2.2 一元二次不等式的应用
学 习 目 标
核 心 素 养
1.会解简单的分式不等式和简单的高次不等式．(重点)
2．会求解方程根的存在性问题和不等式恒成立问题．(重点、难点)
1.通过学习分式不等式与高次不等式培养数学运算素养．
2．通过一元二次不等式的实际应用提升数学建模素养.
1．分式不等式的解法
阅读教材P82“例10”以上部分，完成下列问题．
(1)＞0与f(x)·g(x)＞0同解．
(2)＜0与f(x)·g(x)＜0同解．
(3)≥0与f(x)·g(x)≥0且g(x)≠0同解．
(4)≤0与f(x)·g(x)≤0且g(x)≠0同解．
思考：(1)不等式≥0与f(x)·g(x)＞0或f(x)＝0同解吗？
[提示] 同解．
(2)解分式不等式的主导思想是什么？
[提示] 化分式不等式为整式不等式．
2．高次不等式的解法
阅读教材P82“例10”以下至P83“练习1”以上部分，完成下列问题．
如果把函数f(x)图像与x轴的交点形象地看成“针眼”，函数f(x)的图像看成“线”，那么这种求解不等式的方法，我们形象地把它称为穿针引线法．
思考：(1)解一元二次不等式可以用穿针引线法吗？
[提示] 可以
(2)应用穿针引线法解高次不等式f(x)＞0，对f(x)的最高次项的系数有什么要求吗？
[提示] 把f(x)最高次项的系数化为正数．
1．不等式>0的解集是( )
A． B．
C． D．
A [>0?(4x＋2)(3x－1)>0?x>或x<－，此不等式的解集为.]
2．函数f(x)＝的定义域是________．
(－∞，0)∪[1，＋∞) [由题意得≥0，即x(x－1)≥0且x≠0，解之得x≥1或x＜0，故其定义域是(－∞，0)∪[1，＋∞)．]
3．不等式(x－1)(x＋2)(x－3)＜0的解集为________．
(－∞，－2)∪(1,3) [如图所示：
由图知原不等式的解集为(－∞，－2)∪(1,3)．]
4．不等式＞0的解集为_________________．
{x|－4＜x＜－3或x＞－1} [原式可转化为(x＋1)(x＋2)2(x＋3)(x＋4)＞0，
根据数轴穿根法，解集为－4＜x＜－3或x＞－1.]
分式不等式和高次不等式的解法
【例1】 解下列不等式：
(1)＜0；(2)≤2；(3)(6x2－17x＋12)(2x2－5x＋2)＞0.
[解] (1)由＜0，得＞0，此不等式等价于(x＋4)(x－3)＞0，
∴原不等式的解集为{x|x＜－4或x＞3}．
(2)法一：移项得－2≤0，左边通分并化简有≤0，即≥0，
同解不等式为∴x＜2或x≥5.∴原不等式的解集为{x|x＜2或x≥5}．
法二：原不等式可化为≥0，此不等式等价于
①
或 ②
解①得x≥5，解②得x＜2，
∴原不等式的解集为{x|x＜2或x≥5}．
(3)原不等式可化为(2x－3)(3x－4)(2x－1)(x－2)＞0，
进一步化为(x－2)＞0，
如图所示，得原不等式的解集为
.
1．分式不等式的解法：先通过移项、通分整理成标准型＞0(<0)或≥0(≤0)，再化成整式不等式来解．如果能判断出分母的正负，直接去分母也可．
2．一元高次不等式f(x)＞0用穿针引线法求解，其步骤是：
(1)将f(x)最高次项的系数化为正数；
(2)将f(x)分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式之积；
(3)将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线(注意重根情况，偶次方根穿而不过，奇次方根既穿又过)；
(4)根据曲线显现出的f(x)值的符号变化规律，写出不等式的解集．
1．解下列不等式：(1)≥1；(2)x4－2x3－3x2＜0.
[解] (1)移项得－1≥0，即≥0，同解不等式为，∴＜x≤4，故原不等式的解集为.
(2)原不等式可化为x2(x－3)(x＋1)＜0，
当x≠0时，x2＞0，由(x－3)(x＋1)＜0，
得－1＜x＜3；
当x＝0时，原不等式为0＜0，无解．
∴原不等式的解集为{x|－1＜x＜3，且x≠0}．
一元二次不等式在生活中的应用
【例2】 某地区上年度电价为0.8元/千瓦时，年用电量为a千瓦时．本年度计划将电价降价到0.55元/千瓦时至0.75元/千瓦时之间，而用户期望电价为0.4元/千瓦时．经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k)．该地区电力的成本价为0.3元/千瓦时．
(1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式；
(2)设k＝0.2a，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%?
[解] (1)设下调后的电价为x元/千瓦时，依题意知，用电量增至＋a，电力部门的收益为y＝(x－0.3)(0.55≤x≤0.75)．
(2)依题意，有
整理，得
解此不等式组，得0.60≤x≤0.75.
所以当电价最低定为0.60元/千瓦时时，仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%.
解不等式应用题的步骤
2．某校园内有一块长为800 m，宽为600 m的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，如图，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围．
[解] 设花卉带宽度为x m，则草坪的长为(800－2x)m，宽为(600－2x)m，根据题意，得(800－2x)(600－2x)≥×800×600，
整理，得x2－700x＋60 000≥0，
解得x≥600(舍去)或x≤100，
由题意知x>0，所以0
即当花卉带的宽度在(0,100]内取值时，草坪的面积不小于总面积的一半．
不等式的恒成立问题
[探究问题]
1．设f(x)＝mx2＋2x＋1，若f(x)＞0对任意的x∈R恒成立，f(x)的图像如何？求m的范围．
[提示] 由条件知m＞0，即f(x)的图像开口向上，且和x轴没有交点，故解之得m＞1.
2．设f(x)的值域是[1,2]，若f(x)≥a恒成立，求a的取值范围．
[提示] a≤1
3．设x∈[3,4]，若存在x∈[3,4]，使x≥a，求a的取值范围．
[提示] a≤4
【例3】 设函数f(x)＝mx2－mx－1.
(1)若对于一切实数x，f(x)＜0恒成立，求m的取值范围；
(2)对于任意x∈[1,3]，f(x)＜－m＋5恒成立，求m的取值范围．
思路探究：(1)讨论m的符号，结合函数f(x)的图像求解．
(2)求f(x)的最大值，使其最大值小于－m＋5；或分离参数m后，转化为求函数的最值问题．
[解] (1)要使mx2－mx－1＜0恒成立，
若m＝0，显然－1＜0，满足题意；
若m≠0，?－4＜m＜0.
∴－4＜m≤0.
(2)法一：要使f(x)＜－m＋5在x∈[1,3]上恒成立．
就要使m2＋m－6＜0在x∈[1,3]上恒成立．
令g(x)＝m2＋m－6，x∈[1,3]．
当m＞0时，g(x)在[1,3]上是增函数，
∴g(x)max＝g(3)＝7m－6＜0，
∴0＜m＜；
当m＝0时，－6＜0恒成立；
当m＜0时，g(x)是减函数，
∴g(x)max＝g(1)＝m－6＜0，得m＜6，
∴m＜0.
综上所述：m＜.
法二：当x∈[1,3]时，f(x)＜－m＋5恒成立，
即当x∈[1,3]时，m(x2－x＋1)－6＜0恒成立．
∵x2－x＋1＝2＋＞0，
又m(x2－x＋1)－6＜0，
∴m＜.
∵函数y＝＝在[1,3]上的最小值为，∴只需m＜即可．
1．(变条件)把例3中的函数换为：f(x)＝x2＋(a－4)x＋(5－2a)，若f(x)＞0对任意的x∈R都成立，求实数a的取值范围．
[解] 由题意可知，f(x)的图像开口向上，故要使f(x)＞0恒成立，只需Δ＜0即可，即(a－4)2－4(5－2a)＜0，解得－2＜a＜2.
2．(变结论)例3的条件不变，若存在x∈[1,3]，f(x)＜－m＋5恒成立，求m的取值范围．
[解] 不等式f(x)＜－m＋5可化为mx2－mx－1＜－m＋5，
即m(x2－x＋1)＜6，由于x2－x＋1＝2＋＞0，故原不等式等价于m＜.
当x∈[1,3]时，x2－x＋1∈[1,7]，故∈，由题意可知m＜6.
有关不等式恒成立求参数的取值范围，通常有两种处理方法
(1)考虑能否进行参变量分离，若能，则构造关于变量的函数，转化为求函数的最大(小)值，从而建立参变量的不等式．
(2)若参变量不能分离，则应构造关于变量的函数(如一次函数、二次函数)，并结合图像建立参变量的不等式求解．
1．解分式不等式和高次不等式的一般方法是穿针引线法，先将不等式化为标准型，即右边为零，左边分解成几个因式的积，使每个因式的x系数全为1，再把各根依次从小到大标在数轴上后，要从右上方开始往左穿，若有重根，则奇次重根一次穿过，偶次重根要折回，然后根据x轴上方为正，下方为负的原则，由不等式的类型写出解集．注意分式不等式分母不为零．对分式不等式一般不去分母，若要去分母，需对分母的正负进行讨论．
2．一元二次不等式应用题常以二次函数为模型，解题时要弄清题意，准确找出其中的不等关系，再利用一元二次不等式求解，确定答案时应注意变量具有的“实际含义”．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)不等式＞2与3x＋5＞2(x＋1)同解．( )
(2)≤0与(x－1)(x＋2)≤0同解．( )
(3)应用穿针引线法解不等式(x＋2)2(x－3)＞0，可得其解集为(2,3)．( )
[答案] (1)× (2)× (2)×
[提示] (1)错误，不等式＞2与＞0同解；
(2)错误，≤0与(x－1)(x＋2)≤0且x＋2≠0同解；
(3)错误，(x＋2)2(x－3)＞0的解集为(3，＋∞)．
2．对任意的x∈R，x2－ax＋1＞0恒成立，则实数a的取值范围是
( )
A．(－2,2) B．(－∞，2)∪(2，＋∞)
C．[－2,2] D．(－∞，2]∪[2，＋∞)
A [由题意可知Δ＝a2－4＜0，解得－2＜a＜2.]
3．不等式≤－2的解集为________．
[原不等式可化为≤0，故(4x＋5)(x＋3)≤0且x≠－3，故解集为.]
4．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏．为了使这批台灯每天能获得400元以上的销售收入，应怎样制定这批台灯的销售价格？
[解] 设每盏台灯售价x元，则x≥15，并且日销售收入为x[30－2(x－15)]，由题意知，当x≥15时，有x[30－2(x－15)]＞400，解得：15≤x＜20.
所以为了使这批台灯每天获得400元以上的销售收入，
应当制定这批台灯的销售价格为x∈[15,20)．
课件45张PPT。第三章 不等式§2 一元二次不等式
2.2 一元二次不等式的应用23456函数f(x)图像 x轴 函数f(x)的图像78910111213分式不等式和高次不等式的解法 1415161718192021一元二次不等式在生活中的应用 222324252627不等式的恒成立问题 2829303132333435363738394041424344点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十七)
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．不等式≥2的解集是( )
A． B．
C．∪(1,3] D．∪(1,3]
D [因为(x－1)2>0，
由≥2可得x＋5≥2(x－1)2且x≠1.
所以2x2－5x－3≤0且x≠1，所以－≤x≤3且x≠1.
所以不等式的解集是∪(1,3]．
2．已知集合M＝，N＝{x|x≤－3}，则集合{x|x≥1}等于( )
A．M∩N
B．M∪N
C．?R(M∩N)
D．?R(M∪N)
D [<0?(x＋3)(x－1)<0，故集合M可化为{x|－3]
3．若集合A＝{x|ax2－ax＋1<0}＝?，则实数a的集合是( )
A．{a|0B．{a|0≤a<4}
C．{a|0D．{a|0≤a≤4}
D [若a＝0时符合题意，若a>0时，相应二次方程中的Δ＝a2－4a≤0，得{a|04．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1x2(0A．100台 B．120台
C．150台 D．180台
C [利润S＝25x－(3 000＋20x－0.1x2)≥0，其中x>0，解得x≥150.]
5．设集合A＝{x|x2＋2x－3>0}，B＝{x|x2－2ax－1≤0，a>0}．若A∩B中恰含有一个整数，则实数a的取值范围是( )
A． B．
C． D．(1，＋∞)
B [A＝{x|x2＋2x－3>0}＝{x|x>1或x<－3}，因为函数y＝?(x)＝x2－2ax－1的对称轴为x＝a>0，?(－3)＝6a＋8>0，根据对称性可知，要使A∩B中恰含有一个整数，则这个整数解为2，所以有?(2)≤0且?(3)>0，即所以即≤a<.]
二、填空题
6．不等式≥1的解集为________．
[原不等式可化为－1≥0.即≥0.原不等式等价于得≤x<3.∴原不等式的解集为.]
7．某省每年损失耕地20万亩，每亩耕地价格为24 000元，为了减少耕地损失，决定以每年损失耕地价格的t%征收耕地占用税，这样每年的耕地损失可减少t万亩，为了既减少耕地的损失又保证此项税收一年不少于9 000万元，则t的取值范围是________．
3≤t≤5 [由题意得×24 000×t%≥9 000，化简得t2－8t＋15≤0，解得3≤t≤5.]
8．若不等式x2＋bx＋1＜0无解，则b的取值范围是________．
[－2,2] [由题可知x2＋bx＋1≥0恒成立，∴Δ＝b2－4≤0，得－2≤b≤2.]
三、解答题
9．解关于x的不等式＞x(a∈R)．
[解] 原不等式?＞0?x(ax－1)＞0.
当a＞0时，不等式的解集为，
当a＜0时，不等式的解集为，
当a＝0时，不等式的解集为{x|x＜0}．
10．一个小服装厂生产某种风衣，月销售量x(件)与售价P(元/件)之间的关系式为P＝160－2x，生产x件的成本R＝500＋30x元．
(1)该厂的月销售量为多大时，月获得的利润不少于1 300元？
(2)当月销售量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少元？
[解] (1)设该厂的月获利为y，依题意得：
y＝(160－2x)x－(500＋30x)＝－2x2＋130x－500，
由y≥1 300知－2x2＋130x－500≥1 300，∴x2－65x＋900≤0，
∴(x－20)(x－45)≤0，解得20≤x≤45，
∴当月销售量在20～45件之间时，月获利不少于1 300元．
(2)由(1)知y＝－2x2＋130x－500＝－2(x－32.5)2＋1 612.5.
∵x为正整数，∴x＝32或33时，y取得最大值为1 612元，
∴当月销售量为32件或33件时，可获得最大利润1 612元．
[能力提升练]
1．在R上定义运算⊙：A⊙B＝A(1－B)，若不等式(x－a)⊙(x＋a)<1对任意的实数x∈R恒成立．则实数a的取值范围为( )
A．－1C．－C [∵(x－a)⊙(x＋a)＝(x－a)(1－x－a)，
∵不等式(x－a)⊙(x＋a)<1，
即(x－a)(1－x－a)<1对任意实数x恒成立，
即x2－x－a2＋a＋1>0对任意实数x恒成立，
所以Δ＝1－4(－a2＋a＋1)<0，
解得－2．下列选项中，使不等式x<A．(－∞，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1，＋∞)
A [法一：取x＝－2，知符合x<法二：由题知，不等式等价于<0，即<0，
从而<0，解得x<－1，选A．]
3．若关于x的不等式>0的解集为(－∞，－1)∪(4，＋∞)，则实数a＝________.
4 [∵(x－a)(x＋1)>0与>0同解，
∴(x－a)(x＋1)>0的解集为(－∞，－1)∪(4，＋∞)，
∴4，－1是(x－a)(x＋1)＝0的根，
∴a＝4.]
4．不等式(m2－2m－3)x2－(m－3)x－1<0对任意x∈R恒成立，则m的取值范围为________．
[①若m2－2m－3＝0，即m＝3或－1，
m＝3时，原式化为－1<0，显然成立，
m＝－1时，原式不恒成立，故m≠－1.
②若m2－2m－3≠0，则
解得－∴m∈.]
5．已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.
(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的范围；
(2)若方程两根均在区间(0,1)内，求m的范围．
[解] (1)由条件，抛物线f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1与x轴的交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，如图①所示，
图①
得即－＜m＜－.
(2)抛物线与x轴交点均落在区间(0,1)内，如图②所示
图②
列不等式组
即－＜m≤1－.
