§1 不等关系
1.1 不等关系
1.2 不等关系与不等式
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解现实世界和日常生活中的不等关系．
2．了解不等式(组)的实际背景．(难点)
3．能用作差法比较大小．(重点)
1.通过认识不等关系及不等符号培养数学抽象素养．
2．通过对两数(式)比较大小提升逻辑推理素养.
1．不等式中的数字符号
阅读教材P69～P71“练习”以上部分，完成下列问题．
两个数或代数式常用以下数学符号连接：“＝”，“≠”，“＞”，“＜”，“≥”，“≤”．
文字语言
数学符号
文字语言
数学符号
大于
＞
至多
≤
小于
＜
至少
≥
大于等于
≥
不少于
≥
小于等于
≤
不多于
≤
思考：(1)限速40 km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h，用不等式如何表示？
[提示] v≤40 km/h.
(2)如何用不等式表示“a与b的差是非负数”？
[提示] a－b≥0.
2．比较大小
阅读教材P72～P73“练习”以上部分，完成下列问题．
(1)作差法比较两实数大小
依据
如果a－b＞0，那么a＞B．
如果a－b＜0，那么a＜B．
如果a－b＝0，那么a＝B．
结论
确定任意两个实数a，b的大小关系，只需确定它们的差a－b与0的大小关系.
(2)不等式的性质
①对称性：若a＞b，则b＜a；若b＜a，则a＞b．
②传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c．
③同向可加性：若a＞b，c＞d，则a＋c＞b＋d．
④同向的可乘性：若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd．
⑤乘方法则：若a＞b＞0，则an＞bn(n∈N＋，且n≥2)．
⑥开方法则：若a＞b＞0，则＞(n∈N＋，且n≥2)．
⑦同号取倒数反序性：若a＞b，ab＞0，则＜.
思考：(1)“若a＞b，c＞d，那么ac＞bd”成立吗？
[提示] 不成立，如a＝－2，b＝－3，c＝1，d＝0，则ac＜bd．
(2)“若an＞bn，(n∈N＋，且n≥2)，则a＞b”一定成立吗？
[提示] 不一定，如(－4)2＞(－2)2，但－4＜－2.
1．如果a＜0，b＞0，那么，下列不等式中正确的是( )
A．＜ B．＜
C．a2＜b2 D．|a|＞|b|
A [A正确，B、C、D可举反例排除，如对B、C，设a＝－9，b＝1，对D，设a＝－1，b＝2即可．]
2．当x＞2时，x2与2x的大小关系为________．
x2＞2x [x2－2x＝x(x－2)，因为x＞2，故x(x－2)＞0，即x2＞2x.]
3．已知a>b>c，且a＋b＋c＝0，则b2－4ac的值的符号为________．
正 [因为a＋b＋c＝0，
所以b＝－(a＋c)，
所以b2＝a2＋c2＋2ac．
所以b2－4ac＝a2＋c2－2ac＝(a－c)2.
因为a>c，所以(a－c)2>0.
所以b2－4ac>0，
即b2－4ac的符号为正．]
4．已知a>b>c，则＋＋的值为________(填“正数”“非正数”“非负数”)．
正数 [因为a>b>c，所以a－b>0，b－c>0，a－c>b－c>0.所以>0，>0，<，所以＋－>0，所以＋＋为正数．]
用不等式(组)表示不等关系
【例1】 配制A，B两种药剂，需要甲，乙两种原料．已知配一剂A种药需甲料3克，乙料5克；配一剂B种药需甲料5克，乙料4克．今有甲料20克，乙料25克，若A，B两种药至少各配一剂，设A，B两种药分别配x，y剂(x，y∈N＋)，请写出x，y所满足的不等关系．
[解] 根据题意可得
(1)将不等关系表示成不等式(组)的思路
①读懂题意，找准不等关系所联系的量；
②用适当的不等号连接；
③若有多个不等关系，根据情况用不等式组表示．
(2)用不等式(组)表示不等关系时应注意的问题
在用不等式(组)表示不等关系时，应注意必须是具有相同性质，可以进行比较时，才可用，没有可比性的两个(或几个)量之间不能用不等式(组)来表示．
1．雷电的温度大约是28 000 ℃，比太阳表面温度的4.5倍还要高．设太阳表面温度为t ℃，那么t应满足的关系式是________．
4．5 t<28 000. [由题意得，太阳表面温度的4.5倍小于雷电的温度，即4.5 t<28 000.]
比较两个数(式)的大小
【例2】 比较下列各式的大小：
(1)当x≤1时，比较3x3与3x2－x＋1的大小．
(2)当x，y，z∈R时，比较5x2＋y2＋z2与2xy＋4x＋2z－2的大小．
[解] (1)3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1)．
因为x≤1，所以x－1≤0，而3x2＋1>0.所以(3x2＋1)(x－1)≤0，所以3x3≤3x2－x＋1.
(2)因为5x2＋y2＋z2－(2xy＋4x＋2z－2)＝4x2－4x＋1＋x2－2xy＋y2＋z2－2z＋1＝(2x－1)2＋(x－y)2＋(z－1)2≥0，所以5x2＋y2＋z2≥2xy＋4x＋2z－2，当且仅当x＝y＝且z＝1时取到等号．
比较大小的方法
(1)作差法：比较两个代数式的大小，可以根据它们的差的符号进行判断，一方面注意题目本身提供的字母的取值范围，另一方面通常将两代数式的差进行因式分解转化为多个因式相乘，或通过配方转化为几个非负实数之和，然后判断正负．
作差法的一般步骤：
作差——变形——判号——定论．
(2)作商法：作商比较通常适用于两代数式同号的情形，然后比较它们的商与1的大小．
作商法的一般步骤：
作商——变形——与1比较大小——定论．
(3)单调性法：利用函数单调性比较大小，通常先构造一个函数，再利用单调性进行判断．
2．已知a>b>0，试比较aabb与abba的大小．
[解] 因为＝aa－b·bb－a＝a－b，
因为a>b>0，所以a－b>0，>1，
所以a－b>1，故aabb>abba．
不等式的性质及应用
[探究问题]
1．“若a＞0，b＞0，则ab＞0，a＋b＞0”成立吗？反之成立吗？
[提示] 成立，反之也成立，即“若ab＞0，a＋b＞0，则a＞0，b＞0”．
2．“若a＞1，b＞1，则ab＞1，a＋b＞2”成立吗？反之成立吗？
[提示] 成立，但反之不成立，即“若ab＞1，a＋b＞2，则a＞1，b＞1”不成立，反例：a＝4，b＝，满足ab＞1，a＋b＞2，但不满足a＞1，b＞1.
3．如何用a＋b和a－b表示2a－3b?
[提示] 设2a－3b＝x(a＋b)＋y(a－b)，
即2a－3b＝(x＋y)a＋(x－y)b，所以，
解得故2a－3b＝－(a＋b)＋(a－b)．
【例3】 设f(x)＝ax2＋bx,1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围．
思路探究：用f(－1)，f(1)表示f(－2)，再利用f(－1)，f(1)的取值范围求f(－2)的取值范围．
[解] 由f(x)＝ax2＋bx得，
f(－1)＝a－b，f(1)＝a＋b，f(－2)＝4a－2b，
设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)，
则4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，
即4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b，
于是有解得
∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)．
又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，
∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，
即5≤f(－2)≤10，
∴f(－2)的取值范围是[5,10]．
(变结论)例3的条件不变，求f(2)的取值范围．
[解] 由例3的解答可知f(－1)＝a－b，f(1)＝a＋b，
又f(2)＝4a＋2b，设4a＋2b＝x(a－b)＋y(a＋b)，
即4a＋2b＝(x＋y)a＋(y－x)b，则
解得
则4a＋2b＝(a－b)＋3(a＋b)，
即f(2)＝f(－1)＋3f(1)，
由1≤f(－1)≤2,6≤3f(1)≤12，
两式相加得7≤f(－1)＋3f(1)≤14.
即f(2)的取值范围是[7,14]．
利用性质求范围问题的基本要求
(1)利用不等式性质时，要特别注意性质成立的条件，如同向不等式相加，不等号方向不变，两边都是正数的同向不等式才能相乘等．
(2)要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意变形的等价性．
[提醒] 本例中如果由1≤a－b≤2,2≤a＋b≤4得到a，b的取值范围，再求f(－2)的取值范围，那么得到的结果不是正确答案．这是因为求得的a，b的取值范围与已知条件不是等价关系．
1．比较两个实数的大小，只要研究它们的差就可以了．a－b>0?a>b；a－b＝0?a＝b；a－b<0?a
2．不等式的性质
(1)不等式的性质有很多是不可逆的，特别对同向不等式，只有同向不等式才可以相加，但不能相减，而且性质不可逆．只有同向且是正项的不等式才能相乘，且性质不可逆．
(2)不等式的性质是解(证)不等式的基础，要依据不等式的性质进行推导，不能自己“制造”性质运算．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若a＞b，则ac＞bc．( )
(2)a2一定大于a．( )
(3)若a＞b，则＜.( )
[答案] (1)× (2)× (3)×
[提示] (1)错误，当c＝0时，ac＝bc；当c＜0时，ac＜bc；
(2)错误，当0≤a≤1时，a2≤a；
(3)错误，反例2＞－1，但＞－1.
2．已知a，b，c，d∈R且ab>0，－>－，则( )
A．bcad
C．＞ D．<
A [∵ab>0，∴在－＞－两侧乘ab不变号，即－bc>－ad，即bc3．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系为________．
M＞N [M－N＝x2－(－x－1)＝x2＋x＋1＝2＋＞0，故M＞N.]
4．已知2＜a＜4,3＜b＜8，求a－b，的取值范围．
[解] ∵3＜b＜8，∴－8＜－b＜－3.又2＜a＜4，
∴－6＜a－b＜1.
∵3＜b＜8，∴＜＜.又2课件37张PPT。第三章 不等式§1 不等关系
1.1 不等关系
1.2 不等关系与不等式234＞ ≤ ＜ ≥ ≥ ≥ ≤ ≤ 56a－b＞0 a－b＜0 a－b＝0 差 a－b 0 7891011121314用不等式(组)表示不等关系 151617比较两个数(式)的大小 1819202122不等式的性质及应用 2324252627282930313233343536点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十五)
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x不低于95分，文化课总分y高于380分，体育成绩z超过45分，用不等式表示就是( )
A． B．
C． D．
D [“不低于”即“≥”，“高于”即“>”，“超过”即“>”，∴x≥95，y>380，z>45.]
2．设0＜b＜a＜1，则下列不等式成立的是( )
A．ab＜b2＜1 B．logb＜loga＜0
C．2b＜2a＜2 D．a2＜ab＜1
C [设a＝，b＝，验证即得A、D错误；结合y＝x，y＝2x的单调性得B错误，C正确．]
3．已知a<0，b<－1，则下列不等式成立的是( )
A．a＞> B．＞＞a
C．＞a＞ D．＞＞a
D [取a＝－2，b＝－2，则＝1，＝－，
∴>>a.]
4．已知m＝x2＋2x，n＝3x＋2，则( )
A．m>n B．mC．m＝n D．m与n的大小不能确定
D [m－n＝x2＋2x－(3x＋2)＝x2－x－2＝2－≥－，
∵m－n无法判断与0的大小，∴m与n的大小不能确定．]
5．已知四个条件：①b＞0＞a，②0＞a＞b，③a＞0＞b，④a＞b＞0，能推出＜成立的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
C [①中，a＜0＜b，∴＜，②中，b＜a＜0，
∴＜，
④中a＞b＞0，∴＜，
故①②④三个均可推得＜.]
二、填空题
6．某种植物适宜生长的温度为18 ℃～20 ℃的山区，已知山区海拔每升高100 m，气温下降0.55 ℃.现测得山脚下的平均气温为22 ℃，用不等式表示该植物种在山区适宜的高度为________(不求解)．
18≤22－≤20 [设该植物适宜的种植高度为xm，由题意，得18≤22－≤20.]
7．若－1≤a≤3,1≤b≤2，则a－b的范围为________．
[－3,2] [∵－1≤a≤3，－2≤－b≤－1，
∴－3≤a－b≤2.]
8．比较大小：(x＋5)(x＋7)________(x＋6)2.
＜ [(x＋5)(x＋7)－(x＋6)2＝x2＋12x＋35－(x2＋12x＋36)＝－1<0，所以(x＋5)(x＋7)＜(x＋6)2.]
三、解答题
9．某用户计划购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，使用资金不超过500元，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒．问：软件数与磁盘数应满足什么条件？
[解] 设软件数为x，磁盘数为y，根据题意可得
10．已知－<α＋β<，0<α－β<，求2α及4α＋2β的取值范围．
[解] ∵－<α＋β<，0<α－β<，∴－<2α<π，
∵4α＋2β＝3(α＋β)＋(α－β)，
又－<α＋β<，0<α－β<，
∴－<3(α＋β)＋(α－β)<π.
∴－π<4α＋2β<π.
[能力提升练]
1．下列命题中，一定正确的是( )
A．若a>b，且>，则a>0，b<0
B．若a>b，b≠0，则>1
C．若a>b，且a＋c>b＋d，则c>d
D．若a>b，且ac>bd，则c>d
A [对于A，∵>，∴>0，
又a>b，∴b－a<0, ∴ab<0，∴a>0，b<0，故A正确；
对于B，当a>0，b<0时，有<1，故B错；
对于C，当a＝10，b＝2时，有10＋1>2＋3，但1<3，故C错；
对于D，当a＝－1，b＝－2，c＝－1，d＝3时，有(－1)×(－1)>(－2)×3，但－1<3，故D错．故选A．]
2．已知实数a，b，c满足b－a＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c的大小关系是( )
A．c≥b>a B．a>c≥b
C．c>b>a D．a>c>b
A [∵b－a＝6－4a＋3a2＝32＋>0，∴b>a，∵c－b＝4－4a＋a2＝(2－a)2≥0，∵c≥b，∴c≥b>a.]
3．已知a，b为非零实数，且a①a2b② [对于①，当a<0，b>0时，a2b>0，ab2<0，a2b对于②，∵a0，∴<，故成立；
对于③，当a＝－1，b＝1时，
＝＝－1，故不成立．]
4．已知实数x，y满足－4≤x－y≤－1，－1≤4x－y≤5，则9x－3y的取值范围是________．
[－6,9] [设9x－3y＝a(x－y)＋b(4x－y)＝(a＋4b)x－(a＋b)y，
∴?
∴9x－3y＝(x－y)＋2(4x－y)，∵－1≤4x－y≤5，
∴－2≤2(4x－y)≤10，
又－4≤x－y≤－1，∴－6≤9x－3y≤9.]
5．(1)比较x2＋3与3x的大小．
(2)已知a，b为正数，且a≠b，比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小．
[解] (1)(x2＋3)－3x＝x2－3x＋3＝2＋≥>0，
所以x2＋3>3x.
(2)(a3＋b3)－(a2b＋ab2)
＝a3＋b3－a2b－ab2
＝a2(a－b)－b2(a－b)
＝(a－b)(a2－b2)
＝(a－b)2(a＋b)．
因为a>0，b>0，且a≠b，
所以(a－b)2>0，a＋b>0，
所以(a3＋b3)－(a2b＋ab2)>0，
即a3＋b3>a2b＋ab2.
