinC=5∶11∶13,则△ABC( )
A.一定是锐角三角形
B.一定是直角三角形
C.一定是钝角三角形
D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形
C [根据正弦定理==,
又sin A∶sin B∶sin C=5∶11∶13,∴a∶b∶c=5∶11∶13,
设a=5t,b=11t,c=13t(t≠0),∵c2=a2+b2-2abcos C,
∴cos C===-<0,
∴角C为钝角.故选C.]
三角形中的几何计算
【例3】 在四边形ABCD中,BC=a,DC=2a,且A∶∠ABC∶C∶∠ADC=3∶7∶4∶10,求AB的长.
[解] 如图所示,连接BD.
∵A+∠ABC+C+∠ADC=360°,
∴A=45°,∠ABC=105°,C=60°,
∠ADC=150°,
在△BCD中,由余弦定理,得
BD2=BC2+CD2-2BC·CDcos C
=a2+4a2-2a·2a·cos 60°=3a2,
∴BD=A.
∴BD2+BC2=CD2,
∴∠CBD=90°,
∴∠ABD=15°,
∴∠BDA=120°.
在△ABD中,由=,得AB=
==A.
解决三角形中的几何计算问题要注意把握三点:一是对几何图形中几何性质的挖掘,它往往是解题的切入点;二是根据条件或图形,找出已知、未知及求解中需要的三角形,合理利用正、余弦定理和三角恒等变换公式;三是要有应用方程思想解题的意识,同时还要有引入参数,突出主元,简化问题的解题意识.
3.如图所示,已知∠MON=60°,Q是∠MON内一点,它到两边的距离分别为2和11,求OQ的长.
[解] 作QA⊥OM于A,QB⊥ON于B,连接AB,则QA=2,QB=11,且O,A,Q,B都在以OQ为直径的圆上.
∠AOB和∠AQB为同一弦AB所对的圆周角,且两角互补.
∵∠AOB=60°,∴∠AQB=120°.
在△AQB中,由余弦定理,
得AB2=AQ2+BQ2-2·AQ·BQ·cos∠AQB
=22+112-2×2×11×cos120°=147,
∴AB=7.
连接OQ,在Rt△OBQ中,OQ==.
又在△AOB中,=,
∴OQ==14.
解三角形与平面
向量的综合应用
【例4】 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若·=·=1.
(1)求证:A=B;
(2)求边长c的值;
(3)若|+|=,求△ABC的面积.
[解] (1)证明:∵·=·,
∴bccos A=accos B,即bcos A=acos B.
由正弦定理,得sin Bcos A=sin Acos B,
∴sin(A-B)=0.
∵-π
∴A-B=0,即A=B.
(2)∵·=1,∴bccos A=1.
由余弦定理,得bc×=1,
即b2+c2-a2=2.
∵由(1),得a=b,∴c2=2,∴c=.
(3)∵|+|=,
∴||2+||2+2·=6,
即∵c2+b2+2=6,∵c2+b2=4,∴c2=2,∴b2=2,b=.
∴△ABC为正三角形.
∴S△ABC=×××sin 60°=.
在高考中解三角形问题常与平面向量知识(主要是数量积)结合在一起进行考查.判断三角形形状或结合正弦定理、余弦定理求值,这也是高考命题的新趋势.
4.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若sin2B+sin2C=sin2A+sin Bsin C,且·=4,求△ABC的面积S.
[解] 由已知得b2+c2=a2+bc,
∴bc=b2+c2-a2=2bccos A,∴cos A=,sin A=.
由·=4,得bccos A=4,∴bc=8.
∴S=bcsin A=2.
与三角形有关的
综合问题
[探究问题]
1.在△ABC中,由a2+b2-c2=-ab可得到什么?
[提示] 由a2+b2-c2=-ab得=-,即cos C=-,故C=120°.
2.在△ABC中,若A+B=,能否求出sin A+sin B的范围?
[提示] 用角B表示角A得B=-A,则sin A+sin B=sinA+sin,化为一个角的三角函数可求其范围.
【例5】 在△ABC中,设角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos2A=sin2B+cos2C+sin Asin B.
(1)求角C的大小; (2)若c=,求△ABC周长的取值范围.
思路探究:(1)利用正弦定理把角转化为边,然后利用余弦定理求角C;(2)利用正弦定理得到周长的表达式化为一个角的三角函数求范围.
[解] (1)由题意知1-sin2A=sin2B+1-sin2C+sin Asin B,
即sin2A+sin2B-sin2C=-sin Asin B,
由正弦定理得a2+b2-c2=-ab,
由余弦定理得cos C===-,
又∵0
(2)由正弦定理得===2,
∴a=2sin A,b=2sin B,
则△ABC的周长为L=a+b+c=2(sin A+sin B)+
=2+=2sin+.
∵0
∴△ABC周长的取值范围是(2,2+].
1.(变结论)例5的条件不变,若c=2,a=,求sin 2B的值.
[解] 由例5的解答可知C=,由正弦定理
=,即sin A===,
由于c>a,故A是锐角,cos A==,
所以sin 2A=2sin Acos A=,
cos 2A=2cos2A-1=-,
得sin 2B=sin 2=sin=cos 2A+sin 2A=×+×=.
2.(变条件)把例5的条件换为“2ccos B=2a+b”,求角C.
[解] 由正弦定理及2ccos B=2a+b得
2sin Ccos B=2sin A+sin B,因为A+B+C=π,
所以sin A=sin(B+C),则2sin Ccos B=2sin(B+C)+sin B,
即2sin Bcos C+sin B=0,又0<B<π,
所以sin B>0,
则cos C=-,又C∈(0,π),故C=.
与三角形有关的综合问题的解法
该类问题以三角形为载体,在已知条件中设计了三角形的一些边角关系,由于正弦定理和余弦定理都是关于三角形的边角关系的等式,通过定理的运用能够实现边角互化,在边角互化时,经常用到三角函数中两角和与差的公式及倍角公式等.
课件38张PPT。第二章 解三角形章末复习课利用正、余弦定理解三角形 判断三角形的形状 三角形中的几何计算 解三角形与平面向量的综合应用 与三角形有关的综合问题 Thank you for watching !章末综合测评(二)
(时间120分钟,满分150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.在△ABC中,下列关系式①asin B=bsin A;②a=bcos C+ccos B;③a2+b2-c2=2abcos C;④b=csin A+asin C,一定成立的有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
C [由正弦定理知①正确,由余弦定理知③正确;②中由正弦定理得sin A=sin Bcos C+cos Bsin C,显然成立;④中由正弦定理得sin B=2sin AsinC,未必成立.]
2.在△ABC中,AB=5,BC=6,AC=8,则△ABC的形状是( )
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.等腰三角形或直角三角形
B [易知△ABC中的最大角为∠ABC,由余弦定理cos∠ABC==-<0,故∠ABC>,则△ABC是钝角三角形.]
3.在△ABC中,sin A=,a=10,则边长c的取值范围是( )
A. B.(10,+∞)
C.(0,10) D.
D [由正弦定理可知c==sin C,因为0<sin C≤1,所以0<c≤,即c∈,故选D.]
4.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍,则它的顶角的余弦值为( )
A.- B.
C.- D.
B [设等腰三角形的底边长为a,顶角为θ,则腰长为2a,由余弦定理得,cos θ==.]
5.已知△ABC的外接圆的半径是3,a=3,则A等于( )
A.30°或150° B.30°或60°
C.60°或120° D.60°或150°
A [由正弦定理得sin A===,因为A∈(0,π),所以A=30°或150°.]
6.在△ABC中,AB=3,BC=,AC=4,则边AC上的高为( )
A. B.
C. D.3
B [由题意得cos A==,
∴sin A==,
∴边AC上的高h=ABsin A=.]
7.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a2-b2=bc,sin C=2sin B,则A=( )
A.30° B.60°
C.120° D.150°
A [由sin C=2sin B及正弦定理,得c=2b,
∴a2-b2=bc=6b2,
即a2=7b2,
由余弦定理,cos A====.
又∵0°
∴A=30°]
8.在△ABC中,A=,a=,b=4,则满足条件的△ABC( )
A.不存在 B.有一个
C.有两个 D.不确定
A [由正弦定理=,
∴sin B===>1,
∴ B不存在.]
9.一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱,为了测量喷水柱喷出的水柱的高度,某人在喷水柱正西方向的点D测得水柱顶端的仰角为45°,沿点D向北偏东30°前进100 m到达点C,在C点测得水柱顶端的仰角为30°,则水柱的高度是( )
A.50 m B.100 m
C.120 m D.150 m
A [如图,AB为水柱,高度设为h,D在A的正西方向,C在D的北偏东30°方向.且CD=100 m,∠ACB=30°,∠ADB=45°.
在△ABD中,AD=h,
在△ABC中,AC=h.
在△ACD中,∠ADC=60°,
由余弦定理得
cos 60°==,
∴h=50或-100(舍).]
10.已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,23cos2A+cos 2A=0,a=7,c=6,则b=( )
A.10 B.9
C.8 D.5
D [由倍角公式得23cos2 A+cos 2A=25cos2A-1=0,cos2 A=,△ABC为锐角三角形cos A=,由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得b2-b-13=0.
即5b2-12b-65=0,
解方程得b=5.]
11.在△ABC中,a,b,c分别为∠A,∠B,∠C的对边,若2b=a+c,∠B=30°,△ABC的面积为,则b等于( )
A.1+ B.
C. D.2+
A [由已知acsin 30°=,2b=a+c,
∴ac=6,∴b2=a2+c2-2accos 30°
=(a+c)2-2ac-ac
=4b2-12-6,
∴b=+1.]
12.在△ABC中,已知2acos B=c,sin Asin B(2-cos C)=sin2+,则△ABC为( )
A.等边三角形 B.等腰直角三角形
C.锐角非等边三角形 D.钝角三角形
B [∵2acos B=c,∴2sin Acos B=sin C=sin(A+B),
∴2sin Acos B=sin Acos B+cos Asin B,
∴sin(A-B)=0.∴A=B.
又∵sin Asin B(2-cos C)=sin2+,
∴sin Asin B=sin2+,
∴2sin Asin B=sin2+
∴2sin Asin B=1,
即sin2 A=,
∵0
∴A==B,
∴C=π--=.]
二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中横线上)
13.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2,cos C=-,3sin A=2sin B,则c=________.
4 [∵3sin A=2sin B,∴3a=2b.
又a=2,∴b=3.
由余弦定理可知c2=a2+b2-2abcos C.
∴c2=22+32-2×2×3×=16.
∴c=4.]
14.在△ABC中,M是线段BC的中点,AM=3,BC=10,·=________.
-16 [法一 ·=(+)·(+)
=||2-||2=9-5×5=-16.
法二 特例法,假设△ABC是以AB,AC为腰的等腰三角形,如图所示,AM=3,BC=10,则AB=AC=,
cos∠BAC==-,
·=||·||·cos∠BAC=-16.]
15.在△ABC中,已知BC=3,AB=10,AB边上的中线为7,则△ABC的面积为________.
[如图,设△ABC中AB边上的中线为CD.
则在△BCD中,BC=3,BD=5,CD=7,
∴cos B==-,
又∵B∈(0°,180°),∴B=120°,∴sin B=,
∴S△BCD=BC·BD·sin B=×3×5×=,
∴S△ABC=2S△BCD=.]
16.某人在C点测得塔AB在南偏西80°,仰角为45°,沿南偏东40°方向前进10米到O,测得塔A仰角为30°,则塔高为________.
10米 [画出示意图,如图所示,
CO=10,∠OCD=40°,∠BCD=80°,∠ACB=45°,∠AOB=30°,AB⊥平面BCO,
令AB=x,则BC=x,BO=x,
在△BCO中,由余弦定理,得
(x)2=x2+100-2x×10×cos(80°+40°),
整理得x2-5x-50=0,
解得x=10,x=-5(舍去),
故塔高为10米.]
三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)在△ABC中,若(a-c·cos B)·sin B=(b-c·cos A)·sin A,判断△ABC的形状.
[解] 结合正弦定理及余弦定理知,原等式可化为
·b=·a,
整理得:(a2+b2-c2)b2=(a2+b2-c2)a2,
∴a2+b2-c2=0或a2=b2,
∴a2+b2=c2或a=b.
故△ABC为直角三角形或等腰三角形.
18.(本小题满分12分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=2,cos B=.
(1)若b=4,求sin A的值;
(2)若△ABC的面积S△ABC=4,求b、c的值.
[解] (1)∵cos B=>0,且0
∴sin B==.
由正弦定理得=,
所以sin A=sin B=.
(2)∵S△ABC=acsin B=c=4,
∴c=5.
由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B
=22+52-2×2×5×=17,
∴b=.
19.(本小题满分12分)在△ABC中,a=3,b=2,B=2A.
(1)求cos A的值;
(2)求c的值.
[解] (1)在△ABC中,由正弦定理,得
=?==,
∴cos A=.
(2)由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A?32=(2)2+c2-2×2c×,
则c2-8c+15=0.
∴c=5或c=3.
当c=3时,a=c,∴A=C.
由A+B+C=π,知B=,与a2+c2≠b2矛盾.
∴c=3舍去.故c的值为5.
20.(本小题满分12分)如图所示,我艇在A处发现一走私船在方位角45°且距离为12海里的B处正以每小时10海里的速度向方位角105°的方向逃窜,我艇立即以14海里/时的速度追击,求我艇追上走私船所需要的时间.
[解] 设我艇追上走私船所需时间为t小时,且我艇在C处追上走私船,则BC=10t,AC=14t,
在△ABC中,∠ABC=180°+45°-105°=120°,AB=12,
根据余弦定理得(14t)2=(10t)2+122-2·12·10tcos 120°,∴t=2小时(t=-舍去).
所以我艇追上走私船所需要的时间为2小时.
21.(本小题满分12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2cos2·cos B-sin(A-B)sin B+cos(A+C)=-.
(1)求cos A的值;
(2)若a=4,b=5,求在方向上的射影.
[解] (1)由2cos2cos B-sin(A-B)sin B+cos(A+C)=-,
得[cos(A-B)+1]cos B-sin(A-B)sin B-cos B=-,
即cos(A-B)cos B-sin(A-B)sin B=-,
则cos(A-B+B)=-,即cos A=-.
(2)由cos A=-,<A<π,得sin A=.由正弦定理有=,
所以sin B==.由题意知a>b,则A>B,
故B=.
根据余弦定理有(4)2=52+c2-2×5×c×,解得c=1或c=-7(舍去).
又∵cos B=cos =,
故在方向上的射影为||cos B=.
22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=sin 2x--,x∈R.
(1)求函数f(x)的最小值和最小正周期;
(2)设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且c=,f(C)=0,若向量m=(1,sin A)与向量n=(2,sin B)共线,求a,b的值.
[解] (1)∵f(x)=sin 2x--
=sin-1,
∴函数f(x)的最小值是-2,最小正周期是T=
=π.
(2)由题意得f(C)=sin-1=0,
∴sin=1,∵0
∴-<2C-<π,
∴2C-=,∴C=,∵m∥n,∴=,
由正弦定理得=, ①
由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos,即3=a2+b2-ab, ②
由①②解得a=1,b=2.
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同课章节目录
第一章数列
1数列
2等差数列
3等比数列
4数列在日常经济生活中的应用
第二章解三角形
1正弦定理与余弦定理
2三角形中的几何计算
3解三角形的实际应用举例
第三章不等式
1不等关系
2一元二次不等式
3基本不等式
4简单线性规划
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