5.2 正弦函数的性质
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解、掌握正弦函数的性质．(重点)
2．会求简单函数的定义域、值域．(重点)
3．能利用单调性比较三角函数值的大小．(难点)
1.通过理解正弦函数的性质，培养数学抽象素养．
2．通过求简单函数的定义域、值域、比较三角函数的大小，提升数学运算素养.
正弦函数的性质
性质
定义域
R
值域
[－1,1]
最大值与
最小值
当x＝2kπ＋(k∈Z)时，ymax＝1；
当x＝2kπ＋(k∈Z)时，ymin＝－1
周期性
周期函数，T＝2π
性质
单
调
性
在(k∈Z)上是增加的；
在(k∈Z)上是减少的
奇偶性
奇函数
对称性
图像关于原点对称，对称中心(kπ，0)，k∈Z；对称轴x＝kπ＋，k∈Z
思考：正弦函数的周期为2π，在研究正弦函数性质时，选取哪个区间研究，既好学，又有效？
[提示] 选取上的图像来研究，即可掌握整个定义域上的性质．
1．下列函数中是奇函数的是( )
A．y＝－|sin x| B．y＝sin (－|x|)
C．y＝sin |x| D．y＝xsin |x|
D [利用定义，显然y＝xsin |x|是奇函数．]
2．已知M和m分别是函数y＝sin x－1的最大值和最小值，则M＋m等于
( )
A． B．－
C．－ D．－2
D [因为M＝ymax＝－1＝－，
m＝ymin＝－－1＝－，
所以M＋m＝－－＝－2.]
3．若函数f(x)＝sin 2x＋a－1是奇函数，则a＝________.
1 [由奇函数的定义f(－x)＝－f(x)得a＝1.]
4．函数y＝|sin x|的值域是________．
[0,1] [由函数y＝|sin x|的图像(图略)可知为[0,1]．]
正弦函数的周期性与奇偶性
【例1】 求下列函数的周期：
(1)y＝sin x；
(2)y＝|sin x|.
[解] (1)∵sin＝sin＝sin x，∴sin x的周期是4π.
(2)作出y＝|sin x|的图像，如图．
故周期为π.
1．求正弦函数的周期时要注意结合图像判断，不要盲目套用结论．
2．函数y＝sin x为奇函数时其定义域必须关于原点对称，否则不具有奇偶性．如y＝sin x，x∈[0,2π]是非奇非偶函数．
1．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝xsin x；
(2)f(x)＝|sin x|＋1.
[解] (1)∵x∈R，且关于原点对称，
又f(－x)＝－xsin(－x)＝xsin x＝f(x)，
∴f(x)为偶函数．
(2)∵x∈R，且关于原点对称，
又f(－x)＝|sin(－x)|＋1＝f(x)，
∴f(x)为偶函数．
正弦函数的单调性及应用
【例2】 (1)比较下列各组数的大小：
①sin与sin；②sin与sin.
(2)求函数y＝logsin的递增区间．
[解] (1)①因为0＜＜＜，且y＝sin x在x∈上为单调增函数，
∴sin＞sin，
②因为＜＜＜π，且y＝sin x在上是减少的．
所以sin＞sin，即sin＞sin.
(2)由sin＞0得2kπ＜x－＜π＋2kπ(k∈Z)得＋2kπ＜x＜＋2kπ(k∈Z)，①
要求原函数的递增区间，只需求函数y＝sin的递减区间，
令＋2kπ≤x－≤＋2kπ(k∈Z)得＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)，②
由①②可知＋2kπ≤x＜π＋2kπ(k∈Z)，
所以原函数的递增区间为(k∈Z)．
1．比较sin α与sin β的大小时，可利用诱导公式，把sin α与sin β转化为同一单调区间上的正弦值，再借助于正弦函数的单调性来进行比较．
2．比较sin α与cos β的大小，常把cos β转化为sin后，再依据单调性进行比较．
3．当不能将两角转到同一单调区间上时，还可以借助于图像或值的符号比较．
2．比较sinπ与sin的大小．
[解] ∵sin＝sin＝sin，
sin＝sin＝sin.
∵0<<<.
又y＝sin x在上单调递增，
∴sin与正弦函数有关的值域问题
[探究问题]
1．对于形如y＝f[g(x)]的函数，如何求其值域？
[提示] 先求内函数u＝g(x)的值域，再求外函数y＝f(u)的值域．
2．对于y＝Asin2x＋Bsin x＋C型的函数，怎样求值域？
[提示] 利用换元法转化为二次函数求最值．
【例3】 求下列函数的值域．
(1)y＝3－2sin x；
(2)y＝－sin2x＋sin x＋.
[思路探究] (1)利用|sin x|≤1即可求解．
(2)配方求解，要注意|sin x|≤1这一情况．
[解] (1)∵－1≤sin x≤1，
∴－1≤－sin x≤1，
1≤3－2sin x≤5，
∴函数y＝3－2sin x的值域为[1,5]．
(2)令t＝sin x，则－1≤t≤1，
y＝－t2＋t＋＝－2＋2，
∴当t＝时，ymax＝2.
此时sin x＝，
即x＝2kπ＋或x＝2kπ＋，k∈Z.
当t＝－1时，ymin＝－.
此时sin x＝－1，即x＝2kπ＋，k∈Z.
∴函数y＝－sin2x＋sin x＋的值域为.
1．(变条件)将例3(1)的条件变为“函数y＝1＋2sin x，x∈”求函数的最值．
[解] ∵－≤x≤，∴－≤sin x≤.
∴0≤1＋2sin x≤2.
即y＝1＋2sin x，x∈的最大值为2，最小值为0.
2．(变条件)将例3(1)中的函数变为“y＝3＋asin x(a≠0)”试求函数的值域．
[解] ∵－1≤sin x≤1.
(1)当a>0时，
－a≤asin x≤a，
3－a≤3＋asin x≤3＋a.
(2)当a<0时，a≤asin x≤－a，
3＋a≤3＋asin x≤3－a.
综上，当a>0时函数的值域为[3－a,3＋a]；
当a<0时，函数的值域为[3＋a,3－a]．
求正弦函数的值域一般有以下两种方法：
?1?将所给三角函数转化为二次函数，通过配方法求值域，例如转化为y＝a?sin x＋b?2＋c型的值域问题.
?2?利用sin x的有界性求值域，如y＝asin x＋b，－|a|＋b≤y≤|a|＋b.
1．求正弦函数在给定区间[a，b]上的值域时，要注意结合图像判断在[a，b]上的单调性及有界性．
2．利用正弦函数的单调性比较函数值的大小时，需利用诱导公式将角转化到正弦函数的同一个单调区间内．
3．观察正弦曲线不难发现：
(1)正弦曲线是中心对称图形，对称中心的坐标为(kπ，0)(k∈Z)，即正弦曲线和x轴的交点，原点是其中的一个．
(2)正弦曲线是轴对称图形，对称轴方程是x＝kπ＋(k∈Z)；正弦曲线的对称轴一定过正弦曲线的最高点或最低点.
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)正弦函数y＝sin x的定义域为R.( )
(2)正弦函数y＝sin x是单调增函数．( )
(3)正弦函数y＝sin x是周期函数．( )
(4)正弦函数y＝sin x的最大值为1，最小值为－1.( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)√
2．正弦函数y＝sin x，x∈R的图像上的一条对称轴是( )
A．y轴 B．x轴
C．直线x＝ D．直线x＝π
C [结合函数y＝sin x，x∈R的图像可知直线x＝是函数的一条对称轴．]
3．函数f(x)＝sin2x＋1的奇偶性是________．
偶函数 [f(－x)＝[sin(－x)]2＋1＝sin2x＋1＝f(x)，
所以f(x)为偶函数．]
4．比较下列各组数的大小．
(1)sin 2 016°和cos 160°；
(2)sin和cos.
[解] (1)sin 2 016°＝sin(360°×5＋216°)
＝sin 216°＝sin(180°＋36°)＝－sin 36°，
cos 160°＝cos(180°－20°)＝－cos 20°＝－sin 70°.
∵sin 36°∴－sin 36°>－sin 70°，
即sin 2 016°>cos 160°.
(2)cos＝sin，
又<<＋<，
y＝sin x在上是减少的，
∴sin>sin＝cos，
即sin>cos.
课件40张PPT。第一章 三角函数§5 正弦函数的图像与性质
5.2 正弦函数的性质234[－1,1] 2π 5奇函数 原点 678910111213正弦函数的周期性与奇偶性 1415161718正弦函数的单调性及应用 1920212223与正弦函数有关的值域问题 24252627282930313233343536373839点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(六) 正弦函数的性质
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．已知a∈R，函数f(x)＝sin x＋|a|－1，x∈R为奇函数，则a等于( )
A．0 B．1
C．－1 D．±1
D [由题意，得f(0)＝0，即|a|－1＝0，所以a＝±1，即当a＝±1时，f(x)＝sin x为R上的奇函数．]
2．函数y＝4sin x＋3在[－π，π]上的递增区间为( )
A. B.
C. D.
B [y＝sin x的递增区间就是y＝4sin x＋3的递增区间．]
3．已知函数y＝sin x，x∈，则y的取值范围是( )
A.[－1,1] B.
C. D.
C [y＝sin x在上递增，
在上递减，
∴当x＝时，ymax＝1，
当x＝时，ymin＝，
∴y∈.]
4．函数y＝2－sin x的最大值及取最大值时x的值分别为( )
A．ymax＝3，x＝
B．ymax＝1，x＝＋2kπ(k∈Z)
C．ymax＝3，x＝－＋2kπ(k∈Z)
D．ymax＝3，x＝＋2kπ(k∈Z)
C [当sin x＝－1即x＝－＋2kπ，k∈Z时，ymax＝2－(－1)＝3.]
5．函数y＝|sin x|＋sin x的值域为( )
A．[－1,1] B．[－2,2]
C．[－2,0] D．[0,2]
D [y＝|sin x|＋sin x＝
∴其值域为[0,2]．]
二、填空题
6．y＝a＋bsin x的最大值是，最小值是－，则a＝________，b＝________.
±1 [若b>0，由－1≤sin x≤1知
解得
若b<0，则解得]
7．函数f(x)＝x3＋sin x＋1，x∈R，若f(a)＝2，则f(－a)的值为________．
0 [f(a)＝a3＋sin a＋1＝2，所以a3＋sin a＝1，
f(－a)＝(－a)3＋sin(－a)＋1
＝－(a3＋sin a)＋1
＝－1＋1＝0.]
8．cos 10°，sin 11°，sin 168°从小到大的排列顺序是________．
sin 11°＜sin 168°＜cos 10° [因为sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°，cos 10°＝cos(90°－80°)＝sin 80°，当0°≤x≤90°时，正弦函数y＝sin x是增函数，因此sin 11°＜sin 12°＜sin 80°，即sin 11°＜sin 168°＜cos 10°.]
三、解答题
9．已知函数y＝sin x＋|sin x|.
(1)画出这个函数的图像；
(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期；
(3)指出这个函数的单调增区间．
[解] (1)y＝sin x＋|sin x|
＝
其图像如图所示．
(2)由图像知函数是周期函数，且函数的最小正周期是2π.
(3)由图像知函数的单调增区间为(k∈Z)．
10．已知函数f(x)＝2asin＋b的定义域为，最大值为1，最小值为－5，求a和b的值．
[解] ∵0≤x≤，∴－≤2x－≤π，
∴－≤sin≤1，易知a≠0.
当a>0时，f(x)max＝2a＋b＝1，
f(x)min＝－a＋b＝－5.
由解得
当a<0时，f(x)max＝－a＋b＝1，
f(x)min＝2a＋b＝－5.
由解得
[等级过关练]
1．下列不等式中成立的是( )
A．sinB．sinC．sin 3>sin 2
D．sin>sin
A [由于0<<<，而y＝sin x在上单调递增，
∴sin－sin，
即sin>sin，故选A.]
2．定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数．若f(x)的最小正周期是π，且当x∈时，f(x)＝sin x，则f的值为( )
A．－ B.
C．－ D.
D [∵f(x)的周期是π，
∴f＝f＝f
＝f＝f.
又f(x)是偶函数，
∴f＝f＝sin＝，
∴f＝.]
3．若y＝asin x＋b的最大值为3，最小值为1，则ab＝________.
±2 [当a>0时，得
∴ab＝2，
当a<0时，得
∴ab＝－2，故答案为±2.]
4．函数y＝lg(sin x)的定义域为________．
(2kπ，(2k＋1)π)(k∈Z) [要使lg(sin x)有意义，必须且只需sin x>0，
解得2kπ又∵0∴函数的定义域为(2kπ，(2k＋1)π)(k∈Z)．]
5．已知≤x≤，f(x)＝sin2x＋2sin x＋2，求f(x)的最大值和最小值，并求出相应的x值．
[解] 令t＝sin x，则由－≤x≤π知，－≤t≤1，
∴f(x)＝g(t)＝t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1，
当t＝1时，f(x)max＝5，
此时，sin x＝1，x＝；
当t＝－时，f(x)min＝，
此时，sin x＝－，x＝－.
