§5 正弦函数的图像与性质
5．1 正弦函数的图像
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法．(重点)
2．掌握“五点法”画正弦曲线的方法和步骤，能用“五点法”作出简单的正弦曲线．(难点)
1.通过学习利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法，体会数学抽象素养．
2．通过用“五点法”作出简单的正弦曲线，提升直观想象素养.
1．正弦线
如图所示，设任意角α的顶点在原点O，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆O相交于点P(x，y)，过P点作x轴的垂线，垂足为M.
我们称MP为角α的正弦线，P叫正弦线的终点．
思考1：在正弦线的定义中MP也可以写成PM的形式吗？正弦线是一条线段，这种判断对吗？
[提示] MP不能写成PM的形式，因为正弦线是有向线段，既有大小又有方向．
2．在函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图像上，起着关键作用的有五个关键点：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．描出这五个点后，函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图像就基本上确定了．因此，在精确度要求不太高时，我们常常先找出这五个关键点，然后用光滑曲线顺次将它们连接起来，就得到这个函数的简图．我们称这种画正弦函数曲线的方法为“五点法”．如图．
思考2：描点法作函数的图像有哪几个步骤？
[提示] 列表、描点、连线．
1．对于正弦函数y＝sin x的图像，下列说法错误的是( )
A．向左、右无限延展
B．与y＝－sin x的图像形状相同，只是位置不同
C．与x轴有无数个交点
D．关于y轴对称
D [y＝sin x为奇函数，关于原点对称，故D错误．]
2．y＝sin x的图像的大致形状为( )
[答案] B
3．用五点法画y＝sin x，x∈[0,2π]的简图时，所描的五个点的横坐标的和是________．
5π [0＋＋π＋＋2π＝5π.]
4．函数y＝sin x在[0,2π]上的单调减区间为________，最大值为________．
1 [由正弦函数的图像(图略)可知．]
“五点法”作图
【例1】 用五点法作函数y＝1－sin x，x∈[0,2π]的图像．
[解] (1)列表：
x
0
π
2π
sin x
0
1
0
－1
0
1－sin x
1
0
1
2
1
(2)描点、连线，图像如图．
1．解答本题的关键是要抓住五个关键点．使函数中x取0，，π，，2π，然后相应求出y值，再作出图像．
2．五点法作图是画三角函数的简图的常用方法，这五点主要指函数的零点及最大值、最小值点，连线要保持光滑，注意凸凹方向．
1．(1)作出函数y＝2sin x(0≤x≤2π)的图像；
(2)用五点法画出函数y＝sin 2x(0≤x≤π)的图像．
[解] (1)列表：
x
0
π
2π
sin x
0
1
0
－1
0
2sin x
0
2
0
－2
0
描点作图：
(2)列表：
x
0
π
2x
0
π
2π
sin 2x
0
1
0
－1
0
描点得y＝sin 2x(0≤x≤π)的简图，如图：
利用正弦函数图像解不等式
【例2】 利用y＝sin x的图像，在[0,2π]内求满足sin x≥－的x的取值范围．
[解] 列表：
x
0
π
2π
sin x
0
1
0
－1
0
描点，连线如图，同时作出直线y＝－的图像．
由图像可得sin x≥－的取值范围为
∪.
用三角函数图像解三角不等式的方法
(1)作出相应正弦函数在[0,2π]上的图像；
(2)写出适合不等式在区间[0,2π]上的解集；
(3)根据图像写出不等式的解集．
2．利用正弦函数的图像，求满足sin x≥的x的集合．
[解] 作出正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图像，如图所示，由图像可以得到满足条件的x的集合为，k∈Z.
正弦函数图像的应用
[探究问题]
1．若已知函数y＝f(x)的图像，如何作出函数y＝|f(x)|的图像？
[提示] 将函数y＝f(x)的x轴上方的图像保持不变，将x轴下方的图像关于x轴翻折到x轴上方即可．
2．如何利用函数的图像判断该函数对应方程的解的个数？
[提示] 可以利用函数的图像与x轴的交点的个数判断．也可以将该函数对应的方程拆分成两个简单函数，利用这两个函数图像交点的个数判断．
【例3】 函数f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0,2π]的图像与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，求k的取值范围．
[思路探究] 在同一坐标系中，作出两个函数图像．
[解] y＝
作出图像分析(如图)．
∵f(x)图像与直线y＝k有且仅有两个不同交点．
∴1
1．(变条件，变结论)将例3变为“求方程lg x＝sin x的实数解的个数”应如何求解．
[解] 作出y＝lg x，y＝sin x在同一坐标系内的图像 ，则方程根的个数即为两函数图像交点的个数，由图像知方程有三个实根．
2．(变结论)将例3中的函数f(x)不变，求方程“f(x)＝|log2x|”的解的个数，应如何求解．
[解] 在同一坐标系内作出f(x)＝sin x＋2|sin x|和g(x)＝|log2x|的图像如图所示，易知f(x)与g(x)的图像有四个交点，故所给方程有四个根．
数形结合是重要的数学思想，它能把抽象的数学式子转化成形象直观的图形.利用正弦函数图像可解决许多问题，例如特殊方程根的问题，通常可转化为函数图像交点个数问题.
1．“五点法”是我们画y＝sin x图像的基本方法，在区间[0,2π]上，其横坐标分别为0，，π，，2π的五个点分别是最高点、最低点以及与x轴的交点，这五个点在确定函数的图像形状时起到关键作用，在精确度要求不太高时，我们常常先描出这五个点，然后用光滑的曲线将它们连接起来，再将曲线向左、向右平行移动(每次移动2π个单位长度)，就得到正弦函数的简图．
2．作图像时，函数自变量要用弧度制，这样自变量与函数值均为实数.
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝sin x在[0,2π]和[4π，6π]上的图像形状相同，只是位置不同．( )
(2)函数y＝sin x的图像介于直线y＝－1和y＝1之间．( )
(3)函数y＝sin x的图像关于x轴对称．( )
(4)用五点法画函数y＝sin x在区间[－π，π]上的简图时，是其中的一个关键点．( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√
2．函数y＝－sin x，x∈的简图是( )
D [函数y＝－sin x与y＝sin x的图像关于x轴对称，故选D.]
3．在[0,2π]上，满足sin x≥的x的取值范围为________．
[结合图像(图略)可知为.]
4．在[0,2π]内，用五点法作出函数y＝2sin x－1的图像．
[解] (1)列表：
x
0
π
2π
sin x
0
1
0
－1
0
2sin x－1
－1
1
－1
－3
－1
(2)描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：
(0，－1)，，(π，－1)，，(2π，－1)．
(3)连线：用光滑曲线将描出的五个点连接起来，得函数y＝2sin x－1，x∈[0,2π]的简图，如图所示．
课件38张PPT。第一章 三角函数§5 正弦函数的图像与性质
5.1 正弦函数的图像MP (0,0) (π，0) (2π，0) “五点法”作图 利用正弦函数图像解不等式 正弦函数图像的应用 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(五) 正弦函数的图像
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．在同一平面直角坐标系内，函数y＝sin x，x∈[0,2π]与y＝sin x，x∈[2π，4π]的图像( )
A．重合 B．形状相同，位置不同
C．关于y轴对称 D．形状不同，位置不同
B [根据正弦曲线的作法可知函数y＝sin x，x∈[0,2π]与y＝sin x，x∈[2π，4π]的图像只是位置不同，形状相同．]
2．用五点法画y＝sin x，x∈[0,2π]的图像时，下列不是关键点的是( )
A． B．
C．(π，0) D．(2π，0)
[答案] A
3．对于正弦函数y＝sin x的图像，下列说法错误的是( )
A．自变量x可以是任意实数
B．y＝sin x图像上最大值点有无数多个
C．y＝sin x图像的对称轴有无数多条
D．当x>0时，y>0；当x<0时，y<0；当x＝0时，y＝0
D [由正弦曲线，知A，B，C均正确，D不正确．]
4．函数y＝1＋sin x，x∈[0,2π]的大致图像是( )
A [函数y＝1＋sin x的图像是由y＝sin x图像向上平移1个单位得到的，因此只有A项是正确的．]
5．不等式sin x>0，x∈[0,2π]的解集为( )
A．[0，π] B．(0，π)
C. D.
B [由y＝sin x在[0,2π]的图像(图略)可得．]
二、填空题
6．函数y＝sin x，x∈的图像与函数y＝x的图像交点个数是________．
1 [在同一坐标系内画出图像．]
7．y＝1＋sin x，x∈[0,2π]的图像与直线y＝的交点个数为________．
2 [在同一坐标系中作出函数y＝1＋sin x，x∈[0,2π]和y＝的图像(图略)，可得有两个交点．]
8．已知sin x＝m－1且x∈R，则m的取值范围是________．
[0,2] [由y＝sin x，x∈R的图像知，－1≤sin x≤1，
即－1≤m－1≤1，所以0≤m≤2.]
三、解答题
9．用五点法作函数y＝2＋sin x，x∈[0,2π]的图像．
[解] 列表如下：
x
0
π
2π
sin x
0
1
0
－1
0
2＋sin x
2
2
2
描点作图，如图所示：
10．判断方程x＋sin x＝0的解的个数．
[解] 设f(x)＝－x，g(x)＝sin x.
在同一直角坐标系中画出函数f(x)和g(x)的图像．
由图知f(x)和g(x)的图像仅有一个交点，即方程x＋sin x＝0仅有一个根．
[等级过关练]
1．方程sin x＝的根的个数是( )
A．7 B．8
C．9 D．10
A [在同一坐标系内画出y＝和y＝sin x的图像如图所示：
根据图像可知方程有7个根．]
2．函数y＝xsin x的部分图像是( )
A [函数y＝xsin x的定义域为R，令f(x)＝xsin x，则f(－x)＝(－x)sin(－x)＝xsin x＝f(x)，知f(x)为偶函数，排除B、D；当x∈时，f(x)＞0，故排除C，故选A.]
3．函数f(x)＝则不等式f(x)>的解集是________．
[在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)和y＝的图像(图略)，由图像易得：－4．函数y＝cos x＋4，x∈[0,2π]的图像与直线y＝4的交点的坐标为________．
， [由得cos x＝0，
当x∈[0,2π]时，x＝或.
∴交点为，.]
5．若方程sin x＝在x∈上有两个实数根，求a的取值范围．
[解] 在同一直角坐标系中作出y＝sin x，x∈的图像，y＝的图像，由图像可知，当≤<1，即－1